1.4.2《三角函数的图像和性质》(人教A版必修4)

1.4.2《三角函数的图像和性质》 （人教版A必修4）

知识探究(一）：正弦函数的周期性

观察正弦函数的图象是否具有周期现象？

?。

知识探究(二）：走近周期函数) x值都有 定义在R上的函数(fx(? ),)对于任意 f x 0 ? f (x
那么2T是它的周期吗？ 当x取

定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),
这个函数的周期. ?
思考 ?

?对任意函数都有

f ( x ? 4) ? f 思考：若T是f ( 4是f ( x)的周期？ ( x)成立, 能否说x)的周期， 2 2 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得

?

自学34页内容了解周期函数概念? 1 1

那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做
? ? 等式 s in( ? x ) ? s in 成立吗? 注：如果在周期函数f (2)的所有周期中存在一个 4 4

最小正数，那么这个最小正数就叫做f ( x)的 最小正周期。

知识探究(三）：认识正余弦函数的周期
2k? , k ? z x (1)函数 y ? sin x， ? R 的周期为_____________, 2? 最小正周期为_______.

2k? , k ? z (2)函数 y ? cos x ， ? R 的周期为______________ x 2? 最小正周期为________.

理论迁移
例1 求下列三角函数的周期：

1） y ? 3 cos x, x ? R
2) y ? sin 2 x, x ? R

周期只与x

的系数有关

1 ? 3) y ? 2 sin( x ? ), x ? R 2 6

变式练习 求下列函数的周期

能否将它推广到一般情况呢？

即求y ? A sin(?x ? ? )的周期呢

(1) y ? s in(x ?

?
6

), x ? R

(3) y ? 3sin(

(2) y ? cos 2 x, x ? R 1 ?
2 x? 5
题号 x的系数 （1） 1 （2） 2

)-1, x ? R
（3）

周期T

2?

?

4?

1 2

知识探究(四）：认识正弦型函数的周期 ?小组合作交流探究36页正弦型函数的周期 规律。

函数 y ? A sin(? x ? ? ) , x ? R 其中 A, ?, ? 为常 数，且 A ? 0 , ? ? 0 ）的周期与自变量系数的关系。
T? 2? (? ? 0)

?

限时抢答

?1、每组商议后推荐一名组员作答，以谁先举手(站起 ?身来）优先。

?2、每道题答对得50分，答错扣50分，每队给予为100

基础分。 ?3、小组成员活动期间可多次参与答题。 ?4、最后以小组得分最高获胜。
?

限时抢答

(1)函数y ? 3 sin x的最小正周期为___。

T ? 2?

限时抢答

3 （2）函数 y ? cos x 的最小正周期为： 4

8 T? ? 3

?限时抢答

(3)函数y ? cos(4 x ? )的最小正周期 ____。 6

?

T?

?
2

?限时抢答

1 ? （4）函数 y ? 2 sin( x ? )的最小正周期为： 3 4

T ? 6?

?限时抢答

? （5）函数 y ? 4 sin(?x ? ) (? ? 0) 的最小正 4
周期为

?,则 ? ? ____.
??2

?限时抢答

(6)已知定义在R上的函数f ( x)的周期为3， 且f (2) ? ?4, 则f (5) _______ 。
-4

?当堂检测

（1）下列函数中，最小正周期是 ? 的函数是（
C、y ? cos x
1 A、y ? sin x 2 2 D、y ? cos 2 x B、y ? cos

?

）

（2）函数 y ? sin ? x 的最小正周期为_____。 ? ? （3）已知函数 y ? sin(? x ? ), ? ? 0 的周期为 3 ，则 3

? ? ___

?小

结

(1)周期函数、周期及最小正周期的概念.
(2)正（余）弦函数的周期.
(3)求函数周期的方法： 定义法 ① ② 公式法

（4）数学思想和方法：① 数形结合 ② 整体代换 ③ 从特殊到一般

?课后反馈

（1）P56 练习5、6 （2）P58习题4． 8 3

?课后探究

(1)函数y ? A sin(?x ? ? ), x ? R, 及函数y ? A cos(?x ? ? ) (其中A, ? , ?为常数，且A ? 0，? ? 0)的周期与自变 量x的系数有何关系。
y ? A cos( x ? ? ), x ? R周期的方法是否能推广 ? 求一般周期函数的周期上去？即命题：“如果 函数y ? f（x)的周期是T，那么函数y ? f (?x) 的周期是 T

（2）你认为函数y ? A sin(?x ? ? ), x ? R及函数

?

”是否成立？