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【全国百强校】云南省玉溪第一中学2015届高三5月仿真卷数学(理)试题


2015 年普通高等学校招生统一考试(仿真卷) 理科数学
第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的). 1、已知集合 A ? ? x A. ? ?1,1?

6 ? ? ? 1? , B ? ? x x 2 ? 1? ,则集合 M ? ? x

x ? A且x ? B? ? ( ) ? x ?1 ?
C. ?1,5? D. ?1,5? )

B. ??1,1?

2、已知复数 (1 ? i 2015 ) ? Z ? i 2014 ,则 Z 的共轭复数在复平面中对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

1 3、在等腰 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 sin B ? sin A cos C ? sin C ,且 2

a ? 3 ,则 ?ABC 的面积为( )
A.

3 3 4

B.
3

3 4

C. 3

D.条件不足,无法计算

4、函数 f ( x) ? ln x ? x ? 9 的零点所在的区间为( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

) D.(3,4)

5、 一个平行四边形的三个顶点的坐标为(﹣1,2) , (3,4) , (4,﹣2) ,点(x,y)在这个 平行四边形的内部或边上,则 z ? 2 x ? 5 y 的最大值与最小值的和等于( A. 8 B.6 C. ?12 D. ?24 ) )

6、执行如 图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为( 输入 x

开始

y ? 2x ?1

x? y ?8




输出 y

结束

x? y
A.23 B.11 7、以下四个命题中,真命题的个数是(

C.5 )

D.2

①“若 a+b≥2 则 a,b 中至少有一个不小于 1”的逆命题; ②存在正实数 a , b ,使得 lg(a ? b) ? lg a ? lg b ; ③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”; ④向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则“ A.0 B.1 C.2

x1 y1 ? ”是“ a // b ”的充要条件 x2 y2

D. 3

8、一个空 间几何体的三视图如图所示,则该几何体的 表面积为( ) A.48 C.32+8 ?? B.48+8 ?? D. 80

9、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

)的最小正周期是 ? ,若其图象向右平移
) D.直线 x ? 5? 对称 12

? 个 3

单位后得到的函数为奇函数,则函数 y ? f ( x) 的图象关于( A.点 ? ? , 0 ? 对称 ? ? 12
? ?

B.直线 x ? ? 对称 12

5? ? 对称 C.点 ? ,0? ? ? 12 ?

10、将 A, B,C , D, E 五种不同的文件随机放入编号依次为 1,2,3,4,5,6,7 的七个抽屉内,每个 抽屉至多放一种文件,则文件 A, B 被放在相邻的抽屉内且文件 C , D 被放在不相邻的抽屉内 的种数有( A.120
11.过抛物线 y

) B.240
2

C.480

D.720

? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B,交其准线于点 C,若
) D. y ? 12 x
2

BC ? ?2BF , AF ? 3 ,则抛物线的方程为(
A. y ? 3x
2

B. y ? 6 x
2

C. y ? 9 x
2

12 . 德 国 著 名 数 学 家 狄 利 克 雷 在 数 学 领 域 成 就 显 著 , 以 其 名 命 名 的 函 数

?1, x为有理数 被称 为狄利克雷函数,则关于函数 f ( x ) 有以下四个命题: f ( x) ? ? ?0, x为无理数
① f ( f ( x)) ? 0 ;②函数 f ( x ) 是偶函数;③任意一个非零有理数 T , f ( x ? T ) ? f ( x) 对任

意 x ? R 恒成立;④存在三个点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )), C( x3 , f ( x3 )) ,使得 ?ABC 为等边 三角形 其中真命题的个数是 ( A.4 B.3 C.2 ) D.1

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分). 13、 若 ( x ?

1 2 x
3

) n 的展开式中第四项为常数项,则 n ?
2 ? 1 , tan( ? ? ) ? ,则 tan ? ? 5 4 4


14、已知 tan(? ? ? ) ?

15、 若 k ? ?? 2,2? , 则 k 的值 使得过 A(1,1) 可以做两条直线与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? 切的概率等于 。

5 k ?0相 4

16、四棱锥 P ? ABCD 的底面为正方形,边长为 a ,且 PD ? a, PA ? PC ? 2a ,在这个四 棱锥中放入一个球,则球的最大半径为 。

三、解答题(本大题共 8 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤). 17、(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 an ? 0 , a1 ?

