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【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习讲义:第九章 9.6


§ 9.6

抛物线

1. 抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的集合叫作抛物线.点 F 叫作抛物线的焦点,直线 l 叫作抛物线的准线. 2. 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p

>0)

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形

顶点 对称轴 焦点 离心率 准线方程 范围 开口方向 p x=- 2 x≥0,y∈R 向右 p x= 2 x≤0,y∈R 向左 p ? F? ?2,0? y=0 p ? F? ?-2,0?

O(0,0) x=0 p? F? ?0,2? e=1 p y=- 2 y≥0,x∈R 向上 p y= 2 y≤0,x∈R 向下 p? F? ?0,-2?

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) a (2)方程 y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是( ,0),准线 4 a 方程是 x=- . 4 (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ( × ( × ) )

p p2 (4)AB 为抛物线 y2=2px(p>0)的过焦点 F( ,0)的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2= , 2 4 y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p. ( √ )

2. 设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是 1 1? A.? ?-2,2? C.[-1,1] 答案 C 解析 Q(-2,0),设直线 l 的方程为 y=k(x+2),代入抛物线方程,消去 y 整理得 k2x2+ (4k2-8)x+4k2=0, 由 Δ=(4k2-8)2-4k2· 4k2=64(1-k2)≥0, 解得-1≤k≤1. 3. (2012· 四川)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若 点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|等于 A.2 2 答案 B 解析 由题意设抛物线方程为 y2=2px(p>0), p p 则 M 到焦点的距离为 xM+ =2+ =3, 2 2 ∴p=2,∴y2=4x.
2 ∴y0 =4×2=8,

( B.[-2,2] D.[-4,4]

)

( D.2 5

)

B.2 3

C.4

∴|OM|= 4+y2 0= 4+8=2 3. 4. 动圆过点(1,0),且与直线 x=-1 相切,则动圆的圆心的轨迹方程为__________. 答案 y2=4x 解析 设动圆的圆心坐标为(x, y), 则圆心到点(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相等, 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2=4x. x2 y2 5. 若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合,则 p 的值为________. 6 2 答案 4 x2 y2 解析 因为椭圆 + =1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y2=2px 的焦点为(2,0),则 p= 6 2 4.

题型一 抛物线的定义及应用 例1 已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A(3,2),求|PA|+|PF| 的最小值,并求出取最小值时点 P 的坐标.

思维启迪 由定义知,抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d,求|PA| +|PF|的问题可转化为求|PA|+d 的问题. 解 将 x=3 代入抛物线方程 y2=2x,得 y=± 6. ∵ 6>2,∴A 在抛物线内部,如图. 1 设抛物线上点 P 到准线 l:x=- 的距离为 d,由定义知|PA|+|PF| 2 7 7 =|PA|+d,当 PA⊥l 时,|PA|+d 最小,最小值为 ,即|PA|+|PF|的最小值为 ,此时 P 点 2 2 纵坐标为 2,代入 y2=2x,得 x=2,∴点 P 的坐标为(2,2). 思维升华 与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线 的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点, 看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点, 则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到 该抛物线准线的距离之和的最小值为 A. 17 2 B.3 C. 5 9 D. 2 ( )

答案 A 1 解析 抛物线 y2=2x 的焦点为 F( ,0),准线是 l,由抛物线的定义知点 P 到焦点 F 的距 2 离等于它到准线 l 的距离,因此要求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到抛物线的准线的距离 之和的最小值, 可以转化为求点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到焦点 F 的距离之和的最小值, 结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点 F 到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于 1 17 ? ?2+?-2?2= ,选 A. 2 2 题型二 抛物线的标准方程和几何性质 例2 抛物线的顶点在原点, 对称轴为 y 轴, 它与圆 x2+y2=9 相交, 公共弦 MN 的长为 2 5, 求该抛物线的方程,并写出它的焦点坐标与准线方程. 思维启迪 首先确定方程的形式,根据条件列方程确定方程中的系数. 解 由题意,得抛物线方程为 x2=2ay (a≠0).

