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辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高三数学上学期第一次模拟考试试题 理


高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? {x | x ? 0} ,且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是 A. {1,2} 2.已知 B. {x | x ? 1} C. {?1,0,1} D. R

/>
1 1 ? ? 0 ,则下列结论错误的是 a b b a 2 A. a 2 ? b 2 B. ? ? 2 C. ab ? b 2 D. lg a ? lg ab a b 3 3.若不等式 2kx 2 ? kx ? <0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围为 8 A. (?3,0) B. ?? 3,0 ? C. ?? 3,0? D. (?3,0]
ab ? 2a ? b 、 , a b ? R ? ,若 1 ? k ? 4 ,则函数 f ( x) ? k ? x 的值域 7 7 A. (2, ??) B. (1,??) C. [ , ??) D. [ , ??) 8 4 1 5.设命题 p : 函数 y ? 在定义域上为减函数;命题 q : ?a, b ? (0, ??) ,当 a ? b ? 1 x 1 1 时, ? ? 3 ,以下说法正确的是 a b A. p ? q 为真 B. p ? q 为真 C. p 真 q 假 D. p , q 均假
4.规定 a ? b ? 6.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的 函数是

x x e x ? e? x C. f ? x ? ? x e ? e? x
A. f ? x ? ? 的一个单调递增区间为 A. (??,0] B. [0,??)

B. f ? x ? ? ln D. f ( x) ?

?

x2 ? 1 ? x

?
2

1? x2 | x ?3| ? | 4? x |

7.函数 y ? f ( x) 为偶函数,且 [0,??) 上单调递减,则 y ? f (2 ? x ) D. [ 2 ,??)

C. [0, 2 ]

8.下列命题正确的个数是 ①“在三角形 ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”的否命题是真命题; ②命题 p : x ? 2 或 y ? 3 ,命题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的必要不充分条件; ③“ ?x ? R, x3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”.
3 2

A.0

B.1

C.2

D.3

1

9.已知函数 f ( x) ? ?

? ?sin ? x (0 ? x ? 1) , 若 a、b、c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) , log x x ? 1 ? ? ? ? 2014
D.[2,2015]

则 a ? b ? c 的取值范围是 B. (1,2015) C. (2,2015) 10 ln x ? 1 10.下列四个图中,函数 y ? 的图象可能是 x ?1 A. (1,2014)

11.设函数 f ( x) ? e ? x ? 2 , g ( x) ? ln x ? x ? 3 .若实数 a, b 满足 f (a ) ? 0 , g (b) ? 0 ,则
x 2

A. g (a ) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a ) ? f (b)

B. f (b) ? 0 ? g (a ) D. f (b) ? g (a ) ? 0

12.已知定义的 R 上的偶函数 f ? x ? 在 [0,??) 上是增函数,不等式 f (ax ? 1) ? f ( x ? 2) 对任意 x ? ? ,1? 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A. ? ?3, ?1? B. ? ?2, 0? C. ? ?5, ?1? D. ? ?2,1?

?1 ? ?2 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分

?a x , x ? 0, 1 1 13.设 a ? cos 420 ,函数 f ( x) ? ? ,则 f ( ) ? f (log 2 ) 的值等于 . 4 6 ?log a x, x ? 0, ? x ? 1, ? 14.实数 x, y 满足 ? y ? a (a ? 1), 若目标函数 z ? x ? y 的最大值为 4,则实数 a 的值为 ? x ? y ? 0, ?
?

. 15.已 知 lg a ? lg b ? 0 , 则 满 足 不 等 式 是 .
2 x

a b ? 2 ? ? 的实数 ? 的最小值 a ?1 b ?1
2

16.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 16 ,当 x ? (?1,4] , f ( x) ? x ? 2 ,则 函数 f ( x) 的在 [0,2014] 上的零点个数是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知幂函数 f ( x) ? (m ? 1) x
2 m2 ? 4 m ? 2

在 (0, ??) 上单调递增,函数 g ( x) ? 2 ? k .
x

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)当 x ? [1, 2] 时,记 f ( x) , g ( x) 的值域分别为集合 A, B ,若 A ? B ? A ,求实数

k 的取值范围.
2

18. (本小题满分 12 分)
1 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x, cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· b. 2

(Ⅰ) 求 f ( x) 的单调递增区间;
? ?? (Ⅱ) 求 f ( x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

20.(本小题满分 12 分)
2 2 2 x 已知函数 f ? x ? ? ? ax ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e (其中 a ? R ).

?

?

(Ⅰ)若 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式 f ? x ? ? ? x ? 1? ?

?1 2 ? x ? x ? 1? . ?2 ?

21.(本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ax .设 x1 ? (??,? ) ,记曲线 y ? f ( x) 在点
2

a 2

M ( x1 , f ( x1 )) 处的切线为 l , l 与 x 轴的交点是 N ( x2 ,0) , O 为坐标原点.

