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巧用空间向量解空间问题举例(0)


巧用空间向量解空间问题举例
广西蒙山中学 刘立新
用向量方法探求立体几何问题,是高中数学新教材的一大改革特点,而建立适当的空间 坐标系,充分利用空间向量的数量积,使问题模式化,增强解题过程的可操作性,降低了问题的 难度,使不少复杂的几何推理及计算可借助向量法使其模式化 ,用机械性操作加以实现 ,避开 了一些麻烦的推理,这一切都较“平移是手段,垂直是关键”的纯几何方法简捷得多且使解答 过程顺畅乃至简捷. 可在高中新教材第 9.6.3“夹角与距离”中虽介绍了平面的法向量,可遗 憾的是课本对“用空间向量求出二面角后如何确定该角是钝角还是锐角”等一些关键知识没 有进行详细的说明与举例,且习题中也并未对此给予应用。若我们对法向量有一个深刻的理 解后,在全国数学高考中每年必考的 “夹角与距离”的问题都能得到满意的解决。因此本文 旨在抛砖引玉,希望能引起同行的重视,并在教学过程中能加以利用. 一、 求距离问题 1、求异面直线间的距离 用向量法求异面直线间的距离的理论依据是:如图 1 已知直线 a,b 是两条异面直线, 作 直线 a 的平行线 a’与直线 b 相交于点 O,经过 b,a’有一个平面 ? ,则异面直线 a,b 的距离即为 直线 a 到平面 ? 的距离 AB.设 C 为平面 ? 上任一点, ? 的法向量为 n ,则 CA 在法向量 n 上的投

影长即为 AB 的长.即有 AB = CA |COS< CA, n >|=

CA ? n n

图1

例1 如图 2,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 是棱 CD 的中点,求异面直线 A1C1 和 B1E 的距离。 解:以 DA、DC、DD1 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系,则 A1(2,0,2) ,C1 ( 0 , 2 , 2 ), B1 ( 2 , 2 , 2 ), E ( 0 , 1 , 0 ), A1C1 ? (?2,2,0) , 设 n ? ( x, y, z) 是异面直线 A1C1 和 B1E 的公垂线的一个方向向 B1 E ? (?2,?1,?2) A1 B1 ? (0,2,0) , 量,则 n ? A1C1 ? 0 , n ? B1 E ? 0

?? 2 x ? 2 y ? 0 3 ,令 x ? 1 ,得 n ? (1,1,? ) , ? 2 ?? 2 x ? y ? 2 z ? 0
n ? A1 B1 n

图2

异面直线 A1C1 和 B1E 的距离 d ?

?

2 1?1? 9 4

?

4 17 17

2

求点到平面的距离 利用向量方法求点到平面的距离的理论依据:设平面 ? 的一个法向量为 n ,点 P 是平面 ?

外一点,且 P0 ? ? 。则点 P 到平面 ? 的距离为 d ?

P0 P ? n n



例 2、 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,AA1=3,E、F 分别是棱 B1B、DC 的中 点,求点 E 到平面 A1FD1 的距离。 解:如图 3,以 D 点为坐标原点,DA、DC、DD1 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐 3 标系, 则 A1 (1, 0, 3) , D1 (0, 0, 3) , F (0, 1, 0) , E (1,2, ) ,A1 D1 ? (?1,0,0) ,D1 F ? (0,1,?3) , 2 设平面 A1FD1 的法向量为 n ? ( x, y, z)

?? x ? 0 由 n ? A1 D1 ? 0 , n ? D1 F ? 0 ,得 ? , ? y ? 3z ? 0
令 z=1 得 n ? (0,3,1)
3 又 A1 E ? (0,2,? ) ,点 E 到平面 A1FD1 的距离为 d ? 2

图3
A1 E ? n n
9 9 10 = 2 = 20 10

二、 求角 1.面直线所成的角 用向量法求异面直线所成的角的理论依据: 设 a , b 是异面直线,AB, CD 分别是直线 a , b 上 的向量,则异面直线 a , b 所成的角

? ? ? AB,CD ?,0 ?? AB,CD ?? ? ? 2 ? ?? ?? ? ? AB,CD ?, ? ?? AB,CD ?? ? ? 2 ?
例 3、如图 4,直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 ?ABC ? 900 ,AB=a,BC=b,BB1=c,M、N 分 别为 B1C1 和 AC 的中点。求异面直线 AB1 与 BC1 所成的角。 解:以 B 为原点,BA、BC、BB1 所在的直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则 A (a,0,0) ,B1(0,0,c) ,C1(0,b,c) , AB1 ? (?a,0, c), BC1 ? (0, b, c)

cos ? AB1 , BC1 ??

AB1 ? BC1 AB1 ? BC1

?

c2 (a 2 ? b 2 )(b 2 ? c 2 )
c2 (a 2 ? b 2 )( b 2 ? c 2 )

所以,异面直线 AB1 与 BC1 所成的角为 arccos ?

