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高中奥林匹克物理竞赛解题方法维法


高中奥林匹克物理竞赛解题方法

降维法
降维法是将一个三维图变成几个二维图, 即应选两个合适的平面去观察, 当遇到一个空 间受力问题时,将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。由于三维问题不好想像,选 取适当的角度, 可用降维法求解。 降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中 表示出来,使我们很容易找到各物理量之间的关系,从而正确解决问题



赛题精讲
例 1:如图 13—1 所示,倾角θ =30°的粗糙斜面上放一物 体, 物体重为 G, 静止在斜面上。 现用与斜面底边平行的力 F=G/2 推该物体,物体恰好在斜面内做匀速直线运动,则物体与斜面 间的动摩擦因数μ 等于多少?物体匀速运动的方向如何? 解析:物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力 的作用下做匀速直线运动, 所以受力平衡。 但这四个力不在同一 平面内, 不容易看出它们之间的关系。 我们把这些力分解在两个 平面内,就可以将空间问题变为平面问题,使问题得到解决。 将重力沿斜面、垂直于斜面分解。我们从上面、侧面观察, 图 13—1—甲、图 13—1—乙所示。 如图 13—1—甲所示,推力 F 与重力沿斜面的分力 G1 的合力 F′为:
F? ? F
2

? G1 ?
2

2 2

G

F′的方向沿斜面向下与推力成α 角, 则 tan ? ?
G1 F ?1 ? ? ? 45 ?

这就是物体做匀速运动的方向 物体受到的滑动摩擦力与 F′平衡,即 所以摩擦因数: ? ?
f FN ? 2G / 2 G cos 30 ? ?
f ? F? ? 2G / 2

6 3

例 2:如图 13—2 所示,一个直径为 D 的圆柱体,其侧面刻有螺距为 h 的光滑的螺旋形 凹槽,槽内有一小球,为使小球能自由下落,必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的 绳子? 解析:将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽,如图 13—2—甲所示, 当圆柱体转一周,相当于沿斜槽下降一个螺距 h,当圆柱转 n 周时,外侧面上一共移动的水 D 1 2 n ? at ① 平距离为 2? 2 2 1 2 圆 弧槽 内小 球下 降的 高度 为 nh ? gt 2 ②

解①、②两式,可得,为使螺旋形槽内小球能自由下落,圆柱体侧面绳子拉动的加速度 ? Dg 应为 a ? h 例 3:如图 13—3 所示,表面光滑的实心圆球 B 的半径 R=20cm,质量 M=20kg,悬线长 L=30cm。 正方形物块 A 的厚度△h=10cm, 质量 m=2kg, 物体 A 与墙之间的动摩擦因数μ =0.2, 2 取 g=10m/s 。求: (1)墙对物块 A 的摩擦力为多大? (2)如果要物体 A 上施加一个与墙平行的外力,使物体 A 在未脱离圆球前贴着墙沿水 2 平方向做加速度 a=5m/s 匀加速直线运动,那么这个外力大小方向如何? 解析:这里物体 A、B 所受的力也不在一个平面内,混起来考虑比 较复杂,可以在垂直于墙的竖直平面内分析 A、B 间压力和 A 对墙的压 力;在与墙面平行的平面内分析 A 物体沿墙水平运动时的受力情况。 (1)通过受力分析可知墙对物块 A 的静摩擦力大小等于物块 A 的 重力。 (2)由于物体 A 贴着墙沿水平方向做匀加速直线运动,所以摩擦 力沿水平方向,合力也沿水平方向且与摩擦力方向相反。又因为物体受 竖直向下的重力,所以推力 F 方向应斜向上。 设物体 A 对墙的压力为 N,则沿垂直于墙的方向,物体 B 受到物体 A 的支持力大小也为 N,有 f ? ? N , 而 N ? Mg tan ? 又因为 sin ? ?
?h ? R L?R ? 3 5 所以 tan ? ? 3 4

在与墙面平行的平面内,对物体 A 沿竖直方向做受力分析,如 图 13—3—甲所示有

F sin ? ? mg

沿水平方向做受力分析,有 F cos ? ? f ? ma 由
F ?


