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高中数学奥林匹克竞赛介绍


数学竞赛是发现人才的有效手段之一。一些重大数学竞赛的优胜者, 大多在他们后来的事业中卓有建树。因此,世界发达国家都十分重视数学竞赛 活动。十余年来,我国中学数学竞赛活动蓬勃发展,其影响越来越大,特别是 我国中学生在影响最大、 水平最高的国际数学奥林匹克竞赛中, 多次荣登榜首, 成绩令世人瞩目,充分显示了中华民族的聪明才智和数学才能。 了解国际赛史,熟悉国内赛况,认识数赛意义是必要

的,也是有益的。 国际赛史 [top] 在世界上,以数为内容的竞赛有着悠久的历史:古希腊时就有解几何难题 的比赛; 我国战国时期齐威王与大将田忌的赛马, 实是一种对策论思想的比赛; 到了 16、17 世纪,不少数学家喜欢提出一些问题向其他数学家挑战,有时还 举行一些公开的比赛,方程的几次公开比赛,赛题中就有最著名的费尔玛大定 理:在整数 n≥3 时,方程 没有正整数解;……

近代的数学竞赛,仍然是解题的竞赛,但主要在学生(尤其是高中生)之 间进行。目的是为了发现与培育人才。 现代意义上的数学竞赛是从匈牙利开始的。1894 年,为纪念数理学会主席 埃沃斯荣任教育大臣,数理学会通过一项决议:举行以埃沃斯命名的,由高中 学生参加的数学竞赛,每年十月举行,每次出三题,限 4 小时完成,允许使用 任何参考书, 试题以奥妙而奇特的形式见长, 一般都有富创造特点的简明解答。 在埃沃斯的领导下,这一数学竞赛对匈牙利的数学发展起了很大的作用,许多 卓有成就的数学家、科学家是历届埃沃斯竞赛的优胜者,如 1897 年弗叶尔、 1898 年冯卡门等。 受到匈牙利的影响, 数学竞赛在东欧各国蓬勃开展: 1902 年罗马尼亚, 1934 年前苏联,1949 年保加利亚,1950 年波兰,1951 年前捷克斯洛伐克,……相 继进行了数学竞赛。 把中学生的数学竞赛命名为“数学奥林匹克”的是前苏联,采用这一名称

的原因是数学竞赛与体育竞赛有着许多相似之处,两者都崇尚奥林匹克精神。 竞赛的成果使人们意外地发现,数学竞赛的强国往往也是体育竞赛的强国,这 给了人们一定的启示。 1934 年在列宁格勒,1935 年在莫斯科,有关的国立大学分别组织了地区性 的数学竞赛,并称之为“中学数学奥林匹克”。当时,莫斯科的著名数学家都 参加了这一工作。前苏联的数学奥林匹克分为五级:学校奥林匹克,县奥林匹 克,地区奥林匹克,共和国奥林匹克,全国奥林匹克,再选出参加国际数学奥 林匹克的六名代表。 对国际间组织数学竞赛最热心的是罗马尼亚的教授罗曼。经过他的积级策 划,1959 年 7 月,第一届国际数学奥林匹克(简称 IMO)在罗马尼亚古都布拉 索举行,拉开了国际数学竞赛的帷幕。当时参加竞赛的学生共 52 名,分别来 自东欧的罗马尼亚、保加利亚、匈牙利、波兰、前捷克斯洛伐克、前德意志民 主共和国和前苏联等 7 个国家。 每个国家有 8 名队员, 前苏联只派了 4 名队员。 以后(除 1980 年由于东道主蒙古经费困难而暂停)每年举行一次,到 1990 年 在我国举办第 31 届时,已发展到 54 个国家和地区的 308 名选手。到 1995 年 在加拿大举办第 36 届时,双增加到 73 个国家和地区,400 多名选手。 IMO 的运转方式已经制度化,其竞赛章程规定: (1)一年一度的 IMO 的东道国由参赛国(或地区)轮流担任,所需经费由东 道国负担,整个活动由东道国出任主席,由各国领队组成的主试委员会主持, 试题和解答由参赛国提供,每国 3~5 题(也可不提供),东道国不提供试题, 而由东道国组成选题委员会,对各国提供的试题进行评议与初选,主要考虑试 题是否与以往的试题重复,并把试题按代数、数论、几何、组合数学、组合几 何等分类,确定试题难度(A、B、C 三级),选择 30 题左右。如果这些题有新 解法的话,还要求提供原解法以外的解答,译成英文供主试委员选用。 (2)每个参赛团组织一个参赛队, 成员不超过 8 人, 其中队员不超过 6 人 (是 中学或同等级学校学生),正、副领队各 1 人,考试分两天两试,每试 3 题, 每试 4.5 小时,每题 7 分,所以每个选手的最高得分是 42 分。

