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空间向量坐标运算


空间中点的坐标
对于空间任意一点P,要求它的坐标

z
z

?
1

P3

P点坐标为 (x,y,z)
? P
1 y ?P 2

x? 1 x P1

? o

y

/> 空间向量的直角坐标运算

空间直角坐标系
建立空间直角坐标系 Oxyz, 分别沿 x 轴, ?? ? y 轴, z 轴的正方向引单位向量 i, j , k 这三个互相垂直的单位向量构成空间向量 ?? ?
? ? ? 单位向量 i , j , k 都叫做坐标向量。

的一个基底 {i, j, k}这个基底叫单位正交基底。

复习一:
平面向量的坐标表示
分别取与 x 轴, y 轴方向相同的 ? ? 两个单位向量 ij 作为基底任作 ? 一个向量 a 由平面向量基本定理知,有且只有 ? ? ? 一对实数 x, y 使得 a ? xi ? yj

把(x,y)

? 叫做 a

? 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y)

类比一: 空间向量的坐标表示
??? ? 给定空间直角坐标系和向量 a i, j , k 设为坐标向量 ,
根据空间向量分解定理则存在唯一的有序实数组 ? ? ? ? (a1 , a2 , a3 ) 使,a ? a1 i ? a2 j ? a3 k 有序实数组(a1 , a2 , a3 )

? 叫作向量 a 在空间直角坐标系中的坐标,记作

? a ? ( a1 , a2 , a3 )

z

a

a3k
a1i k i j a2j y

x

平面向量的坐标运算 复习二:
? ? 若 a ? ( x1 , y1 ) b ? ( x2 , y 2 ) 则

? ? a ? b ?( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ?

? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? ?a ? (?x1 , ?y1 )(? ? R) ? ? a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y 2

若 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) 则 AB ? ?x2 ? x1 , y 2 ? y1 ?

空间向量的坐标运算 类比二:
? ? 若 a ? (a1 , a2 , a3 ) b ? (b1 , b2 , b3 ) 则

? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ?a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 )(? ? R) ? ? a ? b ? a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3

若 A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 ) 则

AB ? ( x2 ? x1 , y 2 ? y1 , z 2 ? z1 )

复习三:
平面向量平行和垂直的条件


? ? ? ? ? ? a // b (b ? 0) ? a ? ?b (? ? R) ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0

? ? a ? ( x1 , y1 ) b ? ( x 2 , y 2 )

? ? ? ? a ? b ?a ? b ? 0

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

空间向量平行和垂直的条件 类比三:
? ? 若 a ? (a1 , a2 , a3 ) b ? (b1 , b2 , b3 )
? a1 ? ?b1 ? ? ? a ? ?b (? ? R ) ? ? a 2 ? ? b 2 ? a ? ?b 3 ? 3

? ? ? ? a // b (b ? 0) ?

? 当b 与三个坐标平面都不平行时

? ? ? ? a1 a 2 a // b (b ? 0) ? b ? b 1 2 ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? 0

a3 ? b3

? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0

复习四:
平面两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式 ? ? 若 a ? ( x1 , y1 ) b ? ( x 2 , y 2 ) ? ? 2 2 b ? x2 ? y 2 a ? x12 ? y12 ? ? ? ? x1 y1 ? x 2 y 2 a ?b Cos ? a , b ?? ? ? ? 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2



A( x1 , y1 )

B( x 2 , y 2 )

AB ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

类比四:
? ? 若 a ? (a1 , a2 , a3 ) b ? (b1 , b2 , b3 )

空间两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式

? 则 a ?

? b ?

2 2 a12 ? a 2 ? a 3 2 b12 ? b2 ? b32 ? ?

a ?b ? ? Cos ? a , b ?? ? ? ? a?b

a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3
2 2 2 a12 ? a 2 ? a 3 ? b12 ? b2 ? b32

若 A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 ) 则

AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2

? ? 练习一:已知 a ? (1,1,0) b ? (0,1,1) ?

? c ? (1,0,1)

? ? p ? a ?b ? ? ? ? q ? a ? 2b ? c
? ? ? ? 求 : p, q, p ? q

? ? 已知a ? ( x,?2,5), b ? (1, y,?3) 练习三:

? ? (1)若a // b , 求x, y

? ? (2)若a ? b , 求x, y满足的条件。

例1:

? ? ? 已知向量a ? (?2,2,0), b ? (?2,0,2), 求向量n ? ? ? ? 使n ? a , 且n ? b

? ? ? ? ? 变式: 若m与a共线, 且m ? b ? ?4求m.

? m ? (2,?2,0)

A(0,1,1),B(1,2,1),C(1,1,2)求 例2:

(1) ? AB, AC ?
(2) AC在AB上正投影的数量
z
C

o
A
D

B

y

x

例3

B 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中, 1 E1 ?

A1 B1 ? D1F1 ? 4

,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解:设正方体的棱长为1,如图建
C1

z

D1 A1

F1 E1 B1

立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

? 3 ? B(1,1, 0) , E1 ?1, ,1? , ? 4 ?
C

D

O
B

y

? 1 ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1? . ? 4 ?

A

x

例 4 如图, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E ,F 分别是 BB1 ,D1 B1 中点,求证: EF ? DA1
证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, ??? ? ???? ???? ? 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz , 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 ???? 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) , 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) , ???? ? 所以 DA1 ? (1 , 0 , 1) ???? ???? ? 1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 ???? ???? ? 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

小结

空间向量的直角坐标运算 一、空间向量的坐标表示 二、空间向量的坐标运算

三、空间向量平行和垂直的条件
四、空间两个向量夹角与向量长度的 坐标计算公式

? ? 设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则

平面向量运算的坐标表示: 空间向量运算的坐标表示:

? ? a ?b ? ? ? a ?b ? ? ?a ? ? ? a ?b ?

? ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ); 类 a ? b ?(a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; 比 ? ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 ); a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; 推 ? (?a1 , ?a2 ) ; 广 ? a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ) ; ? ? a1b1 ? a2b2 ; a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ;

? ? 设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则

? 设a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 )则 ?

平面向量运算的坐标表示: 空间向量运算的坐标表示: ? ? ?

a ? a2 ? ? a ?b ? ? ? ? cos a , b ? a b a1b1 ? a2 b2
2 1 2
2 1 2 2 1

a ? ?

? ? a ?a

a ? ; 类 ?

设a ? (a1 , a2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 )则 ?

? ? a ?a

a ? a2 ? ? 3 ; a 比 ? a ?b ? ? ? ? 推 cos a , b ? a b 广 a1b1 ? a2 b2 ? a3b3
2 1 2 2

? a ? a2 b ? b2 ; ? a12 ? a2 2 ? a32 b12 ? b2 2 ? b32; ? ? ? ? ? ? ? ? a // b ? a ? ?b (? ? R) a // b ? a ? ?b (? ? R) ; ?a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R) ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ; ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? 0 a ? b ? a ?b ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? 0 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0
2

1 优化设计活页卷

2

探索与研究
? ? 若例1中的a ? (a1 , a 2 , a3 ), b ? (b1 , b2 , b3 ), ? ? 求一向量与a, b 都垂直。


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