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宁夏银川市第九中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题


银川九中 2015—2016 学年度第一学期期中考试试卷 高二年级数学试卷
(本试卷满分 150 分) (注:班级、姓名、学号、座位号一律写在装订线以外规定的地方,卷面不得出现任何标记) 一 选择题(每小题 5 分共 60 分) 1.若 P 在 Q 的北偏东 44°50′,则 Q 在 P 的( A.东偏北 45°10′ C.南偏西 44°50′ )

>B.东偏北 45°50′ D.西偏南 45°50′ )

,1,2,3,5,8, x,21 ,34,55 中, x 等于( 2.在数列 1
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 3.已知数列{an}满足 a1>0,2an+1=an,则数列{an}是( ) A. 递增数列 C. 常数列

B. 递减数列 D. 摆动数列 )

1 4.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1= ,S4=20,则 S6 等于( 2 A. 16 C. 36 B. 24 D. 48 )

5.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则∠A=( A. 90
0

B. 60

0

C. 120

0

D. 150 )

0

6.若 a>b>0,则下列不等式总成立的是( b b+1 A. > a a+1 1 1 C.a+ >b+ b a

1 1 B.a+ >b+ a b D. 2a+b a > a+2b b

7.设数列{an}是由正项组成的等比数列,且 a7·a8=4,则 log4a1+log4a2+…+log4a14 等于 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 ) 1 B. - 10 D. 19 90

1 1 1 8.若数列 an= + +…+ ,则 a5-a4=( n+1 n+2 2n A. C. 1 10 1 90

-1-

9.在正项数列{an}中,若 a1=1,且对所有 n∈N 满足 nan+1-(n+1)an=0,则 a2015=( A. 1011 C. 2014 B. 1012 D. 2015

*

)

10.已知数列{an}的通项公式 an=26-2n,要使此数列的前 n 项和 Sn 最大,则 n 的值为( A.12 C.12 或 13 B.13 D.14 a+b+c =( sinA+sinB+sinC )

)

11.在△ABC 中,若∠A=60°,b=1,其面积为 3,则 A.3 3 26 3 C. 3
2

B.

2 39 3 39 2

D.

12.设集合 A={x|x -x-6>0},B={x|(x-k)(x-k-1)<0}, 若 A∩B= ? ,则 k 的取值范围是( A.{k|k<-3 或 k>1} C.{k|k<-2 或 k>2} ) B.{k|-2≤k≤2} D.{k|-3≤k≤1}

二 填空题(每小题 5 分共 20 分) 13.已知等差数列{an}中,S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9=_______. 14.已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4=3S2,a3=2,则 a7=________. 15.船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60 船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15 ,这时船与灯塔的距离为
2 16.已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ?x | 1 ? x ? 2? ,则 a ? b ?

?

,行驶4h 后, km

?

三 解答题(共 70 分) 17.(本题 12 分) π π (1)若- <α <β < ,求 α -β 的取值范围. 2 2 (2) 若 x=(a+3)(a-5),y=(a+2)(a-4),比较 x 与 y 的大小. 18. (本题 12 分) 设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=2bsinA. (1)求 B 的大小; (2)若 a=3 3,c=5,求 b.
-2-

19. (本题 10 分) 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 n ,求 an 20. (本题 10 分)

x2-8x+20 若不等式 2 <0 对一切 x 恒成立,求实数 m 的范围. mx -mx-1

21. (本题 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A 、B、C 对的边长分别是 a、b、c. (1)若 c=2,C=

? ,且 ?ABC 的面积是 3 ,求 a,b 的值; 3

(2)若 sin C ? sin(B ? A) ? sin 2 A ,试判断 ?ABC 的形状.

