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人教A版理科数学一轮复习(全套)第9章 平面解析几何(9课时67页)


第九章 平面解析几何

1.平面解析几何初步 (1)直线与方程 ①在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确 定直线位置的几何要素. ②理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两 点的直线斜率的计算公式. ③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行 或垂直. ④掌握确定直线的几何要素,掌握直线方程的 三种形式(点斜式、两点式及一般式 ),了解斜截式 与一次函数的关系.

⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐 标. ⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公 式,会求两平行直线间的距离. (2)圆与方程 ①掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程

与一般方程. ②能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆 的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断圆与圆 的位置关系. ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 2.圆锥曲线 (1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在 刻画现实世界和解决实际问题中的作用. (2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准 方程及简单几何性质(范围、 对称性、 顶点、 离心率). (3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程, 知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心 率、渐近线). (4)了解曲线与方程的对应关系. (5)理解数形结合的思想. (6)了解圆锥曲线的简单应用.

§9.1

平面直角坐标系中的基本公式和直线的方程
方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角.当直线 l 与 x 轴________或________时,我们规定它的倾斜 角 为 0° .因此,直线的倾斜角 α 的取值范围为 __________________. (2)斜率:一条直线的倾斜角 α 的____________ 叫做这条直线的斜率,常用小写字母 k 表示,即 k =______(α≠______).当直线平行于 x 轴或者与 x 轴 重合时, k______0 ;当直线的倾斜角为锐角时, k______0;当直线的倾斜角为钝角时,k______0; 倾斜角为______的直线没有斜率.倾斜角不同,直线 的斜率也不同.因此,我们可以用斜率表示直线的倾 斜程度. (3)经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直 线的斜率公式为 k= . 3.直线方程的几种形式 (1)截距: 直线 l 与 x 轴交点(a, 0)的____________ 叫做直线 l 在 x 轴上的截距,直线 l 与 y 轴交点(0, b)的____________叫做直线 l 在 y 轴上的截距.
1

1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上 A,B 两点的距离:数轴上点 A 的坐 标为 x1, 点 B 的坐标为 x2, 则 A, B 两点间的距离|AB| =____________. (2)平面直角坐标系中的基本公式: ①两点间的距离公式:在平面直角坐标系中, 两点 A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离公式为 d(A,B)=|AB|=__________________________. ②线段的中点坐标公式:若点 P1,P2 的坐标分 别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中点 M 的坐 标为(x,y),则 ? , ?x= . 2.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角:当直线 l 与 x 轴相交时,我 们取 x 轴作为基准, x 轴____________与直线 l 向上
? ?y= ?

注: 截距 ____________ 距离 ( 填 “ 是 ” 或 “ 不 是”). (2)直线方程的五种形式:
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式 ① ② ③ ⑤ ⑥ ④ a≠0 且 b≠0 平面直角坐标系 内的所有直线 方程 适用范围 k 存在 k 存在

注 : 斜 截 式 是 ________ 的 特 例 ; 截 距 式 是 ________的特例. (3)过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 ①若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴, 方程为____________; ②若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴, 方程为____________; ③若 x1=x2=0,且 y1≠y2 时,直线即为 y 轴, 方程为____________; ④若 x1≠x2,且 y1=y2=0,直线即为 x 轴,方 程为____________. 自查自纠: 1.(1)|x2-x1| (2)① (x2-x1) +(y2-y1) x1+x2 y1+y2 ② 2 2 2.(1)正向 平行 重合 0° ≤α<180° (2)正切值 tanα 90° = > < 90° y2-y1 (3) x2-x1 3.(1)横坐标 a 纵坐标 b 不是 (2)①y-y0=k(x-x0) ②y=kx+b y-y1 x-x1 ③ = ④x1≠x2 且 y1≠y2 y2-y1 x2-x1 x y ⑤ + =1 ⑥Ax+By+C=0(A,B 不同时为 a b 0) 点斜式 两点式 (3)①x=x1 ②y=y1 ③x=0 ④y=0
2 2

∵倾斜角 α∈[0° ,180° ),∴α=60° .故选 B. 过点(5,2),且在 y 轴上的截距是在 x 轴上 截距 2 倍的直线方程是( ) A.2x+y-12=0 B.2x+y-12=0 或 2x-5y=0 C.x-2y-1=0 D.x-2y-1=0 或 2x-5y=0 解: 当直线过原点时所求方程为 2x-5y=0; 当 x y 直线不过原点时,可设其截距式为 + =1,由该 a 2a x y 直线过点(5,2)即可解得 a=6,对应方程为 + = 6 12 1,即 2x+y-12=0,故选 B. 若直线斜率的绝对值为 3,则直线的倾斜 角为________. 解:∵|k|=|tanα|= 3,α∈[0,π).∴tanα=± 3, π 2π π 2π α= 或 .故填 或 . 3 3 3 3 下列四个命题中真命题有______个. ①经过定点 P(x0,y0)的直线都可以用方程 y- y0=k(x-x0)表示; ②经过任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都 可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示; x y ③不经过原点的直线都可以用方程 + =1 表 a b 示; ④经过定点(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+ b 表示. 解:①当 k 不存在时,直线方程为 x=x0,不正 确;②正确;③当直线与坐标轴垂直时不能用该方 程表示,不正确;④k 可能不存在,不正确.故填 1.

类型一

直线的倾斜角和斜率

过点 M(-1,m),N(m+1,4)的直线的斜 率等于 1,则 m 的值为( ) 1 1 A.1 B. C.2 D. 2 3 4-m 解:由 =1,得 m=1.故选 A. m+2 直线 3x- 3y+1=0 的倾斜角是( ) A.30° B.60° C.120° D.135° 3 解: 直线方程可变形为 y= 3x+ , tanα= 3, 3
2

(1)已知直线 l 经过 A(cosθ,sin2θ)和 B(0,1)不同的两点,求直线 l 倾斜角的取值范围. 解:当 cosθ=0 时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时 1-sin2θ A, B 重合.∴cosθ≠0.∴k= =-cosθ∈[-1, 0-cosθ π? 0)∪(0 , 1]. 因 此 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是 ? ?0,4? ∪ ?3π,π?. ?4 ? (2)如图所示,直线 l1 的倾斜角 α1=30° ,直线 l1 与 l2 垂直,则直线 l1 的斜率 k1=________,直线 l2 的斜率 k2=________.

解:由图可知,α2=α1+90° =120° ,则直线 l1 3 的斜率 k1=tanα1=tan30° = ,直线 l2 的斜率 k2= 3 3 tanα2=tan120° =- 3,故填 ;- 3. 3 点拨: ①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度 的量 . 倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程 度, 而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度, 两者由公式 k=tanα 联系.②在使用过两点的直线的 y2-y1 斜率公式 k= 时,注意同一直线上选取的点不 x2-x1 同,直线的斜率不会因此而发生变化,同时还要注 意两点横坐标是否相等,若相等,则直线的倾斜角 为 90° ,斜率不存在,但并不意味着直线的方程也 不存在,此时直线的方程可写为 x=x1.③在已知两 点坐标,求倾斜角 α 的值或取值范围时,用 tanα=k y2-y1 = 转化,其中倾斜角 α∈[0,π),此时依然要 x2-x1 注意斜率不存在的情形,同时注意运用数形结合思 想解题. (1)设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α,且 sinα+cosα=0,则 a,b 满足( ) A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0 解:由题意得 sinα=-cosα,显然 cosα≠0,则 a tanα=-1,∴- =-1,a=b,a-b=0.故选 D. b (2)已知直线 l 经过 A(2,1),B(1,m2)两点,求 直线 l 的倾斜角的取值范围. 解:∵直线 l 经过 A(2,1),B(1,m2)两点,∴ m2-1 kAB= =1-m2.又∵m∈R,∴kAB∈(-∞,1], 1-2 π? ?π ? 其倾斜角的取值范围为? ?0,4?∪?2,π?.

(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5. 解:(1)由题意知,直线的斜率存在, 10 设倾斜角为 α,则 sinα= (α∈[0,π)), 10 3 10 1 从而 cosα=± ,则 k=tanα=± . 10 3 1 故所求直线的方程为 y=± (x+4),即 x± 3y+4 3 =0. x y (2)若截距不为 0,设直线的方程为 + =1, a a -3 4 ∵直线过点(-3,4),∴ + =1,解得 a= a a 1.此时直线方程为 x+y-1=0. 若截距为 0, 设直线方程为 y=kx, 代入点(-3, 4 4),有 4=-3k,解得 k=- ,此时直线方程为 4x 3 +3y=0. 综上,所求直线方程为 x+y-1=0 或 4x+3y =0. (3) 由题意知,当直线的斜率不存在时符合题 意,此时直线方程为 x-5=0. 当直线斜率存在时,设其方程为 y-10=k(x- 5), 即 kx-y+(10-5k)=0. |10-5k| 由点到直线的距离公式,得 =5,解得 1+k2 3 k= . 4 此时直线方程为 3x-4y+25=0. 综上知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+ 25=0. 点拨: 本题考查应用直线方程的几种形式求直线方 程,难度虽不大,但每小题都有陷阱.(1)给出了倾斜 角的正弦值,求正切值时,应注意倾斜角的范围; (2)截距相等包括经过原点的直线,还要注意截距不 是距离;(3)应用点斜式求直线方程时,注意点斜式 的局限性,它不能表示平面内所有直线. 求倾斜角是直线 y=- 3x+1 的倾斜 1 角的 ,且分别满足下列条件的直线方程: 4 (1)经过点( 3,-1); (2)在 y 轴上的截距是-5. 解:∵直线 y=- 3x+1 的倾斜角 α=120° . ∴所求直线的倾斜角为 30° . (1)所求直线方程是:y+1=tan30° (x- 3), 即 3x-3y-6=0. 3 (2) 所求直线方程为: y = x - 5 ,即 3 x - 3y 3 -15=0.
3

类型二

求直线方程

根据所给条件求直线的方程. 10 ; 10 (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距 相等; (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为

类型三

直线方程的应用

4 4? 心 D? ?3,3?,设 P(m,0),m∈(0,4),则点 P 关于 直线 BC, AC 的对称点分别为 P1(4, 4-m), P2(-m, 0),由于 D,P1,P2 三点共线,∴kP1D=kP2D,即 4 4 -(4-m) 3 3 4 = ,解得 m= 或 0.又∵m∈(0, 4 4 3 -4 +m 3 3 4 4),∴m= .故选 D. 3

已知点 A(4,-1),B(8,2)和直线 l: x-y-1=0,动点 P(x,y)在直线 l 上,求|PA|+|PB| 的最小值.

解:设点 A1(x1,y1)与 A(4,-1)关于直线 l 对 |PA1| 称, P0 为 A1B 与直线 l 的交点, ∴|P0A1|=|P0A|, = |PA|.∴|PA|+|PB|=|PA1| +|PB|≥|A1B|=|A1P0|+ |P0B|=|P0A|+|P0B|. 当 P 点运动到 P0 点时,|PA|+|PB|取到最小值 |A1B|. ∵点 A,A1 关于直线 l 对称,∴由对称的充要 条件知, y1+1 ×1=-1, ? x1-4 ?x1=0, 解得? ?y1=3, x1+4 y1-1 ? - -1=0, 2 2 即 A1(0,3). ∴ ( |PA| + |PB| )min = |A1B| = 82+(-1)2 = 65.

1.直线的倾斜角和斜率的关系,可借助 k=tanα 的图象(如图)来解决.这里,α∈[0,π),k 的范围是 两个不连续的区间.在求直线方程时,若不能确定直 线的斜率是否存在,则应对斜率存在或不存在分类 进行讨论.

? ? ? ? ?

点拨: 平面内,两点间连线中直线段最短,这一最基 本的公理是解决此类问题的理论基础.求 A 关于 l 的 对称点是关键一步,而点关于直线对称的充要条件 又是求对称点的依据. (2013·湖南)在等腰直角三角形 ABC 中, AB=AC=4, 点 P 是边 AB 上异于 A, B 的一点, 光线从点 P 出发,经 BC,CA 反射后又回到点 P(如 图).若光线 QR 经过△ABC 的重心, 则 AP 等于( )

2.直线在坐标轴上的截距是直线与坐标轴的交 点的坐标,它不是距离,它可正、可负、可为 0, 在用截距式求直线方程时,不可忽视截距可能为 0. 3.在解决直线与坐标轴围成的直角三角形的面 积、周长等问题时,应用截距式方程比较简单. 4.对于直线方程来说,要注意的是:每一种形 式的二元一次方程表示的直线都是有限制的,具体 可参看本节“考点梳理”栏目 . 在解决关于直线方 程的问题中,要把握限制的条件,在求解时要细心 处理,否则容易产生增解或漏解的情形.如利用直线 的点斜式、斜截式解题时,要注意防止忽视斜率不 存在而出现漏解;利用直线的截距式解题时,要注 意防止忽视零截距而造成漏解;利用直线的一般式 解题时,要注意防止忽视隐含条件 A2+B2≠0 而出 现增解. 5.求直线方程的方法主要有以下两种: (1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方 程形式,求出直线方程; (2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知 条件求出待定系数,从而写出直线方程.

8 4 C. D. 3 3 解:以 AB,AC 所在直线分别为 x 轴,y 轴建立 平面直角坐标系, A.2 B.1

则 A(0,0),B(4,0),C(0,4),得△ABC 的重
4

1.下列命题中,正确的是( ) A.直线的斜率为 tanα,则直线的倾斜角是 α B.直线的倾斜角为 α,则直线的斜率为 tanα C.直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 π? ?π ? D.直线的倾斜角 α∈? 直线的 ?0,2?∪?2,π?时, 斜率分别在这两个区间上单调递增 解:因为直线的斜率 k=tanθ,且 θ∈[0,π)时,

θ 才是直线的倾斜角,所以 A 不对;因为任一直线 π 的倾斜角 α∈[0,π),而当 α= 时,直线的斜率不 2 π? 存在,所以 B 不对;当 α∈? ?0,2?时,斜率大于 0; π ? 当 α∈? ?2,π?时,斜率小于 0,C 不对.故选 D. 2.已知直线的倾斜角为 120° ,在 y 轴上的截距 为-2,则此直线的方程为( ) A.y= 3x+2 B.y=- 3x+2 C.y=- 3x-2 D.y= 3x-2 解:∵k=tan120° =- 3,且直线在 y 轴上的 截距为-2, ∴由斜截式得 y=- 3x-2.故选 C. 3.已知直线 l: ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上 的截距相等,则实数 a 的值是( ) A.1 B.-1 C.-2 或-1 D.-2 或 1 a+2 解:显然 a≠0,由题意得 a+2= ,解得 a a =-2 或 1.故选 D. 4.已知直线 l 过点(0,2),且其倾斜角的余弦值 4 为 ,则直线 l 的方程为( ) 5 A.3x-4y-8=0 B.3x+4y-8=0 C.3x+4y+8=0 D.3x-4y+8=0 4 3 解:∵cosα= ,α∈[0,π),∴sinα= ,k=tanα 5 5 3 3 = .∴直线 l 的方程为 y-2= x,即 3x-4y+8=0. 4 4 故选 D. 5.若 A(a,b),B(c,d)是直线 y=mx+n 上的两 点,那么 A,B 间的距离为( ) 2 a - c a - c | 1+m B.| |(1+m2) A.| |a-c| C. D.|a-c|·|m| 1+m2 解:|AB|= (a-c)2+(b-d)2 = (a-c)2?1+?

? ?

?b-d? ? ?? ? a- c ? ?
2

= (a-c)2(1+m2)=|a-c|· 1+m2. 故选 A. 6.( 2013·北京海淀模拟 ) 已知点 A( - 1 , 0) , B(cosα,sinα),且|AB|= 3,则直线 AB 的方程为 ( ) A.y= 3x+ 3或 y=- 3x- 3 3 3 3 3 B.y= x+ 或 y=- x- 3 3 3 3 C.y=x+1 或 y=-x-1 D.y= 2x+ 2或 y=- 2x- 2 解:∵|AB|= (cosα+1)2+sin2α = 2+2cosα= 3, 1 3 ∴cosα= ,sinα=± . 2 2
5

1 3 当点 B 的坐标为? , ?时, 直线 AB 的方程为 ?2 2 ? 3 3 1 3 y= x+ ;当点 B 的坐标为? ,- ?时,直线 3 3 2 2 ? ? 3 3 AB 的方程为 y=- x- .故选 B. 3 3 7.直线 l:xsin30° +ycos150° +1=0 的斜率是 ____________. sin30° 解: 由题意得直线 l 的斜率 k =- = cos150° 3 3 3 tan30° = ,∴直线 l 的斜率为 .故填 . 3 3 3 8.( 2013·四川 ) 在 平面 直角 坐标系内 ,到 点 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和 最小的点的坐标是________. 解:在四边形 ABCD 所在平面内任取一点 P, 则 PA+PC≥AC,PB+PD≥BD,∴PA+PB+PC+ PD≥AC+BD,当且仅当 P 为 AC 与 BD 的交点时 取等号,此时点 P 到点 A,B,C,D 的距离之和最 小.易知直线 AC 的方程为 y=2x, 直线 BD 的方程为 ?y=2x, ?x=2, ? ? y=-x+6, 联立? 解得? 即所求点 ?y=-x+6, ?y=4, ? ? P 的坐标为(2,4).故填(2,4). 9.设直线 l 的方程为 x+my-2m+6=0,根据 下列条件分别确定 m 的值: (1)直线 l 在 x 轴上的截距是-3; (2)直线 l 的斜率是 1. 解:(1)令 y=0,得 x=2m-6. 3 由题意知 2m-6=-3,解得 m= . 2 (2)∵直线 l 的斜率存在, ∴m≠0. 2m-6 1 于是直线 l 的方程化为 y=- x+ . m m 1 由题意知- =1,解得 m=-1. m 10.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0) 1 1 共线,求 + 的值. a b 0-2 b-2 b-2 2 解: ∵kAB= =- , k = =- , 2 a-2 a-2 AC 0-2 2 且 A,B,C 三点共线,∴kAB=kAC,即- =- a-2 b-2 ,整理得 ab=2(a+b),将该等式两边同除以 2 1 1 1 2ab 得 + = . a b 2 1 11.已知直线 l 的斜率为 , 且和坐标轴围成面积 6 为 3 的三角形,求直线 l 的方程. x y 解:设所求直线 l 的方程为 + =1. a b 1 b 1 ∵k= ,∴- = ,得 a=-6b. 6 a 6

1 又 S△ABC= |a|·|b|=3,∴|ab|=6. 2 ? ?a=-6, ? ?a=6, ?a=-6b, ? 联立? 得? 或? ?|ab|=6, ?b=1 ?b=-1. ? ? ? x y x y ∴所求直线方程为: + =1 或 + =1, 1 6 -6 -1 即 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0. 已知△ABC 中,顶点 A(4,5),点 B 在直线 l: 2x-y+2=0 上, 点 C 在 x 轴上, 求△ABC 周长的最小值. 解:设点 A 关于直线 l:2x-y+2=0 的对称点 为 A1(x1,y1),点 A 关于 x 轴的对称点为 A2(x2,y2), 连接 A1A2 交 l 于 B,交 x 轴于 C,则此时△ABC 的周长取最小值,且 最小值为|A1A2|.

∵A1 与 A 关于直线 l:2x-y+2=0 对称, y1-5 ×2=-1, x1-4 ∴ x1+4 y1+5 2× - +2=0, 2 2 ? ?x1=0, 解得? ∴A1(0,7).易求得 A2(4,-5), ?y1=7. ? ∴ △ ABC 周 长 的 最 小 值 为 |A1A2| = (4-0)2+(-5-7)2=4 10.

? ? ? ? ?

6

§9.2

两条直线的位置关系
若直线 2ay-1=0 与直线(3a-1)x+y-1= 0 平行,则实数 a 等于( ) 1 1 1 1 A. B.- C. D.- 2 2 3 3 1 解: 因为两直线平行, 所以 3a-1=0, 即 a= . 3 故选 C. “a =1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay =0 互相垂直”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:充分性显然成立,若“直线 x+y=0 和直 1 线 x-ay=0 互相垂直”,则(-1)× =-1,解得 a a =1,必要性也成立.故选 C. 点 A(4, 5)关于直线 l 的对称点为 B(-2, 7), 则 l 的方程是____________. 7-5 1 解:由题意得 kAB= =- ,∵kl⊥kAB, 3 -2-4 ∴kl=3. 又线段 AB 的中点在直线 l 上, ∴直线 l 过点(1, 6).∴直线 l 的方程为 y-6=3(x-1),即 3x-y+3= 0.故填 3x-y+3=0. 已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1=0,则直线 l1 与 l2 的距离为 ____________. 1 解:l2 可以化为 3x+4y+ =0,两直线平行, 2 ?-7-1? 2? 3 ? 由两平行直线间的距离公式得 d= = .故 5 2 3 填 . 2

1.两条直线的位置关系 (1)平行:对于两条不重合的直线 l1,l2,其斜 率分别为 k1, k2, 有 l1∥l2?____________, 特别地, 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时,l1 与 l2 的关系为 ____________. (2)垂直:如果两条直线 l1,l2 的斜率都存在, 且分别为 k1,k2,则有 l1⊥l2?____________,特别 地,若直线 l1:x=a,直线 l2:y=b,则 l1 与 l2 的 关系为____________. 2.两条直线的交点坐标 一般地,将两条直线的方程联立,得方程组 ?A1x+B1y+C1=0, ? ? 若方程组有惟一解,则两条直 ?A2x+B2y+C2=0. ? 线__________,此解就是__________;若方程组无 解 , 则 两 条 直 线 ____________ , 此 时 两 条 直 线 ____________;若方程组有无穷多解,则两条直线 ____________. 3.距离公式 (1)点到直线的距离:点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax +By+C=0 的距离 d= . (2)两条平行直线间的距离:两条平行直线 l1: Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的 距离 d=____________________. 4.过两直线交点的直线系方程 若已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+ B2y+C2=0 相交, 则方程 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y +C2)=0(其中λ ∈R,这条直线可以是 l1,但不能 是 l2)表示过 l1 和 l2 交点的直线系方程. 自查自纠: 1.(1)k1=k2 l1∥l2 (2)k1k2=-1 l1⊥l2 2.相交 交点的坐标 无公共点 平行 重合 |Ax0+By0+C| |C1-C2| 3.(1) (2) 2 2 2 A +B A +B2

类型一
2 若直线 l 过点(-1,2),且与直线 y= x 垂 3 直,则直线 l 的方程是( ) A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 3 解:由条件知,直线 l 的斜率 k=- ,∴其方 2 3 程为 y-2=- (x+1),即 3x+2y-1=0.故选 A. 2
7

两条直线平行、重合或相交

已知两条直线:l1:x+my+6=0,l2: (m-2)x+3y+2m=0,当 m 为何值时,l1 与 l2: (1)相交;(2)平行;(3)重合. ?x+my+6=0, ? 解:联立两直线方程? ?(m-2)x+3y+2m=0. ? 当 m=0 或 m=2 时两直线相交;

A1 1 B1 m C 1 当 m≠0 或 2 时,此时 = , = , = A2 m-2 B2 3 C2 6 , 2m A1 B1 1 m 当 = 时,即 = ,解得 m=-1 或 m A2 B2 m-2 3 =3; A1 C 1 1 6 当 = 时,即 = ,解得 m=3. A2 C 2 m-2 2m A1 B1 (1)当 m≠-1 且 m≠3 时, ≠ ,方程组有唯 A2 B2 一一组解. ∴l1 与 l2 相交. A1 B 1 A1 C 1 (2)当 m=-1 时, = 且 ≠ ,方程组无 A2 B 2 A2 C 2 解. ∴l1 与 l2 平行. A1 B1 C 1 (3)当 m=3 时, = = ,方程组有无穷多 A2 B2 C 2 组解. ∴l1 与 l2 重合. 点拨: 由直线的一般式直接判断两条直线是否平行 A1 B1 C 1 时,可直接应用本题的结论,即:若 = ≠ , A2 B2 C 2 则直线 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 平行, 这是一个很实用的结论,但要注意分母不能为零. 当实数 m 为何值时,三条直线 l1:3x +my-1=0,l2:3x-2y-5=0,l3:6x+y-5=0 不能围成三角形. 解:记 l1,l2,l3 三条直线的斜率分别为 k1,k2, 3 k3,则 k2= ,k3=-6. 2 3 若 l1∥l2,或 l1∥l3,则 k1=k2= ,或 k1=k3= 2 1 -6,解之得 m=-2 或 m= ; 2 ? ?3x-2y-5=0, 若三条直线交于一点,由 ? 得 ?6x+y-5=0 ? ? ?x=1, ? l2 与 l3 交于点(1,-1),将点(1,-1)代 ?y=-1, ? 1 入 3x+my-1=0,得 m=2.∴当 m=± 2 或 时,l1, 2 l2,l3 不能围成三角形.

