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成才之路·人教A版数学选修课件2-3 1.1 第2课时


成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
计数原理

第一章

计数原理

成才之路 · 高中新课程 · 学

习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3

第一章
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第2课时 两个基本原理的应用

第一章

计数原理

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1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

巩固提高学案

4

备 选 练 习

第一章

1.1

第2课时

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自主预习学案

第一章

1.1

第2课时

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1.能根据具体问题特征,选择分类加法计数原理或分步乘 法计数原理解决一些简单的实际问题,从而发展学生的思维能 力,培养学生分析问题和解决问题的能力. 2.能正确区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理.

第一章

1.1

第2课时

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重点:两个基本原理的应用.

难点:正确区分分类和分步.

第一章

1.1

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新知导学

1 .用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始
计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步. 加法 原理时,要注意“类”与“类”之间的独立 应用 _______

性和并列性,各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成;
乘法 原理时,要注意“步”与“步”之间是连续的, 应用 _______ 做一件事需分成若干个互相联系的步骤,所有步骤依次相继完 成,这件事才算完成.

第一章

1.1

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2 .分类要做到 __________ 不重不漏 ,分类后再分别对每一类进行 分类加法计数原理 求和,得到总数. 计数,最后用___________________ 步骤完整 ,步与步之间要 __________ 相互独立 , 3 .分步要做到 __________ 根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘得到总

数.

第一章

1.1

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牛刀小试
1 .在 2、3 、 5、7、 11这五个数字中,任取两个数字组成 分数,其中假分数的个数为( A.20 C.5 ) B.10 D.24 假分数的分子不小于分母.故以 2 为分母的有 4

[答案] B
[ 解析 ] 个;以3 为分母的有 3个;以 5 为分母的有 2 个;以 7 为分母的只 有1个.由加法原理知共有4+3+2+1=10个.

第一章

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2.(2013·陕西宝鸡中学高二期末)图书馆的书架有三层,
第一层有3本不同的数学书,第二层有5本不同的语文书,第三 层有8本不同的英语书,现从中任取一本书,共有( 的取法.( A.120 ) B.16 )种不同

C.64
[答案] B [解析] 16种.

D.39
由分类加法计数原理知,共有不同取法3+5+8=

第一章

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3 .乒乓球队有男运动员 7人,女运动员 6 人,从中选一人 担任队长有________种方案;派出两人参加男、女混合双打比 赛有________种选派方案. [答案] 13 42

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典例探究学案

第一章

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数字问题
由 1、2、3、4 可以组成多少个自然数(数字可以 重复,最多只能是四位数)?

[分析]

解答本题应抓住几个关键点:一是组成的自然数

没有限定位数,故可按位数“分类”;二是数字可以重复使
用;三是一个多位数只有各位上的数字都完成之后,这件事情 才算完成,即按组成数的过程“分步”.

第一章

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[解析] 组成的自然数可以分为以下四类:
第一类:一位自然数,共有4个; 第二类:二位自然数,又可分两步来完成,先取出十位上 的数字,再取出个位上的数字,共有4×4=16(个); 第三类:三位自然数,又可分三步来完成.每一步都可以

从4个不同的数字中任取一个,共有4×4×4=64(个);
第四类:四位自然数,又可分四步来完成.每一步都可以 从4个不同的数字中任取一个,共有4×4×4×4=256(个). 由分类加法计数原理知,可以组成的不同的自然数为 4 + 16+64+256=340(个).
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[ 方法规律总结 ] 步”的标准是什么.

1. 在同一题目中涉及到这两个定理时,

必须搞清是先“分类”,还是先“分步”,“分类”和“分 2 .数字问题要注意是否允许数字重复,各位上的数字是

否受到某些条件限制.

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用0、1、2、3、4、5可以组成无重复数字的比2000大的四 位奇数________个. [答案] 120 [ 解析 ] 按末位是 1 、 3 、 5 分三类计数:第一类:末位是 1,共有4×4×3=48个;第二类,末位是3的共有3×4×3=36 个;第三类末位是5的共有3×4×3=36个,由分类加法计数原 理知共有

48+36+36=120(个).

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平面区域问题
用 5 种不同的颜色给图中的四个区域涂色, 每个 区域涂一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么 共有多少种不同的涂色方法?