2


2










5 / 5)

( mg ) ? ( f ? ma )

? 20 5 N , a ? arcsin(

因此,对物体 A 施加的外力 F 的大小为 20 5 N,方向 沿墙面斜向上且与物体 A 水平运动方向的夹角为
arcsin( 5 / 5 ).

例 4:一质量 m=20kg 的钢件,架在两根完全相同的平行长直圆柱上,如图 13—4 所示, 钢件的重心与两柱等距,两柱的轴线在同一水平面内,圆柱的半径 r=0.025m,钢件与圆柱 间的动摩擦因数μ =0.20。 两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动, 角速度 ? ? 40 rad / s. 若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为 ? 0 ? 0 . 050 m / s 的 匀速运动,求推力是多大?(设钢件不发生横向运动) 解析:本题关键是搞清滑动摩擦力的方向,滑动摩擦力的方向 与相对运动的方向相反,由于钢件和圆柱都相对地面在运动,直接

不易观察到相对地面在运动, 直接不易观察到相对运动的方向, 而且钢件的受力不在同一平 面内,所以考虑“降维” ,即选一个合适的角度观察。我们从上往上看,画出俯视图,如图 13—4—甲所示。 我们选考虑左边圆柱与钢件之间的摩擦力, 先分析相对运动的方向, 钢件有向前的速度

? 0 ,左边圆住有向右的速度 r ? ,则钢件相对于圆柱的速度是 ? 0 与 r ? 的矢量差,如图中△

v,即为钢件相对于圆柱的速度,所以滑动摩擦力 f 的方向与△v,的方向相反,如图 13—4
—甲所示。 以钢件为研究对象,在水平面上受到推力 F 和两个摩擦力 f 的作用,设 f 与圆柱轴线的 夹角为θ ,当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时,应有
F ? 2 f cos ? ? 2 f v0 ?v ?2f v0 v 0 ? ( r? )
2 2



再从正面看钢件在竖直平面内的受力可以求出 FN,如图 13—4—乙所示,钢件受重力 G 和两个向上的支持力 FN,且 G=2FN, G , f ? ? F N 代入①式,得 所以把 F N ? 2 推力 F ? 2 ? F N ?
v0 v ? ( r? )
2 0 2

图 13—4—乙

? 2?

mg 2

?

v0 v ? ( r? )
2 0 2

? 2N

例 5:如图 13—5 所示,将质量为 M 的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上,圆锥顶角 为α ,设圆锥底面水平,链条静止时也水平,求链条内的张力。 解析:要求张力,应在链条上取一段质量元 ? m 进行研究。因为该问题是三维问题,各 力不在同一平面内,所以用“降维法”作出不同角度的平面图进行研究。 作出俯视图 13—5—甲,设质量元 ? m 两端所受张力为 T,其合力为 F,因为它所对的 圆心角θ 很小,所以 F ? 2T sin
?
2

,即 F=Tθ 。

再作出正视图 13—5—乙,质量元受重力 ? m g、支持力 N 和张力的合力 F 而处于平衡 ? ? ? ? Mg ? cot 状态,由几何知识可得: F ? ? mg ? cot 2 2? 2 所以链条内的张力 F Mg ? T ? ? ? cot 2 2? 2 例 6:杂技演员在圆筒 形建筑物内表演飞车走壁。 演员骑摩托车从底部开始 运动,随着速度增加,圈子 越兜越大, 最后在竖直圆筒 壁上匀速率行驶,如图 13 —6 所示。如果演员和摩托车的总质量为 M,直壁半径为 R,匀速率行 驶的速率为 v,每绕一周上升的距离为 h,求摩托车匀速走壁时的向心 力。 解析:摩托车的运动速度 v,可分解为水平速度 v1 和竖直分速度为

v2,则向心力速度为 a ?
2? R

v1

2

。处理这个问题的关键是将螺旋线展开为一个斜面,其倾角的

R

余弦为 cos a ?