解:结合图形分析,

如图所示,由直线 l1,l2 及 x,y 轴所围成四边 形为 OABC,其有外接圆的充要条件是对角互补. ∵∠COA=90° ,∴∠CBA=90° , 即 l1⊥l2. 1? ∴k·? ?-3?=-1,解得 k=3. 点拨: (1)给定两直线:l1:A1x+B1y+C1=0(或 y=k1x +b1);l2:A2x+B2y+C2=0(或 y=k2x+b2).直线 l1 ⊥l2 的充要条件是 A1A2+B1B2=0(或 k1k2=-1).认 识此充要条件请把握好以下两点:①k1k2=- 1 是 A1A2+B1B2=0 在一般式中两直线斜率均存在情况 下的等价形式; ②A1A2+B1B2=0 含两条直线中一条 直线斜率不存在而另一条直线斜率为零这一特殊的 情形, 此时两直线也垂直.(2)解析几何是用代数的方 法解决几何问题,所以灵活运用平面几何中相关的 性质、定理会使求解过程简捷、明快,这里应用了 四边形有外接圆的充要条件:对角互补. (2013·北京一模)已知直线 l1: ax+(a +1)y+1=0, l2: x+ay+2=0, 则“a=-2”是“l1 ⊥l2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解:当 a=-2 时,l1:2x+y-1=0,l2:x-2y 1 +2=0,k1=-2,k2= ,∵k1k2=-1,∴l1⊥l2, 2 充分性成立;反之,由 l1⊥l2 得 a· 1+(a+1)· a=0, 解得 a=-2 或 0,必要性不成立.综上知,故选 A.

类型三

对称问题

类型二

两条直线垂直

直线 l1: x+3y=7 与直线 l2: kx-y=2, 以及与 x,y 轴围成的凸四边形有外接圆,求实数 k 的值.
8

求直线 l: x-2y+6=0 关于点 M(-1, 1)对称的直线 l′的方程. 解法一:取 l 上的两点 A(0,3),B(-6,0),求 出它们关于点 M 的对称点,A′(-2,-1),B′(4, 2),再用两点式求出 l′的方程为 x-2y=0. 解法二: 设点 P′(x′, y′)为所求直线 l′上的任意 一点, 则点 P′关于点 M 在直线 l 上的对称点为 P(x, y).

x′ , ?-1=x+ 2 由? y+y′ ?1= 2

? ?x=-2-x′, 得 ? 代入直线 ?y=2-y′, ?

l 的方程得: (-2-x′)-2(2-y′)+6=0,得 x′-2y′=0,即 x -2y=0 为所求直线 l′的方程. 点拨: 利用点关于点对称列式,再用相关点间的代换 法求 l′,此解法适用于求曲线 F(x,y)=0 关于点对 称的曲线方程,具有普遍意义.有关直线与点的对称 问题可分为四类:两点关于一点成中心对称;两线 关于一点成中心对称;两点关于一直线成轴对称; 两线关于一直线成轴对称,前两类较简单,后两类 主要应用中点、垂直等条件解决.求曲线关于点或直 线对称曲线的主要步骤是:①在已知曲线上任取一 点 M(x, y); ②求出这点关于对称中心或对称轴的对 称点 M′(x′,y′);③已知曲线方程用 x′,y′表示, 求出所求曲线的方程 G(x′,y′)=0. 已知三角形的一个顶点 A(4, -1), 它 的两条角平分线所在直线的方程分别为 l1:x-y-1 =0 和 l2:x-1=0,求 BC 边所在直线的方程. 解:A 不在这两条角平分线上,因此 l1,l2 是另 两个角的角平分线.点 A 关于直线 l1 的对称点 A1, 点 A 关于直线 l2 的对称点 A2 均在边 BC 所在直线 l 上.

∵两平行直线间的距离为 5, |t-4| ∴d= = 5,解得 t=9 或-1. 5 直线 l 的方程为 2x-y+9=0 或 2x-y-1=0. 当点 A,B 分居直线 l 的两侧时, 线段 AB 的中点在直线 l 上,即点(-1,2)在直 线 l 上,且直线 l 的斜率存在,可设直线 l:y=k(x +1)+2, |k-2| 由点到直线的距离公式得 d= 2 = 5, k +1 1 解得 k=- ,直线 l 的方程为 x+2y-3=0. 2 综上,直线 l 的方程为 2x-y+9=0 或 2x-y- 1=0 或 x+2y-3=0.

点拨: 两点到直线的距离相等,可分为两点在直线同 侧和两侧,其中位于直线两侧的情形极易遗漏,应 引起注意.对于 A,B 两点在直线 l 的两侧,若由|AB| =2 5,发现直线 l 即线段 AB 的中垂线,则更易求 解. (2013·武汉四月调研)已知直线 l:Ax +By+C=0(A, B 不全为 0), 两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2) , 若 (Ax1 + By1 + C)· (Ax2 + By2 + C)>0 , 且 |Ax1+By1+C|<|Ax2+By2+C|,则直线 l( ) A.与直线 P1P2 不相交 B.与线段 P2P1 的延长线相交 C.与线段 P1P2 的延长线相交 D.与线段 P1P2 相交 解: 由 (Ax1 + By1 + C)(Ax2 + By2 + C)>0 ,得点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线 l:Ax+By+C=0 的同 |Ax1+By1+C| |Ax2+By2+C| 侧,设 d1= ,d2= ,由 2 2 A +B A2+B2 |Ax1+By1+C|<|Ax2+By2+C|得 d1<d2,即点 P1(x1, y1)到直线 l 的距离小于点 P2(x2, y2)到直线 l 的距离, 数形结合知直线 l 与线段 P2P1 的延长线相交.故选 B.

设 A1(x1,y1),则有 y1+1 ×1=-1, x1-4
1 1

? ? ?x +4 y -1 ? 2 - 2 -1=0, ?
?x1=0, ? 解得? ∴A1(0,3). ? ?y1=3, 同理设 A2(x2,y2),易求得 A2(-2,-1). ∴BC 边所在直线方程为 2x-y+3=0.

类型五

直线系及其应用

类型四

距离问题

已知点 A(-2,0),B(0,4)到直线 l 的 距离均为 5,求直线 l 的方程. 解:当点 A,B 在直线 l 的同侧时,有 AB∥l, 易得直线 AB 的方程为 2x-y+4=0, 则可设直 线 l 的方程为 2x-y+t=0,
9

求证:动直线(m2+2m+3)x+(1+m- m )y+3m +1=0(其中 m∈R)恒过定点,并求出定 点坐标. 证法一: 令 m=0, 则直线方程为 3x+y+1=0, ① 再令 m=1 时,直线方程为 6x+y+4=0,② ?3x+y+1=0, ? ①②联立,得方程组? ?6x+y+4=0, ?
2 2

? ?x=-1, 解得? ?y=2. ? 将点 A(-1,2)代入动直线(m2+2m+3)x+(1+ m-m2)y+3m2+1=0 中, (m2+2m+3)×(-1)+(1+m-m2)×2+3m2+1 =(3-1-2)m2+(-2+2)m+2+1-3=0, 故点 A(-1,2)的坐标恒满足动直线方程, 所以 动直线(m2+2m+3)x+(1+m-m2)y+3m2+1=0 恒 过定点 A. 证法二:将动直线方程按 m 降幂排列整理得, m2(x-y+3)+m(2x+y)+3x+y+1=0,① 不论 m 为何实数,①式恒为零, x-y+3=0, ? ? ? ?x=-1, ∴有?2x+y=0, 解得? ?y=2. ? ? ?3x+y+1=0, 故动直线恒过点 A(-1,2).

点拨: 此题属于数学中恒成立问题,所以证法一是先 赋给 m 两个特殊值得两条直线,那么这两条直线的 交点就是那个定点,但 m 只是取两个特殊值,是否 m∈R 时都成立,则要进行代入检验;证法二是将 动直线方程按 m 的降幂排列, 由于?m∈R 恒成立, 所以得关于 x,y 的方程组,解此方程组便得定点坐 标.直线系也称直线束,是具有某一共同性质的直线 的集合.常见直线系方程有: (1)过定点(x1, y1)的直线 系:y-y1=k(x-x1)和 x=x1.(2)平行于直线 Ax+By +C=0 的直线系:Ax+By+λ=0(λ≠C).(3)垂直于 直线 Ax+By+C=0 的直线系:Bx-Ay+λ=0.(4)过 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 的交点的直线 系: A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线 A2x+B2y+C2=0). 已知直线 l:(a+b)x+(a-b)y+2=0, 其中 a,b 满足 3a-b+2=0.求证:直线 l 恒过一定 点. 证明:由已知得 b=3a+2,则直线 l 的方程可 化为 (4a+2)x-(2a+2)y+2=0,整理得 a(4x-2y)+2x-2y+2=0. ? ? ?4x-2y=0, ?x=1, 令? 解得? ?2x-2y+2=0, ?y=2. ? ? ∵点(1,2)恒满足直线 l 的方程,∴直线 l 恒过 定点(1,2).

3.如果能推导出用直线方程一般式表示的两条 直线平行、重合或垂直的条件(一般式系数之间的关 系),并记住结论,往往会使问题更易于解决. 4.求两条直线交点坐标的方法就是解方程组, 利用解方程组也可以判断两条直线的位置关系,即 将几何问题转化为代数问题. |C1-C2| 5.运用公式 d= 2 求两平行直线间的距离 A +B2 时,一定要将两条直线方程中 x,y 的系数化成相等 的系数,求两平行直线间的距离也可化归为点到直 线的距离,即在一条直线上任取一点,求该点到另 一条直线的距离即为两平行直线间的距离 . 这一方 法体现了化归思想的应用. 6.点(x0,y0)到直线 y=kx+b(即 y-kx-b=0) |y0-kx0-b| 的距离公式 d= 记忆容易, 对于知 d 求 k, 1+k2 b 很方便. 7.对称主要分为中心对称和轴对称两种,中心 对称仅用中点坐标公式即可,轴对称因对称点连线 的中垂线就是对称轴,所以根据线段的中点坐标公 式和两条直线垂直的条件即可解决.

1.无论是判断两条直线平行还是垂直,都是从 两方面来讨论的,即两条直线斜率都存在的情况和 两条直线至少有一条斜率不存在的情况. 2. 两条直线平行或垂直时求直线方程中的参 数,需分类讨论及数形结合.
10

1.过点 A(2,3)且垂直于直线 2x+y-5=0 的直 线方程为( ) A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0 C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0 1 解:由点斜式得所求直线方程为 y-3= (x- 2 2),即 x-2y+4=0.故选 A. 2.(2013·山东模拟)已知两条直线 y=ax-2 和 3x-(a+2)y+1=0 互相平行,则 a 等于( ) A.1 或-3 B.-1 或 3 C.1 或 3 D.-1 或-3 解:∵直线 y=ax-2 的斜率存在且为 a,∴a 3 +2≠0,直线 3x-(a+2)y+1=0 可化为 y= x a+2 1 3 1 + .∵两条直线平行,∴ =a 且 ≠-2, a+2 a+ 2 a+2 解得 a=1 或-3.故选 A. 3.若直线 l1:y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1) 对称,则直线 l2 恒过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2) 解:∵直线 l1 与 l2 关于点(2,1)对称,且直线 l1 过点(4,0),∴直线 l2 必过点(4,0)关于点(2,1) 的对称点(0,2).故选 B. 4.(2013·长春调研)已知直线 3x+4y-3=0 与 直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离是 ( ) 17 17 A. B. C.8 D.2 10 5

3 4 3 解:由题意得 = ≠- ,解得 m=8.∴直线 6 m 14 6x+my+14=0 可化为 3x+4y+7=0.∴两平行线间 |-3-7| 的距离为 d= 2 =2.故选 D. 3 +42 5.如果直线(m+2)x+(m2+3m+2)y=m+2 与 y 轴平行,则 m=( ) A.-1 或-2 B.-1 C.-1 或 2 D.-2 解:∵直线与 y 轴平行, ∴m2+3m+2=0,解得 m=-1 或-2. 当 m=-1 时,直线方程为 x=1; 当 m=-2 时,方程(m+2)x+(m2+3m+2)y= m+2 不表示直线,舍去. 综上知 m=-1.故选 B. 6.已知直线 l1:ax+4y=2 与直线 l2:2x-5y+ b=0 垂直,点(1,c)为垂足,则 a+b+c 等于( ) A.-4 B.20 C.0 D.24 解: ∵l1⊥ l2 ,∴ 2a- 20 =0 ,a= 10.∴直线 l1 的方程为 5x+2y-1=0.又∵点(1,c)为垂足,∴点 ?5+2c-1=0, ? (1 , c) 在 直 线 l1 , l2 上 , 有 ? 解得 ? ?2-5c+b=0, ?b=-12, ? ? ∴a+b+c=10-12-2=-4.故选 A. ?c=-2. ? 7.过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心,且与直线 2x+3y=0 垂直的直线方程为____________. 解:设与直线 2x+3y=0 垂直的直线方程为 3x -2y+m=0, 由于其过圆心(-1, 2), 所以有 3×(- 1)-2×2+m=0,得 m=7,所求直线方程为 3x- 2y+7=0.故填 3x-2y+7=0. 8.(2013·北京模拟)l1,l2 是分别经过 A(1,1), B(0,-1)两点的两条平行直线,当 l1,l2 间的距离 最大时,直线 l1 的方程是____________. 解:当两条平行直线与 A,B 两点连线垂直时, 两条平行直线间的距离最大,∵A(1,1),B(0,- -1-1 1 1),∴kAB= =2,两平行线的斜率为 k=- . 2 0-1 1 ∴直线 l1 的方程是 y-1=- (x-1),即 x+2y-3 2 =0.故填 x+2y-3=0. 9.已知△ABC 的顶点 B(2,1),C(-6,3),其 垂心为 H(-3,2),求顶点 A 的坐标. 解:设顶点 A 的坐标为(x,y). ? ?kAC·kBH=-1, ∵AC⊥BH,AB⊥CH,∴? ?kAB·kCH=-1, ? y-3 ? 1? × - =-1, x+6 ? 5? 即 y-1 ? 1? × - =-1, x-2 ? 3? ? ? ?y=5x+33, ?x=-19, 化简为? 解之得? ? ? ?y=3x-5, ?y=-62.

∴A 的坐标为(-19,-62). 10.设一直线 l 经过点(-1,1),此直线被两平 行直线 l1:x+2y-1=0 和 l2:x+2y-3=0 所截得 线段的中点在直线 x-y-1=0 上, 求直线 l 的方程. 解法一:设直线 x-y-1=0 与 l1,l2 的交点为 C(xC,yC),D(xD,yD),则 ?x+2y-1=0, ?xC=1, ? ? 由? 解得? ∴C(1,0). ?x-y-1=0 ?yC=0, ? ? 5 x D= , ? 3 x + 2 y - 3 = 0 , ? 5 2? , 由? 解得 ∴D? 3 3?. ? 2 ?x-y-1=0 ? y D= , 3 4 1 ? ∴CD 的中点为 M? ?3,3?. 又 l 过点(-1,1),由两点式得 l 的方程为: 1 4 y- x- 3 3 = ,即 2x+7y-5=0 为所求方程. 1 4 1- -1- 3 3 解法二:∵与 l1,l2 平行且与它们距离相等的 直线方程为: -1-3 x+2y+ =0,即 x+2y-2=0, 2 ? ?x+2y-2=0, 4 1? , ∴由? 得 M? 3 3?.(以下同解法 ? ?x-y-1=0 ?

? ? ?

一) 解法三:过中点且与两直线平行的直线方程为 x+2y-2=0, 设所求方程为: (x-y-1)+λ(x+2y-2)=0, ① ∵ (-1, 1)在此直线上,∴- 1-1- 1+λ(- 1 +2-2)=0,解得 λ=-3,代入①得 2x+7y-5= 0. 解法四:设所求直线与两平行线 l1,l2 的交点 为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? ?x1+2y1-1=0, 由? 得(x1+x2)+2(y1+y2)-4= ?x2+2y2-3=0 ? 0.① 又 AB 的中点在直线 x-y-1=0 上, x1+x2 y1+y2 ∴ - -1=0.② 2 2 x1+x2 4 = , 2 3 联立①②解得 (以下同解法一) y1+y2 1 = . 2 3 11.证明直线(a-2)y=(3a-1)x-1 对任意 a∈R 都通过第一象限,并求出直线不通过第二象限时 a 的取值范围. 证明: 原直线方程可变形为 x-2y+1+a(y-3x) =0,①

? ? ?

? ? ? ? ?

11

?x-2y+1=0, ? 由? 解得 ? ?y-3x=0

?x=5, ? 3 ?y=5.

1

1 3 ∴方程①表示恒过点( , )的一条直线. 5 5 1 3 又点( , )在第一象限, 5 5 ∴无论 a 为何实数,此直线均过第一象限. 3a-1 解:当 a≠2 时,直线方程可化为:y= x a-2 1 - . a-2 若要此直线不通过第二象限,则 3a-1 >0, a-2 解得 a>2. 1 - <0, a-2 1 又当 a=2 时,原方程可化为:x= ,也不经过 5 第二象限. ∴当 a≥2 时,直线不通过第二象限.

? ? ? ? ?

(2014·上海)已知 P1(a1,b1)与 P2(a2, b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点, 则关 ? a x + b y = 1 , ? 1 1 于 x 和 y 的方程组 ? 的解的情况是 ?a2x+b2y=1 ? ( ) A.无论 k,P1,P2 如何,总是无解 B.无论 k,P1,P2 如何,总有唯一解 C.存在 k,P1,P2,使之恰有两解 D.存在 k,P1,P2,使之有无穷多解 解:∵点 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)在直线 y=kx +1(k 为常数)上且斜率存在, b2-b1 b2-b1 ∴k= (a ≠a ),b1= ·a +1, a2-a1 1 2 a2-a1 1 得 a2b1-a1b2=a2-a1. ? ?a1x+b1y=1, 由? 得(a1b2-a2b1)x=b2-b1,即 ?a2x+b2y=1 ? (a1-a2)x=b2-b1. ∴方程组总有唯一解.故选 B.

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§9.3

圆的方程
2 D.-2<a< 3 解:∵方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表 示圆, ∴ D2 + E2 - 4F>0 ,即 a2 + (2a)2 - 4(2a2 + a - 2 1)>0,解得-2<a< .故选 D. 3 当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1 =0 恒过定点 C,则以 C 为圆心,半径长为 5的圆 的方程为( ) A.x2+y2-2x+4y=0 B. x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D. x2+y2-2x-4y=0 解:由(a-1)x-y+a+1=0 变形得 y-2=(a- 1)(x+1),∴该直线恒过点 C(-1,2).∴所求圆的方 程为(x+1)2+(y-2)2=5,即 x2+y2+2x-4y=0.故 选 C. (2014·陕西)若圆 C 的半径为 1,其圆心与 点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标准方程为 ____________. 解:∵点(1,0)关于直线 y=x 的对称点为(0, 1),∴圆心为(0,1).∴圆 C 的标准方程为 x2+(y- 1)2=1.故填 x2+(y-1)2=1. 圆心在 y 轴上,半径长为 1,且过点(1,2) 的圆的方程是________________. 解法一(直接法):设圆心坐标为(0,b),则由题 意知 (0-1)2+(b-2)2=1,解得 b=2,故圆 的方程为 x2+(y-2)2=1. 解法二(数形结合法):作图,根据圆上的点到 圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2),故圆的方程为 x2+(y-2)2=1.故填 x2+(y-2)2=1. C.-2<a<0

1.圆的定义 在平面内, 到_________的距离等于__________ 的点的 __________ 叫圆 . 确定一个圆最基本的要素 是__________和__________. 2.圆的标准方程与一般方程 (1)圆的标准方程: 方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 叫做以点____________为圆心,__________为半径 长的圆的标准方程. (2)圆的一般方程:方程 x2+y2+Dx+Ey+F= 0(____________)叫做圆的一般方程. D 2 E 2 x+ ? +?y+ ? = 注: 将上述一般方程配方得? ? 2 ? ? 2? D2+E2-4F ,此为该一般方程对应的标准方程,表 4 示的是以____________为圆心,____________为半 径长的圆. 3.点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有三种: 圆的标准方程 (x - a)2 + (y - b)2 = r2(r>0) ,点 M(x0,y0), (1)点 M 在圆上:________________________; (2)点 M 在圆外:_______________________; (3)点 M 在圆内:_________________________. 自查自纠: 1.定点 定长 集合 圆心 半径长 2.(1)(a,b) r D E 1 2 2 - ,- ? (2)D2+E2-4F>0 ? 2? 2 D +E -4F ? 2 3.(1)(x0-a)2+(y0-b)2=r2 (2)(x0-a)2+(y0-b)2>r2 (3)(x0-a)2+(y0-b)2<r2

类型一

求圆的方程

若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y= 0 的圆心,则 a 的值为( ) A.-1 B.1 C.3 D.-3 2 解:圆的方程可化为(x+1) +(y-2)2=5,∵直 线经过圆的圆心(-1,2),∴3×(-1)+2+a=0, 得 a=1.故选 B. 方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示 圆,则 a 的取值范围是( ) 2 2 A.a<-2 或 a> B.- <a<0 3 3
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已知两点 P1(4,9)和 P2(6,3),求以 P1P2 为直径的圆的方程, 并且判断点 M(6, 9), N(3, 3),Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外. 解法一(待定系数法): 根据已知条件, 圆心 C(a, 4+6 b)是 P1P2 的中点,那么它的坐标为 a= =5,b 2 9+3 = =6. 2 再根据两点的距离公式,得圆的半径长是 r=|CP1|= (4-5)2+(9-6)2= 10. 因此所求圆的方程是(x-5)2+(y-6)2=10.