[ 分析 ]

由于要求相邻 ( 有公共边 ) 的区域不同色,所以可

按“1号区域与4号区域同色”和“1号区域与4号区域不同色” 两种情况分类,然后根据两个原理分别求解. 1 3 2 4
第一章 1.1 第2课时

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[解析]

第一类:1号区域与4号区域同色,此时可分三步

来完成,第一步,先涂 1号区域和 4 号区域,有5 种涂法,第二 步,再涂2 号区域,只要不与 1 号区域和 4 号区域同色即可,因 此有4种涂法;第三步,涂3号区域,只要不与1号区域和4号区

域同色即可,因此也有 4 种涂法,由分步乘法计数原理知,有
5×4×4=80种涂法;

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第二类: 1 号区域与 4 号区域不同色,此时可分四步来完 成,第一步,先涂1 号区域,有 5种涂法,第二步,再涂4 号区 域,只要不与1号区域同色即可,因此有4种涂法;第三步,涂 2号区域,只要不与1号区域和4号区域同色即可,因此有3种涂

法;第四步,涂3号区域,只要不与 1号区域和 4号区域同色即
可,因此也有3种涂法.由分步乘法计数原理知,有 5×4×3×3 = 180 种涂法.依据分类加法计数原理知,不同的 涂色方法种数为80+180=260.

第一章

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[ 解法探究 ]

1. 按颜色分类还可再细一些,第一类 1,4 同

色,2,3同色;第二类,1,4同色,2,3不同色或2,3同色,1,4不同 色;第三类,四个区域颜色都不同. 2 .可按涂色区域分步.第一步,涂区域 1 ,有 5 种方法; 第二步,涂区域2,有4种方法;第三步,涂区域3(区域3与区域

2 相同时只有 1 种涂法,不同时有 3 种涂法 ) ;第四步,涂区域
4(区域3与区域2相同时,区域4有4种涂法,否则区域4有3种涂 法),∴共有涂法5×4×1×4+5×4×3×3=260种涂法. 3 .后面学过排列组合后请再用按所用颜色数分类的方法 解答.
第一章 1.1 第2课时

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[方法规律总结 ]

涂色问题一般是综合利用两个计数原理

求解,有几种常用方法:(1)按区域的不同,以区域为主分步计 数,用分步乘法计数原理分析;(2)以颜色为主分类讨论,适用 于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析;(3)

将空间问题平面化,转化成平面区域的涂色问题.

第一章

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如图,一环形花坛分成A、B、C、D四个区域,现有4种不 同的花供选种,要求在每个区域里种1种花,且相邻的2个区域

种不同的花,则不同的种法种数为(
A.96 C.60 [答案] B B.84 D.48

)

第一章

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[解析]

A、C区域种同样的花时,A、C区域有4种种法,

B 区域有 3 种种法, D 区域有 3 种种法; A 、 C 区域种不同的花 时,A区域有4种种法,C区域有3种种法,B区域有2种种法,D

区域有2种种法.所以一共有4×3×3+4×3×2×2=84种不同
的种法.

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计数原理与其他知识交汇

x2 y 2 设集合 A={1,2,3,4},双曲线 C:a2-b2=1,其 中 a、b 是集合 A 中的任意元素,则 C 的离心率 e≥2 的概率为 ________.
[分析] 由 a、b 是集合 A 中的任意元素,可得(a,b)的所有 c 可能取法种数;由 e=a≥2 及 c2=a2+b2,可得 a、b 满足的关 系式,从而可得出使 e≥2 的(a,b)的取法种数,即可求得概率. 1 [答案] 4
第一章 1.1 第2课时

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c [解析] ∵e=a≥2,∴c≥2a, ∴c2≥4a2, 即 a2+b2≥4a2, ∴b2≥3a2, 当 b=4 时, a=1,2; 当 b=3 时,a=1;当 b=2 时,a=1.故使 e≥2 的(a,b)的取法 有 4 种,(a,b)的所有可能取法共有 42=16 种,故所求概率 P 4 1 =16=4.

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[ 方法规律总结 ]

计数原理与其他知识交汇命题,常以

“个数”或“概率”形式出现, 计数常采用列举数数、 树状图、 表格等方法. 解答题先依据其他知识转化, 将所求问题归结为计数问题, 再按计数原理进行计算.