设公共弦 MN 交 y 轴于 A,N 在 y 轴右侧, 则|MA|=|AN|,而|AN|= 5. ∵|ON|=3,∴|OA|= 32-? 5?2=2,∴N( 5,± 2). 5 ∵N 点在抛物线上,∴5=2a· (± 2),即 2a=± , 2

5 5 故抛物线的方程为 x2= y 或 x2=- y. 2 2 5? 5 5 抛物线 x2= y 的焦点坐标为? ?0,8?,准线方程为 y=-8. 2 5? 5 5 抛物线 x2=- y 的焦点坐标为? ?0,-8?,准线方程为 y=8. 2 思维升华 (1)由抛物线的标准方程,可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及 p

的值,再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程. (2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在 方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数 p,只需一个条件就可以确 定抛物线的标准方程. (1)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A. 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为 A.y2=± 4x C.y2=4x B.y2=± 8x D.y2=8x ( )

(2)(2013· 江西)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于 点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|等于 A.2∶ 5 答案 解析 (1)B (2)C a a (1)直线方程为 y=2(x- ),令 x=0,得 y=- , 4 2 B.1∶2 C.1∶ 5 D.1∶3 ( )

1 a a a2 故有 4= · | |· |- |= , 2 4 2 16 ∴a=± 8, ∴y2=± 8x. (2)由抛物线定义知 M 到 F 的距离等于 M 到准线 l 的距离 MH. 即|FM|∶|MN|=|MH|∶|MN| =|FO|∶|AF|=1∶ 5. 题型三 抛物线焦点弦的性质 例3 设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在

抛物线的准线上,且 BC∥x 轴.证明:直线 AC 经过原点 O. 思维启迪 证直线 AC 经过原点 O,即证 O、A、C 三点共线,为此只需证 kOC=kOA.本题 也可结合图形特点,由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决. p 证明 方法一 设 AB:x=my+ ,代入 y2=2px, 2 得 y2-2pmy-p2=0.

p2 由根与系数的关系,得 yAyB=-p2,即 yB=- . yA p ∵BC∥x 轴,且 C 在准线 x=- 上, 2 p ∴C(- ,yB). 2 yB 2p yA 则 kOC= = = =kOA. p yA xA - 2 ∴直线 AC 经过原点 O. 方法二 如图,记准线 l 与 x 轴的交点为 E,过 A 作 AD⊥l,垂足为 D. 则 AD∥EF∥BC.连接 AC 交 EF 于点 N, 则 |EN| |CN| |BF| = = , |AD| |AC| |AB|

|NF| |AF| = . |BC| |AB| ∵|AF|=|AD|,|BF|=|BC|, ∴|EN|= |AD|· |BF| |AF|· |BC| = =|NF|, |AB| |AB|

即 N 是 EF 的中点,从而点 N 与点 O 重合,故直线 AC 经过原点 O. 思维升华 本题的“几何味”特别浓,这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的 证法中,关键是得到 yAyB=-p2 这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识, 这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视,也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析 几何题目. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A(x1,y1)、B(x2,y2)是过 F 的直线与 抛物线的两个交点,求证: p2 (1)y1y2=-p2,x1x2= ; 4 1 1 (2) + 为定值; |AF| |BF| (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 p (1)由已知得抛物线焦点坐标为( ,0). 2

p 由题意可设直线方程为 x=my+ ,代入 y2=2px, 2 p 得 y2=2p(my+ ),即 y2-2pmy-p2=0.(*) 2 则 y1、y2 是方程(*)的两个实数根,所以 y1y2=-p2.
2 2 2 2 因为 y2 1=2px1,y2=2px2,所以 y1y2=4p x1x2,

2 y2 p4 p2 1y2 所以 x1x2= 2 = 2= . 4p 4p 4

1 1 1 1 (2) + = + |AF| |BF| p p x1+ x+ 2 2 2 = x1+x2+p . p p2 x1x2+ ?x1+x2?+ 2 4

p2 因为 x1x2= ,x1+x2=|AB|-p,代入上式, 4 得 1 1 |AB| 2 + = = (定值). |AF| |BF| p2 p p2 p + ?|AB|-p?+ 4 2 4

