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用配方法求值域


用配方法求值域
一、配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可利用配方法求值域

二、例题讲解
1、求函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4x ( x ? ?0, 4?) 的值域。 设: f ( x) ? ? x 2 ? 4x( f ( x) ? 0) 配方得: f ( x) ? ?( x ? 2) 2 ? 4( x ? ?0, 4?) 利用二次函数的 相关知识得 f ( x) ? ?0, 4? ,从而得出: y ? ?? 2, 2? 。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限 制,本题为: f ( x) ? 0 。 2、求函数 y ? e ? x
2

? 4 x ?3

的值域。

u 2 解答: 此题可以看作是 y ? e 和 u ? ? x ? 4 x ? 3 两个函数复合而成的函数, u 配方可得: 对

u ? ?( x ? 2) 2 ? 1 ,得到函数 u 的最大值 u ? 1 ,再根据 y ? e u 得到 y 为增函数且 y ? 0 故
函数 y ? e
? x 2 ? 4 x ?3

的值域为: y ? (0, e] 。

3、若 x ? 2 y ? 4, x ? 0, y ? 0 ,试求 lg x ? lg y 的最大值。 本题可看成一象限动点 p ( x, y ) 在直线 x ? 2 y ? 4 上滑动时函数 lg x ? lg y ? lg xy 的最大 值 。 利 用 两 点 (4 , 0) , (0 , 2) 确 定 一 条 直 线 , 作 出 图 象 易 得 :

x ? (0,4), y ? (0,2),而lg x ? lg y ? lg xy ? lg[ y(4 ? 2 y)] ? lg[?2( y ? 1) 2 ? 2 , y=1 时 ,
lg x ? lg y 取最大值 lg 2 。


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