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x2 y2 已知 a∈{3,4,6},b∈{2,5,7,8},则方程 a + b =1 可表示 ________个不同的椭圆?

[答案] 12
[解析] ∵a∈{3,4,6},b∈{2,5,7,8}, x2 y2 ∴ a + b =1 可表示不同的椭圆 3×4=12 个.

第一章

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两个计数原理的综合应用
某外语组有 9 人, 每人至少会英语和日语中的一 门,其中 7 人会英语,3 人会日语,从中选出会英语和日语的 各一人,有多少种不同的选法?

第一章

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[解题思路探究 ]

第一步,审题:审条件发掘解题信息,

外语组有 9 人,每人至少会英语和日语中的一门,表明有的人 会英语,有的人会日语,有的人两者都会即“多面手”,再由 7人会英语,3人会日语可求“多面手”人数.

审结论:明确思维方向,从 9人中“选出会英语和日语的
各1人”求选法数,应按“多面手”是否去分类讨论.

第一章

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第2课时

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第二步,建联系确定解题步骤. 本题可按以下标准分类求解. ?1.“多面手”去,1名只会英语教师去 ? ?2.“多面手”去,1名只会日语教师去 ?3.“多面手”不去,去1名只会日语和1名只会英语教师 ? 依次求出上述三类方法数,按加法原理相加即可获解. 第三步,规范解答.

第一章

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[解析]

第一类:“多面手”去参加英语时,选出只会日

语的一人即可,有2种选法. 第二类:“多面手”去参加日语时,选出只会英语的一人 即可,有6种选法.

第三类:“多面手”既不参加英语又不参加日语,则需从
只会日语和只会英语中各选一人,有2×6=12(种)方法. 故共有2+6+12=20(种)选法.

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[解法探究]

由于英语、日语各去1人,故分步计数即可,

问题是有的人既会英语又会日语,选英语或日语时这样的人都 可以选到,故可用间接法求解,由于“多面手”只有 3 + 7 - 9 =1人,故只有一种可能重复情形,∴不同方法数为3×7-1= 20种.

[方法规律总结 ]

解两个计数原理的综合应用题时,最容

易出现不知道应用哪个原理来解题的情况,其思维障碍在于不 能正确区分该问题是“分类”还是“分步”,突破方法在于认 真审题,明确“完成一件事”的含义.将问题中的条件细化、 化繁为简.
第一章 1.1 第2课时

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某文艺小组有20人,每人至少会唱歌或跳舞中的一种,其 中14人会唱歌,10 人会跳舞.从中选出会唱歌与会跳舞的各 1 人,有________种不同选法. [答案] 130 [解析] 由条件知只会唱歌的有10人,只会跳舞的有6人, 既会唱歌又会跳舞的有4人.这样就可以分成四类完成: 第一类:从只会唱歌和只会跳舞的人中各选 1 人,用分步

乘法计数原理得10×6=60(种);

第一章

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第二类:从只会唱歌和既会唱歌又会跳舞的人中各选 1 人,用分步乘法计数原理得10×4=40(种); 第三类:从只会跳舞和既会唱歌又会跳舞的人中各选 1 人,用分步乘法计数原理得6×4=24(种);

第四类:从既会唱歌又会跳舞的人中选 2 人,有 6 种方
法.根据分类加法计数原理,选出会唱歌与会跳舞的各 1 人的 选法共有60+40+24+6=130(种).

第一章

1.1

第2课时

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分类计数时不要出现遗漏 有红、黄、蓝旗各 3 面,每次升 1 面、2 面、3 面在某一旗杆上纵向排列,表示不同的信号,顺序不同也表示 不同的信号,共可以组成多少种不同的信号?

[错解]

每次升一面旗可组成 3种不同的信号;每次升 2面

旗可组成3×2=6种不同信号;每次升3面旗可组成3×2×1=6
种不同的信号,根据分类加法计数原理知,共有不同信号3+6 +6=15种.
第一章 1.1 第2课时

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[辨析] 每次升起2面或3面旗时,颜色可以相同. [正解] 每次升1面旗可组成3种不同的信号;每次升2面旗 可组成 3×3 = 9 种不同的信号;每次升 3 面旗可组成 3×3×3 = 27种不同的信号.根据分类加法计数原理得,共可组成:3+9

+27=39种不同的信号.

第一章

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巩固提高学案
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备选练习
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第一章

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