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巧用空间向量解空间问题举例(0)


巧用空间向量解空间问题举例
广西蒙山中学 刘立新
用向量方法探求立体几何问题,是高中数学新教材的一大改革特点,而建立适当的空间 坐标系,充分利用空间向量的数量积,使问题模式化,增强解题过程的可操作性,降低了问题的 难度,使不少复杂的几何推理及计算可借助向量法使其模式化,用机械性操作加以实现,避开 了一些麻烦的推理,这一切都较“平移是手段,垂直是关键”的纯几何方

法简捷得多且使解答 过程顺畅乃至简捷. 可在高中新教材第 9.6.3“夹角与距离”中虽介绍了平面的法向量,可遗 憾的是课本对“用空间向量求出二面角后如何确定该角是钝角还是锐角”等一些关键知识没 有进行详细的说明与举例,且习题中也并未对此给予应用。若我们对法向量有一个深刻的理 解后,在全国数学高考中每年必考的 “夹角与距离”的问题都能得到满意的解决。因此本文 旨在抛砖引玉,希望能引起同行的重视,并在教学过程中能加以利用. 一、 求距离问题 1、求异面直线间的距离 用向量法求异面直线间的距离的理论依据是: 如图 1 已知直线 ’ a,b 是两条异面直线, 作直线 a 的平行线 a 与直线 b 相交于点 O, 经过 b,a’有一个平面 ? ,则异面直线 a,b 的距离即为直线 a 到平面

? 的距离 AB.设 C 为平面 ? 上任一点, ? 的法向量为 n ,则 CA 在法
向量 n 上的投影长即为 AB 的长.即有 AB = CA |COS< CA, n >|=
CA? n n

图1

例1 如图 2,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 是棱 CD 的中点,求异面直线 A1C1 和 B1E 的距离。 解:以 DA、DC、DD1 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标 系,则 A1(2,0,2) 1(0,2,2) 1(2,2,2) ,C ,B ,E(0,1,0) ,
A1C1 ? (?2,2,0)



B1 E ? (?2,?1,?2) A1 B1 ? (0,2,0) ,设 n ? ( x, y, z ) 是异面直线 A1C1 和

B1E 的公垂线的一个方向向量,则 n ? A1C1 ? 0 , n ? B1 E ? 0
?? 2 x ? 2 y ? 0 3 ,令 x ? 1,得 n ? (1,1,? ) , ? 2 ?? 2 x ? y ? 2 z ? 0

图2

异面直线 A1C1 和 B1E 的距离 d ?

n ? A1 B1 n

?

2 1?1? 9 4

?

4 17 17

2

求点到平面的距离 利用向量方法求点到平面的距离的理论依据:设平面 ? 的一个法向量为 n ,点 P 是平面 ?

外一点,且 P0 ? ? 。则点 P 到平面 ? 的距离为 d ?

P0 P ? n n



例 2、 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,AA1=3,E、F 分别是棱 B1B、DC 的中 点,求点 E 到平面 A1FD1 的距离。 解:如图 3,以 D 点为坐标原点,DA、DC、DD1 分别为 x、 y、z 轴,建立空间直角坐标系,则 A1(1,0,3) 1(0,0,3) ,D , 3 F(0,1,0) (1,2, ) , A1 D1 ? (?1,0,0) , D1 F ? (0,1,?3) ,设平面 ,E 2 A1FD1 的法向量为 n ? ( x, y, z )
?? x ? 0 由 n ? A1 D1 ? 0 , n ? D1 F ? 0 ,得 ? , ? y ? 3z ? 0

令 z=1 得 n ? (0,3,1)
9 A1 E ? n 9 10 3 又 A1 E ? (0,2,? ) ,点 E 到平面 A1FD1 的距离为 d ? = 2 = 20 2 10 n

图3

二、 求角 1.面直线所成的角 用向量法求异面直线所成的角的理论依据: a, b 是异面直线,AB, CD 分别是直线 a, b 上 设 的向量,则异面直线 a, b 所成的角