(3)IMO 的官方用语为英、法、德、俄语,而参赛国大约需要 26 种文字,届 时由各领队把试卷译成本国语言,并经协调委员会认可。度卷先由各国的正、 副领队评判,再与协调委员会协商(每个协调员负责一个试题的评分),如有 分歧,由主试委员会仲裁,协商工作是在信任与友好的气氛中进行的。 (4)IMO 的获奖人数约占参赛人数的一半,评奖根据分数段评出一、二、三 等奖获得者,其比例平均为 1:2:3。此外,主试委员会还可因在某个 试题上作出了非常漂亮(指思路简捷巧妙,有独创性)或在数学上有意 义的解答的学生给予特别奖。 为避免再次出现 1980 年那样的中断, IMO 设立一个专门的委员会 (有的译为场所委员会)负责确定各届的东道主。 1991—2001 年的东道 主已经过协商基本上排妥。 按 IMO 的规定,每一届的东道主必须向上一届的所有参赛国发出 邀请, 而新参加的国家则应当向东道主表明参加的意愿, 再由东道主发出邀请。 东欧外的国家中, 第一个加入的是芬兰(1965 年第 7 届), 接着法国、 英国、 意大利、瑞典、荷兰等也都在 60 年代陆续加 入。1974 年,美国、越南加入。此后,参加国逐年增加,并遍布欧、 美、亚、非及大洋洲,IMO 才成为名副其实的全球性的数学大赛。 1988 年第 29 届,根据香港的建议,IMO 首次设立了荣誉奖,奖给 那些虽然未得金、银、铜牌,但至少有一道题得满分的选手。这一措 施,大大调动了各参赛国及其参赛选手的积极性。 IMO 的精神就是奥林匹克精神: “重要的不在于取胜, 而在于参加。 ” 据此,自 1983 年第 24 届以来,虽然每一个代表队(6 个人为组员)都计 算自己的总分,且知道按总分的顺序排在多少名,但组织委员会不向 团体优胜者颁奖,因为 IM()只是个人的竞赛,不是团体的竞赛。 1981 年第 22 届,美国是 IMO 的东道主。美国数学奥林匹克委员会 主席格雷策发信邀请我国参加,中国数学会复信同意参加,后因故未

能成行,只派了当时在美的访问学者作为观察员参加了。 到了 1984 年,在宁波召开的中国数学会首次普及工作会议上,确定 1985 年 派两名选手参加第 26 届 IMO,以了解情况、取得经验。由于选拔时间仓促, 只指派了北京、上海各 1 名优秀学生参加。结果有 1 人得三等奖,两人平均成 绩与以色列第 17 位,两人总分则排在 32 位。1986 年起,我国均派 6 名选手参 赛。 我国选手的辉煌成绩, 极大地激发了千百万中学生学习科学文化知 识的热情,也极大地增强了中国人的民族自豪感。 国内赛况 [top] 我国的数学竞赛起步不算晚。解放后,在华罗庚教授等老一辈数学家的倡 导下,从 1956 年起,开始举办中学数学竞赛,在北京、上海、福建、天津、 南京、武汉、成都等省、市都恢复了中学数学竞赛,并举办了由京、津、沪、 粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛;1979 年,我国大陆上的 29 个省、市、 自治区全部举办了中学数学竞赛。此后,全国各地开展数学竞赛的热情有了空 前的高涨。1980 年,在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上,确定将数 学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作,每年 10 月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。同时,我国数学界也 在积极准备派出选手参加国际数学奥林匹克的角逐。1985 年,开始举办全国初 中数学联赛;1986 年,开始举办“华罗庚金杯”少年数学邀请赛;1991 年, 开始举办全国小学数学联赛。 现在.我国的高中数学竞赛分三级:每年 10 月中旬的全国联赛;次年一月的 CMO(冬令营);次年三月开始的国家集训队的训练与选拔。 对我国中学影响较大的还有美国中学生数学竞赛。该赛也分三轮进行:美国 中学数学竞赛(AHSME),考试形式是 30 道选择题,要求 90 分钟内完成;美国 数学邀请赛(AIMS),考 15 道空题,答案均为不超过 999 的正整数,要求 3 个 小时内完成; 国数学奥林匹克(USAMO), 这是美国国内水平最高的数学赛活动, 每次考 5 道题,3.5 小时内完成。

