直线与圆锥曲线问题的解题策略学生卷(一)

直线与圆锥曲线问题的解题策略（一）
条件或目标的认知与转化 解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说，解题，就是要将所解的题转化为已 经解过的题。然而，转化的基础是认知——认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知 基础，我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。 1、化生为熟 化生为熟是解题的基本策略。 在直线与圆锥曲线相交问题中， 弦长问题及弦中点问题是 两类基本问题。因此，由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题，要注意适时向弦长 或弦中点问题转化。一但转化成功，解题便得以驾轻就熟，胜券在握。 （1）向弦中点问题转化 例1.已知双曲线 =1（a>0,b>0）的离心率 ，过点A（0,-b）和B（a,0）的

直线与原点间的距离为

（1）求双曲线方程；

（2）若直线 （km≠0）与双曲线交于不同两点C、D，且C、D两点都在以A为圆 心的同一个圆上，求m的取值范围。

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（2）向弦长问题转化 例2．设F是椭圆 的左焦点，M是C1上任一点，P是线段FM上的点，

且满足 （1）求点P的轨迹C2的方程； （2）过F作直线l与C1交于A、D两点，与C2交点B、C两点，四点依A B、C、D顺序排列，求使 成立的直线l 的方程。

2．化繁为简 解析几何是用代数计算的方法解决几何问题，因此，解答解析几何问题，人们都有这样 的共同感受：解题方向或途径明朗，但目标难以靠近或达到。解题时，理论上合理的思路设 计能否在实践中得以实现？既能想到，又能做到的关键，往往在于能否化繁为简。化繁为简 的策略，除去“化生为熟”之外，重要的当数“借助投影”或“避重就轻”。 （1）借助投影 对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题， 当题设条件的直接转化颇为繁 杂时，不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法；将线段上有关各点向x轴（或y轴或 其它水平直线）作以投影，进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化，这一手法往往能 够有效地化解难点，将人们引入熟悉的解题情境。 例3．如图，自点M（1，-1）引直线l交抛物线 点Q，使 、 、 于P1 、P2两点，在线段P1 、P2上取一

的倒数依次成等差数列，求点Q的轨迹方程。

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（2）避重就轻 事物都是一分为二的，复杂问题中有关事物之间你中有我、我中有你的局面，在给我们 解题制造麻烦的同时，也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。 例4．已知 点P、Q在椭圆 中心O到弦PQ的距离。 上，椭圆中心为O，且 ， 求椭圆

巩固练习：
x2 y2 2 3 1.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ，过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是 3 a b
3 .（1）求双曲线的方程； 2
（2）已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0)

交双曲线于不同的点 C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求 k 的值.

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2.设椭圆方程为 x ?
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y2 ? 1 ，过点 M (0,1) 的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 是坐标原点， 4

点 P 满足 OP ?

1 1 1 (OA ? OB) ，点 N 的坐标为 ( , ) ，当 l 绕点 M 旋转时，求： 2 2 2

（1）动点 P 的轨迹方程； （2） | NP | 的最小值与最大值.

3. P、Q、M、N四点都在椭圆 已知 与 共线， 与

上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点， 共线，且 ，求四边形PMQN的面积

的最小值和最大值。

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