解法二(轨迹法):∵P1P2 为直径,∴圆上任意 一点与 P1,P2 的连线互相垂直. 设 P(x,y)为所求圆上任意一点,∵PP1⊥PP2, y-9 y-3 ∴kPP1·kPP2=-1,即 · =-1, x-4 x-6 得 x2+y2-10x-12y+51=0, 其标准形式 (x - 5)2 + (y - 6)2 = 10 即为所求方 程. 分别计算点 M(6,9),N(3,3),Q(5,3)与圆心 C(5,6)的距离,得|CM|= 10,|CN|= 13> 10, |CQ|=3< 10. 因此,点 M 在圆上,点 N 在圆外,点 Q 在圆 内. 点拨: (1) 求圆的方程必须具备三个独立的条件 . 从圆 的标准方程来讲, 关键在于求出圆心坐标和半径长; 从圆的一般方程来讲,若知道圆上的三个点则可求 出圆的方程.因此,待定系数法是求圆的方程的常用 方法.(2)用几何法求圆的方程, 要充分运用圆的几何 性质,如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上” 等.(3)常见圆的方程的设法:
标准方程的设法 圆心在原 点 过原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 与 x 轴相 切 与 y 轴相 切 x2+y2=r2 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 (x-a)2+y2=r2 x2+(y-b)2=r2 (x-a)2+(y-b)2=b2 一般方程的设 法 x2+y2-r2=0 x2+y2+Dx+Ey =0 x2+y2+Dx+F =0 x2+y2+Ey+F =0 x2+y2+Dx+Ey 1 + D2=0 4 x2+y2+Dx+Ey 1 + E2=0 4

解:设内切圆圆心 I(a,b),半径长为 r. 由点到直线的距离知 |2a-b-5| |2a+b-5| |a+2b-5| r= = = , 5 5 5 又∵三角形的内心总在这三角形的内部, ∴根据线性规划的知识得 2a-b-5 2a+b-5 a+2b-5 r= = = . - 5 5 - 5 由 2a-b-5=a+2b-5,得 a=3b,① 5 由 2a-b-5=-(2a+b-5),得 a= . 2 5 5+ -5 6 5 5 5 将 a= 代入①式,得 b= .∴r= = . 2 6 6 5 2 2 5 5 5 ? ? ? 故所求圆的方程为? ?x-2? +?y-6? =36. 点拨: 设出圆的圆心坐标后,利用三角形内切圆的性 质和点到直线的距离公式得到关于圆心坐标的方程 组,解此方程组得圆心坐标后再求圆的半径长.求解 过程中需要注意: 内切圆的圆心总在三角形的内部, 因此需要应用线性规划的有关知识判断绝对值中代 数式的符号, 否则会求出多解(其他的解是三个旁切 圆的圆心). △ABC 的三个顶点分别为 A(-1,5), B(-2,-2),C(5,5),求其外接圆的方程. 解法一: 设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F =0,则由题意有 ?-D+5E+F+26=0, ?D=-4,

(x-a)2+(y-b)2=a2

山东)圆心在直线 x-2y=0 上 (2014· 的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的 长为 2 3,则圆 C 的标准方程为____________. 解:设圆心的坐标为(2b,b)(其中 b>0),则圆 C 的半径为 2b ,圆心到 x 轴的距离为 b ,所以 2 4b2-b2=2 3,b>0,解得 b=1,故所求圆 C 的标准方程为 (x - 2)2 + (y - 1)2 = 4. 故填 (x - 2)2 + (y-1)2=4.

故所求圆的方程为 x2+y2-4x-2y-20=0. 解法二:由题意可求得线段 AC 的中垂线方程 为 x=2,线段 BC 的中垂线方程为 x+y-3=0,∴ 圆 心 是 两 中 垂 线 的 交 点 (2 , 1) , 半 径 r = (2+1)2+(1-5)2=5. 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25.

? ? ?-2D-2E+F+8=0,解得?E=-2, ? ? ?5D+5E+F+50=0, ?F=-20.

类型三

与圆有关的轨迹问题

类型二

三角形的内切圆与外接圆

已知点 A(3,0),点 P 是圆 x2+y2= 1(x≠1)上的一点,∠AOP 的角平分线交 AP 于 Q, 求点 Q 的轨迹方程.

已知三角形的三边所在直线分别为 x +2y=5,2x-y=5,2x+y=5,求三角形的内切圆 方程.
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解:设 Q 点坐标为(x,y),P 点坐标为(x′,y′). ∵OQ 是∠AOP 的平分线, |AO| |AQ| ∴ = .又|AO|=3,|OP|=1, |OP| |QP| |AQ| → → ∴ =3, 即AQ=3QP, 有(x-3, y)=3(x′-x, |QP| y′-y), 4x-3 x′= , 3 (4x-3)2 代入圆的方程得: 9 4y y′= . 3 16y2 + =1, 9 3 2 3 9 x- ? +y2= ?x≠ ?为所求方程. 即? 2? ? 4? ? 16

? ? ?

2.圆的方程的确定 由圆的标准方程和圆的一般方程,可以看出方 程中都含有三个参变数,因此必须具备三个独立的 条件,才能确定一个圆,求圆的方程时,若能根据 已知条件找出圆心和半径,则可用直接法写出圆的 标准方程,否则可用待定系数法. 3.求圆的方程的方法 (1)几何法: 即通过研究圆的性质, 以及点和圆、 直线和圆、圆和圆的位置关系,求得圆的基本量(圆 心坐标和半径长),进而求得圆的方程. (2)代数法:即用“待定系数法”求圆的方程, 其一般步骤是:①根据题意选择方程的形式;②利 用条件列出关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组;③ 解②中的方程组,求得 a,b,r 或 D,E,F 的对应 值,代入圆的标准方程或一般方程.

点拨: ①此题运用了三角形内角平分线定理,从而使 问题变得简单.经验告诉我们,在解析几何中,能成 功运用几何定理,往往能使思维在“山重水复”的 困境中豁然进入“柳暗花明”的境界.②向量工具具 有简化运算的强大功能. 已知 A,B 两点为定点,动点 M 到 A, B 两点的距离比是常数 λ,求点 M 的轨迹方程,并 说明轨迹是什么曲线. 解:建立如图所示的坐标系,设 M(x,y),|AB| =2a(a>0),

则 A(-a,0),B(a,0),由题意得 ∴

|MA| =λ, |MB|

(x+a)2+y2 =λ, (x-a)2+y2 化简得 (1- λ2)x2+ (1- λ2)y2 + 2a(1 + λ2)x+ (1- λ2)a2=0. 当 λ=1 时, 即|MA|=|MB|, 点 M 的轨迹方程是 x=0,其轨迹是直线(y 轴);当 λ≠1 时,点 M 的轨 2a(1+λ2) 迹方程是 x2+y2+ x+a2=0,点 M 的轨 1-λ2 2 ? a(1+λ ),0?为圆心, 2aλ 为半径长 迹是以?- ? 1-λ2 ? ? |1-λ2| 的圆.

1.注意应用圆的几何性质解题 圆的图形优美,定理、性质丰富,在学此节时, 重温圆的几何性质很有必要,因为使用几何性质, 能简化代数运算的过程,拓展解题思路.
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1.圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 解:圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所 以圆心坐标是(2,-3).故选 D. 2.圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by +2=0(a,b∈R)对称,则 ab 的取值范围是( ) 1 1 ? ? A.? B.? ?-∞,4? ?0,4? 1 ? 1? C.? D.? ?-4,0? ?-∞,4? 解:由题可知直线 2ax-by+2=0 过圆心(-1, a+b? 2 1 2) , 故 可 得 a + b = 1 , 又 ab≤ ? ? 2 ? =4, 1? ∴ab∈? ?-∞,4?.故选 A. 3.已知直线 l:y=x+m(m∈R),若以点 M(2, 0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且 P 在 y 轴上, 则该圆的方程为( ) 2 2 A.(x-2) +y =8 B.(x-2)2+y2=6 2 2 C.(x-2) +y =4 D.(x-2)2+y2=2 解:易得 P(0,m),∵直线 l 与圆 M 相切, m ∴kMP·kl=- ×1=-1,m=2,r=|MP|=2 2, 2 所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.故选 A. 4.(2013·天津)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x -1)2+y2=5 相切, 且与直线 ax-y+1=0 垂直, 则 a=( ) 1 1 A.- B.1 C.2 D. 2 2 解:设过点 P(2,2)且与圆(x-1)2+y2=5 相切 的直线为 l, ∵点 P 在圆上, ∴由圆心 C(1, 0), P(2, 2)得 kCP=2.又直线 l 与 ax-y+1=0 垂直, ∴a=kCP =2.故选 C. 5.(2013·重庆)设 P 是圆(x-3)2+(y+1)2=4 上 的动点,Q 是直线 x=-3 上的动点,则|PQ|的最小

值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 解:由题意知圆心 C(3,-1),半径 r=2.过点 C 作直线 x=-3 的垂线, 垂足为 Q, 则|PQ|min=|CQ| -r=6-2=4.故选 B. 6.圆心在抛物线 x2=2y 上,并且和抛物线的准 线及 y 轴都相切的圆的标准方程为( ) 1 ?2 A.(x±1)2+? 2? =1 ?y± 1?2 B.(x-1)2+? ?y-2? =1 1?2 C.(x-1)2+? ?y±2? =1 1?2 D.(x±1)2+? ?y-2? =1 a2 y- ? 2 = 解 : 设圆 的标准 方程 为 (x-a) 2 + ? ? 2? |a|=r, ? ? 1, ? 2 ?a=± 2 r (r>0) ,由题意有 ?a 1 解得 ? 故选 ?r=1. ? ? ? 2 +2=r, D. 7.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心 在 x 轴上,则 C 的方程为________________. 解:设圆心坐标为(x,0),则有 (x-5)2+1 = (x-1)2+9,解得 x=2.由两点距离公式得 r = (2-5)2+1= 10,所以圆的方程为(x-2)2+ y2=10.故填(x-2)2+y2=10. 8.已知 A,B 是圆 O:x2+y2=16 上的两点,且 |AB|=6,若以 AB 为直径的圆 M 恰好经过点 C(1, -1),则圆心 M 的坐标是______________. 解:设圆心 M(x,y),由|AB|=6 知,圆 M 的半 径 r=3, 则|MC|=3, 即 (x-1)2+(y+1)2=3, ∴(x-1)2+(y+1)2=9.又∵|MO|= |AO|2-|AM| = 42-32= 7, ∴有 x2+y2=7.故圆心 M 的轨迹满足 ?(x-1)2+(y+1)2=9, ? 方程组? 2 2 解得圆心 M 为 ?x +y =7, ? 14 14? 14 14? 两个点:M1? ,M2?- .故填 ? 2 , 2 ? ? 2 ,- 2 ? ? 14, 14?,(- 14,- 14). 2 2 2 ? ? 2 9.已知圆经过 A(2,-3)和 B(-2,-5)两点, 若圆心在直线 x-2y-3=0 上,求圆的方程. 解法一: 线段 AB 中垂线的方程为 2x+y+4=0, 它与直线 x-2y-3=0 的交点(-1, -2)为圆心, 由 两点间的距离公式得 r2=10,∴圆的方程为(x+1)2 +(y+2)2=10. 解法二:设方程(两种形式均可以 ),由待定系 数法求解.
2

10.求过点 A(-1,0),B(3,0)和 C(0,1)的圆 的方程. 解法一:线段 AB 中垂线的方程为 x=1, 线段 AC 的中垂线方程为 x+y=0, ?x=1, ? 由? 得圆心坐标为 M(1,-1),半径 r ? ?x+y=0, =|MA|= 5, ∴圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 解法二:设方程,由待定系数法求解. 11.已知定点 A(4,0),P 点是圆 x2+y2=4 上一 动点,Q 点是 AP 的中点,求 Q 点的轨迹方程. 解:设 Q 点坐标为(x,y),P 点坐标为(xP,yP), 4+xP 0+yP 则 x= 且 y= ,即 xP=2x-4,yP=2y,又 2 2 2 点 P 在圆 x2+y2=4 上, ∴x2 将 xP=2x-4, P+yP=4, 2 2 yP=2y 代入得(2x-4) +(2y) =4,即(x-2)2+y2= 1.故所求轨迹方程为(x-2)2+y2=1. 在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点 .记过 三个交点的圆为圆 C. (1)求实数 b 的取值范围; (2)求圆 C 的方程; (3)圆 C 是否经过定点(与 b 的取值无关)?证明 你的结论. 解:(1)令 x=0,得抛物线与 y 轴的交点是(0, b). 令 f(x)=0,得 x2+2x+b=0,由题知 b≠0,且 Δ>0,解得 b<1 且 b≠0. (2)设所求圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F =0, 令 y=0,得 x2+Dx+F=0,这与 x2+2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b. 令 x=0,得 y2+Ey+b=0,此方程有一个根为 b,代入得 E=-b-1. 所以圆 C 的轨迹方程是 x2+y2+2x-(b+1)y+ b=0. (3)圆 C 过定点,证明如下: 假设圆 C 过定点(x0,y0)(x0,y0 不依赖于 b), 将该点的坐标代入圆 C 的方程,并变形为 2 x2 0+y0+2x0-y0+b(1-y0)=0.(*) 为使(*)式对所有满足 b<1(b≠0)的 b 都成立, 必须有 1- y0=0,结合 (*) 式得 x2 0 + 2x0 = 0 ,解得 ? ? x = 0 , x =- 2 , ? 0 ? 0 ? 或? 经检验知,点(0,1),(-2, ?y0=1, ? ?y0=1. ? 1)均在圆 C 上.因此,圆 C 过定点.

16

§9.4

直线、圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系
位置 关系 图示 公共点个 数 几何特征 代数特征(解 的个数)

相离

无实数解

相切

d=r

相交

2

2.圆与圆的位置关系
位置 关系 代数特征 (两个圆的 几何特 公共点 方程组成 征(O1O2 个数 的方程组 =d) 的解的个 数) 0 无实数解

图示(R>r)

外离

外切

1

两组相同 实数解

相交

2

两组不同 实数解

内切

1

两组相同 实数解

内含

0

无实数解

自查自纠: 1.0 d>r 1 两组相同实数解 d<r 两组不 同实数解 2.d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r

对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+ y2=2 的位置关系一定是( ) A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 解:对任意实数 k,直线 y=kx+1 恒过点 A(0, 1),点 A 在圆 x2+y2=2 内,且圆心(0,0)不在直线 y=kx+1 上,故选 C. 圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 解:两圆圆心分别为 O1(-2,0),O2(2,1), 半 径 长 分 别 为 r1 = 2 , r2 = 3.∵ |O1O2| = [2-(-2)]2+(1-0)2= 17,3-2< 17<3+ 2,∴两圆相交.故选 B. (2013·山东)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程 为( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 1 解:点(3,1)与圆心(1,0)的连线的斜率为 , 2 所以直线 AB 的斜率为-2,显然(1,1)为其中一个 切点,所以直线 AB 的方程为 y-1=-2(x-1),化 简得 2x+y-3=0.故选 A. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5 =0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的 长等于__________. 解:圆 x2+y2=4 的圆心 O(0,0)到直线 3x+4y -5=0 的距离 d=1, 弦 AB 的长为|AB|=2 r2-d2= 2 3.故填 2 3. 两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2: 2 2 x +y -4x-2y+1=0 的公切线有且仅有________ 条. 解:由已知条件知,圆 C1 的圆心坐标为(-1, -1),半径 r1=2,圆 C2 的圆心坐标为(2,1),半径 r2=2. ∵0<|C1C2|= 13<4,∴两圆相交,公切线有 且仅有 2 条.故填 2.

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类型一

直线与圆的位置关系

D 选项知 a>0,b<0,满足圆心(a,b)(a>0,b<0)的 只有选项 D.故选 D. (2)(2014·安徽)过点 P(- 3, -1)的直线 l 与 圆 x2+y2=1 有公共点, 则直线 l 的倾斜角的取值范 围是( ) π? π? A.? B.? ?0,6? ?0,3? π? π? C.? D.? ?0,6? ?0,3? 解:由题意可知直线 l 的斜率存在,设其为 k, 则直线 l 的方程为 y=k(x+ 3)-1, 要使直线 l 与圆 2 2 x +y =1 有公共点,只须圆心(0,0)到直线 l 的距 | 3k-1| 离 d= 2 ≤1,解得 0≤k≤ 3.∴直线 l 的倾斜 k +1 π? 角的取值范围是? ?0,3?.故选 D.

(1)(2013·陕西)已知点 M(a, b)在圆 O: x +y =1 外, 则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系 是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 解:∵点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,∴a2 2 +b >1.又∵圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d= 1 <1,∴直线 ax+by=1 与圆 O 相交.故选 B. 2 a +b2
2 2

(2)设 m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2= 0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相切,则 m+n 的取值范 围是( ) A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞) 解 : 圆 心 (1 , 1) 到 直 线 的 距 离 d = |(m+1)+(n+1)-2| = 1 , 有 mn = m + n + (m+1)2+(n+1)2 m+n?2 t2 1≤? , 设 t=m+n, 则 ≥t+1, 解得 t∈(-∞, 4 ? 2 ? 2-2 2]∪[2+2 2,+∞).故选 D. 点拨: 在处理直线与曲线的位置关系时,一般用二者 联立所得方程组的解的情况进行判断 ( 即代数方 法),但若曲线是圆,则属例外情形,此时我们一般 用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断 (即几何方法),判断的具体方法详见“考点梳理” 栏目.另外,近几年高考中考查直线与圆的位置关系 的题目有所增多,应予以重视. (1)在同一坐标系下, 直线 ax+by=ab 2 2 和圆(x-a) +(y-b) =r (ab≠0,r>0)的图象可能是 ( )
2

类型二

圆的切线

已知圆 C: (x-1)2+(y-2)2=2, 点 P(2, -1),过 P 点作圆 C 的切线 PA,PB,A,B 为切点. (1)求 PA,PB 所在直线的方程; (2)求切线 PA 的长. 解:(1)如图,易知切线 PA,PB 的斜率存在, 设切线的斜率为 k.

由于切线过点 P(2, -1), ∴可设切线的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. 又∵圆心 C(1,2),半径 r= 2, ∴由点到直线的距离公式,得 |k-2-2k-1| 2= 2 ,解得 k=7 或 k=-1. k +(-1)2 故所求切线 PA,PB 的方程分别是 x+y-1=0 和 7x-y-15=0. (2)连接 AC,PC,则 AC⊥AP.在 Rt△APC 中, |AC|= 2, |PC|= (2-1)2+(-1-2)2= 10, ∴|PA|= |PC|2-|AC|2= 10-2=2 2. 点拨:

x y 解:直线方程可化为 + =1,且由 A,B,C, b a
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求过定点的圆的切线方程时,首先要判断定点

在圆上还是在圆外,若在圆上,则该点为切点,切 线仅有一条;若在圆外,切线应该有两条;若用切 线的点斜式方程,不要忽略斜率不存在的情况.求切 线长要利用切线的性质:过切点的半径垂直于切线. 已知圆 O:x2+y2=4,求过点 P(2, 4)且与圆 O 相切的切线. 解:∵点 P(2,4)不在圆 O 上, ∴切线 PT 的方程可设为 y=k(x-2)+4. |-2k+4| 3 根据 d=r,有 2 =2,解得 k=4. 1+k 3 ∴y= (x-2)+4,即 3x-4y+10=0. 4 由于过圆外一点作圆的切线应该有两条,可见 另一条直线的斜率不存在,易求另一条切线为 x= 2.

点(3, 5)为 AC 与 BD 的交点.将圆的一般方程化为标 准方程(x-3)2+(y-4)2=25,得圆心(3,4),半径 r =5,圆心到直线 BD 的距离 d=1,|BD|=2 r2-d2 =2 52-12=4 6,|AC|=2r=10,∴四边形 ABCD 1 的面积 S= |AC|·|BD|=20 6.故选 B. 2

类型四

圆与圆的位置关系

类型三

圆的弦长

(1)( 2014·江苏 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y+1)2=4 截得的弦长为____________. 解: ∵圆心(2, -1)到直线 x+2y-3=0 的距离 |2+2×(-1)-3| 3 d= = ,∴直线被圆截得的弦 5 12+22 2 3 2 55 2 55 长为 l=2 22-? ? = .故填 . 5 5 ? 5? (2)(2013·山东)过点(3, 1)作圆(x-2)2+(y-2)2 =4 的弦,其中最短弦的长为____________. 解:最短弦为过点 (3 , 1),且垂直于点(3 ,1) 与 圆 心 (2 , 2) 的 连 线 的 弦 , 易 知 弦 心 距 d = (3-2)2+(1-2)2 = 2 ,∴最短弦长为 l = 2 r2-d2=2 22-( 2)2=2 2.故填 2 2. 点拨: (1)一般来说,直线与圆相交,应首先考虑圆心 到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角 三角形,由此入手求解.(2)圆 O 内过点 A 的最长弦 即为过该点的直径,最短弦为过该点且垂直于直径 |x1-x2|,运 的弦.(3)圆锥曲线的弦长公式为 1+k2· 用这一公式也可解此题,但运算量较大. (2013·北京模拟)已知圆的方程为 x2 +y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最 短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 ( ) A.10 6 B.20 6 C.30 6 D.40 6 解:易知过点(3,5)的最长弦 AC 为圆的直径, 过点(3,5)的最短弦 BD 为垂直于直径 AC 的弦,∴
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已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5 =0,圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,问:m 为何值时, (1)圆 C1 和圆 C2 相外切? (2)圆 C1 和圆 C2 内含? 解:易知圆 C1,C2 的标准方程分别为 C1:(x -m)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-m)2=4, (1)如果圆 C1 与圆 C2 相外切,则两圆圆心距等 于两圆半径之和, 即有 (m+1)2+(m+2)2=3 +2,解之得 m=-5 或 2. (2)如果圆 C1 与圆 C2 内含,则只可能是较大圆 C1 含较小圆 C2,此时两圆圆心距小于两圆半径之 差,即 (m+1)2+(m+2)2 <3 - 2 ,解得- 2<m< -1. 故当 m=-5 或 2 时, 圆 C1 和圆 C2 相外切; 当 -2<m<-1 时,圆 C1 和圆 C2 内含. 点拨: 与判断直线与圆的位置关系一样,利用几何方 法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些 . 其 具体方法是:利用圆的方程及两点间距离公式求出 两圆圆心距 d 和两圆的半径 R 和 r,再根据 d 与 R +r, d 与 R-r 的大小关系来判定(详见“考点梳理” 栏目). (2014·湖南)若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m=( ) A.21 B.19 C.9 D.-11 解:圆心 C1(0,0),半径 r1=1,圆心 C2(3,4), 半径 r2= 25-m, ∵圆 C1 与圆 C2 外切, ∴ 32+42 =r1+r2=1+ 25-m,解得 m=9.故选 C.