为使我国的数学竞赛活动能广泛而有序、深入而持久地开做好各级各类数学 竞赛的培训选拔工作,国内采取了一系列有效措施。首先是创造数学竞赛的良 好场景;中小学组织各年的教学兴趣小组活动,做到定时间、定地点、定辅导 教师、定辅内容;对一些数学“苗子”开办数学奥林匹克业余学校,有计划给 以强化性的辅导与培训。其次是增强数学竞赛的辅导力量;各级数学奥林匹克 教练员队伍,不断提高这支队伍的辅导与教练素质。再次是优化数学竞赛的辅 导体系;编写与出版基础性的数学竞赛培训教材或辅导读物,收集与整理国内 外数学竞赛资料,研究与提炼数学竞赛题的解题思想方法及技能技巧,健全与 完善数学竞赛的选拔机制及辅导方式。 “全国小学数学奥林匹克”(创办于 1991 年),它是一个“普及型、大众化” 的活动,分为初赛(每年 3 月)、 夏令营(每年暑期)。 “全国初中数学联赛”(创办于 1984 年),采用“轮流做东”的形式由各 省、市、自治区数学竞赛组织机构具体承办,每年 4 月举行,分为一试和二试。 “全国高中数学联赛”(创办于 1981 年),承办方式与初中联赛相同,每 年 10 月举行,分为一试和二试,在这项竞赛中取得优异成绩的全国约 90 名学 生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数 学冬令营“(每年元月)。 在“普及的基础上不断提高”的方针指引下,全国数学竞赛活动方兴未 艾,特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩,使广 大中小学师生和数学工作者为之振奋,热忱不断高涨,数学竞赛活动进入一个 新的阶段,为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展,应广大中 学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求,特制定《数学竞赛大纲》以适应当 前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的“全日制中学数学教学大纲”的精神和基 础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出;“要培养学生对数学的兴 趣,激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是:“对学有 余力的学生,要通过课外活动或开设选修课等多种方式,充分发展他们的数学 才能”,“要重视能力的培养……,着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力

和空间想象能力,要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、 类比等重要的思想方法。同时,要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的最低要求。在 竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力,特别是方法与技巧掌握 的熟练程度,有更高的要求。而“课堂教学。为主,课外活动为辅”是必须遵 循的原则。 因此, 本大纲所列的课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况, 分阶段、分层次让学生逐步地去掌握,并且要贯彻“少而精”的原则,这样才 能加强基础,不断提高。 — 试

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲,完全按照全日制中学《数学教学大纲》 中所规定的教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方法的要求 上略有提高,其中概率和微积分初步不考。 二 试

1.平面几何 基本要求:掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求:面积和面积方法。 几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值:到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。到三角 形三顶点距离的平 方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理:

在周长一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的面积最大。 在周长一定的筒单闭曲线的集合中,圆的面积最大。 在面积一定的 n 边形的集合中,正 n 边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小。 几何中的运动:反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法*。 平面凸集、凸包及应用。 2.代 数

在一试大纲的基础上另外要求的内容: 周期函数与周期,带绝对值的函数的图像。 三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式。 第二数学归纳法。 递归,一阶、二阶递归,特征方程法。 函数迭代,求 n 次迭代*,简单的函数方程*。 n 个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用。 复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用。 圆排列,有重复的排列与组合。简单的组合恒等式。 一元 n 次方程(多项式)根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对 定理。 简单的初等数论问题,除初中大纲中斯包括的内容外,还应包括无穷递降

法,同余,欧几里 得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数[x],费马小定理,欧拉函数*, 孙子定理*,格点及其质。 3.立体几何 多面角,多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体,欧拉定理。 体积证法。 截面,会作截面、表面展开图。 4.平面解析几何 直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用。 二元一次不等式表示的区域。 三角形的面积公式。 圆锥曲线的切线和法线。 因的幂和根轴。 5.其 它 容斥原理。 极端原理。 集合的划分。 覆盖。

抽屉原理。

注:全国高中数学联赛的二试命题的基本原则是向国际数学奥林匹克靠 拢,总的精神是比高中 数学大纲的要求略有提高,在知识方面略有扩展,适当增加一些课堂上没有的 内容作为课外活动

或奥校的讲授内容。 对教师和教练员的要求是逐步地掌握以上所列内容,并根据学生的具体情 况适当地讲授。 有*号的内容二试中暂不考,但在冬令营中可能考。


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