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直线与圆锥曲线问题的解题策略学生卷(一)


直线与圆锥曲线问题的解题策略(一)
条件或目标的认知与转化 解题的过程是一系列转化的过程。从某种意义上说,解题,就是要将所解的题转化为已 经解过的题。然而,转化的基础是认知——认知已知、目标的本质和联系。有了足够的认知 基础,我们便可以着力实践化生为熟或化繁为简的转化。 1、化生为熟 化生为熟是解题的基本策略。 在直线与圆锥曲线相交问题中, 弦长问题及弦中点问题是 两类基本问题。因此,由直线与圆锥曲线相交引出的线段间的关系问题,要注意适时向弦长 或弦中点问题转化。一但转化成功,解题便得以驾轻就熟,胜券在握。 (1)向弦中点问题转化 例1.已知双曲线 =1(a>0,b>0)的离心率 ,过点A(0,-b)和B(a,0)的

直线与原点间的距离为

(1)求双曲线方程;

(2)若直线 (km≠0)与双曲线交于不同两点C、D,且C、D两点都在以A为圆 心的同一个圆上,求m的取值范围。

1

(2)向弦长问题转化 例2.设F是椭圆 的左焦点,M是C1上任一点,P是线段FM上的点,

且满足 (1)求点P的轨迹C2的方程; (2)过F作直线l与C1交于A、D两点,与C2交点B、C两点,四点依A B、C、D顺序排列,求使 成立的直线l 的方程。

2.化繁为简 解析几何是用代数计算的方法解决几何问题,因此,解答解析几何问题,人们都有这样 的共同感受:解题方向或途径明朗,但目标难以靠近或达到。解题时,理论上合理的思路设 计能否在实践中得以实现?既能想到,又能做到的关键,往往在于能否化繁为简。化繁为简 的策略,除去“化生为熟”之外,重要的当数“借助投影”或“避重就轻”。 (1)借助投影 对于线段的定比分点以及其它复杂的线段间关系的问题, 当题设条件的直接转化颇为繁 杂时,不妨运用当初推导定比分点坐标公式的基本方法;将线段上有关各点向x轴(或y轴或 其它水平直线)作以投影,进而利用平行线分线段成比例定理推理或转化,这一手法往往能 够有效地化解难点,将人们引入熟悉的解题情境。 例3.如图,自点M(1,-1)引直线l交抛物线 点Q,使 、 、 于P1 、P2两点,在线段P1 、P2上取一

的倒数依次成等差数列,求点Q的轨迹方程。

2

(2)避重就轻 事物都是一分为二的,复杂问题中有关事物之间你中有我、我中有你的局面,在给我们 解题制造麻烦的同时,也会为我们侧面迂回、避重就轻带来机会。 例4.已知 点P、Q在椭圆 中心O到弦PQ的距离。 上,椭圆中心为O,且 , 求椭圆

巩固练习:
x2 y2 2 3 1.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离是 3 a b
3 .(1)求双曲线的方程; 2
(2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0)

交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的值.

3

2.设椭圆方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M (0,1) 的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 是坐标原点, 4

点 P 满足 OP ?

1 1 1 (OA ? OB) ,点 N 的坐标为 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求: 2 2 2

(1)动点 P 的轨迹方程; (2) | NP | 的最小值与最大值.

3. P、Q、M、N四点都在椭圆 已知 与 共线, 与

上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点, 共线,且 ,求四边形PMQN的面积

的最小值和最大值。

4



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