(3)设 AB 的中点为 M(x0,y0),分别过 A、B 作准线的垂线,垂足为 C、 D,过 M 作准线的垂线,垂足为 N, 1 则|MN|= (|AC|+|BD|) 2 1 1 = (|AF|+|BF|)= |AB|. 2 2 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 题型四 直线与抛物线的位置关系 例4 已知抛物线 C:y=mx2(m>0),焦点为 F,直线 2x-y+2=0 交抛物线 C 于 A,B 两点, P 是线段 AB 的中点,过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q. (1)求抛物线 C 的焦点坐标. (2)若抛物线 C 上有一点 R(xR,2)到焦点 F 的距离为 3,求此时 m 的值. (3)是否存在实数 m,使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出 m 的值; 若不存在,说明理由. 思维启迪 抛物线上的点到抛物线的焦点距离,往往转化为该点到准线的距离. 解 1 1 (1)∵抛物线 C:x2= y,∴它的焦点 F(0, ). m 4m 1 1 1 ,∴2+ =3,得 m= . 4m 4m 4

(2)∵|RF|=yR+

?y=mx2, ? (3)存在,联立方程? ?2x-y+2=0, ?

消去 y 得 mx2-2x-2=0, 1 依题意,有 Δ=(-2)2-4×m×(-2)>0?m>- . 2
2 2 设 A(x1,mx1 ),B(x2,mx2 ),

?x +x =m, 则? 2 x =- , ?x · m
1 2 1 2 2 x1+x2 mx2 1+mx2 ∵P 是线段 AB 的中点,∴P( , ), 2 2

2

(*)

1 1 1 即 P( ,yP),∴Q( , ). m m m 1 1 1 1 → → 2 得QA=(x1- ,mx2 1- ),QB=(x2- ,mx2- ), m m m m 若存在实数 m,使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形, → → 则QA· QB=0, 1 1 1 1 2 即(x1- )· (x - )+(mx2 1- )(mx2- )=0, m 2 m m m 4 6 结合(*)化简得- 2- +4=0, m m 1 即 2m2-3m-2=0,∴m=2 或 m=- , 2 1 1 1 而 2∈(- ,+∞),- ?(- ,+∞). 2 2 2 ∴存在实数 m=2,使△ABQ 是以 Q 为直角顶点的直角三角形. 思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要

用到根与系数的关系; (2)有关直线与抛物线的弦长问题, 要注意直线是否过抛物线的焦点, 若过抛物线的焦点, 可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而 不求”“整体代入”等解法. 提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. 已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距 离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; →→ (2)是否存在正数 m, 对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A, B 的任一直线, 都有FA· FB <0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解 (1)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 P(x,y)满足: ?x-1?2+y2-x=1(x>0).

化简得 y2=4x(x>0). (2)设过点 M(m,0)(m>0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).

? ?x=ty+m, 设 l 的方程为 x=ty+m,由? 2 得 y2-4ty-4m=0, ?y =4x ?

Δ=16(t2+m)>0,
?y1+y2=4t, ? 于是? ? ?y1y2=-4m.



→ → 又FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2), →→ FA· FB<0? (x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0. y2 又 x= ,于是不等式②等价于 4
2 2 y2 y2 1 y2? 1 y2 + +1<0 · +y1y2-? ?4 4? 4 4



?

?y1y2?2 1 2 +y1y2- [?y1+y2? -2y1y2]+1<0. 16 4

③ ④

由①式,不等式③等价于 m2-6m+1<4t2.

对任意实数 t,4t2 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m2-6m+1<0,即 3-2 2<m<3+2 2. 由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都 →→ 有FA· FB<0,且 m 的取值范围是(3-2 2,3+2 2).

直线与圆锥曲线问题的求解策略 典例:(12 分)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 l 过 F 且与抛 物线 C 交于 M,N 两点,已知当直线 l 与 x 轴垂直时,△OMN 的面 积为 2(O 为坐标原点). (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰好 在 y 轴上,若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 思维启迪 (1)求 MN 的长,由面积得 p 的值; (2)问题的几何条件是:线段 MN 的中垂线与 y 轴的交点和 M,N 构成等腰直角三角形, 因此依次待定直线,表示中点,得中垂线与 y 轴交点,利用直角边垂直关系列式求解. 规范解答 解 (1)当直线 l 与 x 轴垂直时,则|MN|=2p,

1 p p2 ∴S△OMN= · 2p·= =2,即 p=2. 2 2 2 ∴抛物线 C 的方程为 y2=4x. (2)∵直线 l 与 x 轴垂直时,不满足.设正方形的第三个顶点为 P. 故可设直线 l:y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),P(0,y0),
?y=k?x-1?, ? 联立? 2 可化简得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, ? y = 4 x , ?