1 , an ?1 ? an ? 2an ? an ?1 ? n ? 2, n ? N ? ? . 3

?1? 1 (1)求证: ? ? 是等差数列;(2)证明: a12 ? a2 2 ? ??? ? an 2 ? . 4 ? an ?

18. (本小题满分 12 分)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的 10 道题中,甲答对其中每道题 的概率都是

3 ,乙能答对其中 5 道题.规定每次考试都从备选的 10 道题中随机抽出 3 道题进行 5

测试,答对一题加 10 分,答错一题(不答视为答错)减 5 分,至少得 15 分才能入选. (1)求乙得分的分布列和数学期望; (2)求甲、乙两人中 至少有一人入选的概率.

19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,

AD // BC , AD ? CD ,且 AD ? CD ? 2 2, BC ? 4 2, PA ? 2 ,
点 M 在 PD 上. (1)求证: AB ? PC ;
B

P M A D C

(2)若二面角 M ? AC ? D 的大小为 45 ,求 BM 与平面
PAC 所成角的正弦值.

20.(本题满分 12 分)已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) ,定义圆心在原点 O,半径为 a2 b2

a 2 ? b 2 的圆是椭圆 C 的“准圆”,若椭圆 C 的一个焦点为 F( 2 ,0),其短轴上的一个
端点到 F 的距离为 3 。 (1) 求椭圆 C 的方程和“准圆”的方程; (2) 点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过点 P 作直线 l1 , l 2 ,使得 l1 , l 2 与椭圆 C 都只 有一个交点,求证: l1 ? l2 。

[来源:学.科.网]

21. (本题满分 12 分)设 f ( x) ?

( x ? a) ln x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ?1

2 x ? y ? 1 ? 0 垂直.
(1)求 a 的值; (2) 若对于任意的 x ? [1,??) , f ( x) ? m( x ? 1) 恒成立,求 m 的范围. (3)求证: ln 4 2n ? 1 ?

? 4i
i ?1

n

i
2

?1

.(n ? N * ).

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号。 22、(本小题满分 10 分)选修 4-1,几何证明选讲 如图, 四边形 ABCD 是

O 的内接四边形,AB 的延长线

与 DC 的延长线交于点 E ,且 CB ? CE . (I)证明: ?D ? ?E ; (II)设 AD 不是 O 的直径, AD 的中点为 M ,且 MB ? MC ,证明: ?ABC 为等边三角 形.
[来源:学科网 ZXXK]

23、 (本小题满分 10 分) 【选修 4-4:极坐标与参数方程】 在平面直角坐标系中,以原点为极 点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知点 C 的极坐标 为 (2,

?
3

) ,点 P 是以 C 为圆心,半径长为 2 的圆上任意一点,点 Q(5, ? 3) ,M 是线段 PQ 的

中点。当点 P 在圆 C 上运动时,点 M 的轨迹为曲线 C1 。 (1)求曲线 C1 的普通方程; (2)过曲线 C1 上任意一点 A 作与直线 l : ? 点 T ,求 TA 的最大值与最小值.

? x ? ?1 ? t ( t 为参数)夹角为 30°的直线,交 l 于 ?y ? 2 ?t

24、 (本小题满分 10 分) 【选修 4-5:不等式选讲】 设函数 f ( x) ?| 4 x ? a | ?2a, a ? R . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 1 ? x ? 2 的子集,求实数 a 的取值范围。 (2)若方程 f ( x) ? x ? 1 ? 0 只有一个解,求实数 a 的值。

?

?

云南省部分名校高三 2015 届 5 月份统一考试理科数学答案
题号 答案 13、5 1 A 2 C 14、 ? 3 B 4 C 5 DABC 16、 6 A 7 C 8 B 9 D 10 C 11 A 12 B

19 25

15、

1 4

2? 2 a 2

17. 【解】(1)

an ?1 ? an ? 2an ? an ?1 ? n ? 2 ?

?

1 1 ? ? 2 ? n ? 2? an an ?1

?1? ? ? ? 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列.????6 分 ? an ?
? an ? 1 2n ? 1

(2)由(1)知:

1 ? 3 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 an

? an 2 ?