? ? ?? AB,CD ?,0 ?? AB,CD ?? 2 ? ? ?? ?? ? ? AB,CD ?, ? ?? AB,CD ?? ? ? 2 ?
例 3、如图 4,直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,已知 ?ABC ? 90 0 ,AB=a,BC=b,BB1=c,M、N 分 别为 B1C1 和 AC 的中点。求异面直线 AB1 与 BC1 所成的角。 解:以 B 为原点,BA、BC、BB1 所在的直线为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系,则 A(a,0,0) 1(0,0,c) 1(0,b, ,B ,C c) AB1 ? (?a,0, c), BC1 ? (0, b, c) ,
cos ? AB1 , BC1 ?? AB1 ? BC1 AB1 ? BC1 ? c2 (a 2 ? b 2 )(b 2 ? c 2 )
c2 ( a 2 ? b 2 )(b 2 ? c 2 )

所以, 异面直线 AB1 与 BC1 所成的角为 arccos ?

图4

2.求直线与平面所成的角 用向量法求直线与平面所成的角的理论依据:(如图 5) 设平面 ? 的一个法向量为 n , PQ 与平面 ? 所成的角为 ? , 则 sin? ? cos ? n, PQ ? ?
QP ? n n PQ
α Q

P

n
H



如图 5

例 4、 (2006 全国全Ⅰ.理)如图 6, l1 、 l 2 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段。点 A、B 在 l1 上,C 在 l 2 上, AM ? MB ? MN 。 (Ⅰ)证明 AB ⊥ NB ; (Ⅱ)若 ?ACB ? 60O ,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值。 解:如图,建立空间直角坐标系 M-xyz.令 MN=1, 则有 A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0), (Ⅰ)∵MN 是 l1、l2 的公垂线, l1⊥l2, ∴l2⊥平面 ABN. l2 平行于 z 轴. 如图 6
l1 A M B x N H y l2 z C

→ → → → 故可设 C(0,1,m).于是 AC=(1,1,m), NB=(1,-1,0). ∴AC·NB=1+(-1)+0=0

∴AC⊥NB.

→ → → → (Ⅱ)∵AC =(1,1,m), BC =(-1,1,m), ∴|AC |=|BC |, 又已知∠ACB=60°,∴△ABC 为正三角 形,AC=BC=AB=2. 在 Rt△CNB 中,NB= 2, 可得 NC= 2,故 C(0,1, 于 H,设 H(0,λ , 2λ ) (λ >0). 2).连结 MC,作 NH⊥MC

1 → → 2). HN·MC = 1-λ -2λ =0, ∴λ = 3 , 1 2 2 2 1 2 → → ∴H(0, 3, 3 ), 可得HN=(0,3, - 3 ), 连结 BH,则BH=(-1,3, 3 ), 2 2 → → → → ∵HN·BH=0+9 - 9 =0, ∴HN⊥BH, 又 MC∩BH=H,∴HN⊥平面 ABC, → → ∴HN=(0,1-λ ,- 2λ ), MC=(0,1, → ∠NBH 为 NB 与平面 ABC 所成的角.又BN=(-1,1,0), 4 → ·BN → 3 BH ∴cos∠NBH= = 2 → → |BH|·|BN| × 2 3 6 = 3

解题小结:充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,再利用向量的有关知识求解 线面角,可以先求平面法向量与斜线夹角,再进行换算,这种做法要求学生对空间图形应有一 个清晰的认识 例 5、 (2003 年全国高考理 18 题)如图 7,在直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面是等腰直角三角形,
?ABC ? 90 ? , 侧棱 AA1 ? 2 ,D、E 分别是 CC1 与 A1 B 的中点, E 在平面 ABD 上的射影是 ?ABD 点

的重心 G .