类型五

两圆的公共弦及圆系方程

求以相交两圆 C1:x2+y2+4x+y+1 =0 及 C2:x +y2+2x+2y+1=0 的公共弦为直径 的圆的方程. 解:两个圆的方程相减,得 2x-y=0,即为公 共弦所在的直线方程,显然圆 C2 的圆心(-1,-1)
2

不在此直线上,故可设所求圆的方程为 x2+y2+4x +y+1+λ(x2+y2+2x+2y+1)=0(λ∈R,λ≠-1), 即 (1 + λ)x2 + (1 + λ)y2 + 2(2+ λ)x + (1 + 2λ)y + (1 + λ) ? 2+λ,- 1+2λ ?. =0,其圆心 O 的坐标为?- 2(1+λ)? ? 1+λ ? 2(2+λ) ∵点 O 在直线 2x-y=0 上,∴- + 1+λ 1+2λ 7 =0,解得 λ=- . 2 2(1+λ) 5 2 5 2 5 故所求方程为- x - y -3x-6y- =0, 2 2 2 即 5x2+5y2+6x+12y+5=0. 点拨: 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系,它们 的方程叫做圆系方程, 常见的圆系方程有以下几种: ①同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).其 中的 a,b 是定值,r 是参数. ②半径相等的圆系方程: (x - a)2 + (y - b)2 = r2(r>0).其中 r 是定值,a,b 是参数. ③过直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+y2+Dx+Ey +F=0 交点的圆系方程: x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax +By+C)=0(λ∈R). ④过圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 和圆 C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0 交点的圆系方程:x2+y2 + D1x +E1y+ F1+ λ(x2 +y2+ D2x +E2y+ F2)= 0(λ≠ -1)(其中不含圆 C2,因此应用时注意检验 C2 是否 满足题意,以防丢解).当 λ=-1 时,圆系方程表示 直线 l:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.若两圆 相交,则 l 为两圆相交弦所在直线;若两圆相切, 则 l 为公切线. 在以 k 为参数的圆系:x2+y2+2kx+ (4k+10)y+10k+20=0 中,试证两个不同的圆相内 切或相外切. 证明:将原方程转化为 (x+k)2+(y+2k+5)2= 5(k+1)2. 设两个圆的圆心分别为 O1(-k1,-2k1-5),O2(-k2,-2k2-5), 半径分别为 5|k1+1|, 5|k2+1|, 由 于 圆 心 距 |O1O2| = 2 2 (k2-k1) +4(k2-k1) = 5|k2-k1|. 当 k1>-1 且 k2>-1 或 k1<-1 且 k2<-1 时, 两圆半径之差的绝对值等于 5|k2-k1|,即两圆相内 切. 当 k1>-1 且 k2<-1 或 k1<-1 且 k2>-1 时, 两圆半径之和的绝对值等于 5|k2-k1|,即两圆相外 切.

类型六

圆的实际应用

据气象台预报,在 S 岛正东 300 km 的 A 处形成一个台风中心,向北偏西 30° 的方向移动, 在距台风中心 250 km 以内的地区将受其影响.问该 台风是否对 S 岛造成影响,并说明理由. 解: 我们可以建立一个坐标系来研究这一规律, 视 S 岛为原点,建立平面直角坐标系,则 A 处的坐 标为(300,0),圆 S 的方程为 x2+y2=2502,易知当 台风中心在圆 S 上或内部时,台风将影响 S 岛.设台 风中心所在直线 l 的方程为:y=- 3(x-300),由 300 3 距离公式, 原点 S 到 l 的距离为 =150 3≈260 2 km>250 km,故台风对 S 岛不会造成影响. 点拨: 解析几何模型可用于研究台风、寒流、沙尘暴 中心的运动规律,这对于预防自然灾害具有一定的 意义. 已知隧道的截面是半径为 4m 的半圆, 车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为 2.7m, 高为 3m 的货车能不能驶入这个隧道?假设货车的 最大宽度为 am,那么要正常驶入该隧道,货车的限 高为多少?

解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆 的直径 AB 所在直线为 x 轴,建立如图所示的平面 直角坐标系,那么半圆的方程为 x2+y2=16(y≥0). 将 x=2.7 代入,得 y= 16-2.72= 8.71<3,所以, 在离中心线 2.7m 处,隧道的高度低于货车的高度. 因此,货车不能驶入这个隧道.将 x=a 代入 x2+y2 =16(y≥0),得 y= 16-a2,所以货车要正常驶入 这个隧道,最大高度(即限高)为 16-a2m.

1.在解决直线和圆的位置关系问题时,一定要 联系圆的几何性质,利用有关图形的几何特征以简 化运算;讨论直线与圆的位置关系时,一般不讨论 Δ>0,Δ=0,Δ<0,而用圆心到直线的距离 d 与圆的 半径 r 之间的关系,即 d<r,d=r,d>r,分别确定 相交、相切、相离. 2.要特别注意利用圆的性质,如“垂直于弦的 直径必平分弦” , “圆的切线垂直于过切点的半径” , “两圆相切时,切点与两圆圆心三点共线”等等.可 以说,适时运用圆的几何性质,将明显减少代数运 算量,请同学们切记.

20

3.涉及圆的切线时,要考虑过切点与切线垂直 的半径,过圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 外一点 M(x0, y0) 引圆的切线, T 为切点,切线长公式为 |MT| = 2 x2 0+y0+Dx0+Ey0+F. 4.计算弦长时,要利用半径、弦心距(圆心到弦 所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形.当然, 不失一般性,圆锥曲线的弦长公式 |AB| = 1+k2 |x1-x2|(A(x1,y1),B(x2,y2)为弦的两个端点)也应重 视. 5.已知 ⊙O1:x2+y2=r2; ⊙O2:(x-a)2+(y-b)2=r2; ⊙O3:x2+y2+Dx+Ey+F=0. 若点 M(x0, y0)在圆上, 则过 M 的切线方程分别 为 x0x+y0y=r2; (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2; x0+x y0+y x0x+y0y+D· +E· +F=0. 2 2 若点 M(x0, y0)在圆外, 过点 M 引圆的两条切线, 切点为 M1,M2,则切点弦(两切点的连线段)所在直 线的方程分别为 x0x+y0y=r2; (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2; x0+x y0+y x0x+y0y+D· +E· +F=0. 2 2 圆 x2+y2=r2 的斜率为 k 的两条切线方程分别 为 y=kx± r 1+k2. 掌握这些结论,对解题很有帮助. 6.研究两圆的位置关系时,要灵活运用平面几 何法、坐标法.两圆相交时可由两圆的方程消去二次 项求得两圆公共弦所在的直线方程. 7.对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问 题,可考虑利用过交点的圆系方程解决问题,它在 运算上往往比较简便.

1.直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长度等于( ) A.2 5 B.2 3 C. 3 D.1 解:∵圆心为(0,0),半径 r=2, |-2| 2 ∴弦长|AB|=2 22-( ) =2 3. 1+3 故选 B. 2.若直线 2x-y+a=0 与圆(x-1)2+y2=1 有公 共点,则实数 a 的取值范围为( ) A.-2- 5<a<-2+ 5 B.-2- 5≤a≤-2+ 5 C.- 5≤a≤ 5 D.- 5<a< 5
21

|2+a| 解:依题意,圆心到直线的距离 d= ≤1, 5 解得- 5-2≤a≤ 5-2.故选 B. 广东)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+ 3.(2013· y2=1 相切于第一象限的直线方程是( ) A.x+y- 2=0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+ 2=0 解:∵所求直线 l 垂直于直线 y=x+1, ∴可设直线 l 的方程为 y=-x+b. 又∵直线 l 与圆 x2+y2=1 相切于第一象限, ∴b>0,且圆心(0,0)到直线 l 的距离 |-b| d= =1,解得 b= 2. 2 ∴直线 l 的方程为 x+y- 2=0.故选 A. 4.已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+ 2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 解:圆的标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a, 圆 心 ( - 1 , 1) 到 直 线 x + y + 2 = 0 的 距 离 d = |-1+1+2| (2-a)-22= = 2,解得 a=-4.故 2 选 B. 5.与直线 x-y-4=0 和圆 x2+y2+2x-2y=0 都相切的半径最小的圆的方程是( ) 2 2 2 A.(x+1) +(y+1) =2 B.(x+1) +(y+1)2=4 C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y+1)2=4 解:由已知圆的圆心 C(-1,1)向直线 x-y-4 =0 作垂线, 垂足为 H, 当所求圆的圆心位于 CH 上 时,所求圆的半径最小,此时所求圆与直线和已知 圆都外切.分别求出垂线 x+y=0 与直线的交点(2, -2)及与已知圆的交点(0,0),所以要求的圆的圆心 为(1,-1),半径 r= 2.所求圆的方程为(x-1)2+(y +1)2=2.故选 C. 6.(2013·重庆)已知圆 C1: (x-2)2+(y-3)2=1, 2 2 圆 C2:(x-3) +(y-4) =9,M,N 分别是圆 C1, C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点, 则|PM|+|PN|的最 小值为( ) A.5 2-4 B. 17-1 C.6-2 2 D. 17 解:作点 C1(2,3)关于 x 轴的对称点 C′1(2,- 3),连接 C′1C2 交 x 轴于点 P′,则|PM|+|PN|=(|PC1| -1)+(|PC2|-3)=|PC1|+|PC2|-4=|PC′1|+|PC2| -4≥|C′1C2|-4=5 2-4.故选 A. 7.(2014·重庆)已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相交于 A, B 两点, 且 AC⊥BC,则实数 a 的值为____________. 解:圆 C 的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9, 圆心 C(-1,2),半径 r=3, ∵直线与圆相交于 A,B 两点,且 AC⊥BC, |-3+a| 3 2 ∴点 C 到直线的距离 d= = , 2 2

解得 a=0 或 6.故填 0 或 6. 8.(2013·湖北)已知圆 O:x2+y2=5,直线 l: π? xcosθ+ysinθ=1? ?0<θ<2?.设圆 O 上到直线 l 的距离等 于 1 的点的个数为 k,则 k=____________. 解:∵圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 sinθ-1| |0·cosθ+0· d= =1, 2 cos θ+sin2θ ∴过圆心 O 作直线 l1∥l 交圆于两点, 则它们到 直线 l 的距离为 1. 又∵圆 O 的半径 r= 5>2,∴l1 关于直线 l 对 称的直线 l2 也与圆 O 有两个交点,且它们到直线 l 的距离为 1.综上知,k=4.故填 4. 9.过点 P(-3, -4)作直线 l, 当斜率为何值时, 直线 l 与圆 C:(x-1)2+(y+2)2=4 有公共点. 解: 由题意可设直线 l 的方程为 y+4=k(x+3), 即 kx-y+3k-4=0. 要使直线 l 与圆 C 有公共点,只须 d≤r,即圆 |k+2+3k-4| 心(1,-2)到直线 l 的距离 d= ≤2,整 1+k2 4 理得 3k2-4k≤0,解得 0≤k≤ . 3 10.已知圆 C:x2+y2=4.直线 l 过点 P(1,2), 且与圆 C 交于 A,B 两点,若|AB|=2 3,求直线 l 的方程. 解:当直线 l 垂直于 x 轴时,直线方程为 x=1, l 与圆的两个交点坐标为(1, 3)和(1,- 3),其距 离为 2 3,满足题意. 当直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y-2=k(x -1),即 kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离 为 d, |-k+2| 则 2 3=2 4-d2, 得 d=1, 又 d= =1, 1+k2 3 ∴解得 k= .所求直线方程为 3x-4y+5=0. 4 综上所述,所求直线方程为 3x-4y+5=0 或 x =1. 11.在直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为圆心的 圆与直线 x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)若圆 O 上有两点 M,N 关于直线 x+2y=0 对称,且|MN|=2 3,求直线 MN 的方程. 解: (1)圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3

y=4 的距离,即 r=

4 =2.∴圆 O 的方程为 x2 1+3

+y2=4. (2)由题意,可设直线 MN 的方程为 2x-y+m =0, |m| 则圆心 O 到直线 MN 的距离 d= ,由 d2+ 5 2 2 ?|MN|? =r2,即m +( 3)2=22,解得 m=± 5. 5 ? 2 ? ∴直线 MN 的方程为 2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0. (2014·全国卷Ⅰ)已知点 P(2,2),圆 C: x2+y2-8y=0, 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面 积. 解:(1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16,圆 心 C(0,4),半径为 4. → → 设 M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2 -y). → → 由题设知CM·MP=0,有 x(2-x)+(y-4)(2- y)=0, 变形得(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部, ∴M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故点 O 在线段 PM 的垂直平分线上. 又点 P 在圆 N 上,∴ON⊥PM. 1 ∵ON 的斜率为 3,∴直线 l 的斜率为- . 3 1 8 ∴直线 l 的方程为 y=- x+ . 3 3 又|OM|=|OP|=2 2,点 O 到直线 l 的距离 d= 8 3 4 10 4 10 = ,|PM|=2 |OP|2-d2= , 2 5 5 1 ?- ? +12 ? 3? 16 ∴△POM 的面积为 . 5

22

§9.5

曲线与方程
2.(1)坐标系 任意一点 (2)适合条件 p (3)坐标 (4)最简 (5)解 点

1.曲线与方程 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作 点的集合或适合某种条件的点的轨迹 ) 上的点与一 个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)__________________________; (2)____________________________. 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫 做方程的曲线. 2.求曲线方程的一般步骤 (1)建立适当的__________,用有序实数对(x, y)表示曲线上____________M 的坐标; (2) 写 出 ____________ 的 点 M 的 集 合 : P = {M|p(M)}; (3)用__________表示条件 p(M),列出方程 f(x, y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为____________形式; (5) 说明以化简后的方程的 ________ 为坐标的 ________都在曲线上. 注:步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可 以作适当说明,另外,也可以根据情况省略步骤(2). 3.求曲线的轨迹方程的常用方法 (1)直接法: 直接利用条件建立 x, y 之间的关系 f(x,y)=0.也就是:建系设点、列式、代换、化简、 证明,最后的证明可以省略,必要时加以说明. (2)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种 已知的曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹 方程. (3)待定系数法:已知所求的曲线类型,先根据 条件设出曲线方程,再由条件确定其待定系数. (4)相关点法: 动点 P(x, y)依赖于另一动点 Q(x0, y0)的变化而变化, 并且 Q(x0, y0)又在某已知曲线上, 首先用 x,y 表示 x0,y0,再将 x0,y0 代入已知曲线 得到要求的轨迹方程. (5)交轨法:动点 P(x,y)是两动直线(或曲线)的 交点,解决此类问题通常是通过解方程组得到交点 (含参数)的坐标,再消去参数求出所求的轨迹方程. (6)参数法: 当动点 P(x, y)的坐标之间的关系不 易找到, 可考虑将 x, y 均用一中间变量(参数)表示, 得参数方程,再消去参数得方程 f(x,y)=0. (4)、(5)两种方法本质上也是参数法,只不过是 多参数的参数方程或是隐性式的参数方程. 自查自纠: 1.(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解 (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的 点
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(2013·北京海淀模拟)方程 x2+xy=x 的曲 线是( ) A.一个点 B.一条直线 C.两条直线 D.一个点和一条直线 解:由 x2+xy=x 变形得 x(x+y-1)=0,即 x =0 或 x+y-1=0,为两条直线.故选 C. 方程|x|+|y|=1 表示的曲线是( )

解:原方程可化为: ? ? ?x≥0,y≥0, ?x≥0,y≤0, ①? ②? ?x+y=1; ?x-y=1; ? ? ?x≤0,y≤0, ?x≤0,y≥0, ? ? ③? ④? ? ? ?x+y=-1; ?-x+y=1. 分别作出它们的图象,可知选项 D 符合条件, 故选 D. 已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动 圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M,N 与圆 C 相切的 两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为( ) 2 2 2 y 2 y A.x - =1(x>1) B.x - =1(x<-1) 8 8 2 y2 2 y 2 C.x + =1(x>0) D.x - =1(x>1) 8 10 PM PN 解:由题可知,| |-| |=|BM|-|BN| =2, 由双曲线的定义可知 P 点的轨迹是以 M,N 为焦点 的双曲线的右支,由 c=3,a=1,知 b2=8.∴P 点 y2 的轨迹方程为 x2- =1(x>1).故选 A. 8 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 ____________. 解:由角平分线定义和绝对值定义知|x|=|y|, 即|x|-|y|=0.故填|x|-|y|=0. 在直角坐标系中,点 P 到点 F(2,0)的距离 为 d1,点 P 到 y 轴的距离为 d2,若 d1=d2+2,则点 P(x,y)的轨迹方程为____________. 解:由题意得 (x-2)2+y2=|x|+2, 整理化简得 y2=8x(x≥0)或 y=0(x<0).故填 y2= 8x(x≥0)或 y=0(x<0).

类型二 类型一 已知方程判断曲线

直接法求曲线的轨迹方程
线段 AB 与 CD 互相垂直平分于点 O,

方程|x| - 1= 1-(y-1)2 表示的曲 线为( ) A.一个圆 B.两个半圆 C.一个半圆 D.两个圆 解:原方程等价于 2 2 ?x -2|x|+1=1-(y-1) ,
?x2-2x+1=1-(y-1)2, ? 即? ? ?x≥1, ?x2+2x+1=1-(y-1)2, ? 或? ? ?x≤-1, ?(x-1)2+(y-1)2=1, ? ∴? ?x≥1, ? 2 2 ? ?(x+1) +(y-1) =1, 或? ?x≤-1. ? ∴原方程表示(x-1)2+(y-1)2=1(x≥1)和(x+ 1)2+(y-1)2=1(x≤-1)两个半圆.故选 B.

|AB| = 2a , |CD| = 2b , 动 点 P 满 足 |PA| · |PB| = |PC|·|PD|,求动点 P 的轨迹方程.
解:以 AB 中点 O 为原点,直线 AB 为 x 轴,直 线 CD 为 y 轴建立直角坐标系,

? ?|x|≥1,

如图所示,设 P(x,y),易知 A(-a,0),B(a, 0),C(0,-b),D(0,b),∵动点 P 满足|PA|·|PB|= |PC| · |PD| , ∴ 由 两 点 间 距 离 公 式 , 得 (x+a)2+y2 · (x-a)2+y2 = 2 2 2 2 2 x +(y+b) · x +(y-b) ,化简得 x - y2 a2-b2 = . 2 点拨: (1)直接法求曲线的轨迹方程时,建立适当的坐 标系非常重要 . 建立适当的直角坐标系一般应遵循 两原则:①对称性原则:坐标轴为曲线的对称轴, 坐标原点为曲线的对称中心;②过原点原则:在优 先满足①的情形下,尽量让曲线经过原点,这样方 程可减少一个常数项 .(2)此题化简方程的运算量较 大,作为训练运算能力不失为一道好题.注意将无理 式两边平方后相乘时,小括号不要急于打开,要尽 可能利用乘法公式. 如图, x 轴非负半轴平分∠AOB, ∠ AOx=α,动圆 P 截 OA 所得弦 MN=2a,截 OB 所 得弦 SQ=2b,试求动圆圆心 P 的轨迹方程.

点拨: 化简曲线方程时要注意等价性,每一步都需等 价转化,对含有绝对值的式子须进行分类讨论,且 分类要彻底,最后再综合起来分析. (2013·保定调研)若实数 x, y 满足 x|x| -y|y|=1,则点(x,y)到直线 y=x 的距离的取值范 围是( ) A.[1, 2) B.(0, 2] 1 ? C.? D.(0,1] ?2,1? 解: ①当 x≥0 且 y≥0 时, x|x|-y|y|=x2-y2=1; ②当 x>0 且 y<0 时,x|x|-y|y|=x2+y2=1;③当 x <0 且 y>0 时,无意义;④当 x<0 且 y<0 时,x|x| -y|y|=y2-x2=1.作出图象如图所示,

解:取已知∠AOB 的内、外角平分线为 x,y 轴,建立直角坐标系(如图).由题意得∠AOB=2α, 动圆在角两边 OA, OB 上截得弦长分别为|MN|=2a, 因为直线 y=x 为两段等轴双曲线的渐近线, 而 四分之一个单位圆上的点到直线 y=x 的距离的最大 值为 1,故选 D.

|QS|=2b.
设 P(x,y)为轨迹上任一点,设动圆半径为 r(变 |PD|= 量), 点 P 到 OA, OB 的距离分别为|PC|=d1,
24

d2.

2 根据弦长、弦心距、半径之间的关系有 d2 1+a 2 2 2 =d2+b =r , 2 2 2 ∴d2 1-d2=b -a .① 易知直线 OA,OB 的方程分别为 OA:xsinα-ycosα=0, OB:xsinα+ycosα=0, ∴d1=|xsinα-ycosα|,d2=|xsinα+ycosα|. 将 d1,d2 代入①,得(xsinα-ycosα)2-(xsinα+ ycosα)2=b2-a2,化简得 2sin2α·xy=a2-b2,此方 程即为所求的轨迹方程.