1

? 2n ? 1?

2

?

1 1?1 1 ? 1 ? ? ? ? ?, 4n ? n ? 1? 4 ? n n ? 1 ? 4n ? 4n
2

1 1? 1?1 1? 1?1 1 ? 1? 1 ? 1 ?12 分 ? a12 ? a2 2 ? ??? ? an 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 1? ?? 4 ?1 2 ? 4 ? 2 3 ? 4 ? n n ?1 ? 4 ? ? n ?1 ? 4
18. 【解】(1)设乙答题所得分数为 X ,则 X 的可能取值为 ?15,0,15,30 .????1 分 且 P( X ? ?15) ?
1 1 C53 1 C5 C5 5 ? , P ( X ? 0) ? ? , 3 3 C10 12 C10 12

X
P

-15

0

15

30

P( X ? 15) ?

1 C52C5 C53 5 1 ? , P ( X ? 30) ? ? ???5 分 3 3 C10 12 C10 12

1 12

5 12

5 12

[来源:学§科§网]

1 12

乙的得分的分布列如右表,且 E( X ) ?

?15 ?1 ? 0 ? 5 ? 15 ? 5 ? 30 ?1 15 ? ???8 分 12 2

(2)由已知甲、乙至少答对 2 题才能入选, 记甲、乙入选的 事件分别为 A, B ,则由( 1)知, P( B) ?

5 1 1 ? ? , 12 12 2

3 2 3 3 81 , ?( ) ? 5 5 5 125 44 1 103 于是甲、乙至少有一人入选的概率 P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? ????12 分 ? ? 125 2 125
又甲回答 3 题可以视为独立重复试验,故 P( A) ? C32 ( )2 19. 【解】(1)如图,设 E 为 BC 的中点,连结 AE ,

则 AD ? EC , AD // EC ,所以四边形 AECD 为平行四边形, 故 AE ? BC ,又 AE ? BE ? EC ? 2 2 , 所以 ?ABC ? ?ACB ? 45 ,故 AB ? AC , 又因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 AB ? PA , 且 PA
z P M A B x E C D y

AC ? A ,所以 AB ? 平面 PAC ,故有 AB ? PC ?4 分

(2)如图,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A ? xyz .

则 A(0,0,0), E(2 2,0,0), B(2 2, ?2 2,0), C(2 2,2 2,0), D(0, 2 2,0), P(0,0,2) , 设 PM ? ? PD ? (0,2 2?, ?2?)(0 ? ? ? 1) ,易得 M (0,2 2? ,2 ? 2? ) ,

? ?n1 ? AC ? 2 2 x ? 2 2 y ? 0 设平面 AMC 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 ? , ? ?n1 ? AM ? 2 2? y ? (2 ? 2? ) z ? 0
令 y ? 2, 得 x ? ? 2 , z ?

2? 2? ). ,即 n1 ? ( ? 2, 2, ? ?1 ? ?1

又平面 ACD 的一个法向量为 n 2 ? (0,0,1) ,

| n1 ? n 2 | ? 由题知 | cos ? n1 , n 2 ?|? | n1 | ? | n 2 |

2? | 1 ? ?1 ? cos 45 ,解得 ? ? ,???9 分 2 2? 2 4?( ) ? ?1 |

即 M (0, 2,1), BM ? (?2 2,3 2,1) ,而 AB ? (2 2, ?2 2,0) 是平面 PAC 的一个法向量, 设平面 BM 与平面 PAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ?| cos ? BM , AB ?|?

| ?8 ? 12 | 4?3 3

?

5 3 . 9

故直线 BM 与平面 PAC 所成的角的正弦值为

5 3 .????12 分 9

20.解:(1)由题意知 c= 2 ,a= 3 所以 b=1,

所以椭圆 C 的方程为

x2 2 2 2 +y =1,椭圆 C 的准圆方程为 x +y =4 3

(2) i 当直线 l1 , l 2 中有一条斜率不存在时,不妨设 l1 的斜率不存在,

因为 l1 与椭圆 只有一个公共点,则其方程为 x ? 此时 l1 与准圆交于

3 或 x ? ? 3 ,则 l1 的方程为 x ? 3 时,

? 3,1? ?