图4 2.求直线与平面所成的角 用向量法求直线与平面所成的角的理论依据:(如图 5) 设平面 ? 的一个法向量为 n , PQ 与平面 ? 所成的角为 ? ,

则 sin ? ? cos ? n, PQ ? ?

QP ? n n PQ



如图 5

例 4、 (2006 全国全Ⅰ.理)如图 6, l1 、 l2 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段。点 A、B 在 l1 上,C 在 l2 上, AM ? MB ? MN 。 (Ⅰ)证明 AB ⊥ NB ; (Ⅱ)若 ?ACB ? 60O ,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值。 解:如图,建立空间直角坐标系 M-xyz.令 MN=1, 则有 A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0), (Ⅰ)∵MN 是 l1、l2 的公垂线, l1⊥l2, ∴l2⊥平面 ABN. l2 平行于 z 轴. → =(1,1,m), NB → =(1,-1,0). ∴AC → ·NB → =1+(-1)+0=0 故可设 C(0,1,m).于是 AC

如图 6 ∴AC⊥NB.

→ =(1,1,m), BC → =( - 1,1,m), ∴ |AC → |=|BC → |, 又已知∠ ACB=60 ° , ∴△ ABC 为正三角 ( Ⅱ ) ∵ AC 形,AC=BC=AB=2. 在 Rt△CNB 中,NB= 2, 可得 NC= 2,故 C(0,1, 于 H,设 H(0,λ , 2λ ) (λ >0). 2).连结 MC,作 NH⊥MC

→ ·MC → = 1-λ -2λ =0, ∴λ = 1 , 2). HN 3 1 2 → =(0,2, - 2), 连结 BH,则BH → =(-1,1, 2), ∴H(0, 3, 3 ), 可得HN 3 3 3 3 → ·BH → =0+2 - 2 =0, ∴HN → ⊥BH → , 又 MC∩BH=H,∴HN⊥平面 ABC, ∵HN 9 9 → =(0,1-λ ,- 2λ ), MC → =(0,1, ∴HN → =(-1,1,0), ∠NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角.又BN 4 → ·BN → 3 BH ∴cos∠NBH= = 2 → |·|BN →| |BH × 2 3 6 = 3

解题小结:充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,再利用向量的有关知识求解 线面角,可以先求平面法向量与斜线夹角 ,再进行换算,这种做法要求学生对空间图形应有一 个清晰的认识 例 5、 (2003 年全国高考理 18 题)如图 7,在直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面是等腰直角三角形,
?ABC ? 90? , 侧棱 AA1 ? 2 ,D、E 分别是 CC1 与 A1 B 的中点, 点 E 在平面 ABD 上的射影是 ?ABD

的重心 G . (Ⅰ)求 A1 B 与平面 ABD 所成角的大小(结果用图反三角函数值表示); (Ⅱ)求点 A1 到平面 AED 的距离. 解:以 C 为原点,CA、CB、CC1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,如图,设 CA=2a,则

A (2a, 0, 0) , B (0, 2a, 0) , D (0, 0, 1) A( 0, 2) , E (a, a, 1) , G( 1 2a,

2a 2a 1 a a 2 , , ) ? GE ? ( , , ) , 3 3 3 3 3 3

BD ? (0,?2a,1)
? GE ? BD ? ? 2 2 2 a ? ? 0 ,解得 a=1, 3 3











ABD











1 1 2 GE ? ( , , ) 3 3 3



BA 1 ? (2,?2,2)
图7

设 A1 B 与平面 ABD 所成角为 ? ,则
BA1 ? GE GE BA1
4 3 2 3? 6 3

sin ? ? cos ? GE, BA1 ? ?

=

=

2 , 所 以 , A1 B 与 平 面 ABD 所 成 角 为 3

? ? ar csin

2 3

又设平面 AED 的法向量为 n ? ( x, y, z) , AD ? (?2,0,1) , ED ? (?1,?1,0)

?? 2 x ? z ? 0 由 n ? AD ? 0, n ? ED ? 0 得 ? ,令 x=1,得 n ? (1,?1,2) ?? x ? y ? 0

A1 E ? (?1,1,?1) 则点 A1 到平面 AED 的距离. d ?
3、二面角

A1 E ? n n

=

4 6

=

2 6 3

用向量法求二面角的理论依据:已知二面角 ? ? l ? ? , n1 , n2 分别是平面 ? 和平面 ? 的一 个法向量,设二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ,规定 0 ? ? ? ? ,则 ? ?? n1 , n2 ? (把二面角的两个 面画出来,两个面的法向量也画出来。相对于二面角的两个面,如果两个法向量相对于两个 面的方向是一样的(如图 8) ,那么二面角是用向量法求出的角的补角,也就是钝角,二面角