( 2? R ) ? h
2

,如图 13—6—甲所示。
2

所以有 v 1 ? v cos ? ?
2

2? R ( 2? R ) ? h
2 2

v

向心加速度为: a ?

v1

R

?

v

2

R

(

2? R ( 2? R ) ? h
2 2

)

2

向心力

F ? Ma ? Mv

2

4? R
2

( 4? R ? h )
2 2 2

例 7:A、B、C 为三个完全相同的表面光滑的小球,B、C 两球各被一长为 L=2.00m 的不 可伸和的轻线悬挂于天花板上,两球刚好接触,以接触点 O 为原点作一直角坐标系 Oxyz , z 轴竖直向上,Ox 与两球的连心线重合,如图 13—7 所示。今让 A 球射向 B、C 两球,并与两 球同时发生碰撞。碰撞前,A 球速度方向沿 y 轴正方向,速率为 v A0 ? 4 . 00 m / s 。相碰后, A 球沿 y 轴负方向反弹,速率 v A =0.40m/s。 (1)求 B、C 两球被碰后偏离 O 点的最大位移量; 2 (2)讨论长时间内 B、C 两球的运动情况。 (忽略空气阻力,取 g=10m/s ) 解析: (1)A、B、C 三球在碰撞前、后的运动发生在 Oxy 平面内, 设刚碰完后,A 的速度大小为 v A ,B、C 两球的速度分别为 v B 与 v C , 在 x 方向和 y 方向的分速度的大小分别为 v Bx , v By 和 v Cx , v Cy ,如图 13—7—甲所示,由动量守恒定律,有 mv Cx ? mv Bx ? 0
mv Ax ? mv By ? mv Cy ? mv A ②



由于球面是光滑的,在碰撞过程中,A 球对 B 球的作用力方向沿 A、B 两球的连心线,A 球对 C 球的作用力方向沿 A、C 两球的连心线,由几何关系,得
v Bx ? v By tan v Cx ? v Cy ? 6? ? ?? tan 6? ?

??


由对称关系可知

v Bx ? v Cy



图 13—7 甲

解①、②、③、④式可得 v Bx ? v Cy ? 1 . 27 m / s
v Bx ? v Cy ? 2 . 20 m / s

由此解得

v Bx ? v Cy ? 2 . 54 m / s

设 C 球在 x>0, y>0, z>0 的空间中的最大位移为 OQ , Q 点的 z 坐标为 zQ,则由机械能守 恒定律可写出
1 2 mv C ? mgz Q
2



所以

zQ ?

vC 2g

2

代入数值解得 zQ=0.32m

而 Q 点到 Oz 轴的距离为

QD ?

L ? (L ? zQ )
2

2

?
2

z Q (2 L ? z Q )

所以 C 球离 O 点的最大位移量 代入数值,得
OQ ? 1 . 13 m

OQ ?

z Q ? OD
2

?

2 Lz Q





由对称性,可得 B 球在 x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 的空间的最大位移量 OP 为
OP ? OQ ? 1 .13 m



(2)当 B、C 两球各达到最大位移后,便做回到原点的摆动,并发生两球间的碰撞,两 球第一次返回 O 点碰撞前速度的大小和方向分别为
v Bx ? 1 .27 m / s
v By =2.20m/s

方向沿正 x 轴方向 方向沿 y 轴方向 方向沿正 x 轴方向 方向沿 y 轴方向

v Cx ? 1 .27 m / s
v Cy =2.20m/s

设碰撞后的速度分别为 v B1 和 v C1 , 对应的分速度的大小分别为 v B 1 x 、v B 1 y 、v C 1 x 和 v C 1 y , 由于两球在碰撞过程中的相互作用力只可能沿 x 轴方向, 故碰撞后, y 轴方向的速度大小 沿 和方向均保持不变(因为小球都是光滑的) ,即
v B 1 y = v By