3,?1 两点。此时 l 2 的方程为 y ? 1 或 y ? ?1 ,显然直线 l1 与 l 2 垂

?

直。同理可证当 l1 的方程为 x ? ? 3 直线 l1 与 l 2 垂直。

x?a ? ln x )( x ? 1) ? ( x ? a ) ln x x 21、【解】(1) f ?( x ) ? ( x ? 1) 2 (

由题设 f ?(1) ? 1 ,∴ 2?1 ? a ? ? 1
2 4

2

?1 ? a ? 1 ,? a ? 0 .

1 x ln x 1, ? ?? , f ( x) ? m( x ? 1) ,即 ln x ? m( x ? ) , ?x ? ? x ?1 x 1 1 , ? ??, g ( x) ? 0 . g ?( x) ? 1 ? m(1 ? 1 ) ? 设 g ( x) ? ln x ? m( x ? ) , 即 ?x ? ? x x x2
(2) f ( x) ?
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

?mx 2 ? x ? m x2

①若 m ? 0, g ?( x) ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 ,这与题设 g ( x) ? 0 矛盾.

②若 m ? 0 方程 ?mx ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m
2

2

当?

? 0 ,即 m ?

1 时, g ?( x) ? 0 .? g ( x) 在 (1,??) 上单减,? g ( x) ? g (1) ? 0 ,不等式成立. 2

当0 ? m ?

1 2 时,方程 ?mx ? x ? m ? 0 ,设两根为 x1 , x2 ?x1 ? x2 ? 2

x1 ?

1 ? 1 ? 4m 2 1 ? 1 ? 4m 2 ? ?1,??? ? ?0,1? , x2 ? 2m 2m

当 x ? (1, x2 ), g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, g ( x) ? g (1) ? 0 ,与题设矛盾. 综上所述, m ? 1 .
2

1 1? 时, ln x ? 1 ? x ? ? 成立. ? 2 2? x? 2k ? 1 1 ? 2k ? 1 2k ? 1 ? 4k 不妨令 x ? 2k ? 1 , k ? N * , 所以 ln , ? ? ? ? 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 2 ? 2 k ? 1 2 k ? 1 ? 4 k ? 1
(3) 由(2)知,当 x ? 1 时, m ?
1 k [ln ? 2k ? 1? ? ln ? 2k ? 1?] ? ,k ? N* 4 4k 2 ? 1

1 1 ? ? ln 3 ? ln1? ? ? 4 4 ? 12 ? 1 ? 1 2 ? ? ln 5 ? ln 3? ? ? 4 4 ? 22 ? 1 ? ? ? n ? 1 ln 2n ? 1 ? ln 2n ? 1 ? , ? ? ? ?? ? ? 4 ? n2 ? 1 ?4

累加得

n 1 i ln(2n ? 1) ? ? 2 .(n ? N * ). 4 i ?1 4i ? 1

∴ ln 4 2n ? 1 ?

? 4i
i ?1

n

i
2

?1

.(n ? N * ).

----------12 分
2 2

23、解: (1)点 M 的轨迹的普通方程为: (x﹣3) +y =1. (2)最大值为 2 2 ? 2 ;最小值为 2 2 ? 2 . 24、解:(1) f ( x) ? 6 ?| 4 x ? a |? 6 ? 2a 当 6 ? 2a ? 0 ,即 a ? ?3 时,解集为空集,符合题意,故 a ? ?3 符合题意 当 6 ? 2a ? 0 ,即 a ? ?3 时,解集为 ? ? ,也符合题意,故 a ? ?3 符合题意 ????10 分

?3? ?4?

[来源:学,科,网]

? 3a ? 6 6?a ? 4 ?x? 当 6 ? 2a ? 0 ,即 a ? ?3 时,解得 ? ,所以 ? ? 4 4 6?a ? ? ? 4

? 3a ? 6

? ?1 ?a??

?2

2 3

又 a ? ?3 ,故 ?3 ? a ? ?

2 3

综上所述,实数 a 的取值范围为 ? ??, ? ? 3

? ?

2? ?

(2)画图可得 a ?

4 7


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