[4 分]

4 2k +4 ? ? 2 ?x1+x2= 2 , ?y1+y2=k, k + 2 2 k 则? 代入直线 l 可得 MN 的中点为( 2 , ),? k k ? ?x1x2=1. ?y1y2=-4, ? 2 1 2 则线段 MN 的垂直平分线为 y- =- (x-1- 2), k k k 3 2 故 P(0, + 3). k k → → 又PM· PN=0,则 x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=0. 即 x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+y2 0=0. 4 2 2 1-4-y0·+y0 =0,化解得 ky0 -4y0-3k=0, k 3 2 由 y0= + 3代入上式,化简得(3k4-4)(k2+1)=0. k k 解得 k=± 4 4 4 4 .∴存在直线 l:y=± (x-1). 3 3 [12 分] [8 分]

2

解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤: 第一步:联立方程,得关于 x 或 y 的一元二次方程; 第二步:写出根与系数的关系,并求出 Δ>0 时参数范 围(或指出直线过曲线内一点) 第三步:根据题目要求列出关于 x1x2,x1+x2 的关系 式,求得结果; 第四步:反思回顾,查看有无忽略特殊情况.

温馨提醒 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考 查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.(1)题比较基础,易于掌握;(2)题的基本点 是设而不求,难点是如何把几何条件转化为代数方程,重点考查解题思想与方法,其中 我们要习惯于把垂直关系转化为向量的数量积为零.

方法与技巧 1. 认真区分四种形式的标准方程 (1)区分 y=ax2 与 y2=2px (p>0),前者不是抛物线的标准方程. (2)求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为 y2=mx 或 x2=my(m≠0). 2. 抛物线的焦点弦:设过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1,y1),B(x2, y2),则: p2 (1)y1y2=-p2,x1x2= ; 4 (2)若直线 AB 的倾斜角为 θ,则|AB|= (3)若 F 为抛物线焦点,则有 失误与防范 1. 求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求 p 值,但首先要判断抛物线是否为标准方 程,以及是哪一种标准方程. 2. 注意应用抛物线的定义解决问题. 2p ; sin2θ

1 1 2 + = . |AF| |BF| p

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1 1. 抛物线 y=- x2 的焦点坐标是 2 1 A.(0, ) 8 1 C.(0,- ) 2 答案 C 解析 把原方程先化为标准方程 x2=-2y,则 2p=2, p 1 1 ∴ = ,即焦点坐标为(0,- ),故选 C. 2 2 2 y2 2. (2013· 四川)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2- =1 的渐近线的距离是 3 ( ) 1 B.(- ,0) 8 1 D.(- ,0) 2 ( )

1 A. 2 答案 B

B.

3 2

C.1

D. 3

解析 抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0), y2 双曲线 x2- =1 的渐近线是 y=± 3x,即 3x± y=0, 3 ∴所求距离为 | 3± 0| ? 3? +?± 1?
2 2



3 .选 B. 2

3. 已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为 A.x=1 C.x=2 答案 B p 解析 ∵y2=2px 的焦点坐标为( ,0), 2 p ∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x- , 2 p 即 x=y+ ,将其代入 y2=2px,得 y2=2py+p2, 2 即 y2-2py-p2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2), y1+y2 则 y1+y2=2p,∴ =p=2, 2 ∴抛物线的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. 4. 已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 值一定等于 A.-4 答案 A 解析 ①若焦点弦 AB⊥x 轴, p p2 则 x1=x2= ,则 x1x2= ; 2 4 ②若焦点弦 AB 不垂直于 x 轴, p 可设 AB:y=k(x- ), 2 p2k2 p2 联立 y2=2px 得 k2x2-(k2p+2p)x+ =0,则 x1x2= . 4 4 p2 y1y2 即 x1x2= ,则 y1y2=-p2.故 =-4. 4 x1x2 B.4 C .p
2

(

)

B.x=-1 D.x=-2

y1y2 的 x1x2 )