方向沿负 y 轴方向 ⑨ 方向沿负 y 轴方向 ⑩
mv C 1 x ? mv B 1 x ? mv Bx ? mv Cx

v C 1 y = v Cy

碰撞过程中,沿 x 轴方向的动量守恒,则 因为 v Bx ? v Cx 所以 v C 1 x ? v B 1 x

即碰撞后两球在 x 方向的分速度大小也相等, 方向相反, 具体数值取决于碰撞过程中是 否机械能损失。在 A 球与 B、C 两球同时碰撞的过程中,碰撞前,三者的机械能 1 2 E 1 ? mv AD ? 8 m 碰撞后三者的机械能 2 1 1 1 2 2 2 E 2 ? mv A ? mv B ? mv C ? 6 . 59 m E 2 ? E1 2 2 2 表明在碰撞过程中有机械能损失,小球的材料不是完全弹性体,故 B、C 两球在碰撞过 程中也有机械能损失,即 1 1 1 2 2 2 2 2 2 11 m ( v B1 X ? v B1Y ) ? m ( v C1 X ? v C1 X ) ? m ( v B X ? v BY ) ○ 2 2 2
11 由⑨、⑩和○三式,和

v B1 X ? v C1 x ? v Bx ? v Cx

12 ○

或 v B1 ? v C 1 ? v B ? v C 当 B、C 两球第二次返回 O 点时,两球发生第二次碰撞,设碰撞后两球的速度分别为
v B 2 和 v C 2 ,对应的分速度的大小分别为 v B 2 X , v B 2 y , v C 2 x 和 v C 2 y ,

则有 v B 2 y ? v C 2 y ? v B1 y ? v C1 y 或
v B 2 ? v B1
vC 2 ? vC1

v B 2 x ? v C 2 x ? v B1 x ? v C1 y

由此可见,B、C 两球每经过一次碰撞,沿 x 方向的分速度都要变小,即
v B X ? v Cx ? v B1 x ? v C1 x ? v B 2 x ? v C 2 x ? v B3 x ? v C 3 x

??

而 y 方向的分速度的大小保持不变,即
v B y ? v Cy ? v B1 y ? v C1 y ? v B 2 y ? v C 2 y ? v B3 t ? v C 3 y

??

当两球反复碰撞足够多次数后,沿 x 方向的分速度为零,只有 y 方向的分速度。设足够 多的次数为 n,则有
v B nx ? v C nx ? 0
14 ○ 13 ○

v B ny ? v C ny ? v B y ? 2 .20 m / s

14 即最后,B、C 两球一起的 Oyz 平面内摆动,经过最低点 O 的速度由○式给出,设最高

点的 z 轴坐标为 z Qn ,则 代入数值,得

1 2

mv

2 Cny

? mgz Qn
15 ○

得 z Qn ?

v Cny 2g

2

z Qn ? 0 . 24 m

最高点的 y 坐标由下式给出: y Qn ? ? L ? ( L ? z Qn )
2

2

? ? ( 2 L ? z Qn ) z Qn

代入数值,得: y Qn ? ? 0 . 95 m

16 ○

例 8:一半径 R=1.00m 的水平光滑圆桌面,圆心为 O,有一竖直的 立柱固定在桌面上的圆心附近,立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的