? ? ? ? ? n1 , n2 ? 。如果两个法向量相对于两个面方向不一样(如图 9) ,则是锐角) 。 图8 图9

例 6、 (2006 年全国Ⅱ卷 19 题 如图 10,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? BC , D 、 E 分别为 BB1 、 AC1 的中点
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(I)证明:ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线; (II)设 AA1 ? AC ? 2 AB, 求二面角 A1 ? AD ? C1 的大小
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解: (Ⅰ)如图,建立直角坐标系 O-xyz,其中原点 O 为 AC 的中点 设 A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c) 则 C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c)
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→ → ED =(0,b,0) , BB1 =(0,0,2c) →→ ED · BB1 =0,∴ED⊥BB1 → 又AC1=(-2a,0,2c), →→ ED · AC1=0,∴ED⊥AC1,
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图 10

??6 分
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所以 ED 是异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线 (Ⅱ)不妨设 A(1,0,0),则 B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2),
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→ → → BC =(-1,-1,0), AB =(-1,1,0), AA1 =(0,0,2), →→ →→ BC · AB =0, BC · AA1 =0,即 BC⊥AB,BC⊥AA1,又 AB∩AA1=A, ∴BC⊥平面 A1AD 又
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→ → E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,1), EC =(-1,0,-1), AE =(-1,0,

→ 1), ED =(0,1,0), →→ →→ EC · AE =0, EC · ED =0,即 EC⊥AE,EC⊥ED,又 AE∩ED=E, ∴
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EC⊥面 C1AD

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→→ EC · BC 1 → → → → cos< EC , BC >= =2,即得 EC 和 BC 的夹 → → | EC |· | BC |
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角为 60° 所以二面角 A1-AD-C1 为 60° 例 7、 (05 年江苏卷的 19 题)
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如 图 11 , 在 五 棱 锥 S-ABCDE 中 , SA⊥ 底 面 ABCDE , SA=AB=AE=2 , BC=DE= 3 , ∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°. (1)求异面直线 CD 与 SB 的夹角; (2)证明 BC⊥平面 SAB; (3)用反三角函数值表示二面角 B-SC-D 的大小 【分析】本题前两问不难,我们只研究第三问的解法. 如果用直接法,难以作出二面角 B-SC-D 的平面角;如果用投影法, 又难以找到必要的线面夹角.在这种情况下,选用向量法应是明智之举.

解:由已知条件容易求出∠ABC=∠AED=90°,且 BE=2 3 ,CD= 3 . 过 E 作平面 ABCDE 的垂线 EZ,分别以直线 EA、ED、EZ 为 x,y,z 轴建立如图的空间直 角坐标系,则有 E(0,0,0) ,A(2,0,0) ,S(2,0,2) ,D(0, 3 ,0).设 B(x,y,0) , 由∣BE∣=2 3 ,及∣BA∣=2,可得 B(3, 3 ,0) ;
1 1 3 ? 由 DC= EB,可得 C ? 3 , 3 3 , 0 ? .于是 SC= ? 3, ?2 ? , ?? , ? ? ? ? 2 ? 2 2 ? 2 ?2 ?
3 3 3 3 ? .设平面 SBC 与 BC=(- , ,0)DC= ? ? ? 2 , 2 ,0? ? 2 2 ? ?

平面 SCD 的法向量分别为 n1=(x1,1,z1)n2=(x2,1,z2).
1 3 ? 由 n1⊥SC ?(x1,1,z1) ? 3, ?2 ? =0 ?? , ? 2 2 ?
? 1 ? 3 3 3 ? 2 z1 ? 0 ?? x1 ? ? ? ? x1 ? 3 3 n1⊥BC ?(x1,1,z1) ? ? , =0 2 2 ? ? 3 ?? ? 2 2 ,0? ? ?? ? ? 3 3 ? ?z ? 2 3 ? x1 ? ?0 1 ? ? 2 2 3 ? ?

.

1 3 ? 由 n2⊥SC ?(x2,1,z2) ? 3, ?2 ? =0 ?? , ? 2 2 ?
3 ? ? 1 3 ? x2 ? 3 ? 2 z2 ? 0 x2 ? ? ? ? ? ? 3 3 2 2 ? ? ?(x2,1,z2) ? , , 0 ? =0? ? 3 ?? ?2 2 ? 3 3 5 ? ? ? ?z ? x2 ? ?0 3 ? ? 2 6 ? 2 2 ?

N2⊥DC

3 2 3 ? ,n = ? ? 3 ,1, 5 3 ? .∴n 于是 n1= ? 2 ? 1 ? ,1, ? ? ? 3 ? ? 6 3 ? ? ? ? 3 ?

? n2= ? 1 ? 1 ? 5 ? 7 ,而
3 4 3

∣n1∣=

3 12 2 3 75 123 ?1? ? 6 ,∣n2∣= ?1? ? . 9 9 3 9 36 6
7 3 ?

cos∠ (n1 , n2) =

2 123 6? 3 6

7 7 由于原二面角是钝二面角, ? ? arccos 82 . 故其大小为: 82 82

小结:本题也可用直接法求解.但计算量却大得多! 因此建立适当的空间坐标系,充分利用 空间向量的数量积,使问题模式化,增强了解题过程的可操作性,降低了问题的难度,本题同时 也很好地考查了学生对向量的数量积及其几何意义的理解,有助于激发学生灵活运用已有知识 并加以创新应用的积极性。 2007 年 5 月 8 日


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