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倾斜角与斜率


3.1

直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率

【课标要求】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2.掌握求直线斜率的两种方法.

3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.
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【核心扫描】

1.求直

线的倾斜角和斜率.(重点)
2.常与三点共线、平面几何知识等结合命题.(难点) 3.准确把握与y轴平行或重合的直线的倾斜角和斜率.(易混点)

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新知导学
1.倾斜角的概念和范围 正方向 当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴_______ 向上 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 与直线l_____ 平行 或_____ 重合 时,我们规定它的倾斜角为 当直线l与x轴_____ 0° ≤α<_____ 180°. 0°.直线的倾斜角α的范围是____ 温馨提示:直线的倾斜角概念的理解注意三个方面:

(1)直线与x轴相交;
(2)x轴正方向; (3)直线向上的方向
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2.斜率的概念及斜率公式
定义 正切值 倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的__________ tan α 叫做这条直线的斜率,记为k,即k=________ k=__ 0 ;当0°<α<90°时,_______ k> 0 ; 当α=0°时,____ k<0 ;当α=90°时, 取值范围 当90°<α<180°时,_________ 不存在 斜率___________

过两点的
直线的斜 率公式

直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其斜率
y2-y1 y1-y2 x2-x1 = k=________ (x ≠x2) x1-x2 1

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温馨提示

(1)直线的斜率与倾斜角既有区别,又有联

系.它们都反映了直线的倾斜程度,本质上是一致的.但倾

斜角是角度,是直线倾斜度的直接体现;斜率是实数,是直
线倾斜度的间接反映,用斜率比用倾斜角更方便. (2)直线的倾斜角α与斜率的关系如下表: 直线情况 α的大小 斜率的 取值范围 斜率的 增减性 平行(或重 合)于x轴 0° 0 由左向 右上升 0°<α<90° (0,+∞) 单调增
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垂直于 x轴 90°

由右向 左上升 90°<α<180° (-∞,0) 单调增
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不存在

互动探究
探究点1 直角坐标系中的任何一条直线是否都有一个倾斜

角?
提示 在吗? (2)不垂直于x轴的直线l的斜率的大小与在l上取的两个点 有关吗? 提示 (1)90° 不存在 (2)无关 是. 探究点2 (1)与x轴垂直的直线l倾斜角等于多少度?其斜率存

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类型一

直线的倾斜角与斜率的概念

【例1】 已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°,则
直线l和倾斜角为________. [思路探索] 直线的倾斜角的定义中

强调直线向上方向与x轴正向所成的
角,才是直线的倾斜角,因而将l与y 轴正向所成的30°角转化即可.

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解析

有两种情况:

①如图(1),直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°,即直 线l的倾斜角为60°. ②如图(2),直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°,即 直线l的倾斜角为120°.

答案

60°或120°
(1)由已知角推断倾斜角,常画出图形,借助图

[规律方法]

形来解决,注意画图时要考虑出现的各种情况. (2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k=tan α在0°≤α< 90°及90°<α<180°的增减性来判断.

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【活学活用1】 (1)已知点P(1,1),直线l过点P且不经过第四 象限,则直线l的倾斜角α的最大值为 A.135° B.90° C.45° (2)如图,设直线l1,l2,l3的斜率分别为 k1,k2,k3,则k1,k2,k3的大小关系为 ( D.30° ).

(
A.k1<k2<k3 B.k1<k3<k2

).

C.k2<k1<k3

D.k3<k2<k1

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解析

(1)如图,因为直线l不经过第四象限,

故当直线l处于图示位置,即过坐标原点(0,0) 时,它的倾斜角有最大值.易求得其值为 45°,故选C. (2)设直线l1、l2、l3的倾斜角分别为α1、α2、α3,则0°<α1< α2<α3<90°,故k1<k2<k3,选A. 答案 (1)C (2)A

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类型二

求斜率及其范围

【例2】 已知直线l过P(-2,-1),且与以A(-4,2), B(1,3)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围.

[思路探索]

由已知画出图形,由斜率公式求出kPA,

kPB,利用数形结合思想解决.
解 根据题中的条件可画出图形,如图所示, 3 又可得直线 PA 的斜率 kPA=- ,直线 PB 的 2 4 斜率 kPB= , 3

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结合图形可知当直线 l 由 PB 变化到与 y 轴平行的位置时,它 ?4 ? 的倾斜角逐渐增大到 90°,故斜率的取值范围为? ,+∞ ?, ?3 ? 当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时,它的倾斜角 由 90 ° 增 大 到 PA 的 倾 斜 角 , 故 斜 率 的 变 化 范 围 是 ? 3? ?-∞,- ?. 2? ? 综上可知,直线 l 的斜率的取值范围是 ? ? 3 ? ?4 ?-∞,- ?∪? ,+∞ ? . 2 ? ?3 ? ? [规律方法 ] (1)由倾斜角 (或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k =tan α(α≠90°)解决
y2-y1 (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k= (x ≠x )求解. x2-x1 1 2 (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.
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【活学活用2】 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的
直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围; (2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
4-0 解 如图所示,由题意可知 kPA= -3-1 2-0 =-1,kPB= =1. 3-1