图 13—8

封闭曲线 C,如图 13—8 所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳,一端固定在封闭曲线上某一 —2 点,另一端系一质量为 m=7.5×10 kg 的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直,再给小 物块一个方向与绳垂直、大小为 v 0 ? 4 . 0 m / s 的初速度,物块在桌面上运动时,绳将缠绕 在立柱上。已知当绳的张力为 T0=2.0N 时,绳即断开,在绳断开前物块始终在桌面上运动。 (1)问绳刚要断开时,绳的伸直部分的长度为多少? (2)若绳刚要断开时,桌面圆心 O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与 绳的伸直部分垂直,问物块的落地点到桌面圆心 O 的水平距离为多少?已知桌面高度 2 H=0.80m,物块在桌面上运动时未与立柱相碰。取重力加速度大小为 10m/s 。 解析: (1)这一问题比较简单。绳断开前,绳的张力即为物块所受的向心力,因为初速 度与绳垂直,所以绳的张力只改变物块的速度方向,而速度大小不变,绳刚要断开时,绳的 伸直部分的长度可求出。 设绳的伸直部分长为 x,则由牛顿第二定律得: T 0 ? m
v0 x
2

代入已知数值得:x=0.60m (2)选取桌面为分析平面,将物块的落地点投影到此分析平面上,然后由平抛运动的 知识求解。如图 13—8—甲所示,设绳刚要断开时物 块位于桌面上的 P 点,并用 A 点表示物块离开桌面时 的位置,先取桌面为分析平面,将物块的落地点投影 到此分析平面上,其位置用 D 点表示,易知 D 点应在 直线 PA 的延长线上,OD 即等于物块落地点与桌面圆 心 O 的水平距离,而 AD 等于物块离开桌面后做平抛 运动的水平射程。 即
AD ? v 0 2H g

故 OD ?

x ? ( R ? x ? v0
2 2 2

2H g

)

2

代入已知数值得物块落地点到桌面圆心 O 的水平距离 OD ? 2 .47 m 例 9:如图 13—9 所示是一种记录地震装置的水平摆,摆球 m 固定在边长为 L,质量可 忽略不计的等边三角形的顶点 A 上。它的对边 BC 跟竖直线成不大的夹角 ? ,摆球可以绕固 定轴 BC 摆动。求摆做微小振动的周期。 解析:若 m 做 微小振动,则其轨 迹一定在过 A 点, 垂直于 BC 的平面 内的以 O 为圆心, OA 为 半 径 的 圆 弧 上。因此我们可以 作一个过 A 点垂直 于 BC 的平面 M,如 图 13—9—甲所示,将重力 mg 沿 M 平面和垂直于 M 平面方向分解,则在平面 M 内,m 的振动

等效于一个只在重力 m g ? ? mg sin ? 作用下简谐运动,摆长 L ? ? L sin 60 ? ?
L? g?

3 2

L.

所以周期

T ? 2?

? 2?

3L 2 g sin ?

例 10:六个相同的电阻(阻值均为 R)连成一个电阻环,六 个结点依次为 1、2、3、4、5 和 6,如图 13—10 所示。现有五 个完全相同的这样的电阻环,分别称为 D1、D2、?、D5。现将 D1 的 1、3、5 三点分别与 D2 的 2、4、6 三点用导线连接,如图 13 —10—甲所示。然后将 D2 的 1、3、5 三点分别与 D3 的 2、4、6 三点用导线连接??依次类推,最后将 D5 的 1、3、5 三点分别 连接到 D4 的 2、4、6 三点上。 证明: 全部接好后, D1 上的 在 1、3、两点间的等效是电阻为 724 R。 627 解析:由于连接电阻 R 的导 线, 连接环 D 之间的导线均不计电 阻,因此,可改变环的半径,使五 个环的大小满足:D1<D2<?<D5. 将图 13—10—甲所示的圆柱形网络变成圆台形网络,在沿与底面垂直的方向将此圆台 形网络压缩成一个平面,如图 13—10—乙所示的平面电路图。 现将圆形电阻环变成三角形,1、3、5 三点为三角形的顶点,2、4、6 三点为三角形三 边的中点,图 13—10—乙又变为如图 13—10—丙所示电路图。不难发现,图 13—10—丙所 示的电路相对虚直线 3、6 具有左右对称性。

可以用多种解法求。如将电路等效为图 13—10—丁。

A1B1 以内的电阻 4 R A1 B1 ? R 5 A2B2 以内的电阻
R A2 B 2 ? ? ( R A1 B1 ? 2 R ) R ( R A1 B1 ? 2 R ) ? R 14 19 R
( R A2 B 2 ? 2 R ) ? R ( R A2 B 2 ? 2 R ) ? R 52 71

A3B3 以内的电阻 R A3 B3 ?