→ → 而PA=(2x-2,-4),PB=(-2,2y-4),∴- 2(2x-2)-4(2y-4)=0,即 x+2y-5=0(x≥0,y≥ 0). 解法四:设 M(x,y),由 PA⊥PB,OA⊥OB, M 为线段 AB 中点,可得|OM|=|PM|,∴ x2+y2= (x-2)2+(y-4)2,即 x+2y-5=0(x≥0,y ≥0). 点拨: 比较本题的四种解法, 显然以解法四最为简单, 解题时如果充分利用平面几何的有关知识,找出所 求动点满足的几何条件,就可以简捷地写出曲线的 轨迹方程. (2013·北京模拟)点 P 是以 F1,F2 为 焦点的椭圆上的一点,过焦点 F2 作∠F1PF2 的外角 平分线的垂线, 垂足为点 M, 则点 M 的轨迹是( ) A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.圆 解:连接 OM,延长 F2M 交 F1P 的延长线于点 Q,则|PQ|=|PF2|.

类型三

几何法求曲线的轨迹方程

如图,过点 P(2,4)作两条互相垂直的 直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴非负半轴于 A 点,l2 交 y 轴 非负半轴于 B 点, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

解法一:设点 M 坐标为(x,y). ∵M(x,y)为线段 AB 中点, ∴点 A,B 的坐标分别为 A(2x,0),B(0,2y). ∵l1⊥l2,且 l1,l2 过点 P(2,4), 0-4 2y-4 ∴kPA·kPB=-1,即 · =-1(x≠1), 2x-2 0-2 化简得 x+2y-5=0(x≠1). 当 x=1 时,A,B 分别为(2,0),(0,4), ∴线段 AB 的中点为(1, 2),满足方程 x+2y-5 =0(x≥0,y≥0). 综上得 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0(x≥0,y ≥0). 解法二:设 M(x,y),则 A(2x,0),B(0,2y).

∴|QF1|=|PF1|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=2a. ∵OM 为△F1F2Q 的中位线, 1 ∴|OM|= |QF1|=a. 2 因此点 M 的轨迹是圆.故选 D.

类型四

定义法求曲线的轨迹方程

一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切, 同时与圆 x2+y2-6x-91=0 内切, 求动圆圆心的轨 迹方程,并说明它是什么曲线.

∵PA⊥PB,M 为 AB 中点, 1 ∴|PM|= |AB|, 2 即 (x-2)2+(y-4)2 1 = (2x-0)2+(0-2y)2, 2 化简得 x+2y-5=0(x≥0,y≥0),即为所求. 解法三:设 M(x,y). ∵M(x,y)为线段 AB 中点,∴A(2x,0),B(0, 2y). → → ∵PA⊥PB,∴PA·PB=0.
25

解:两圆的方程可以分别化为 C1:(x+3)2+y2=4,C2:(x-3)2+y2=100,∴ 两圆的圆心分别为 C1(-3,0),C2(3,0),半径分别 为 r1=2,r2=10. 设动圆的圆心为 M(x,y),半径为 r,两切点为 T1,T2. 由平面几何的知识知:|MC1|=r1+r,|MC2|=r2 -r, ∴|MC1|+|MC2|=r1+r2.

∴动圆圆心 M 到 C1 与 C2 的距离之和为定值. 由椭圆的定义知,动圆圆心 M 的轨迹是以 C1, 1 1 C2 为焦点,以 (r1+r2)= (2+10)=6 为长半轴长的 2 2 x2 y2 椭圆,其方程为 + =1. 36 27 点拨: 本题是利用常见曲线的定义求其方程的典型例 子,求解过程充分运用了平面几何的知识 . 一般来 说,利用定义法求曲线的轨迹方程常伴有平面几何 知识的应用. (1)(2013·全国课标Ⅰ)已知圆 M:(x +1) +y =1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C, 求 C 的方程. 解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1,圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设动圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 r. ∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切, ∴|PM|+|PN|=(r+r1)+(r2-r)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、 右焦点, 长半轴长为 2, 半焦距为 1, 短半轴长为 3 x2 y2 的椭圆(左顶点除外),其方程为 + =1(x≠-2). 4 3
2 2

(2)设圆 C 与两圆 C1:(x+ 5)2+y2=4,C2:(x - 5)2+y2=4 中的一个内切,另一个外切,则圆 C 的圆心轨迹 L 的方程为____________. 解:由已知得圆 C1 的圆心为 C1(- 5,0),半 径 r1=2; 圆 C2 的圆心为 C2( 5,0),半径 r2=2. 设圆 C 的圆心为 C(x,y),半径为 r, 则||CC1|-|CC2||=r1+r2=4. 由双曲线的定义知,圆 C 的圆心轨迹 L 是以 1 C1, C2 为焦点, 以 (r1+r2)=2 为实半轴长的双曲线, 2 2 x x2 其方程为 -y2=1.故填 -y2=1. 4 4

3.求轨迹方程与求轨迹是有区别的,若求轨迹, 则不仅要求出方程,而且还需要说明所求轨迹是什 么曲线,即曲线的形状、位置、大小都需说明. 4.根据问题给出的条件不同,求轨迹的方法也 不同,一般有如下规律: (1)单点的轨迹问题——直接法+待定系数法; (2)双动点的轨迹问题——相关点法; (3)多动点的轨迹问题——参数法+交轨法. 5.利用参数法求动点轨迹时要注意:(1)参数的 选择要合理;(2)消参的方法灵活多样;(3)对于所选 的参数,要注意取值范围,并注意参数范围对 x,y 的取值范围的制约. 6.曲线关于点中心对称、关于直线轴对称问题, 通常是转化为点的中心对称或轴对称,一般结论如 下: (1)曲线 f(x,y)=0 关于已知点 A(a,b)的对称曲 线的方程是 f(2a-x,2b-y)=0; (2)曲线 f(x,y)=0 关于 y=kx+b 的对称曲线的 求法: 设曲线 f(x,y)=0 上任意一点为 P(x0,y0),点 P 关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′(x,y),则由轴 对 称 的 条 件 知 , P 与 P′ 的 坐 标 满 足 y-y0 ·k=-1, x-x0 从中解出 x0,y0,将其代入已 y+y0 x+x0 =k· +b, 2 2 知曲线 f(x,y)=0,就可求出曲线 f(x,y)=0 关于直 线 y=kx+b 对称的曲线方程.

? ? ? ? ?

1.命题 P:曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x, y)=0 的解;命题 Q:曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的曲 线,则 P 成立是 Q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:由曲线方程的定义知 Q?P,但 P Q,故 选 B. 2.方程(x2+y2-4) x+y+1=0 表示的曲线形 状是( )

1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问 题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质 就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其 转化为寻求动点的横坐标与纵坐标之间的关系 . 在 求与圆锥曲线有关的轨迹方程时,要特别重视圆锥 曲线的定义在求轨迹方程中的应用,只要动点满足 已知曲线的定义,就可直接得出方程. 2. 要注意一些轨迹问题中包含的某些隐含条 件,也就是曲线上点的坐标的取值范围,有时还要 补充特殊点的坐标或特殊曲线的方程.
26

?x+y+1>0, ? 解: 由已知条件得? 2 2 或 x+y+1=0, ? ?x +y -4=0 故选 C. 3.(2013·湖北重点中学联考)已知点 P(x,y)在 以原点为圆心的单位圆上运动, 则点 Q(x′,y′)=(x +y,xy)的轨迹是( ) A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线 解:∵点 P(x,y)在以原点为圆心的单位圆上运 动 , ∴ x2 + y2 = 1. 由 Q(x′ , y ′ ) = (x + y , xy) 知 ? ?x′=x+y, 1 ? ∴x′2=x2+y2+2xy=1+2y′, 即 y′= 2 ?y′=xy, ? 1 x′2- ,点 Q 的轨迹是抛物线.故选 B. 2 4.设曲线 F1(x,y)=0 和 F2(x,y)=0 的交点为 P, 那么曲线 F1(x, y)+λF2(x, y)=0(λ∈R)必定( ) A.经过 P 点 B.经过原点 C.不一定经过 P 点 D.经过 P 点和原点 解: 设交点为 P(x0, y0), 则 F1(x0, y0)=0, F2(x0, y0)=0. ∴F1(x0,y0)+λF2(x0,y0)=0. ∴方程 F1(x,y)+λF2(x,y)=0 表示的曲线过 P 点, 但 F1(0,0)+λF2(0,0)=0 不一定成立.故选 A. 5.设点 M(0,-5),N(0,5),△MNP 的周长为 36,则△MNP 的顶点 P 的轨迹方程为( ) y2 x2 y2 x2 A. + =1(x≠0) B. + =1(x≠0) 169 25 169 144 x2 y2 y2 x2 C. + =1(y≠0) D. + =1(y≠0) 169 25 169 25 解:∵|PM|+|PN|=36-10=26>|MN|,且 P 不 与 M,N 共线,∴P 的轨迹是以 M,N 为焦点,且 去掉长轴端点的椭圆.又 c=5, ɑ=13, ∴b= a2-c2 y2 x2 = 132-52=12.∴顶点 P 的轨迹方程为 + = 169 144 1(x≠0).故选 B. 6.已知 A,B 为平面内两定点,过该平面内动 → 点 M 作直线 AB 的垂线,垂足为 N. 若 MN 2 = λ 27

→ → AN·NB,其中 λ 为常数,则动点 M 的轨迹不可能 是( ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 解:不妨设 AB=2a(a>0),以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中垂线所在直线为 y 轴建立平面直角 坐标系,则有 A(-a,0),B(a,0),设 M(x,y),则 → → → N(x,0),MN=(0,-y),AN=(x+a,0),NB=(a → → → -x,0),由MN2=λAN·NB可得 y2=λ(x+a)(a-x) =λa2-λx2, 当 λ=1 时, x2+y2=a2 表示圆心在原点, x2 y2 半径为 a 的圆; 当 0<λ<1 时, 方程可化为 2+ 2= a λa 2 2 1,a >λa ,表示焦点在 x 轴上的椭圆;当 λ>1 时, a2<λa2, 方程表示焦点在 y 轴上的椭圆; 当 λ<0 时, x2 y2 方程可化为 2- =1, 表示焦点在 x 轴上的双曲 a -λa2 线;当 λ=0 时,方程可化为 y=0,表示一条直线, 即 x 轴.综上可知,动点 M 的轨迹不可能是抛物线. 故选 C. 7.已知在直角坐标系中,两定点坐标为 A(-4, → - → 0),B(4,0),一动点 M(x,y)满足条件| MA MB 1 → |= AB ,则点 M 的轨迹方程是____________. 2 x2 解:很明显 M 的轨迹为一双曲线,故可设为 2 a y2 - 2=1(a>0,b>0). b 1 → 易知 c=4,由 2a= AB =4,得 a=2. 2 2 2 2 2 2 ∴b =c -a =4 -2 =12. x2 y2 x2 y2 故 M 点的轨迹方程为 - =1.故填 - =1. 4 12 4 12 8.已知曲线 C1: F(x, y)=0, C2: F(x, y)+λF(m, n)=0(λ≠0),点 A(m,n)不在 C1 上,则两曲线 C1 和 C2 的交点个数为________. 解 : 联 立 方 程 组 ?F(x,y)=0, ① ?

| | | |

| |

| |

? ? ?F(x,y)+λF(m,n)=0(λ≠0),②

①代入②,得 λF(m,n)=0. ∵λ≠0,∴F(m,n)=0.又∵点 A(m,n)不在曲 线 C1 上, ∴F(m,n)≠0,方程组无解,故两曲线交点个 数为 0.故填 0. 9.若△ABC 的顶点 B,C 的坐标分别是(0,0) 和(4,0),AB 边上中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹 方程. 解:设 AB 的中点为 M(x1,y1),由|MC|=3 知 M 点轨迹方程为(x1-4)2+y2 1=9(y1≠0). x x1= , 2 设 A(x,y),则 代入点 M 的轨迹方程 y y1= , 2

? ? ?

得顶点 A 的轨迹方程为 x2+y2-16x+28=0(y≠0). 10.在平面直角坐标系 xOy 中, 点 B 与点 A(-1, 1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的 1 斜率之积等于- .求动点 P 的轨迹方程. 3 解:∵点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称, ∴点 B 的坐标为(1,-1). y-1 y+1 设点 P 的坐标为(x,y),由题意得 · = x+1 x-1 1 - , 3 化简得 x2+3y2=4(x≠± 1). 故动点 P 的轨迹方程为 x2+3y2=4(x≠± 1). 11.如图,已知两点 P(-2,2),Q(0,2)以及一 直线 l: y=x, 设长为 2的线段 AB 在直线 l 上移动, 求直线 PA 和 QB 的交点 M 的轨迹方程.

解法一:设 M(x,y),A(a,a),B(b,b)(b>a), a-2 由 P(-2,2),A(a,a),M(x,y)三点共线,可得 a+2 y-2 2x+2y = ,即 a= . x+2 x-y+4 由 Q(0,2),B(b,b),M(x,y)三点共线, b-2 y-2 2x 可得 = ,即 b= . b x x-y+2 又∵|AB|= 2(b-a)= 2, 2x+2y 2x ∴b-a=1.∴ - =1,化简得 x2 x-y+2 x-y+4 -y2+2x-2y+8=0.∴所求轨迹方程是 x2-y2+2x -2y+8=0. 解法二:设 M(x,y),A(a,a).由|AB|= 2,B 在直线 y=x 上,且 B 在 A 的上方,可得 B(a+1,a +1). 2x+2y 由 解 法 一 知 a = , ∴ x-y+4 ?3x+y+4,3x+y+4?. B? ? ? x-y+4 x-y+4 ? 3x+y+4 -2 x-y+4 又由 Q,B,M 三点共线,可得 = 3x+y+4 x-y+4 y-2 , x

化简得 x2-y2+2x-2y+8=0,此方程即为所 求的轨迹方程. (2013·陕西)已知动点 M(x,y)到直线 l:x=4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A,B 两点,若 A 是 PB 的中点,求直线 m 的斜率. 解:(1)设动点 M 到直线 l 的距离为 d,根据题 意,d=2|MN|,由此得|4-x|=2 (x-1)2+y2, x2 y2 化简得 + =1. 4 3 x2 y2 因此,动点 M 的轨迹 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)解法一: 设直线 m 的方程为 y=kx+3, A(x1, x2 y2 y1),B(x2,y2),将 y=kx+3 代入 + =1 中,有(3 4 3 +4k2)x2+24kx+24=0,其中,Δ=(24k)2-4×24(3 +4k2)=96(2k2-3) 3 >0,得 k2> . 2 24k 由求根公式得 x1+x2=- ,① 3+4k2 24 x1x2= .② 3+4k2 又∵点 A 是 PB 的中点,∴x2=2x1,③ 8k 12 将③代入①②中, 得 x1=- , x2= , 3+4k2 1 3+4k2 可得 2 3 ? -8k ? = 12 ?k2>3?,解得 k2=9,k=± . ?3+4k2? 3+4k2? 2? 4 2 ? ? 3 3 ∴直线 m 的斜率为- 或 . 2 2 解法二: 由题意, 设直线 m 的方程为 y=kx+3, A(x1,y1),B(x2,y2). 3+y2 x2 ∵A 是 PB 的中点,∴x1= ,y1= .① 2 2 2 2 2 x1 y1 x2 y2 2 又∵点 A,B 在椭圆 C 上,∴ + =1, + 4 3 4 3 =1.② ? ?x2=2, ? ?x2=-2, 联立①②,解得? 或? ?y2=0 ?y2=0, ? ? 3 即点 B 的坐标为(2,0)或(-2,0),kPB=± . 2 3 3 ∴直线 m 的斜率为- 或 . 2 2

28

§9.6





1.椭圆的定义 (1)定义:平面内与两个定点 F1,F2 的距离的和 等于常数 2a(2a______|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆 ( 习 惯 上 称 为 第 一 定 义 ). 这 两 个 定 点 叫 做 椭 圆 的 ________,两焦点间的距离叫做椭圆的________. ※(2)另一种定义方式: 平面内动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于常数 e(0< e<1)的轨迹叫做椭圆.定点 F 叫做椭圆的一个焦点, 定直线 l 叫做椭圆的一条准线,常数 e 叫做椭圆的 __________. 2.椭圆的标准方程及几何性质
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

1 1 3 2 A. B. C. D. 3 2 3 2 解: 由题意知 a=4, b=2 2, c= a2-b2=2 2, c 2 2 2 ∴e= = = .故选 D. a 4 2 x2 y2 “-3<m<5”是“方程 + =1 表 5-m m+3 示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 解:要使方程 + =1 表示椭圆,只须 5-m m+3 ?5-m>0, 满足?m+3>0,

?

(1)图形

(2)标准 方程 (3)范围 (4)中心 (5)顶点 (6)对称轴 (7)焦点 (8)焦距 (9)离心率 ※(10)准线 a2 x=± c -a≤x≤a, -b≤y≤b

y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2 -a≤y≤a, -b≤x≤b 原点 O(0,0)

A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) x 轴,y 轴 F1(0,-c),F2(0, c) 2c=2 a2-b2 a2 y=± c

自查自纠: 1.(1)> 焦点 焦距 (2)离心率 x2 y2 2.(2) 2+ 2=1(a>b>0) a b (5)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b, 0) c (7)F1(-c,0),F2(c,0) (9)e= (0<e<1) a

x2 y2 椭圆 + =1 的离心率为( 16 8

)
29

x2 y2 “-3<m<5”是“方程 + =1 表示椭圆” 5-m m+3 的必要不充分条件.故选 B. x2 y2 ( 2013·全国课标Ⅱ ) 设椭圆 C : 2 + 2 = a b 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的 点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为 ( ) 3 1 1 3 A. B. C. D. 6 3 2 3 2 4 3 解: 设|F1F2|=2c, 则|PF2|= 3c, ∴|PF1|= 3 3 c 3 c.∴2a=|PF1|+|PF2|=2 3c,故 e= = .故选 D. a 3 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1, 1 0),离心率等于 ,则 C 的方程是____________. 2 解:由椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)知 c=1,且 c 1 焦点在 x 轴上,又 e= = ,∴a=2,a2=4,b2= a 2 x2 y2 x2 y2 a2-c2=3,椭圆 C 的方程为 + =1.故填 + = 4 3 4 3 1. x2 y2 已知椭圆 + =1 的焦距是 2, 则该椭圆的 m 4 长轴长为____________. 解: 当焦点在 x 轴上时, 有 m-4=1, 得 m=5, 此时长轴长为 2 5;当焦点在 y 轴上时,长轴长为 4.故填 2 5或 4.

? ?5-m≠m+3,

解得-3<m<5 且 m≠1,因此,

c ∴离心率 e= = a

c2 10 . 2= a 5

类型一

椭圆的定义及其标准方程

类型二

椭圆的离心率

求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-3,0),(3,0),椭 圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10; x2 y2 (2)过点 P(-3,2),且与椭圆 + =1 有相同 9 4 的焦点. 解:(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,∴设它的标准 x2 y2 方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b ∵2a=10,2c=6,即 a=5,c=3, ∴b2=a2-c2=52-32=16. x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 25 16 2 x y2 (2)∵所求的椭圆与椭圆 + =1 的焦点相同, 9 4 ∴其焦点在 x 轴上,且 c2=5. x2 y2 设所求椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 9 4 ∵所求椭圆过点 P(-3,2),∴有 2+ 2=1. a b 又 a2-b2=c2=5, 2 ? ?a =15, ∴联立上述两式,解得? 2 ?b =10. ? x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 15 10 点拨: 椭圆的定义是高考的常考点,应掌握椭圆的定 义以及参数 a,b,c,e 的几何意义和相互关系. 过两点 P1(2,2),P2(-3,-1)作一个 椭圆,使它的中心在原点,焦点在 x 轴上,求椭圆 的方程,椭圆的长半轴、短半轴的长度以及离心率. x2 y2 解: 根据题意, 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 4 4 + =1, a2 b2 将两已知点坐标代入得 解得 9 1 + =1, a2 b2 32 a2= , 3 3 5 故椭圆方程为 x2+ y2=1, 32 32 32 b2= . 5 32 4 32 长半轴长 a= = 6,短半轴长 b= 3 3 5 4 10 32 32 64 = .∵c2=a2-b2= - = , 5 3 5 15

x2 设 F1(-c, 0), F2(c, 0)分别是椭圆 2+ a y2 a2 =1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x= 上存 b2 c 在点 P,使线段 PF1 的中垂线过点 F2,则椭圆离心 率的取值范围是( ) 2 3 A.?0, ? B.?0, ? 2? 3? ? ? 2 3 C.? ,1? D.? ,1? ?2 ? ?3 ? a2 ? 解法一: 由题意知 F1(-c, 0), F2(c, 0), P? ? c ,y?, ∵PF1 的中垂线过点 F2,∴|F1F2|=|F2P|,即 2c= 2 4 2 ?a -c? +y2,整理得 y2=3c2+2a2-a2. ?c ? c 4 1 2 2 2 a 2 ∵y ≥0, ∴3c +2a - 2 ≥0, 即 3e - 2+2≥0, c e 3 解得 e≥ . 3 3 ∴e 的取值范围是? ,1?. ?3 ? 2 a 解法二: 设直线 x= 与 x 轴交于 M 点, 则|F1F2| c a2 1 3 =|F2P|≥|MF2|,即 2c≥ -c,整理得 ≤e2<1, c 3 3 ≤e<1. 3 ∴椭圆离心率的取值范围是? ,1?.故选 D. ?3 ? 点拨: (1)对于参数的取值范围问题,要能从几何特征 的角度去分析参数变化引起的图形的变化 . 在学习 中, 要能主动的研究几何特征变化的根本性原因.(2) 对几何对象的本质属性的把握越准确,代数化就越 容易.(3)整个图形都随着 P 点的变化而变化, P 点的 变化使得线段 |PF2| 的长度也在变化,进而 |PF2| 与 |MF2| 的长度关系也在变化 .正确的描述这一变化中 量与量之间的数量关系是解题的关键所在 .(4) 求椭 圆的离心率通常要构造关于 a,c 的齐次式,再转化 为关于 e 的方程或不等式. x2 y2 + = a2 b2 1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂 线与 C 相交于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D, 若 AD⊥F1B, 则椭圆 C 的离心率等于____________. b2 c, ?, 解:设 F1(-c,0),F2(c,0),则可设 A? ? a? ( 2014·江西 ) 设 椭 圆 C :

? ? ?

? ? ?