22. (本题 14 分) 数 列 {an } 为 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 , Sn 为 前

n 项 和 , a5 和 a7 的 等 差 中 项 为 1 1 , 且

a2 ? a5 ? a1 ? a1 .令 bn ? 4
(Ⅰ)求 an 及 Tn ;

1 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . an ? an ?1

(Ⅱ)是否存在正整数 m, n(1 ? m ? n), 使得T 1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所 有的 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

银川九中 2015—2016 学年度第一学期期中考试试卷 高二年级数学试卷答案 一 选择题(共 60 分,每小题 5 分) CCBD CCCC DCBB 二 填空题(共 20 分,每小题 5 分)

-3-

45 ;

8 ;

30 2 ;

4

三 解答题(共 70 分) 17 (本题 12 分) (1) (2) α -β 的取值范围是(-π ,0) x<y -----------6 分 ------------6 分

18 (本题 12 分) 1 解析 (1)由 a=2bsinA,得 sinA=2sinBsinA,所以 sinB= . 2 π 由△ABC 为锐角三角形,得 B= . 6
2 2 2

---------6 分

(2)根据余弦定理,得 b =a +c -2acosB=27+25-45=7,所以 b= 7.---6 分 19 (本题 10 分) 解: Sn ? 3 ? 2n , Sn?1 ? 3 ? 2n?1, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 (n ? 2) 而 a1 ? S1 ? 5 , ---------2 分 ∴ an ? ? --------6 分

?5, (n ? 1)
n ?1 ?2 , (n ? 2)

--------2 分

20 (本题 10 分) 解析:合理等价变形,正确分类是解决问题关键. 2 2 解:由题 x -8x+20=(x-4) +4>0 2 则原不等式等价于 mx -mx-1<0 成立 ------2 分 那么,①当 m=0 时,-1<0 不等式成立; -------2 分 ②当 m≠0 时,要使不等式成立,应有
?m<0 ? ,解之得:-4<m<0 2 ?Δ =m +4m<0

-------5 分 ---------1 分
2 2

由①②可知,-4<m≤0 21. (本题 12 分)
2 2 2

(1)由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cosC 得 a ? b ? ab ? 4 又 ?ABC 的面积为 3 ,得 ab=4 (2) sin C ? sin(B ? A) ? sin 2 A 得 解得 a=2, b=2 ------6 分

2 sin B cos A ? 2 sin A cos A

得 cos A(sin A ? cos B) ? 0 --------1 分 ----1 分

--------4 分

?A?

?
2

, ?ABC 为直角三角形;

当 sin A ? sin B ? 0 时,A=B, ?ABC 为等腰三角形 22 (本题 14 分)

-4-

【解析】 : (Ⅰ)因为 {an } 为等差数列,设公差为 d ,则由题意得

?a5 ? a7 ? 22 ? 2a1 ? 10d ? 22 ? ?a2 ? a5 ? a1 ? a14 ? (a1 ? d )(a1 ? 4d ) ? a1 (a1 ? 13d )
所以 an ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 ……………4 分 由 bn ?

整理得 ?

?a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2 ?? ?a1 ? 1 ?d ? 2a1

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

所以 Tn ?

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ……………4 分 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

(Ⅱ)假设存在 由(Ⅰ)知, Tn ?

n 1 m n , Tn ? ,所以 T1 ? , Tm ? 2n ? 1 3 2m ? 1 2n ? 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比,则有

Tm

2

m 2 1 n m2 n ? T1 ? Tn ? ( ) ? ? ? ? ………2 分 2 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ? 4m ? 1 6 n ? 3

4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3 3 4m ? 1 ? 2m 2 ? ? ? ? , 。 。 。 。 。 (1) m2 n n m2
因为 n ? 0 ,所以 4m ? 1 ? 2m ? 0 ? 1 ?
2

6 6 ,………2 分 ? m ? 1? 2 2

因为 m ? N , m ? 1,? m ? 2, ,当 m ? 2 时,带入(1)式,得 n ? 12 ; 综上,当 m ? 2, n ? 12 可以使 T1 , Tm , Tn 成等比数列。……………2 分

?

-5-


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