(Ⅰ)求 A1 B 与平面 ABD 所成角的大小(结果用图反三角函数值表示); (Ⅱ)求点 A1 到平面 AED 的距离. 解:以 C 为原点,CA、CB、CC1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 如图,设 CA=2a,则 A(2a,0,0) ,B(0,2a,0) ,D(0,0,1) 2a 2 a 1 a a 2 BD A(2a, 2)E a, , ( , , ) ? GE ? ( , , ) , ? (0,?2a,1) 0, , (a, 1) G 1 3 3 3 3 3 3 2 2 ? GE ? BD ? ? a 2 ? ? 0 ,解得 a=1, 3 3 1 1 2 因 此 , 平 面 ABD 的 法 向 量 为 GE ? ( , , ) , BA1 ? (2,?2,2) 3 3 3 设 A1 B 与平面 ABD 所成角为 ? ,则
BA1 ? GE GE BA1

图7
4 3 2 3? 6 3

sin? ? cos ? GE , BA1 ? ?

=

=

2 , 所 以 , A1 B 与 平 面 ABD 所 成 角 为 3

? ? a rc s in

2 3

又设平面 AED 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , AD ? (?2,0,1) , ED ? (?1,?1,0)
?? 2 x ? z ? 0 由 n ? AD ? 0, n ? ED ? 0 得 ? ,令 x=1,得 n ? (1,?1,2) ?? x ? y ? 0
A1 E ? (?1,1,?1) 则点 A1 到平面 AED 的距离. d ?

A1 E ? n n

=

4 6

=

2 6 3

3、二面角 用向量法求二面角的理论依据:已知二面角 ? ? l ? ? , n1 , n 2 分别是平面 ? 和平面 ? 的一 个法向量,设二面角 ? ? l ? ? 的大小为 ? ,规定 0 ? ? ? ? ,则 ? ?? n1 , n 2 ? (把二面角的两个 面画出来,两个面的法向量也画出来。相对于二面角的两个面,如果两个法向量相对于两个 面的方向是一样的(如图 8) ,那么二面角是用向量法求出的角的补角,也就是钝角,二面角 ,则是锐角) 。 ? ? ? ? ? n1 , n 2 ? 。如果两个法向量相对于两个面方向不一样(如图 9) 图8 图9

例 6、 (2006 年全国Ⅱ卷 19 题 如图 10,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? BC, D 、 E 分别为 BB1 、 AC1 的中点 (I)证明:ED 为异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线; (II)设 AA1 ? AC ? 2 AB, 求二面角 A1 ? AD ? C1 的大小
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z
C1
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B1 A1 D

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解: (Ⅰ)如图,建立直角坐标系 O-xyz,其中原点 O 为 AC 的中点 设 A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c) 则 C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c)
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E

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C O

B A

y

→ → ED =(0,b,0) ,BB1 =(0,0,2c) →→ ED · 1 =0,∴ED⊥BB1 BB → 又AC1=(-2a,0,2c), →→ ED · 1=0,∴ED⊥AC1, AC
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x

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图 10

??6 分
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所以 ED 是异面直线 BB1 与 AC1 的公垂线 (Ⅱ)不妨设 A(1,0,0),则 B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2),
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→ → → BC =(-1,-1,0), AB =(-1,1,0),AA1 =(0,0,2), →→ →→ BC · =0, BC · 1 =0,即 BC⊥AB,BC⊥AA1,又 AB∩AA1=A, AB AA ∴BC⊥平面 A1AD 又
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→ → E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,1), EC =(-1,0,-1), AE =(-1,0,

→ 1), ED =(0,1,0), →→ →→ EC · =0, EC · =0,即 EC⊥AE,EC⊥ED,又 AE∩ED=E, AE ED ∴
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EC⊥面 C1AD