(1)要使直线 l 与线段 AB 有公共点,则直线 l 的斜率 k 的取值 范围是 k≤-1,或 k≥1. (2)由题意可知,直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角 之间, 又 PB 的倾斜角是 45°,PA 的倾斜角是 135°, 所以 α 的取值范围是 45°≤α ≤135°.
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类型三

斜率公式的应用

y 【例 3】 已知实数 x,y 满足 y=-2x+8,且 2≤x≤3,求 的最 x 大值和最小值.

y y-0 [思路探索] 化 = 利用斜率公式数形结合求解. x x-0
解 如图所示,由于点 (x, y)满足关系式 2x+ y = 8,且 2≤ x≤ 3,可知点 P(x, y)在线段 AB 上 移动,并且 A,B 两点的坐标可分别求得为 A(2, 4), B(3, 2). y 由于 的几何意义是直线 OP 的斜率, x 2 且 kOA= 2, kOB= , 3 y 2 所以可求得 的最大值为 2,最小值为 . x 3
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[规律方法]

y2-y1 若所求最值或范围的式子可化为 的形式, x2-x1

则联想其几何意义,利用图形数形结合来求解.

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【活学活用 3】 已知实数 x,y 满足 y=x2-x+2(-1≤x≤1), y+3 试求 的最大值和最小值. x+2

y+3 解 由 的几何意义可知,它表示经过定点 P(-2,-3)与 x+2 曲线段 AB 上任一点(x,y)的直线的斜率 k,由图可知 kPA≤ k≤kPB,由已知可得 A(1,2),B(-1,4).

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2-(-3) 5 4-(-3) 则 kPA= = ,kPB= =7. 1-(-2) 3 -1-(-2) y+3 5 5 ∴ ≤k≤7,∴ 的最大值为 7,最小值为 . 3 3 x+2

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易错辨析

因忽略两点斜率公式的条件而致错

【示例】 求经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的斜率,并
指出倾斜角α的取值范围.
[错解] 3-2 1 由斜率公式可得 k= = . m-1 m-1

1 ①当 m>1 时,k= >0,所以直线的倾斜角的取值范围 m-1 是 0°<α<90°. 1 ②当 m<1 时,k= <0,所以直线的倾斜角的取值范围 m-1 是 90°<α<180°.

[错因分析]
m=1情况.

未考虑两点斜率公式运用的条件从而忽略了对

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[正解 ] 当 m= 1 时, 直线斜率不存在, 此时直线的倾斜角为 α = 90° . 3- 2 1 当 m≠ 1 时,由斜率公式可得 k= = . m- 1 m- 1 1 ①当 m> 1 时,k= > 0,所以直线的倾斜角的取值范围是 m- 1 0°< α< 90° . 1 ②当 m< 1 时,k= < 0,所以直线的倾斜角的取值范围是 m- 1 90°< α< 180° . [防范措施] 学习定理、公式一定要注意它们的适用条件,对 k =tan α注意 α≠90°;

y2-y1 对 k= 注意 x1≠x2,对不满足公式适用条件的可能情况, x2-x1 要多加考虑,不可忽略.
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课堂达标
1.下列说法中,正确的是 ( ). A.直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α B.直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为α C.若直线的倾斜角为α,则sin α>0 D.任意直线都有倾斜角α,且α≠90°时,斜率为tan α 解析 对于A,当α=90°时,直线的斜率不存在,故不正 确;对于B,虽然直线的斜率为tan α,但只有0°≤α< 180°时,α才是此直线的倾斜角,故不正确;对于C,当直 线平行于x轴时,α=0°,sin α=0,故C不正确,故选D. 答案 D
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2.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是 A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°

(

).

C.90°<α<180°
解析

D.0°<α<180°

直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,又直线

l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角范围是 90°<α<180°. 答案 C 3.已知直线过点A(0,4)和点B(1,2),则直线AB的斜率为 ________.
解析 由过两点的直线的斜率公式, 知直线 AB 的斜率

4-2 为 =-2. 0-1

答案

-2
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4.过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角是135°,则y
等于 A.1
解析

( B.5 C.-1 D.-5
y+3 由斜率公式可得: =tan 135°, 4-2

).

y+3 ∴ =-1,∴y=-5.∴选 D. 2

答案

D

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5.已知点A(1,2),在坐标轴上求一点P,使直线PA的倾斜
角为60°.
解 ①当点 P 在 x 轴上时,设点 P(a, 0), 0- 2 - 2 ∵ A(1, 2),∴ k= = . a- 1 a - 1 又∵直线 PA 的倾斜角为 60°, -2 2 3 ∴ tan 60°= .解得 a= 1- . 3 a- 1 ∴点 P
? ? 2 3 ?. 的坐标为?1- , 0 ? ? 3

②当点 P 在 y 轴上时,设点 P(0, b), 同理可得 b= 2- 3,∴点 P 的坐标为(0, 2- 3).
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课堂小结
1.直线的斜率和倾斜角是从数和形两个角度来刻画直线的
坐标系中的倾斜程度,要理解k=tan α(α≠90°)在0°≤α <90°和90°<α<180°上的变化情况.

2.注意两个公式的适用条件,注意考虑直线垂直于x轴这种
情形,善于运用分类讨论、数形结合思想来思考和解决 问题.

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