30

b2 - -0 a b b2 c,- ?,kF1B= B? =- ,直线 F1B: a? ? 2ac c-(-c) b2 b2 y=- (x + c) , 令 x = 0 , 则 y = - , ∴ 点 2ac 2a 2 2 b 3 b ? D? ?0,-2a?,kAD=2ac. 2 3b2 ? b ? - ∵AD⊥F1B, ∴kAD· kF1B= · =-1, 2ac ? 2ac? 2 2 2 化简得 3c +2ac- 3a =0, 3e +2e- 3= 0, 3 3 3 解得 e= 或- 3.又∵e>0,∴e= .故填 . 3 3 3
2

x2 y2 设 F1,F2 为椭圆 + =1 的两个焦 9 4 点,P 为椭圆上的一点,已知 P,F1,F2 是一个直 |PF1| 角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,求 的值. |PF2| 解:由已知,得|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5. 根据直角的不同位置,分两种情况: ①若∠PF2F1 为直角, 则|PF1| =|PF2| +|F1F2| , 2 14 4 即|PF1| =(6-|PF1|)2+20,得|PF1|= ,|PF2|= , 3 3 |PF1| 7 故 = ; |PF2| 2 ②若∠F1PF2 为直角, 则|F1F2| =|PF1| +|PF2|2, 即 20=|PF1|2+(6-|PF1|)2,整理得|PF1|2-6|PF1|+8 |PF1| =0,又|PF1|>|PF2|,∴|PF1|=4,|PF2|=2,故 |PF2| =2. |PF1| 7 综上所述, 的值为 或 2. |PF2| 2
2 2 2 2 2

类型三

椭圆的焦点三角形

已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,P 为 椭圆上一点,∠F1PF2=60° . (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. x2 y2 解:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),P 点坐标 a b 为(x0,y0)(y0>0). (1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0. 在△F1PF2 中,

类型四

椭圆的弦长

|PF1| +|PF2| -|F1F2| cos ∠ F1PF2 = = 2| PF1|·|PF2|
(a+ex0)2+(a-ex0)2-4c2 1 = cos60° = ,解得 2 2(a+ex0)(a-ex0) 2 2 4c -a x2 . 0= 3e2 4c2-a2 2 ∵x0∈(-a,a),∴x2 < 0∈[0, a ),0≤ 3c2 2 a a2, 1 有 0≤4c2-a2<3c2,解得 ≤e<1. 2 1 ? ∴椭圆离心率 e∈? ?2,1?. 4c2-a2 2 2 2 2 (2)证明:将 x2 代入 b2x2 0= 0+a y0=a b , 3e2 b4 b2 y | | 求得 y2 = ,∴ = . 0 0 3c2 3c 1 1 b2 3 ∴S△F1PF2= |y0||F1F2|= · ·2c= b2. 2 2 3 3c 得证. 点拨: 椭圆的焦点三角形是描述椭圆的焦距、焦半径 之间的相互制约关系的一个载体.由于其位置、边的 特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心 率等几何量发生联系,内容丰富多彩.
31

2

2

2

x2 经过椭圆 +y2=1 的左焦点 F1 作倾斜 2 角为 60° 的直线 l,直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点, 求 AB 的长. 解: 由题意得左焦点 F1(-1, 0), 直线 l: y= 3 2 (x+1)与椭圆方程联立得 7x +12x+4=0.设 A, B的 12 x1+x2=- , 7 横坐标分别为 x1,x2,则 根据弦长 4 x1·x2= . 7 2 公式|AB|= 1+k |x1-x2|=2 (x1+x2)2-4x1x2= 12 2 4 8 2 - ? -4× = 2 ? . ? 7? 7 7

? ? ?

点拨: 直线与椭圆相交求弦长,通常是将直线方程 y =kx+b 与椭圆方程联立, 化为关于 x 的一元二次方 程, 设出交点坐标, 利用韦达定理及弦长公式 1+k2 |x1-x2|求出弦长,这种整体代换,设而不求的思想 方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的. x2 y2 设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 a b 为 F,过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点, 2 直线 l 的倾斜角为 60° ,椭圆的离心率为 .如果|AB| 3 15 = ,求椭圆 C 的方程. 4

c 2 2 解:由题意知离心率 e= = ,c= a,由 b2= a 3 3 2 5 x 9y2 2 2 a -c , 得 b= a, ∴椭圆 C 的方程为 2+ 2=1 .① 3 a 5a 设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y= 3 2 ? 2 (x-c),即 y= 3? ?x-3a?,与①联立得 32x -36ax a 7a +7a2=0, (4x-a)· (8x-7a)=0, 解得 x1= , x= . 4 2 8 a 7 ? 5 15 由|AB|= 1+3|x1-x2|=2? ?4-8a?=4a= 4 ,解得 a 5 =3,∴b= a= 5. 3 x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5

3π 3 13 当 θ=2kπ+ ,k∈Z 时,d 取到最小值 ,此时 4 13 A 点坐标为(-3,2). 点拨: 椭圆中距离的最值问题一般有 3 种解法:①利 用椭圆的定义结合平面几何知识求解 ( 适用于所求 的表达式中隐含有长轴或者离心率 e);②根据椭圆 标准方程的特点,把距离问题转化为二次函数求最 值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上, 如(2)中的 点 A);③用椭圆的参数方程设动点的坐标,转化为 三角问题求解. (2014·福建)设 P, Q 分别为圆 x2+(y 2 x -6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 两点间 10 的最大距离是( ) A.5 2 B. 46+ 2 C.7+ 2 D.6 2 解法一:设椭圆上任意一点为 Q(x,y),则圆心 (0 , 6) 到 椭 圆 的 距 离 d = x2+(y-6)2 = 2 2 y+ ? +50≤5 2,P, -9y2-12y+46= -9? ? 3? Q 两点间的最大距离 d′=dmax+ 2=6 2. 解法二:易知圆心坐标为 M(0,6),|PQ|的最大 值为|MQ|max+ 2,设 Q( 10cosθ,sinθ),则|MQ|= 10cos2θ+(sinθ-6)2 = -9sin2θ-12sinθ+46 2 2 sinθ+ ? +50, = -9? 3? ? 2 当 sinθ=- 时, |MQ|max=5 2, ∴|PQ|max=5 2 3 + 2=6 2.故选 D.

类型五

椭圆中的最值问题

x2 y2 (1)已知 F 是椭圆 + =1 的左焦点, 9 5 P 是此椭圆上的动点, A(1, 1)是一定点, 求|PA|+|PF| 的最大值和最小值. 解:由题意知 a=3,b= 5,c=2,F(-2,0).

设椭圆右焦点为 F′, 则|PF|+|PF′|=6 , ∴|PA| +|PF|=|PA|-|PF′|+6.当 P,A,F′三点共线时, |PA|-|PF′|取到最大值|AF′|= 2,或者最小值-|AF′| =- 2. ∴|PA|+|PF|的最大值为 6+ 2,最小值为 6- 2. x2 (2)求 A(0,2)到椭圆 +y2=1 上的动点的距离 4 的最大值和最小值. 解 : 设 椭 圆 上 的 动 点 B(x , y) , 则 |AB| = 2 x +(y-2)2 = -3y2-4y+8 = 2?2 28 -3? ?y+3? + 3 ,∵点 B 是椭圆上的点,∴- 2 21 1≤y≤1.∴|AB|的最大值为 ,最小值为 1. 3 x2 y2 (3)在椭圆 + =1 上求一点,使它到直线 2x 18 8 -3y+15=0 的距离最短. 解:设所求点坐标为 A(3 2cosθ,2 2sinθ), θ∈R,由点到直线的距离公式得 ? ?θ-π? ? |6 2cosθ-6 2sinθ+15| ?-12sin? 4?+15? d= = , 13 22+(-3)2
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1.在运用椭圆的定义时,要注意“|F1F2|<2a” 这个条件,若|F1F2|=2a,则动点的轨迹不是椭圆, 而是连结两定点的线段(包括端点);若|F1F2|>2a, 则轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程有两种形式,两种形式可以 x2 y2 统一为 + =1(m>0,n>0,且 m≠n),具体是哪 m n 种形式,由 m 与 n 的大小而定. 3.求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法 和定义法,即(1)先设出椭圆标准方程,根据已知条 件列出 a,b 的两个方程,求参数 a,b 的值;(2)由 椭圆的定义及几何性质直接求出参数 a,b 的值. 4.充分利用图形的几何性质可以减少计算量, 椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在 椭圆的定义中. 5.直线与椭圆的位置关系,可通过讨论椭圆方 程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定. 通常用消元后的关于 x(或 y)的一元二次方程的判别

式 Δ 与零的大小关系来判定. 6.直线和椭圆相交时,弦的中点坐标或弦中点 轨迹方程可由韦达定理来解决 .设而不求(设点而不 求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一. 7.椭圆中几个常用的结论: (1)焦半径:椭圆上的点 P(x0,y0)与左(下)焦点 F1 与右(上)焦点 F2 之间的线段叫做椭圆的焦半径, 分别记作 r1=|PF1|,r2=|PF2|. x2 y2 ① 2+ 2=1(a>b>0), r1=a+ex0, r2=a-ex0; a b 2 2 y x ② 2+ 2=1(a>b>0), r1=a+ey0, r2=a-ey0; a b ③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小 (近日点与远日点). (2)焦点三角形:椭圆上的点 P(x0,y0)与两焦点 构 成 的△PF1F2 叫做 焦点三 角 形 .r1 = |PF1| , r2 = |PF2|,∠F1PF2=θ,△PF1F2 的面积为 S,则在椭圆 x2 y2 + =1(a>b>0)中: a2 b2 ①当 r1=r2 时,即点 P 的位置为短轴端点时,θ 最大; θ ②S=b2tan =c|y0|,当|y0|=b 时,即点 P 的位 2 置为短轴端点时,S 取最大值,最大值为 bc. (3)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直 2b2 于长轴的焦点弦)最短,弦长 lmin= . a x2 y2 (4)AB 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的弦,A(x1, a b y1),B(x2,y2),弦中点 M(x0,y0),则 1 ①弦长 l= 1+k2|x1-x2|= 1+ 2|y1-y2|; k b2x0 ②直线 AB 的斜率 kAB=- 2 . a y0 以上常用结论在教材的例题与习题中都有体 现.

1.若椭圆经过原点,且焦点分别为 F1(1,0), F2(3,0),则其离心率为( ) 3 2 1 1 A. B. C. D. 4 3 2 4 解:∵椭圆经过原点 O,且焦点分别为 F1(1, 0),F2(3,0), ∴|OF1|+|OF2|=2a=4,a=2. 又 2c=|F1F2|=2,∴c=1. c 1 ∴该椭圆的离心率 e= = .故选 C. a 2 2.方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 则 k 的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)
33

x2 y2 解:将方程 x2+ky2=2 变形为 + =1,根据 2 2 k 2 椭圆的定义, 要使焦点在 y 轴, 只须 >2, 解得 0<k<1. k 故选 D. x2 y2 3.(2014·全国)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) a b 3 的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 ,过 F2 的直 3 线 l 交 C 于 A,B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( ) x2 y2 x2 A. + =1 B. +y2=1 3 2 3 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 12 8 12 4 解: 由椭圆的定义知 △AF1B 的周长为 4a = c c 3 4 3,a= 3.由 e= = = ,得 c=1,∴b2=a2 a 3 3 x2 y2 -c2=2.∴椭圆 C 的方程为 + =1.故选 A. 3 2 4.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个 焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB|=3,则 C 的方程为( ) x2 2 x2 y2 A. +y =1 B. + =1 2 3 2 2 2 x y x2 y2 C. + =1 D. + =1 4 3 5 4 x2 y2 解: 设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 由题 a b 2 2 意得 a -b =1,① b a2-1? ? b a2-1?,B? 可设 A?1, ? ?1,- ?, a a ? ? ? ? 2b a2-1 则|AB|= =3,② a 3 由①②得 4b4-9b2-9=0, 解得 b2=3 或- (舍 4 2 2 x y 去),a2=b2+1=4.∴椭圆 C 的方程为 + =1.故 4 3 选 C. x2 y2 四川) 从椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0) 上一点 5.( 2013· a b P 向 x 轴作垂线, 垂足恰为左焦点 F1, A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点, 且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 ( ) 2 1 2 3 A. B. C. D. 4 2 2 2 → 解: 由题意知 A(a,0), B(0,b), AB=(-a,b), b2 b2 → → -c, ?,OP=?-c, ?,∵AB∥OP,∴AB∥ P? a? a? ? ? b2 → (-c),解得 b=c.∴a2- OP,因此有(-a)· =b· a

2 .故选 C. 2 2 x y2 6.已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a1>b1>0)和椭圆 C2: a1 b1 2 x y2 + 2=1(a2>b2>0)的焦点相同且 a1>a2, 给出如下四 a2 b2 2 个结论: ①椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点;②a2 1- 2 2 a2=b2 - b ; 1 2 a1 b1 ③ > ;④a1-a2<b1-b2. a2 b2 其中,所有正确结论的序号是( ) A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③ 2 2 2 2 2 2 2 解:∵a2 1-b1 =a2- b2 ,∴a1 -a2 = b1-b2 ,② 正确;又 a1>a2,∴b1>b2,椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没 b1?2 c c 有公共点, ①正确; 由 a1>a2 得 < , 即 1-? ?a1? a1 a2 b2=a2-c2=c2,得 e= b2?2 b1 b2 b1 a1 1-? ?a2? ,因此 a1 > a2 ,即 b2 > a2 ,③不正确; 2 2 ∵a1>b1,a2>b2,∴a1+a2>b1+b2>0.又 a1 -a2 2=b1- 2 b2,∴a1-a2<b1-b2,④正确.综上知,①②④正确. 故选 C. x2 y2 7.已知以椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 F 为 a b a2 圆心, a 为半径的圆与直线 l: x= (其中 c= a2-b2) c 交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是 ____________. a2 解:易知右焦点 F(c,0),由题意得 a> -c, c 5-1 即 e2+e-1>0,∵0<e<1,∴ <e<1.故填 2 ? 5-1 ?. ? 2 ,1? ? ? x2 y2 8.(2014·辽宁)已知椭圆 C: + =1,点 M 9 4 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分 别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN| =____________. 解: 设 MN 的中点为 P, 连接 PF1, PF2, 则 PF1, 1 PF2 分别为△ANM 与△BNM 的中位线,有|PF1|= 2 1 |AN|, |PF2|= |BN|, 又∵点 P 在椭圆上, ∴|AN|+|BN| 2 =2|PF1|+2|PF2|=2·2a=12.故填 12. 9.已知椭圆中心在原点,长轴在坐标轴上,离 5 心率为 ,短轴长为 4,求椭圆的方程. 3 c 5 解:由题意得 = ,2b=4, a 3 又 a2=b2+c2,则有 a2=9,b2=4, x2 y2 x2 y2 于是椭圆方程为 + =1 或 + =1. 9 4 4 9 <
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x2 y2 10.如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 a b 1 为 F1,右焦点为 F2,离心率 e= .过 F1 的直线交椭 2 圆于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 8,求椭圆 E 的方程.

解:由题意得|AB|+|AF2| +|BF2|= |AF1| +|BF1| + |AF2| + |BF2| = ( |AF1| + |AF2| ) + ( |BF1| + |BF2| ) = 4a =8,得 a=2. c 1 又 e= = ,∴c=1.∴b2=a2-c2=22-12=3. a 2 x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 + =1. 4 3 2014 ·江苏 11.( )如图,在平面直角坐标系 xOy x2 y2 中,F1,F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦 a b 点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交椭 圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C, 连接 F1C.

4 1? (1)若点 C 的坐标为? ?3,3?,且 BF2= 2,求椭 圆的方程; (2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. 解:(1)由题意知|BF2|2=b2+c2=a2=2, 4 1? ∵点 C? ?3,3?在椭圆上, 2 2 ?4? ?1? ?3? ?3? ∴ 2 + 2 =1,解得 b2=1. a b x2 ∴椭圆的方程为 +y2=1. 2 → (2)易知BF2=(c,-b). ∵点 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上, x y ∴直线 AB 的方程为 + =1. c b 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2a2c x y x = , 1 + =1, a2+c2 c b 联立 2 2 得 x y b(c2-a2) 2+ 2=1, y = , 1 a b a2+c2 ? ?x2=0,

? ? ?

? ? ? ? ?

? ?y2=b, ?

2 ? 2a c b(c -a )?. ∴点 A 的坐标为? 2 2, ? a2+c2 ? ?a +c 又 AC⊥x 轴,∴由椭圆的对称性,可得点 C 的 2 2 2 → ? 2a c b(a -c )? . ∴ F 坐 标 为 ? 2 2, ? 2 2 1C = a +c ?a +c ? 2 3 3 ?3a c+c , b ?. ? a2+c2 a2+c2? ? ? 又∵F1C⊥AB, 2 2 2 b4 → → c (3a +c ) ∴F1C·BF2= - 2 2=0, 2 2 a +c a +c 即 c2(3a2+c2)-(a2-c2)2=0, 1 5 化简得 5c2=a2,e2= ,e= . 5 5 (2014·全国卷Ⅰ)已知点 A(0,-2), x2 y2 3 椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F 是椭圆 a b 2 2 3 E 的右焦点, 直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点. 当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 2 2 3 解:(1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c c 3 = 3. c 3 又 = ,∴a=2,b2=a2-c2=1. a 2 x2 故 E 的方程为 +y2=1. 4

2

2

(2)当 l⊥x 轴时不合题意,故设 l:y=kx-2, P(x1,y1),Q(x2,y2). x2 2 将 y=kx-2 代入 +y =1 得 4 (1+4k2)x2-16kx+12=0, 3 当 Δ=16(4k2-3)>0,即 k2> 时, 4 2 8k±2 4k -3 x1,2= . 4k2+1 4 k2+1· 4k2-3 . 4k2+1 2 又点 O 到直线 PQ 的距离 d= 2 , k +1 从而|PQ|= k2+1|x1-x2|= 4 4k2-3 1 ∴△OPQ 的面积 S△OPQ= d·|PQ|= . 2 4k2+1 4t 4 设 4k2-3=t,则 t>0,S△OPQ= 2 = . 4 t +4 t+ t 4 7 ∵t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号 t 2 成立,且满足 Δ>0, 7 ∴当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为 y= x 2 7 -2 或 y=- x-2. 2

35

§9.7

双 曲 线
b (11)y=± x a

1.双曲线的定义 (1)定义:平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差 的________等于常数 2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹 叫做双曲线(习惯上称为第一定义).这两个定点叫做 双曲线的________,两焦点间的距离叫做双曲线的 ________. ※(2)另一种定义方式: 平面内动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于常数 e(e>1) 的轨迹叫做双曲线.定点 F 叫做双曲线的一个焦点, 定直线 l 叫做双曲线的一条准线,常数 e 叫做双曲 线的________. (3) 实轴和_________相等的双曲线叫做等轴双 曲线.离心率 e= 2是双曲线为等轴双曲线的充要条 件,且等轴双曲线两条渐近线互相垂直.一般可设其 方程为 x2-y2=λ(λ≠0). 2.双曲线的标准方程及几何性质
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

(1)图形

(2)标准 方程 (3)范围 (4)中心 (5)顶点 (6)对称轴 (7)焦点 (8)焦距 (9)离心率 ※(10)准线 (11)渐近线 方程 a2 x=± c

y2 x2 - =1(a>0, b>0) a2 b2 x≥a 或 x≤-a y≥a 或 y≤-a 原点 O(0,0) A1(-a,0), A2(a,0) x 轴,y 轴 F1(0,-c),F2(0,c) 2c=2 a2+b2 a2 y=± c a y=± x b

自查自纠: 1.(1)绝对值 < 焦点 焦距 (2)离心率 (3)虚轴 x2 y2 2.(2) 2 - 2 = 1(a> 0, b> 0) (5)A1(0 ,- a), a b A2(0,a) c (7)F1(-c,0),F2(c,0) (9)e= (e>1) a
36

x2 y2 设双曲线 2 - = 1(a > 0) 的渐近线方程为 a 9 3x± 2y=0,则 a 的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 3 解:由双曲线方程可知渐近线方程为 y=± x, a 又 a>0,可知 a=2.故选 C. π (2013·湖北)已知 0<θ< ,则双曲线 C1: 4 x2 y2 y2 x2 =1 的( ) 2 - 2 =1 与 C2: 2 - 2 cos θ sin θ sin θ sin θtan2θ A.实轴长相等 B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 解:易知双曲线 C1 实轴长为 2cosθ,虚轴长为 1 2sinθ,焦距为 2,离心率为 ;双曲线 C2 实轴长 cosθ 为 2sinθ,虚轴长为 2sinθtanθ,焦距为 2tanθ,离心 1 π 率为 ,又 0<θ< ,所以 sinθ≠cosθ,tanθ≠1, cosθ 4 综上知两双曲线只有离心率相等.故选 D. x2 y2 ( 2014·天津 ) 已知双曲线 2 - 2 = 1(a>0 , a b b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲 线的一个焦点在直线 l 上, 则双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 5 20 20 5 2 2 3x 3y 3x2 3y2 C. - =1 D. - =1 25 100 100 25 解:由题意可知,双曲线的其中一条渐近线 y b b = x 与直线 y=2x+10 平行,∴ =2.又双曲线的一 a a 个焦点在直线 l 上,∴-2c+10=0,c=5.∴a2+b2 =c2=25.将 b=2a 代入上式得 a2=5,b2=20,故双 x2 y2 曲线的方程为 - =1.故选 A. 5 20 x2 y2 (2013·陕西)双曲线 - =1 的离心率为 16 9 __________. 解:依题意知 a2=16,b2=9,∴c2=a2+b2= c 5 5 25,c=5.∴该双曲线的离心率为 e= = .故填 . a 4 4 2 2 x y 已知曲线方程 - =1,若方程表 λ +2 λ +1 示双曲线,则 λ 的取值范围是________________.

x2 y2 - =1 表示双曲线, ∴ λ+2 λ+1 (λ+2)(λ+1)>0,解得 λ<-2 或 λ>-1. 故 填(-∞,-2)∪(-1,+∞). 解: ∵方程

y2 - =1. 8

x2 将点(3 2, 2)代入得 k=4, 所求双曲线方程为 12

类型一

双曲线的定义及标准方程
求适合下列条件的双曲线的标准方

点拨: (1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法;(2) 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点 的位置,常设双曲线方程为 Ax2+By2=1(A· B<0), 这样可以简化运算. (1)(2014·北京)设双曲线 C 的两个焦 点为(- 2,0),( 2,0),一个顶点是(1,0),则 C 的方程为________. 解:根据已知条件可判断双曲线 C 的中心在坐 标原点,焦点在 x 轴上,c= 2,a=1,b2=c2-a2 =1,∴C 的方程为 x2-y2=1.故填 x2-y2=1. x2 y2 (2)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 a b P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 20 5 5 20 2 2 x y x2 y2 C. - =1 D. - =1 80 20 20 80 解:根据已知可得半焦距 c=5,∵点 P(2,1) b 在双曲线的一条渐近线方程 y= x 上, ∴a=2b.根据 a c2=a2+b2,有 25=4b2+b2,得 b2=5,a2=20,所 x2 y2 求 C 的方程为 - =1.故选 A. 20 5