?

R

A4B4 以内的电阻 R A4 B 4 ?

( R A3 B 3 ? 2 R ) ? R ( R A3 B 3 ? 2 R ) ? R ( R A4 B 4 ? 2 R ) ? R ( R A4 B 4 ? 2 R ) ? R

?

194 265 724 627

R

A5B5 以内的电阻 R A5 B 5 ?

?

R

即为 D1 环上 1、3 两点间的等效电阻。 例 11:如图 13—11 所示,用 12 根阻值均为 r 的相同的电阻丝构成正立方体框架。试 求 AG 两点间的等效电阻。 解析:该电路是立体电路,我们可以将该立体电路“压扁” ,使其变成平面电路,如图 13—11—甲所示。 考虑到 D、E、B 三点等势,C、F、H 三点等势,则电路图可等效为如图 13—11—乙所示 r r r 5 的电路图,所以 AG 间总电阻为 R ? ? ? ? r 3 6 3 6

例 12:如图 13—12 所示,倾角为θ 的斜面上放一木制圆制,其质量 m=0.2kg,半径为 r,长度 L=0.1m,圆柱上顺着轴线 OO′绕有 N=10 匝的线圈, 线圈平面与斜面平行, 斜面 处于竖直向上的匀强磁场 中,磁感应强度 B=0.5T, 当通入多大电流时, 圆柱才 不致往下滚动? 解析: 要准确地表达各 物理量之间的关系, 最好画 出正视图,问题就比较容易求解了。如图 13—12—甲所示, 磁场力 Fm 对线圈的力矩为 MB=NBIL·2r·sinθ ,重力对 D 点的力矩为:

MG=mgsinθ ,平衡时有:MB=MG mg ? 1 . 96 A 则可解得: I ? 2 NBL 例 13: 空间由电阻丝组成的无穷网络如图 13—13 所示, 每段电阻丝的电阻均为 r,试求 A、B 间的等效电阻 RAB。 解析: 设想电流 A 点流入, B 点流出, 从 由对称性可知, 网络中背面那一根无限长电阻丝中各点等电势, 故可撤去这 根电阻丝, 而把空间网络等效 为图 13—13—甲所示的电路。 (1) 其中竖直线电阻 r′ 分别为两个 r 串联和一个 r 并 联 后 的 电 阻 值 , 所 以 2r ? r 2 r? ? ? r 3r 3 横线每根电阻仍为 r,此 时将立体网络变成平面网络。 (2)由于此网络具有左右对称性,所以以 AB 为轴对折,此时网络变为如图 13—13— 乙所示的网络。 r r? r ? 其中横线每根电阻为 r1 ? ,竖线每根电阻为 r ?? ? 2 2 3 2 AB 对应那根的电阻为 r ? ? r ,此时由左右无限大变为右边无限大。 3 (3)设第二个网络的结点为 CD,此后均有相同的网络,去掉 AB 时电路为图 13—13— 丙所示。再设 RCD=Rn-1(不包含 CD 所对应的竖线电阻) 则 R A B ? ? R N ,网络如图 13—13—丁所示。

此时

R n ? 2 r1 ?

r ??R n ?1 r ?? ? R n ?1

? R n ?1 rR n ?1 3 ? 2? ? ?r? 2 r r ? 3 R n ?1 ? R n ?1 3 r
rR n r ? 3Rn ? r ? 4 rR n
2

r

当 n ? ? 时,Rn=Rn-1

∴ 上式变为 R n ? r ?

r ? 3Rn

由此解得: R n ?

