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公开课一轮复习:极坐标与参数方程


一轮复习

选修4-4

第十四篇

极坐标与参数方程

1 了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系 伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
2 了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用 极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角 坐标的互化. 3 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的 直线、过

极点或圆心在极点的圆)表示的极 坐标方程.

4 了解参数方程,了解参数的意义. 5 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥 曲线的参数方程.

高考中只考一道题

选做题23题(10分)

基础知识
1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴 正半轴作为极轴,且在两坐标系中取 相同的长度单位. 设 M 是平面内的任 意一点,它的直角坐标、极坐标分别 为(x,y)和(ρ,θ),则 ρ2=x2+y2 x=ρcos θ , tan θ= y(x≠0) y=ρsin θ x

ρ

.

基础知识
2.圆的参数方程 圆 心 在 点 M(x0 , y0) , 半 径 为 r 的 圆 的 参 数 方 程 为 x=x0+rcos θ, (θ为参数,0≤θ≤2π). y=y0+rsin θ 3.圆锥曲线的参数方程 x=acos θ x2 y2 (1)椭圆 2+ 2=1 的参数方程为 (θ为参数 ). y=bsin θ a b x=asec θ x2 y2 (2)双曲线 2- 2= 1 的参数方程为 (θ为参数). a b y=btan θ 2 x = 2 pt (3)抛物线 y2=2px(p>0)的参数方程为 (t 为参数). y=2pt

基础知识
4.直线的参数方程 过定点 M(x0,y0),倾斜角为α的直线 l 的参数方程为 x=x0+tcos α, (t 为参数). y=y0+tsin α y

M(x,y)

注意:直线参数方程
中参数t的绝对值等于 直线上动点M到定点M0 的距离 |t|=|M M|
0

M0(x0,y0)

? O

x
9

例一
(2011· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆
?x= 5cos φ, ? ? ? ?y= 3sin φ



?x= 4- 2t, ? 为参数)的右焦点,且与直线? ? ?y= 3- t

(t 为参数)平行的直线的普通方程.



由题设知,椭圆的长半轴长 a=5,短半轴长 b=3,

从而 c= a2-b2=4,所以右焦点为(4,0). 将已知直线的参数方程化为普通方程:x-2y+2 =0. 1 1 故所求直线的斜率为2,因此其方程为 y=2(x-4), 即 x-2y-4=0.

练习一
(2011.湖南)

极坐标方程ρ=(sinθ+cosθ) 表示的曲线是( A ) A.圆 B .椭圆 C.双曲线 D.抛物线

练习二
(2010· 广东)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sin θ 与 ρcos
3π? 2, 4 ? ? θ=-1 的交点的极坐标为________ .
? ? ?

解析 曲线 ρ=2sin θ 化为直角坐标系方程为 x2+y2-2y=0. 由 ρcos θ=-1 可化为 x=-1.将 x=-1 代入 x2 +y2-2y=0 得 x =- 1 , y = 1 ,因此交点的直角坐标为 ( - 1,1) ,化为极坐标为 ? 3π? ? 2, ?. 4? ?

练习三
(2011· 陕西)在直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 的 正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1:
? ?x= 3+ cos θ, ? ? ?y= 4+ sin θ

(θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,则 AB 的

最小值为________.

3

解析 ∵C1:(x-3)2+(y-4)2=1,C2:x2+y2=1, ∴两圆心之间的距离为 d= 32+42=5. ∵A∈曲线 C1,B∈曲线 C2, ∴ABmin=5-2=3.

例二
(2009· 宁夏理 )已知曲线 线 C2:
?x=- 4+ cos ? C1:? ? ?y= 3+ sin t

t,

(t 为参数),曲

?x= 8cos θ, ? ? ? ?y= 3sin θ

(θ 为参数).

(1)化 C1, C2 的方程为普通方程, 并说明它们分别表示什么 曲线; π (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为 C2 上的动点, 2 ? ?x= 3+ 2t, ? 求 PQ 中点 M 到直线 C3: (t 为参数)距离的最 ? ?y=- 2+ t 小值.

练习四
(2011.辽宁)
已知直线的极坐标方程为
?x= 2cos θ, ? 程? ? ?y=- 2+ 2sin θ ? π? ρsin?θ+ ?= 4? ?

2 ,圆 M 的参数方 2

(其中 θ 为参数), 极点在直角坐标原点,

极轴与 x 轴正半轴重合. (1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求圆 M 上的点到直线的距离的最小值.



(1)极点为直角坐标原点 O, ? π? 2 ∵ρsin?θ+4 ?= 2 , ? ? ? 2 ? 2 2 ? ? ∴ρ? sin θ+ cos θ ?= 2 , 2 ? 2 ? ∴ρsin θ+ρcos θ=1,可化为直角坐标方程:x+y-1=0.
(2) 将圆的参数方程化为普通方程: x2 + (y+ 2)2= 4 ,圆心为 M(0,-2),半径 r= 2. ∴点 M 到直线的距离为 |0-2-1| 3 3 2 d= = = , 2 2 2 3 2- 4 ∴圆上的点到直线距离的最小值为 . 2

高考题赏析
(2011· 课标全国)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1
?x= 2cos α, ? 的参数方程为? ? ?y= 2+ 2sin α.

(α 为参数)

→ =2OM → ,P 点的轨迹为曲 M 是 C1 上的动点, P 点满足OP
线 C2. (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射 π 线 θ= 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的 3 交点为 B,求 AB.

高考题赏析
(2010· 课标全国 )已知直线 数 ),圆
? ?x= 1+ tcos C1:? ? ?y= tsin α

α,

(t 为参

π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中 点,当 α 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什 么曲线.

?x= cos θ, ? C2:? ? ?y= sin θ

(θ 为参数).

作业

练习手册P314 第一节练习


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