程: (1)经过点(-5,2),焦点为( 6,0); (2) 对 称 轴 为 坐 标 轴 , 经 过 点 P(3 , 2 7 ) , Q(-6 2,7); x2 y2 (3) 与双曲线 - = 1 有公共焦点,且过点 16 4 (3 2,2). 解:(1)∵焦点坐标为( 6,0),焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴可设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b 25 4 ∵双曲线过点(-5,2),∴ 2 - 2=1,得 a2= a b 25b2 . b2+4 25b2 ? ?a2=b2+4, 联立? 解得 a2=5,b2=1,故所 x2 求双曲线方程为 -y2=1. 5 (2)依题意知,所求双曲线方程为标准方程,但 不知焦点在哪个轴上,故可设双曲线方程为 Ax2+ By2=1(AB<0), ∵所求双曲线经过 P(3,2 7),Q(-6 2,7), ? ?9A+28B=1, 1 1 ∴? 解得 A=- ,B= . 75 25 ?72A+49B=1, ? y2 x2 故所求双曲线方程为 - =1. 25 75 x2 y2 (3) 解法一: 设双曲线方程为 2 - 2 = 1(a>0 , a b b>0), 易求 c=2 5,∵双曲线过点(3 2,2), (3 2)2 4 18b2 ∴ - 2=1,得 a2= 2 . 2 a b b +4 2 18 b ? ?a2=b2+4, 联立? 解得 a2=12,b2=8. x2 y2 故所求双曲线的方程为 - =1. 12 8 x2 y2 解法二:设双曲线方程为 - =1, 16-k 4+k
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? ?a2+b2=c2=6,

类型二

双曲线的离心率

? ?a2+b2=c2=20,

x2 y2 设双曲线 2- 2=1(b>a>0)的半焦距 a b 为 c,直线 l 经过(a,0),(0,b)两点,已知原点到 3 直线 l 的距离为 c, 则双曲线的离心率为________. 4 x y 解:直线 l 的方程为 + =1, a b 即 bx+ay-ab=0. ab 3 由原点到直线 l 的距离 d= 2 2= c,得 4 a +b 3c4=16a2b2=16a2(c2-a2),即 3c4-16c2a2+16a4= 4 0,有 3e4-16e2+16=0,解之得 e2=4 或 e2= . 3 ∵b>a>0,∴b2>a2,即 c2-a2>a2,e2>2. ∴e2=4,e=2.故填 2. 点拨: (1) 要解决双曲线中有关求离心率或求离心率 范围的问题,应找好题中的等量关系或不等关系,

构造出关于 a,c 的齐次式,进而求解.(2)要注意对 题目中隐含条件的挖掘,如对双曲线上点的几何特 征|PF1|+|PF2|≥2c 的运用(变式 2(2)). (1)(2014·重庆)设 F1,F2 分别为双曲

本题考查双曲线的离心率,a,b,c 的关系, 以及双曲线的渐近线等知识 . 渐近线方程可以看作 是把双曲线方程中的 “1”用“0”替换而得到的两条直 线方程. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲 线 C1:2x2-y2=1.过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近 线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积. x2 2 解: 双曲线 C1: -y2=1, 左顶点 A?- ,0?, 1 ? 2 ? 2 渐近线方程 y=± 2x.过点 A 与渐近线 y= 2x 平行 2 的直线方程为 y= 2?x+ ?, 即 y= 2x+1.解方程 2? ? 2 x=- , 4 ?y=- 2x, 组? 得 所求三角形的面积 1 ?y= 2x+1, y= . 2 1 1 2 为 S= |OA|· = . 2 2 8

x y 线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上 a b 9 存在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b, |PF1|· |PF2|= ab, 4 则该双曲线的离心率为( ) 4 5 9 A. B. C. D.3 3 3 4 解: 考虑双曲线的对称性, 不妨设 P 在右支上, 则|PF1|- |PF2|=2a,而|PF1|+ |PF2|=3b,两式左右 9b2-4a2 两边平方后相减, 得|PF1||PF2|= , 又由已知 4 2 2 9b -4a 9 9 b 4 |PF1|·|PF2|= ab,∴ ab= ,得 = (舍去 4 4 4 a 3 b?2 c 负值 ).∴ 该双曲线的离心率 e = = 1+? ?a? = a 4?2 5 1+? ?3? =3.故选 B. x2 y2 (2)设 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的 a b 左、 右两焦点, P 为双曲线上一点, 若|PF1|=2|PF2|, 则双曲线的离心率 e 的取值范围是________. 解:∵|PF1|=2|PF2|,∴P 点在双曲线的右支上. 又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a, ∴|PF1|=4a,|PF2|=2a. c ∵|PF1|+|PF2|≥2c,∴6a≥2c,即 ≤3. a ∵e>1,∴1<e≤3.故填(1,3].

2

2

? ? ?

类型三

双曲线的渐近线

x2 (2013·全国课标Ⅰ)已知双曲线 C: 2 a y2 5 - 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线 b 2 方程为( ) 1 1 A.y=± x B. y=± x 4 3 1 C. y=± x D. y=± x 2 c 5 解:根据双曲线的性质可知 e= = ,c2=a2 a 2 a2 b 1 +b2,联立可得 b2= ,即 = ,故 C 的渐近线方 4 a 2 1 程为 y=± x.故选 C. 2 点拨:
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1.对双曲线的学习可类比椭圆进行,应着重注 意两者的异同点. 2.双曲线的定义中,当|MF1|>|MF2|时,动点 M 的轨迹是双曲线的一支,当|MF1|<|MF2|时,轨迹为 双曲线的另一支,而双曲线是由两个分支组成的, 故在定义中强调“差的绝对值”. 3.定义中|F1F2|>2a 这个条件不可忽视, 若|F1F2| =2a, 则轨迹是以 F1, F2 为端点的两条射线, 若|F1F2| <2a,则轨迹不存在. 4.在椭圆的两种标准方程中,焦点对应“大分 母”,即标准方程中,x2,y2 谁的分母较大,则焦 点就在哪个轴上;而在双曲线的两种标准方程中, 焦点的位置对应“正系数” ,即标准方程中,x2,y2 谁的系数为正 (右边的常数总为正 ),则焦点就在哪 个轴上. 5.在椭圆中,a,b,c 满足 a2=b2+c2,即 a 最 大;在双曲线中,a,b,c 满足 c2=a2+b2,即 c 最 大. 6.在双曲线的几何性质中,渐近线是其独特的 一种性质,也是考查的重点内容.对渐近线:(1)掌握 方程;(2)掌握其倾斜角、斜率的求法;(3)会利用渐 近线方程求双曲线方程的待定系数. 7.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲 线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似 . 因此,双曲线与椭圆的标准方程可统一为 Ax2+By2 =1 的形式, 当 A>0, B>0, A≠B 时为椭圆, 当 A· B <0 时为双曲线. 8.双曲线的几个常用结论:

x2 y2 (1)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有共同渐近 a b x2 y2 线的双曲线系方程为 2- 2=λ(λ≠0). a b (2)双曲线上的点 P(x0,y0)与左(下)焦点 F1 或右 (上)焦点 F2 之间的线段叫做双曲线的焦半径,分别 记作 r1=|PF1|,r2=|PF2|,则 x2 y2 ① 2- 2=1(a>0,b>0),若点 P 在右支上, a b 则 r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点 P 在左支上,则 r1 =-ex0-a,r2=-ex0+a. y2 x2 ② 2- 2=1(a>0,b>0),若点 P 在上支上, a b 则 r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点 P 在下支上,则 r1 =-ey0-a,r2=-ey0+a.

c 3 3 解: 由题意知 c=3, e= = = , ∴a=2. ∴b2 a a 2 x2 y2 = c2- a2= 32- 22 =5.∴C 的方程为 - = 1. 故选 4 5 B. x2 y2 5.(2014·全国)双曲线 C: 2- 2=1(a>0, b>0) a b 的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为 3,则 C 的 焦距等于( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 x2 y2 解:双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线 a b 方程为 bx±ay=0,焦点 F(c,0)到渐近线的距离 d a2+b2 bc c = 2 2=b= 3,由 e= = =2 得 b2= a a a +b 3a2=3,a2=1,c= a2+b2=2,2c=4.故选 C. x2 y2 6.设 F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的 a b 左、右两焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线 交于 A,B 两点,若△ABF2 为锐角三角形,则该双 曲线的离心率 e 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(1, 3) C.( 2-1, 2+1) D.(1,1+ 2) x =- c , ? ? 2 2 b2 -c, ? , 解 : 由 方 程 组 ?x y 得 A? a? ? ? ?a2-b2=1 b2? b2 ? - c ,- B? a ?,∴|AF1|= a .易知|F1F2|=2c. ∵△ABF2 为锐角三角形,∴∠F1F2A<45° , b2 |AF1|<|F1F2|,即 <2c,有 b2=c2-a2<2ac, a 整理得 e2-2e-1<0(e>1), 解得 1<e<1+ 2. 故选 D. 7.(2014·北京)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 y2 - x2 = 1 具 有 相 同 渐 近 线 , 则 C 的 方 程 为 4 __________;渐近线方程为__________. y2 解:设与双曲线 -x2=1 有相同渐近线的双曲 4 y2 2 线方程为 -x =k,将点(2,2)代入,得 k=-3. 4 x2 y2 ∴双曲线 C 的方程为 - =1, 其渐近线方程 3 12 2 2 x y 为 2x± y=0.故填 - =1;2x± y=0. 3 12 x2 y2 8.(2013·辽宁)已知 F 为双曲线 C: - =1 9 16 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴 长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周 长为____________. 解:由题意知 a=3,b=4,c=5,∴点 A(5, |QF| 0)为双曲线 C 的右焦点.又∵|PF|-|PA|=2a=6, -|QA|=2a=6,|PQ|=4b=16,∴△PQF 的周长 l =|PF| +|QF|+|PQ|=(|PA|+6)+(|QA|+6)+|PQ| =
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x2 1.双曲线 -y2=1 的离心率是( ) 4 3 5 A. 5 B. C. D. 3 2 2 2 x 解:双曲线 -y2=1 中,a2=4,b2=1,∴c2 4 c 5 =a2+b2=5,双曲线的离心率是 e= = .故选 C. a 2 全国卷Ⅰ)已知 F 为双曲线 C: 2.(2014· x2-my2 =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线 的距离为( ) A. 3 B.3 C. 3m D.3m 解:易得双曲线 C 的焦点 F(± 3m+3,0),渐 1 近线方程为 y=± x, 则点 F 到 C 的一条渐近线 m 1 · 3m+3 m 的距离为 = 3.故选 A. 1 1+ m x2 3.(2014·广东)若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 25 y2 x2 y2 - =1 与曲线 - =1 的( ) 9-k 25-k 9 A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等 解:由 0<k<9,易知两曲线均为双曲线且焦点 都在 x 轴上,且 25+9-k= 25-k+9,得两双曲 线焦距相等.故选 D. 4.(2013·广东)已知中心在原点的双曲线 C 的 3 右焦点为 F(3, 0), 离心率等于 , 则 C 的方程是( ) 2 2 2 2 2 x y x y A. - =1 B. - =1 4 4 5 5 2 2 2 x y x y2 C. - =1 D. - =1 2 5 2 5

? ? ?

? ? ?

2|PQ|+12=32+12=44.故填 44. 9.已知双曲线的两焦点坐标 F1(0,-2),F2(0, 2),以及双曲线上一点 P 的坐标(3,-2),求双曲线 的方程、顶点坐标、渐近线方程以及离心率. y2 解: 由题意知双曲线的焦点在 y 轴上, 可设为 2 a x2 - 2=1, b 2a = |PF2| - |PF1| = (3-0)2+(-2-2)2 -3=2, 即 a=1,b= c2-a2= 22-12= 3, x2 ∴双曲线的方程为 y2- =1, 3 3 顶点坐标为(0,±1),渐近线方程为 y=± x, 3 c 离心率 e= =2. a x2 y2 10.已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C:2- 2= a b 1(a>0,b>0)相交于 B,D 两点,且 BD 的中点为 M(1,3),求 C 的离心率. 解:易求得直线 l 的方程为 y=x+2, 代入 C 的方程,并化简,得 (b2-a2)x2-4a2x-4a2-a2b2=0. 设 B(x1,y1),D(x2,y2), 4a2 则 x1+x2= 2 , b -a2 x1+x2 由 M(1,3)为 BD 的中点知 =1, 2 1 4a2 ∴ × 2 2=1, 有 b2=3a2.∴c= a2+b2=2a. 2 b -a c ∴C 的离心率 e= =2. a x2 11.(2014·江西)如图,已知双曲线 C: 2 -y2 a =1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C 的两条渐 近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原 点),求双曲线 C 的方程.

c c - 2a a 3 ∴kAB= = . c a -c 2 1 3 - ?=-1,解得 a2=3. 又∵AB⊥OB,∴ ·? a ? a? x2 ∴双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3 x2 y2 设 A 是双曲线 - =1 右支上一点, 16 9 F 为右焦点,连结 AF 交双曲线的右支于 B 点,作 16 直线 BC 垂直定直线 l:x= ,垂足为 C,求证: 5 直线 AC 恒过定点. -

解:设 F(c,0),∵b=1,∴c= a2+1. 1 又直线 OB 的方程为 y=- x,直线 BF 的方程 a x-c 为 y= , a ∴两直线方程联立可解得点 B 的坐标为 ?c,- c ?. 2a? ?2 x 由直线 OA 的方程 y = 及 AF⊥x 轴,得点 a c? A? ?c,a?,
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证法一:易知直线 AB 的斜率不为零,故可设 直线 AB 的直线方程为 x-5=my. x=my+5, ? ? 2 2 由方程组? x y 消去 x 得(9m2-16)y2+ ? ?16- 9 =1 90my+81=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 90m 81 y1+y2=- 2 ,y y = . 9m -16 1 2 9m2-16 y1-y2 易知直线 AC 的斜率为 k= ,故直线 AC 16 x1- 5 16 ? 的 方 程 为 y - y2 = k ? ?x- 5 ? , 即 y = 16 y2 ? 16 x1- ??. k x- 5 +y -y ? 5 ?? ? 1 2? 16? 9 y2 ? y2 ? 1 x1- my1+ ? = 又 = 5 5 ? y1-y2 ? ? y1-y2 y1-y2 ? 9 81m 9 1 ? 9 - (y1+y2)+ y2? =- ( 2 + y2) = 10 5 ? ? 5 9m -16 y1-y2 9 . 10 41? 因此,直线 AC 的方程为 y=k? ?x-10?,故直线 41 ? AC 恒过定点? ?10,0?. 证法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),易知 F(5,0), 16 ? C? ? 5 ,y2?.

如图,作直线 AD 垂直定直线 l,垂足为 D,过 点 F 作直线 PQ⊥x 轴,交 AD,BC 于 P,Q,易知

|AF| |AP| △APF∽△BQF , 则 = , 由|AF|=|AD|e, |BF| |BF| |BQ| 16 x1- 5 x1-5 |AD| |AF| |AP| =|BC|e,有 = = ,即 = ,整 |BC| |BF| |BQ| 16 5-x2 x2- 5 41 理得 x1x2- (x1+x2)=-16.① 10 y1-y2 x2-5 y2 y2 易知 kAB= = ,∴ = .② x1-x2 x2-5 y1-y2 x1-x2 y1-y2 直线 AC 的斜率为 k= ,故直线 AC 的方 16 x1- 5 16 x- ? , 即 y = 程 为 y - y2 = k ? ? 5?

16 16 y2 ? x1- ??. k?x- 5 + 5 ?? ? y - y ? 1 2 将 ①② 代 入 , 经 计 算 , x2-5 ? 16 9 · x - ?=- . 10 x1-x2 ? 1 5 ? 41? 因此,直线 AC 的方程为 y=k? ?x-10?,故直线 41 ? AC 恒过定点? ?10,0?(验证可知当直线 AB 的斜率不 存在时也满足). 16 y2 ? x- ?= y1-y2 ? 1 5 ?

41

§9.8

抛 物 线
A.x=8 B.x=-8 C.x=4 D.x=-4 p 解:由题意得 1+ =5,故 p=8,准线方程为 2 x=-4.故选 D. 已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该 抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点 到 y 轴的距离为( ) 3 5 7 A. B.1 C. D. 4 4 4 1 解:易知抛物线 y2=x 的准线方程为 x=- .设 4 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点 P(x0,y0),则 1 1 由抛物线的定义得|AF|=x1+ ,|BF|=x2+ . 4 4 5 1 ∵|AF|+|BF|=3,∴x1+x2= ,x0= (x1+x2)= 2 2 5 5 ,即 P 点到 y 轴的距离为 .故选 C. 4 4 (2013·北京)若抛物线 y2=2px 的焦点坐标 为 (1 , 0) , 则 p = ____________ ; 准 线 方 程 为 ____________. p ? 解:由于抛物线 y2=2px 的焦点坐标为? ?2,0?, p ∴ =1,p=2,准线方程为 x=-1.故填 2;x=-1. 2 (2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线 C:y2=8x 的 焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF → → 与 C 的 一 个 交 点 , 若 FP = 4 FQ , 则 |QF| = ____________. 解:过点 Q 作 QQ′⊥l 于点 Q′,

1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(F?______) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F 叫做抛物线的 ________,直线 l 叫做抛物线的________. 2.抛物线的标准方程及几何性质
标准 方程 图形 ② ① y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

焦 点

(

p - ,0 2

)

③ p ⑦y=- 2 ? ?y 轴

④ 0,-2 ⑧

(

p

)

p 准 ⑤x=- 2 线



范 ⑨x≥0, y∈R ⑩ 围 对 性 称 ? 质 轴 顶 点 离 心 ? 率 开 ? 口 ?向左

? y≤0 , x∈R

?原点 O(0,0)

?向上

?

自查自纠: 1.l 焦点 准线 p ? p p ? p? 2.①? ?2,0? ③?0,2? ⑥x=2 ⑧y=2 ⑩x≤0,y∈R ?y≥0,x∈R ?x 轴 ?e=1 ?向右 ?向下

准线方程为 y= 4 的抛物线的标准方程是 ( ) A.x2=16y B.x2=8y 2 C.x =-16y D.x2=-8y 解:由题意可设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), p ∵抛物线的准线方程为 y= =4,∴p=8.∴该抛物 2 2 线的标准方程为 x =-16y.故选 C. 已知抛物线 y2=2px 上一点 M(1,m)到其焦 点的距离为 5,则该抛物线的准线方程为( )
42

|PQ| 3 → → ∵FP=4FQ, ∴ = .又焦点 F 到准线 l 的距 |PF| 4 |QQ′| |PQ| 3 离为 4,∴ = = ,|QF|=|QQ′|=3.故填 3. 4 |PF| 4

的距离,即 dmin=

|4-0+6| 42+(-3)2

=2.故选 A.

类型一

抛物线的定义及标准方程

(1)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 坐标轴上,又知抛物线上一点 A(m,-3)到焦点 F 的距离为 5,求 m 的值,并写出抛物线的方程. 解:∵抛物线过点 A(m,-3),∴抛物线的开 口向下、向右或向左. ①当抛物线开口向下时,设抛物线的方程为 x2 p =-2py(p>0),准线方程为 y= ,由抛物线的定义 2 p 得 -(-3)=5,解得 p=4,抛物线的方程为 x2=- 2 8y. ∵点 A(m, -3)在抛物线上, ∴代入得 m2=24, m=± 2 6. ②当抛物线开口向右或向左时,设抛物线的方 a 程为 y2=2ax(a≠0),准线方程可统一为 x=- . 2 a ? ?a=1, ?? +m? ?=5, 解得? 由题意可得??2 ? 9 ? ? ?2am=9, ?m=2, a=-1, a=9, a=-9, ? ? ? ? ? ? 或? 9 或? 1 或? 1 m=- , ?m= , ?m=- . ? 2 2 2 ? ? ? 9 ∴当 m= 时,抛物线的方程为 y2=2x;当 m= 2 9 1 - 时,抛物线的方程为 y2=-2x;当 m= 时,抛 2 2 1 物线的方程为 y2=18x;当 m=- 时,抛物线的方 2 程为 y2=-18x. (2)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=- 1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的 距离之和的最小值是( ) 11 37 A.2 B.3 C. D. 5 16 解:易知直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的准 线,由抛物线的定义知,

点拨: (1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向, 以便选择抛物线方程的具体形式 . 注意利用代数的 观点,把抛物线向右或向左的情形统一起来,提高 解题效率;(2)把“数”、“方程”向“形”的方向 转化,运用运动变化的观点和几何的方法进行研究 比直接代数化更简洁. ( 2013·全国课标Ⅱ ) 设抛物线 C : y2 =2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若 以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( ) A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x p ? p 解:抛物线 C 的焦点 F? ?2,0?,准线 x=-2. p p 设 M(x,y),则|MF|=x+ =5,得 x=5- . 2 2 ∵以 MF 为直径的圆过点(0,2),∴MF 的中点 ?x+p ? 5 ? 2,y?到点(0,2)的距离为2,即 ? 2 2? 2 2 ?x+p?2 y 5 2 y 5 -2? = ? ? +? -2? = , ? 2? +? ?2 ? ?2? ?2 ? 2 ? 2 ? 得 y=4. p 5- ,4?在抛物线 C 上, ∵点 M? ? 2 ? p? ∴代入得 42=2p? ?5-2?,解得 p=2 或 8. ∴抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x.故选 C.