( D.-p
2

p p2 5. 如图,抛物线 C1:y2=2px 和圆 C2:(x- )2+y2= ,其中 p>0,直线 2 4 → → l 经过 C1 的焦点,依次交 C1,C2 于 A,B,C,D 四点,则AB· CD的值 为 A.p2 p2 C. 2 答案 B 解析 设抛物线的焦点为 F,A(x1,y1),D(x2,y2), p p 则|AB|=|AF|-|BF|=x1+ - =x1, 2 2 同理|CD|=x2. p2 → → 又AB· CD=|AB||CD|=x1· x2= . 4 二、填空题 6.若点 P 到直线 y=-1 的距离比它到点(0, 3)的距离小 2, 则点 P 的轨迹方程是__________. 答案 x2=12y 解析 由题意可知点 P 到直线 y=-3 的距离等于它到点(0,3)的距离,故点 P 的轨迹是 以点(0,3)为焦点,以 y=-3 为准线的抛物线,且 p=6,所以其标准方程为 x2=12y. 7.已知过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、 B 两点, |AF|=2, 则|BF|=________. 答案 2 解析 设 A(x0,y0),由抛物线定义知 x0+1=2, ∴x0=1,则直线 AB⊥x 轴,∴|BF|=|AF|=2. p B. 4
2

(

)

p2 D. 3

8. 已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线为 l,过 M(1,0)且斜率为 3的直线与 l 相交于点 A, 与 C 的一个交点为 B,若 AM =M B ,则 p=________. 答案 2 解析 如图,由 AB 的斜率为 3, 知∠α=60° ,又 AM =M B , ∴M 为 AB 的中点.









过点 B 作 BP 垂直准线 l 于点 P, 则∠ABP=60° ,∴∠BAP=30° . 1 ∴|BP|= |AB|=|BM|. 2 p ∴M 为焦点,即 =1,∴p=2. 2 三、解答题 9. 如图,已知抛物线 y2=2px (p>0)有一个内接直角三角形,直角顶点 在原点,两直角边 OA 与 OB 的长分别为 1 和 8,求抛物线的方程. 解 设直线 OA 的方程为 y=kx,k≠0,

1 则直线 OB 的方程为 y=- x, k
? ?y=kx, 2p 由? 2 得 x=0 或 x= 2 . k ? ?y =2px,

2p 2p? 2 ∴A 点坐标为? ? k2 , k ?,同理得 B 点坐标为(2pk ,-2pk), k +1 ? ?4p2 4 =1, ① k 由|OA|=1,|OB|=8,可得? ?4p2k2?k2+1?=64, ② ? 16 4 ②÷ ①解方程组得 k6=64,即 k2=4.则 p2= 2 2 = . k ?k +1? 5 2 5 4 5 又 p>0,则 p= ,故所求抛物线方程为 y2= x. 5 5 10.(2013· 福建)如图,抛物线 E:y2=4x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点 为 A.点 C 在抛物线 E 上,以 C 为圆心,|CO|为半径作圆,设圆 C 与 准线 l 交于不同的两点 M,N. (1)若点 C 的纵坐标为 2,求|MN|; (2)若|AF|2=|AM|· |AN|,求圆 C 的半径. 解 (1)抛物线 y2=4x 的准线 l 的方程为 x=-1.
2

由点 C 的纵坐标为 2,得点 C 的坐标为(1,2), 所以点 C 到准线 l 的距离 d=2,又|CO|= 5, 所以|MN|=2 |CO|2-d2=2 5-4=2. y2 0 (2)设 C( ,y0),则圆 C 的方程为 4
4 y2 y0 0 2 (x- )2+(y-y0)2= +y0 , 4 16