3? 6

21 r

r

即 R AB ? ?

3? 6

21 r

r

补上 AB 竖线对应的电阻

2 3

r ,网络变为如图 13—13—戊所示的电路。

2 R AB ? 3 2 3

r ? R AB ? r ? R AB ?

2 3 ? 21 2 ? r 2 ( 3 ? 21 ) r 3 6 ? ? ? 2 3 ? 21 21 ? 3 21 r? r 3 6

2 (3 ?

21 )

21 ( 21 ? 3)

r ?

2 21 21

r

例 14:设在地面上方的真空室内,存在匀强电场和匀强磁场, 已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的,电场强度的大小 E=4.0V/m,磁感应强度的大小 B=0.15T,今有一个带负电的质点以 v=20m/s 的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动,求此 带电质点的电量与质量之比 q/m 以及磁场的所有可能方向 (角度可 用反三角函数表) 。 解析: 因为带负电的质点做匀速直线运动, 说明此质点所受的 合外力为零。 又因为电场强度和磁感应强度的方向相同, 所以该带 电质点所受的电场力和洛仑兹力的方向垂直共面,且必受重力作 用,否则所受合外力不可能为零,设质点速度方向垂直纸面向里。由此该带电质点的受力图 如图 13—14 所示。由平衡条件有 有水平方向: Eq cos ? ? Bqv sin ? ① ②

在竖直方向: Eq sin ? ? Bqv cos ? ? mg 解得: tan ? ?
4

q/m=2 3 3 同理,当质点速度方向垂直纸面向外时受力情况如图 13—14—甲,由平衡条件可解出θ 值与上式解出的一样, 只是与纸平面的夹角不同,故此带电质点的电量与质量之 比为 2。 磁场的所有可能方向与水平方向的夹角都是 ? ? arctan
4 3 或 tan ? ? 4 3

? ? arctan

4

针对训练
1.如图 13—15 所示,一个重 1000N 的物体放在倾角为 30°的斜面上,物体与斜面间 的摩擦系数μ 为 1/3。 今有一个与斜面最大倾斜线成 30°角的力 F 作用于物体上, 使物体在 斜面上保持静止,求力 F 的大小。

2.斜面倾角θ =37°,斜面长为 0.8m,宽为 0.6m,如图 13—16 所示。质量为 2kg 的木 块与斜面间的动摩擦因数为μ =0.5, 在平行于斜面方向的恒力 F 的作用下, 沿斜面对角线从

A 点运动到 B 点(g=10m/s ,sin37°=0.6) 。求: (1)力 F 的最小值是多大? (2)力 F 取最小值时木块的加速度。 3.质量为 0.8kg 的长方形木块静止在倾角为 30°的斜面上,若用平行于斜面沿水平方 向大小等于 3N 的力推物体,它仍保持静止,如图 13—17 所示,则木块所受摩擦力大小 为 ,方向为 。 4.如图 13—18,四面体框架由电阻同为 R 的 6 个电阻连接而成,试求任意两个顶点 AB 间的等效电阻。 5.如图 13—19 所示三棱柱由电阻同为 R 的电阻线连接而成,试求 AB 两个顶点间的等 效电阻。 6.将同种材料粗细均匀的电阻丝连接成立方体的形状,如图 13—20 所示,每段电阻丝 电阻均为 r。试求: (1)AB 两点间等效电阻 RAG; (2)AD 两点间等效电阻 RAD。

2

参考答案
1.0.288×10 N≤F≤0.577×10 N 2 2.(1)7.2N (2)0.8m/s 3.5N 沿斜面指向右上方水平方向的夹角为 53 ° R 4. R AB ? 2 4 5. R AB ? R 9 5 7 r 6. (1) R AG ? r (2) R AD ? 6 12
3 3


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