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→→ EC · BC 1 → → → → cos< EC , BC >= = ,即得 EC 和 BC 的夹 → → 2 | EC |·BC | |
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角为 60° 所以二面角 A1-AD-C1 为 60° 例 7、 (05 年江苏卷的 19 题)
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如 图 11 , 在 五 棱 锥 S-ABCDE 中 , SA⊥ 底 面 ABCDE , SA=AB=AE=2 , BC=DE= 3 , ∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°. (1)求异面直线 CD 与 SB 的夹角; (2)证明 BC⊥平面 SAB; (3)用反三角函数值表示二面角 B-SC-D 的大小 【分析】本题前两问不难,我们只研究第三问的解法.
A S

2 2
120°

E

3
3

120°

D

2
120°

B

C

如果用直接法,难以作出二面角 B-SC-D 的平面角;如果用投影法, 又难以找到必要的线面夹角.在这种情况下,选用向量法应是明智之举. 解:由已知条件容易求出∠ABC=∠AED=90°,且 BE=2 3 ,CD= 3 . 过 E 作平面 ABCDE 的垂线 EZ,分别以直线 EA、ED、EZ 为 x,y,z 轴建立如图的空间直 角坐标系,则有 E(0,0,0) ,A(2,0,0) ,S(2,0,2) ,D(0, 3 ,0).设 B(x,y,0) ,
Z

由∣BE∣=2 3 ,及∣BA∣=2,可得 B(3, 3 ,0) ;
S

1 由 DC= EB,可得 C ? 3 , 3 3 , 0 ? .于是 SC= ? ? 1 , 3 3, ?2 ? , ? ? ? ? ?2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? ?
3 3 BC=(- , ,0)DC= ? 3 , 3 , 0 ? .设平面 SBC 与 ? ? ?2 2 ? 2 2 ? ?
E A X B 3, 3, 0 C D
0, 3, 0

Y

平面 SCD 的法向量分别为 n1=(x1,1,z1)n2=(x2,1,z2). 由 n1⊥SC ? (x1,1,z1) ? ? 1 , 3 3, ?2 ? =0 ? ?
? 2 2 ?

3 3 3 ,0 ) ( , 2 2

? 1 ? 3 3 ?x ? ? 3 3 ? =0 ? ? 2 x1 ? 2 3 ? 2 z1 ? 0 n1⊥BC ? (x1,1,z1) ? ? , ? 1 3 ,0? ?? ?? ? 2 2 ? ? ? ? 3 3 ? ?z ? 2 3 ? x1 ? ?0 ? ? 1 2 2 3 ? ?

.

由 n2⊥SC ? (x2,1,z2) ? ? 1 , 3 3, ?2 ? =0 ? ?
? 2 2 ?

N2⊥DC

3 ? ? 1 3 ? x ? 3 ? 2 z2 ? 0 ? x2 ? ? ?3 3 ? =0 ? 2 2 2 ? ? ? (x2,1,z2) ? , 3 ?? ? 2 2 , 0 ? ?? ? 3 3 5 ? ? ? ?z ? x2 ? ?0 3 ? ? 2 6 ? 2 2 ?

? ? 3 5 1 5 7 ,1, 3 ? .∴n1 ? n2= ? ? 1 ? ? ,而 于是 n1= ? 3 ,1, 2 3 ? ,n2= ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 6 3 4 3 3 ? ? ? ?

∣n1∣=

3 12 2 3 75 123 ?1? ? 6 ,∣n2∣= ?1? ? . 9 9 3 9 36 6
7 3 2 123 6? 3 6 ?

cos∠ 1 , 2) (n n =

7 7 由于原二面角是钝二面角, 故其大小为: ? arccos ? 82 . 82 82

小结:本题也可用直接法求解.但计算量却大得多! 因此建立适当的空间坐标系,充分利用 空间向量的数量积,使问题模式化,增强了解题过程的可操作性,降低了问题的难度,本题同时 也很好地考查了学生对向量的数量积及其几何意义的理解,有助于激发学生灵活运用已有知识 并加以创新应用的积极性。 2007 年 5 月 8 日


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