y2 0 即 x2- x+y2-2y0y=0. 2

y2 0 由 x=-1,得 y2-2y0y+1+ =0, 2 设 M(-1,y1),N(-1,y2),则

? ? y ?y y = 2 +1.
1 2 2 0

y2 0 2 2 Δ=4y0 -4?1+ ?=2y0 -4>0, 2

由|AF|2=|AM|· |AN|,得|y1y2|=4, y2 0 所以 +1=4,解得 y0=± 6,此时 Δ>0. 2 3 3 所以圆心 C 的坐标为( , 6)或( ,- 6), 2 2 从而|CO|2= 33 33 33 ,|CO|= ,即圆 C 的半径为 . 4 2 2 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) → → → → 1. 设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA| → → +|FB|+|FC|等于 A.9 答案 B 解析 设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),又 F(1,0). → → → 由FA+FB+FC=0 知(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0, 即 x1+x2+x3=3, 3 → → → |FA|+|FB|+|FC|=x1+x2+x3+ p=6. 2 2. 已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,过抛物线 C 上的点 A 作准线 l 的垂线,垂 足为 M,若△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 3∶1,则点 A 的坐标为 ( A.(2,2 2) C.(2,± 2) 答案 D 解析 如图所示,由题意, 可得|OF|=1,由抛物线的定义, 得|AF|=|AM|, ∵△AMF 与△AOF(其中 O 为坐标原点)的面积之比为 3∶1, B.(2,-2 2) D.(2,± 2 2) ) B.6 C.4 D.3 ( )

1 ×|AF|×|AM|×sin∠MAF 2 S△AMF ∴ = =3, S△AOF 1 ×|OF|×|AF|×sin?π-∠MAF? 2 y2 0 ? ∴|AF|=|AM|=3,设 A? ? 4 ,y0?,
2 y0 ∴ +1=3,解得 y0=± 2 2. 4 2 y0 ∴ =2,∴点 A 的坐标是(2,± 2 2). 4

3. (2012· 安徽)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若 |AF|=3,则△AOB 的面积为 A. 2 2 B. 2 3 2 C. 2 D.2 2 ( )

答案 C 解析 如图所示, 由题意知,抛物线的焦点 F 的坐标为(1,0), 又|AF|=3, 由抛物线定义知:点 A 到准线 x=-1 的距离为 3, ∴点 A 的横坐标为 2. 将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8, 由图知点 A 的纵坐标 y=2 2, ∴A(2,2 2),∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1).

?y=2 2?x-1?, 联立直线与抛物线的方程? 2 ?y =4x,
1 ? ?x=2, ?x=2, 1 ,- 2?, 解之得? 或? 由图知 B? 2 ? ? y = 2 2. ? ? ?y=- 2 1 1 ∴S△AOB= |OF|· |yA-yB|= ×1×|2 2+ 2| 2 2 = 3 2.故选 C. 2

4. 已知直线 l1:4x-3y+11=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是________. 答案 3 解析 因为 x=-1 恰为抛物线 y2=4x 的准线, 所以可画图观察.如图,连接 PF

d2=PF,∴d1+d2=d1+PF≥FQ = |4×1-3×0+11| 15 = =3. 5 42+?-3?2

5. 如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A,B, 交其准线 l 于点 C,若 BC=2BF,且 AF=3,则此抛物线的方程为 ________. 答案 y2=3x 解析 如图,分别过 A,B 作 AA1⊥l 于 A1,BB1⊥l 于 B1, 由抛物线的定义知 AF=AA1,BF=BB1, ∵BC=2BF,∴BC=2BB1, ∴∠BCB1=30° ,∴∠AFx=60° . 则△AA1F 为等边三角形, 过 F 作 FF1⊥AA1 于 F1, 则 F1 为 AA1 的中点, 设 l 交 x 轴于 K, 1 1 3 则 KF=A1F1= AA1= AF,即 p= , 2 2 2 ∴抛物线方程为 y2=3x. 6. 抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点. → → (1)若AF=2FB,求直线 AB 的斜率; (2)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C,求四边形 OACB 面积的 最小值. 解 (1)依题意知 F(1,0),设直线 AB 的方程为 x=my+1.

将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立,消去 x 得 y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),所以 y1+y2=4m,y1y2=-4. → → 因为AF=2FB,所以 y1=-2y2. 2 联立①和②,消去 y1,y2,得 m=± . 4 所以直线 AB 的斜率是± 2 2. (2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称,得 M 是线段 OC 的中点, 从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等, 所以四边形 OACB 的面积 等于 2S△AOB. 1 因为 2S△AOB=2× · |OF|· |y1-y2| 2 = ?y1+y2?2-4y1y2=4 1+m2, 所以当 m=0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值是 4. ① ②


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