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2.1.1数轴上的基本公式


2.1.1数轴上的基本公式

一.直线坐标系 1.直线坐标系:一条给出了原点、度量 单位和正方向的直线叫做数轴,或说在 这条直线上建立了直线坐标系。如图:

2.数轴上的点P与实数x的对应法则: 如果点P在原点朝正向的一侧,则x为 正数,且等于点P到原点的距离; 如果点P在原点朝负向的一侧,则x为 负数,其绝对值等于点P到原点的距离; 如果点P在原点,则表示x=0, 由此,实数集和数轴上的点之间建立了 一一对应关系;

3.如果点P与实数x对应,则称点P的坐标 为x,记作P(x);

二. 向量 1.既有大小又有方向的量,叫做位移向 量,简称向量。从点A到点B的向量,记 作 AB ,读作“向量AB”。点A叫做向量 的起点,点B叫做向量的终点; 2.向量 AB 的长度:线段AB的长叫做 向量的长度,记作| AB |;

3.相等的向量:数轴上同向且等长的向 量叫做相等的向量;
4.数量:用实数表示数轴上的一个向量, 这个实数叫做向量的坐标或数量。 常用AB表示向量 AB 的坐标。

如何理解相等向量? 1.数轴上同向且等长的向量叫做相等的 向量,定义中没有对向量的起点和终点 作出限制,实际上不管起点在什么位置, 只要方向相同,长度相等,这样的向量 就是相等向量。 2.相等的向量,坐标相等,反之,如果 数轴上的两个向量的坐标相等,则这两 个向量相等。

3.如果把相等的所有向量看成一个整体, 作为同一个向量,则实数与数轴上的向 量之间是一一对应的。

三. 基本公式

1.位移的和:在数轴上,如果点A作一次
位移到点B,接着由点B再作一次位移到点 C,则位移 AC 叫做位移 AB 与位移 BC 的和,记作 AC ? AB ? BC 2.数量的和:对数轴上任意三点A、B、C 都有关系AC=AB+BC;

3.数量的坐标表示:

使 AB 是数轴上的任意一个向量,点 A的坐标为x1,点B的坐标为x2,则AB=x2
-x1; 4.数轴上两点间的距离公式: 用d(A,B)表示A、B两点间的距离,

则d(A,B)=|x2-x1|.

例1.下列说法中,正确的是( D ) ( A) AB =AB (B)AB ? BA (C)零向量是没有方向的

(D)相等的向量的坐标(数量)一定相同

例2. 在数轴上表示下列各点:A(-3), B(-1),C(1),D(2),并找出与C的距离 是1 两点M、N,并写出它们的坐标. 解:如图:

与C的距离是1的点M、N分别位于点C 的两侧:M(0),N(2),点N与点D 重合

例3. 已知A、B、C是数轴上任意三点, (1)若AB=5,CB=3,求AC; (2)证明:AC+CB=AB; (3)若|AB|=5,|CB|=3,求|AC|. 解:(1)AC=AB+BC=AB-CB=2.

(2)设数轴上A、B、C三点的坐标分别 为x1,x2,x3, 则AC=x3-x1,CB=x2-x3,AB=x2-x1,

∴ AC+CB=(x3-x1)+(x2-x3)
=(x2-x1) =AB. (3)AC=2或8.

例4.已知数轴上三点A(x)、B(2)、P(3), 且满足 | AP |? 2 | BP | ,求x. 解:因为|AP|=|3-x|,|BP|=|3-2|=1, 由已知 | AP |? 2 | BP |

所以|3-x|=2,得x=1或x=5.

练习题:

1.在下列四个命题中,正确的是( D )
(A)两点A、B惟一确定一条有向线段 (B)起点为A,终点为B的有向线段记作 AB (C)有向线段 AB 的数量AB=-|BA|

(D)两点A、B惟一确定一条线段

2.对于数轴上任意三点A、B、O,如下 关于有向线段的数量关系不恒成立的是 ( D ) (A)AB=OB-OA (B)AO+OB+BA=0 (C)AB=AO+OB

(D)AB+AO+BO=0

3.若点A、B、C、D在一条直线上,
BA=6,BC=-2,CD=6,则AD等于 ( B )

(A)0
(C)10

(B)-2
(D)-10

4.如图所示,设 AB 是x轴上的一个向量, O是原点,则下列各式中不成立的是( )
B ( A)OA= (B)OB=

(C)AB=OB - - | OB | OB | OA | OA (D)BA=OA

5.在数轴上已知点B的坐标为3,AB=4, 则点A的坐标为 ; -1 已知点B的坐标为2,=2,则点A的坐 标为 0或4 ;

已知点B的坐标为-1,BA=2,则点 1 . A的坐标为

6.数轴上一点P(x),它到点A(-8)的距

离是它到点B(-4)距离的2倍,则x=
16 0或 ? 3

.

7.已知数轴上A、B、C的坐标分别为-3,
7,9,则AB+BC+CA=
| AB | ? | BC | ? | CA | =

0, 24

.

8.已知数轴上两点A(x1),B(x2),则线段 AB中点坐标为

x1 ? x2 2

.

9.已知数轴上两点A(a),B(5.5),并且 d(A,B)=7.5,则a= 若AB=7.5,则a= -2或13 -2 ; .



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