3

(Ⅰ)证明: x2 ?

x12 ; 2 x1 ? a
a 2 9a 成立,求 a 的取值范围. 16

(Ⅱ)若对于任意的 x1 ? (??,? ) ,都有 OM ? ON ?

22.(本小题满分 12 分)

x2 ? a 3 ln( x ? a ? a 2 ) , a ? R 且 a ? 0 . 2 (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性;
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 a 2 ? a ? x1 ? x2 ? a 2 ? a ,证明:

f ( x2 ) ? f ( x1 ) a 2 ? ?a. x2 ? x1 2

4

东北育才学校高中部 2015 届高三第一次模拟数学试题(理科)答案

18. (Ⅰ) f ( x) ? a· b = cos x ? 3 sin x ?

1 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . 2 2 2 6
?????4 分

当 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

时,解得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

, ?????8 分

? f ( x) ? sin( 2 x ?
(Ⅱ) 当x ? [0,

?
6

) 的单调递增区间为 [k? ?

?
6

, k? ?

?
3

](k ? Z ) .
6 ,

?
2

]时, (2 x ?

?
6

) ? [-

? 5?
6 , 6

],由标准函数y ? sin x在[-

? 5?
6

. ]上的图像知,

? ? ? 1 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? [ f (- ), f ( )] ? [? ,1] . 6 6 2 2
1 ? ?? 所以,f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值分别为 1,? . 2 ? 2?
?????12 分

19.解:(Ⅰ)命题 p 为真,即 f ( x) 的定义域是 R ,等价于 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立,

?a 2 ? 1 ? 0, 等价于 a ? ?1 或 ? 2 2 ?Δ ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0.
解得 a ? ?1 或 a ?

5 5 .∴实数 a 的取值范围为 (?? , ? 1] ? ( , ? ?) 3 3

?????4 分

命题 q 为真,即 f ( x) 的值域是 R , 等价于 u ? (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 的值域 ? (0 , ? ?) ,

5

?a 2 ? 1 ? 0, 等价于 a ? 1 或 ? 2 2 ?Δ ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0.
解得 1 ? a ?

5 5 .∴实数 a 的取值范围为 [1 , ] 3 3
5 3 5 3

?????8 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知, ? p : a ? (?1 , ] ; q : a ? [1 , ] .

[1 , ] ,∴ ? p 是 q 的必要而不充分的条件 而 (?1 , ] ? 3 ? 3

2 2 20. (Ⅰ)因为 f ? x ? ? ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x

5

5

?????12

?

?

2 2 2 2 2 ? x ? f ? ? x ? ? ? 2ax ? ? a ? 1? ? e x ? ? ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x ? ? ? ax ? ? a ? 1? x ? a ? e ? ? ? ?

因为 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,所以由 f ? ? 0 ? ? ae ? 0 ,解得 a ? 0
0

检验,当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? xe ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 .
x





x?0



f ? x?









,



a ? 0.
(Ⅱ) 当 a ? 0 时,不等式

?????4 分

?1 ? ?1 ? f ? x ? ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? e x ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? , ?2 ? ?2 ?
整理得 ? x ? 1? ? e x ? ?

? ?

?1 2 ?? x ? x ? 1? ? ? 0 , ?2 ??

?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 ? ? 即? x ?1 2 或? x ? 1 2 ? ? ?e ? ? 2 x ? x ? 1 ? ? 0 ?e ? ? 2 x ? x ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ?
令 g ? x ? ? ex ? ?

?1 2 ? x ? x ? 1? , h ? x ? ? g ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? , h? ? x ? ? e x ? 1 , ?2 ?
x x

当 x ? 0 时, h? ? x ? ? e ? 1 ? 0 ;当 x ? 0 时, h? ? x ? ? e ? 1 ? 0 , 所 以 h ? x ? 在 ? ??, 0 ? 单 调 递 减 , 在 (0, ??) 单 调 递 增 , 所 以 h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0 , 即

g? ? x? ? 0 ,
所以 g ? x ? 在 R 上单调递增,而 g ? 0 ? ? 0 ; 故 ex ? ?

?1 2 ? ?1 ? x ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 ; e x ? ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 , ?2 ? ?2 ?

6

所以原不等式的解集为 x x ? 0或x ? 1 . ( 21. Ⅰ)解:曲线 y ? f ( x) 在点 M ( x1 , f ( x1 ) 处的切线 l 的方程为

?

?

?????12 分

y ? f ( x1 ) ? (2 x1 ? a)( x ? x1 )


y?0

, ?????4 分



x12 x2 ? 2 x1 ? a
(Ⅱ) OM ? ON ? 设 f ( x) ? x 3 ?

9a 9ax 9 2 a ? x3 ? ? a ? 0 在 x ? (??,? ) 上恒成立 16 8 16 2 9 f ' ( x) ? 3x 2 ? a 8

9ax 9 2 ? a , 8 16

' 令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? ?

3a 3a ], f ' ( x) ? 0 , x ? (??,? 8 8 x ? (? 3a 1 ,? a ), f ' ( x) ? 0 8 2

当x ? ?

3a 时, f ( x) 取极大值 8

1 当?
0

a 3a a a3 3 ?? ,即 a ? 时, F ( x) max ? F (? ) ? ? ,满足题设要求; 2 8 2 8 2 a 3a 3a 3 3a 3 9 2 3 ?? )? ( ) ? a , ,即 0 ? a ? , F ( x) max ? F (? 2 8 8 4 8 16 2
2 . 3 2 . 3
????12 分

2 当?
0

若 f ( x) max ? 0 ,解得 a ?

综上,实数 a 的取值范围为 a ? 22.解: (1)由题, f ?( x) ? x ?

a3 x 2 ? (a ? a 2 ) x ? a 3 ? x ? a ? a2 x ? a ? a2
???????????????????2 分
2

?

( x ? a )( x ? a 2 ) . x ? a ? a2

令 f ?( x) ? 0 ,因为 x ? a ? a 2 ? 0 故 ( x ? a )( x ? a ) ? 0 . 当 a ? 0 时,因 a ? a 2 ? a 且 a ? a 2 ? a 2 所以上不等式的解为 (a ? a , ??) ,
2

从而此时函数 f ( x) 在 (a ? a , ??) 上单调递增.
2 2

????????4 分

当 a ? 0 时,因 a ? a ? a 2 ? a 2 所以上不等式的解为 (a , ??) ,

7

从而此时函数 f ( x) 在 (a 2 , ??) 上单调递增. 同理此时 f ( x) 在 (a ? a 2 , a 2 ] 上单调递减. ???????????6 分

(2) (方法一)要证原不等式成立,只须证明 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 )(

a2 ? a) , 2

a2 a2 ? a) x2 ? f ( x1 ) ? ( ? a) x1 . 2 2 2 2 因为 a ? a ? x1 ? x2 ? a ? a 所以原不等式只须证明,
只须证明 f ( x2 ) ? (

a2 ? a) x 在 x ? (a 2 ? a, a 2 ? a ) 内单调递减. ?????8 分 2 3 a 4 a3 x2 ? a2 x ? ? ? a2 2 3 a a 2 2 2 由(1)知 h?( x) ? x ? ( ? a ) ? , ? 2 2 x?a?a x ? a ? a2 因为 x ? a ? a 2 ? 0 , 3 2 a 4 a3 2 我们考察函数 g ( x) ? x ? a x ? ? ? a2 , x ? ? a 2 ? a, a 2 ? a ? ? ?. 2 2 2 a2 ? a ? a2 ? a 3a 2 2 2 因 ? a 2 ? x对称轴 ? ?? ? a ? a, a ? a ? ?, 2 4
函数 h( x) ? f ( x) ? ( 所以 g ( x) ? g (a ? a ) ? 0 .
2

???????????10 分
2

从而知 h?( x) ? 0 在 x ? (a ? a, a ? a ) 上恒成立,
2

所以函数 h( x) ? f ( x) ? (

a2 ? a) x 在 x ? (a 2 ? a, a 2 ? a ) 内单调递减. 2
?????????????????12 分

从而原命题成立

(方法二)要证原不等式成立,只须证明 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ( x2 ? x1 )(

a2 ? a) , 2

a2 a2 只须证明 f ( x2 ) ? ( ? a ) x2 ? f ( x1 ) ? ( ? a ) x1 . 2 2 2 2 又 a ? a ? x1 ? x2 ? a ? a ,
设 g ?x ? ? f ?x ? ? ? ?

? a2 ? ? a? ?x , ? 2 ?
? a2 ? ? a? x 在x? ? a 2 ? a, a 2 ? a ? ? ? ? 内单调递减 ? 2 ?
??????8 分

则欲证原不等式只须证明函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ? ?

由(1)可知 g ?? x ? ? f ?? x ? ? ? ?

? a2 ? ? a2 ? a3 ? ? ? a? ? x ? ? ? a 2 ? ? x?a?a ? ? 2 ? ? 2 ?

? x ? a ? a2 ?

? a2 ? a3 2 ? ? a ? a ? ? a? 2 ? ?. x?a?a ? 2 ?
8

因为 a ? 0 ,所以 y ? x ? a ? a ?
2

a3 在? a 2 ? a, a 2 ? a ? 2 ? ? 上为增函数, x?a?a
2

所以 g ? ? x ? ? g ? a ? a ? a ? a ? a ? a ?
2 2
2 2

?

?

? a2 ? a3 2 ? a ? a ? ? ?a? ? 0. 2 2 a ?a?a?a ? 2 ?

从而知 g ?? x ? ? 0 在 x ? (a ? a, a ? a ) 上恒成立, 所以函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ? ? 从而原命题成立. 分

? a2 ? 2 2 ? a? ? x 在 x ? (a ? a, a ? a ) 内单调递减. 2 ? ?
???????12

9


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