类型二

抛物线焦点弦的性质

如图,AB 为过抛物线 y2=2px(p>0) 焦点 F 的弦, 点 A, B 在抛物线准线上的射影为 A1, B1,且 A(x1,y1),B(x2,y2).求证:

点 P 到 l2 的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1, 0)的距离,因此原问题可转化为在抛物线 y2=4x 上 找一个点 P 使得 P 到点 F(1,0)和直线 l1 的距离之 和最小. 因此最小值为 F(1,0)到直线 l1:4x-3y+6=0
43

(1)|AB|=x1+x2+p; p2 (2)x1x2= ,y1y2=-p2; 4 (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切; 1 1 2 (4) + = . |AF| |BF| p 证明:(1)由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=

|AA1|+|BB1|=x1+x2+p.
p? (2)设直线 AB 的方程为 y=k? ?x-2?, 2p y-p2=0, k y2 y2 p2 1 2 ∴y1y2=-p2,x1x2= · = . 2p 2p 4 (3)设 AB 的中点为 M,M 到准线的距离为 d, |AA1|+|BB1| |AF|+|BF| |AB| 则 d= = = , 2 2 2 ∴以 AB 为直径的圆与准线相切. y1 p? ?y2 p? y1+y2 2p + + + = (4)∵x1+x2=? + p = k 2 k 2 ? ? ? ? k k2 2 p 1 1 1 1 1 +p, x1x2= , ∴ + = + = + 4 p |AF| |BF| |AA1| |BB1| x1+ 2 2p +2p k2 x1+x2+p 1 2 = 2= 2= . p p p p p x2+ x1x2+ (x1+x2)+ p2+ 2 2 2 4 k 联立抛物线方程,消 x 得 y2- 点拨: 本题小结了抛物线的焦点弦的有关性质,当抛 物线的坐标方程形式发生变化时,性质(3)、(4)、(5) 不变, 性质(1)、 (2)略有变化, 如对于抛物线 x2=2py, 性质(1)应为|AB|=y1+y2+p,性质(2)应为 x1x2=- p2 p2,y1y2= ,其余情况可自行推导.本题与变式 2 分 4 别从数与形的角度描述了抛物线的某些性质. 设 AB 是过抛物线 y2=2px(p>0)的焦 点 F 的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),求证: (1)若点 A,B 在准线上的射影分别为 M,N,则 ∠MFN=90° ; (2)取 MN 的中点 R,则∠ARB=90° ; (3)以 MN 为直径的圆必与直线 AB 相切于点 F; (4)若经过点 A 和抛物线顶点 O 的直线交准线于 点 Q,则 BQ 平行于抛物线的对称轴. 证明: (1) 由抛物线的定义知 |AM| = |AF| , |BN| =|BF|,∴∠AMF=∠AFM,∠BNF=∠BFN. (2)证法一: 取 P 为 AB 的中点, 连接 PR, 有|PR| 1 1 = (|MA|+|NB|)= |AB|,则∠ARB=90° . 2 2

p y1+y2? → 证 法 二 : 易 知 R ?- , , 则 RA = 2 ? ? 2 p y2-y1? → ? ?x +p,y1-y2?,RB = x2+ , , 2 ? 2 2 ? ?1 2 ? p?? p? 1 → → 2 ∵RA·RB=? ?x1+2??x2+2?-4(y1-y2) p p2 1 1 =x1x2+ (x1+x2)+ - (y2 +y2)+ y y =0, 2 4 4 1 2 2 1 2 ∴∠ARB=90° . (3)∵∠MFN=90° , ∴F 在以 MN 为直径的圆上. ∵|AF|=|AM|,|MR|=|FR|,

∴∠MFA=∠AMF,∠MFR=∠FMR. ∴∠AFR=∠MFA+∠MFR=∠AMF+∠FMR =90° ,即 RF⊥AB,F 为垂足. 因此,以 MN 为直径的圆必与直线 AB 相切于 点 F. y1 (4) 易 知 直 线 AO 的 方 程 为 y = x , 则 x1 p py 1? 2 Q? ?-2,-2x1?.∵y1y2=-p ,

∵AM∥x 轴,BN∥x 轴, ∴∠AMF=∠KFM,∠BNF=∠KFN. ∴∠MFN=∠KFM+∠KFN 1 = (∠KFA+∠KFB)=90° . 2

py1 p y1 p2 ∴- =- · 2 =- =y2, 2x1 2 y1 y1 2p p ? 于是 Q? ?-2,y2?与点 N 重合.因此,BQ 平行于 x 轴,即 BQ 平行于抛物线的对称轴.

1.抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关 抛物线问题的基础,应当熟练掌握. 2.求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数
44

法或轨迹法.若抛物线的开口不确定,为避免多种情 况分类求解的麻烦, 可以设抛物线方程为 y2=mx 或 x2=ny(m≠0,n≠0).若 m>0,开口向右;若 m<0, 开口向左.m 有两解时, 则抛物线的标准方程有两个. 对 n>0 与 n<0,有类似的讨论. 3.抛物线的离心率 e=1,体现了抛物线上的点 到焦点的距离等于该点到准线的距离.因此,涉及抛 物线的焦半径、焦点弦问题时,可以优先考虑利用 抛物线的定义,将其转化为点到准线的距离,这样 往往可以使问题简单化. 4.抛物线的几个常用结论 (1)焦半径:抛物线上的点 P(x0,y0)与焦点 F 之 间的线段叫做抛物线的焦半径,记作 r=|PF|. p ①y2=2px(p>0),r=x0+ ; 2 p 2 ②y =-2px(p>0),r=-x0+ ; 2 p ③x2=2py(p>0),r=y0+ ; 2 p ④x2=-2py(p>0),r=-y0+ . 2 2 (2)焦点弦:若 AB 为抛物线 y =2px(p>0)的焦 点弦,A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 弦中点 M(x0,y0),|AB|=l.则: p2 ①x1x2= ; 4 ②y1y2=-p2; ③弦长 l=x1+x2+p,因 x1+x2≥2 x1x2=p, 故当 x1=x2 时,l 取得最小值,最小值为 2p,此时 弦 AB 垂直于 x 轴,所以抛物线的焦点弦中通径最 短 ( 垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通 径).

4,x1+x2=4-p,?

x1+x2 p? ?4-2p? ? 2 -2?=? 2 ?=1,解得

1.(2013·四川)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 y2 x2- =1 的渐近线的距离是( ) 3 1 3 A. B. C.1 D. 3 2 2 解:∵抛物线的焦点坐标为 (1,0),而双曲线 的渐近线方程为 y=± 3x, 即 3x±y=0, ∴焦点(1, 3 0)到渐近线 3x±y=0 的距离为 d= ( 3)2+12 3 = .故选 B. 2 2.已知 A,B 两点均在焦点为 F 的抛物线 y2= 2px(p>0)上,若|AF|+|BF|=4,线段 AB 的中点到直 p 线 x= 的距离为 1,则 p 的值为( ) 2 A.1 B.1 或 3 C.2 D.2 或 6 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1+x2+p=
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p=1 或 3.故选 B. 3.过点(1,-2)的抛物线的标准方程是( ) 1 A.y2=4x 或 x2= y B.y2=4x 2 1 1 C.y2=4x 或 x2=- y D.x2=- y 2 2 解:若开口向右,可设其方程为 y2=2px(p>0), 代入点(1,-2),得 p=2,故抛物线的标准方程是 y2=4x; 若开口向下, 可设其方程为 x2=-2py(p>0), 1 代入点(1,-2),得 p= ,故抛物线的标准方程是 4 1 x2=- y.综上知,故选 C. 2 4.已知 O 为坐标原点, F 为抛物线 C: y2=4 2 x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( ) A.2 B.2 2 C.2 3 D.4 解:设点 P(x0,y0),F( 2,0),抛物线 C 的准 线为 x=- 2,则|OF|= 2,x0+ 2=|PF|=4 2, 1 1 x0 = 3 2, y0=±2 6 , S △ POF= |OF||y0|= × 2× 2 2 2 6=2 3.故选 C. x2 y2 5.(2013·天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0) a b 的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线分别交 于 A,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3,则 p=( ) 3 A.1 B. C.2 D.3 2 c c2 解: 由双曲线的离心率 e= = 2 知 e2= 2 = a a a2+b2 b2 b =1+ 2=4, 得 = 3.∴双曲线的渐近线方程 a2 a a b 为 y=± x=± 3x. a p 3 p 3 由题意可设 A?- , p?,B?- ,- p?, 2 ? ? 2 2 ? ? 2 1 p 3 ∴S△AOB= · 3p· = p2= 3,得 p=2 或-2(舍 2 2 4 去).故选 C. 6.设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过点 M( 3, 0)的直线与抛物线相交于 A, B 两点, 与抛物线的准 线相交于 C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之 S△BCF 比 =( ) S△ACF 4 2 4 1 A. B. C. D. 5 3 7 2

1 解:如图,抛物线的准线方程为 l:x=- , 2 1 3 ? ∵|BF|=2, ∴xB-? 即 xB= .不妨令 yB<0, ?-2?=2, 2 过点 A,B 分别作 AA1⊥l,BB1⊥l,A1,B1 分别为 垂足. 易知 AB 不可能平行于 x 轴,可设过 M 点的直 线方程为 x=my+ 3, ?x=my+ 3, 由方程组? 2 消去 y 得 x2-2( 3+ ?y =2x m2)x+3=0. ∴根据韦达定理 xAxB=3. 3 5 又∵xB= ,∴xA=2,因此|AA1|= . 2 2 S△BCF |BC| |BB1| 2 4 ∴ = = = = .故选 A. S△ACF |AC| |AA1| 5 5 2 7.(2014·上海)若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 2 x y2 + =1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 9 5 ____________. x2 y2 解:易知椭圆 + =1 的右焦点为(2,0),∵ 9 5 x2 y2 抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重 9 5 合,∴p=4,抛物线的准线方程为 x=-2.故填 x= -2. 8.如图是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时, 拱顶离 水面 2 m,水面宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽 __________ m.

解法二:设 S(x,y)为曲线Γ上任意一点,则 |y-(-3)|- (x-0)2+(y-1)2=2, 依题意,点 S(x,y)只能在直线 y=-3 的上方, ∴y>-3. ∴ (x-0)2+(y-1)2=y+1,化简得曲线 Γ 的方程为 x2=4y. 10.(2014·全国)已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的 5 交点为 Q,且|QF|= |PQ|,求 C 的方程. 4 8 解:设 Q(x0,4),代入 y2=2px 得 x0= , p 8 p 8 p ∴|PQ|= .∴|QF|=x0+ = + . p 2 p 2 5 又∵|QF|= |PQ|, 4 8 p 58 ∴ + = · ,解得 p=2(舍去负值). p 2 4p ∴C 的方程为 y2=4x. 11.已知圆 x2+y2-9x=0 与顶点在原点 O,焦 点在 x 轴上的抛物线交于 A,B 两点,△OAB 的垂 心恰为抛物线的焦点,求抛物线的方程. 解:依题意,设所求抛物线方程为 y2=2px(p> p ? 0) , 焦点 F ? ?2,0? , A(x0 , y0) , B(x0 ,- y0) , 则 2 ? ?y0=2px0,
? 2 2 ?x0+y0-9x0=0, ?
2 ∴x0 +(2p-9)x0=0.① ∵OA⊥BF,∴kOA·kBF=-1, y0 y0 2px0 有 · =-1,即 =-1, x0 p p ? ? -x x0?2-x0? 2 0 5 解得 x0= p.② 2 把②代入①,得 p=2.∴所求抛物线方程为 y2 =4x. 设不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2)在 抛物线 y=2x2 上,l 是 AB 的垂直平分线. (1)当且仅当 x1+x2 取何值时,直线 l 经过抛物 线的焦点 F?证明你的结论; (2)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上的截 距的取值范围. 解:(1)F∈l?|FA|=|FB|?A,B 两点到抛物线 的准线的距离相等,∵抛物线的准线是 x 轴的平行 线,y1≥0,y2≥0,依题意 y1,y2 不同时为 0,∴上 2 述条件等价于 y1=y2?x2 1=x2?(x1+x2)(x1-x2)=0. ∵x1≠x2,∴上述条件等价于 x1+x2=0,即当 且仅当 x1+x2=0 时,l 经过抛物线的焦点 F. (2)设 l 在 y 轴上的截距为 b, 依题意得 l 的方程 为

解:以抛物线的顶点为坐标原点,水平方向为 x 轴建立平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为 x2=-2py(p>0),把(2,-2)代入方程得 p=1,即抛 物线的标准方程为 x2=-2y.再把 y=-3 代入得 x= ± 6,因此水位下降 1 m 后,水面宽为 2 6 m.故填 2 6. 9.(2014·福建)已知曲线 Γ 上的点到点 F(0, 1) 的距离比它到直线 y=-3 的距离小 2,求曲线 Γ 的 方程. 解法一:设 S(x,y)为曲线 Γ 上任意一点, 依题意,点 S 到 F(0,1)的距离与它到直线 y= -1 的距离相等,∴曲线 Γ 是以点 F(0,1)为焦点, 直线 y=-1 为准线的抛物线,其方程为 x2=4y.
46

y -y 1 =- , ? ?x -x 2 y=2x+b,有? x +x y +y ?2· 2 +b= 2 , ?
1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 1 ? - +b?=- ?x+ ?, ?y-? 4 8? 得 32x2+ ? ? ? 2 交点,∴联立? ? ?y=2x2, 9 8x+5-16b=0,Δ=-9+32b>0,b> .因此直线 32 9 ? l 在 y 轴上截距的取值范围是? ?32,+∞?.

1 由 y=2x2,得 x1+x2=- , 4 y1+y2 1 ∴ =- +b, 过 A, B 的直线方程为 y-(- 2 4 1 1 1 x+ ?.∵直线 AB 与抛物线有两个不同 +b)=- ? 4 2? 8?

47

§9.9

直线与圆锥曲线的位置关系
无论哪种方法都不能忽视对判别式的讨论.

1.直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度来看 有三种:相离时,直线与圆锥曲线______公共点; 相切时,直线与圆锥曲线有______公共点;相交时, 直线与椭圆有______公共点,直线与双曲线、抛物 线有一个或两个公共点 . 一般通过它们的方程来研 究: 设直线 l:Ax+By+C=0 与二次曲线 C:f(x, y)=0, ? ?Ax+By+C=0, 由? 消元,如果消去 y 后得: ?f(x,y)=0 ? ax2+bx+c=0, (1)当 a≠0 时, ①Δ>0,则方程有两个不同的解,直线与圆锥 曲线有两个公共点,直线与圆锥曲线________; ②Δ=0,则方程有两个相同的解,直线与圆锥 曲线有一个公共点,直线与圆锥曲线________; ③Δ<0,则方程无解,直线与圆锥曲线没有公 共点,直线与圆锥曲线________. (2)注意消元后非二次的情况,即当 a=0 时, 对应圆锥曲线只可能是双曲线或抛物线. 当圆锥曲线是双曲线时,直线 l 与双曲线的渐 近线的位置关系是________;当圆锥曲线是抛物线 时,直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是 ________. (3)直线方程涉及斜率 k 要考虑其不存在的情形. 2.直线与圆锥曲线相交的弦长问题 (1)直线 l:y=kx+m 与二次曲线 C:f(x,y)=0 交 于 A , B 两点 ,设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 由 ?y=kx+m, ? ? 得 ax2+bx+c=0(a≠0),则 x1+x2= ? f ( x , y )= 0 ? ________,x1x2=________,|AB|= . (2)若弦过焦点,可得焦点弦,可用焦半径公式 来表示弦长,以简化运算. 3.直线与圆锥曲线相交弦的中点问题 中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差 法”求解. (1)利用根与系数的关系:将直线方程代入圆锥 曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用 根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解. (2)点差法:若直线 l 与圆锥曲线 C 有两个交点 A,B,一般地,首先设出 A(x1,y1),B(x2,y2),代 入曲线方程,通过作差,构造出 x1+x2,y1+y2,x1 -x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.
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自查自纠: 1.无 一个 两个 离

(1)①相交

②相切

③相

(2)平行或重合 平行或重合 b c 2.(1) - 1+k2 |x1-x2| = a a b2-4ac |a|

1+k2

x2 双曲线 -y2=1 与直线 y=kx+1 有惟一公 4 共点,则 k 的值为( ) 2 2 A. B.- 2 2 2 2 1 C.± D.± 或± 2 2 2 y = kx + 1 , ? ? 解: 联立?x2 2 得(1-4k2)x2-8kx-8=0, ? ? 4 -y =1, 1 当 1-4k2=0 时, 即 k=± 时,双曲线与直线有 2 惟一公共点; 当 1-4k2≠0 时,要使双曲线与直线有惟一公 共点,只须 Δ=(-8k)2-4(1-4k2)· (-8)=0, 2 解得 k=± .综上知 D 正确,故选 D. 2 设抛物线 x2=12y 的焦点为 F, 经过点 P(2, 1)的直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,若点 P 恰为 AB 的中点,则|AF|+|BF|=( ) A.12 B.10 C.6 D.8 解: 设点 A(x1, y1), B(x2, y2), 则有 y1+y2=2×1 =2,|AF|+|BF|=(y1+3)+(y2+3)=(y1+y2)+6=8. 故选 D. 5? 5? ? 已知两点 M? ?1,4?,N?-4,-4?,给出下 x2 列曲线方程:①4x+2y-1=0; ②x2+y2=3; ③ + 2 x2 2 2 y =1;④ -y =1.在曲线上存在点 P 满足|MP|= 2 |PN|的所有曲线方程是( ) A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 解:∵点 P 满足|MP|=|PN|,∴点 P 在线段 MN 的垂直平分线 l 上,l 的方程为 y=-2x-3.

解法一:曲线①是直线,且与直线 l 平行,故 点 P 不在曲线①上; 曲线②是圆心(0,0),半径为 3的圆,圆心到 3 直线 l 的距离为 d= < 3,即直线 l 与圆相交, 5 故存在点 P 在曲线②上; 将直线 l 的方程代入曲线③的方程得 9x2+24x +16=0,Δ=0,即存在点 P 在曲线③上; 将直线 l 的方程代入曲线④的方程得 7x2+24x +20=0,Δ>0,即存在点 P 在曲线④上. 综上所述:曲线②③④满足题意. 解法二:易知曲线①是直线;曲线②是圆心为 (0,0),半径为 3的圆;曲线③是椭圆;曲线④是 双曲线 .作出它们的图形,用数形结合来验证 .故选 D. 过点(2, 4)作直线与抛物线 y2=8x 有且只有 一个公共点,则这样的直线有________条. 解:注意到点(2,4)是抛物线上的点,用数形 结合知满足题意的直线有两条,其一是过该点的切 线;其二是过该点且与对称轴平行的直线.故填 2. x2 y2 直线 x-ty-3=0(t∈R)与椭圆 + =1 的 25 16 交点个数为________. 解:易知直线 x-ty-3=0(t∈R)过定点 P(3, 32 0 x2 y2 0),而 + <1,所以点 P 在椭圆 + =1 内, 25 16 25 16 直线与椭圆的交点个数为 2.故填 2.

9y1-13=0. 同理可推出 4(2-x1)+9(2-y1)-13=0. ∵A(x1,y1)与 B(2-x1,2-y1)都满足方程 4x+ 9y-13=0, ∴4x+9y-13=0 即为所求. 解法三:设 A(x1,y1),B(x2,y2)是弦的两个端 2 ?4x2 ? 1+9y1=36, ① 点,代入椭圆方程,得? 2 2 ?4x2+9y2=36, ② ? ①-②,得 4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2) =0. ∵M(1,1)为弦的中点,∴x1+x2=2,y1+y2= 2. ∴4(x1-x2)+9(y1-y2)=0. y1-y2 4 ∴kAB= =- . 9 x1-x2 4 故 AB 方程为 y-1=- (x-1),即 4x+9y-13 9 =0. (2)(2013·浙江)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦 点,过点 P(-1,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两 点,点 Q 为线段 AB 的中点.若|FQ|=2,则直线 l 的 斜率等于________. 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y ? ?y=k(x+1), =k(x+1),联立? 2 得 k2x2+(2k2-4)x ?y =4x, ? 2k2-4 4 +k2=0,x1+x2=- 2 =-2+ 2,y1+y2=k(x1 k k x1+x2 4 2 +x2)+2k= , 设 Q(x0, y0), 则 x0= =-1+ 2, k 2 k y1+y2 2 2 2 -1+ 2, ?, y0= = , 即 Q? 0), ∴|FQ| k k? 又 F(1, ? 2 k =

类型一

弦的中点问题

(1)已知一直线与椭圆 4x2+9y2=36 相 交于 A,B 两点,弦 AB 的中点坐标为 M(1,1),求 直线 AB 的方程. 解法一:设通过点 M(1,1)的直线 AB 的方程为 y=k(x-1)+1,代入椭圆方程,整理得 (9k2+4)x2+18k(1-k)x+9(1-k)2-36=0. 设 A,B 的横坐标分别为 x1,x2, x1+x2 9k(1-k) 4 则 =- =1,解之得 k=- . 2 9 9k2+4 4 故直线 AB 的方程为 y=- (x-1)+1,即 4x+ 9 9y-13=0. 解法二:设 A(x1,y1). ∵AB 中点为 M(1,1),∴B 点坐标是(2-x1,2 -y1). 将 A,B 点的坐标代入方程 4x2+9y2=36,得 2 4x2 1+9y1-36=0,① 及 4(2-x1)2+9(2-y1)2=36, 2 化简为 4x2 1+9y1-16x1-36y1+16=0.② ①-②,得 16x1+36y1-52=0,化简为 4x1+
49

?-1+ 22-1? +?2? =2,解得 k=± 1.故填± 1. k ? ? ?k ?

2

2

点拨: (1)本题的三种解法很经典,各有特色,解法一 思路直接,但计算量大,解法三计算简捷,所列式 子“整齐、美观,对称性强”,但消去 x1,x2,y1, y2 时,要求灵活性高,整体意识强.(2)本题解答看似 正确,但细想会发现:缺少对“直线与抛物线相交 于 A,B 两点”这一几何条件的检验(这是易出错的 ?k≠0, ? 地方,切记),即? 解得 2 2 4 ? ?Δ=(2k -4) -4k >0, k∈(-1,0)∪(0,1),而当 k=± 1 时,直线 l 恰好与 抛物线相切,似与题意不符.本节课时作业第 8 题对 本题已知条件数据作了修改,使满足题意的直线 l 是存在的,进而可求得直线 l 的斜率. (2014·江西)过点 M(1, 1)作斜率为- 1 x2 y2 的直线与椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)相交于 A,B 2 a b

两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率 等于____________. x2 y2 x2 1 1 2 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 2+ 2=1, 2+ a b a y2 2 =1, b2 (x1-x2)(x1+x2) 两 式 相 减 得 + a2 (y1-y2)(y1+y2) =0, b2 b2(x1+x2) y1-y2 2b2 1 变形得- 2 = ,即- 2=- , 2a 2 a (y1+y2) x1-x2 c a2=2b2,e= = a b?2 2 2 1-? ?a? = 2 .故填 2 .

由根与系数的关系知 x1+x2= b2 x1x2= 2,② k

8-2kb ,① k2

∵ x 轴 是 ∠PBQ 的 角 平分 线 , ∴ -

y1 = x1+1

y2 , x2+1 即 y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,(kx1+b)(x2+1)+ (kx2+b)(x1+1)=0,2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0, ③ 将①②代入③得 2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, 化简得 k=-b,此时 Δ>0, ∴直线 l 的方程为 y=k(x-1),且过定点(1,0). 点拨: 第(1)问设动圆圆心坐标,利用圆的半径、弦的 一半和弦心距组成的直角三角形求解,第(2)问设直 线方程 y=kx+b 和轨迹方程联立,再设两个交点坐 标, 由题意知直线 BP 和 BQ 的斜率互为相反数, 导 出 k 和 b 的关系,最后应用方程特点证明直线过定 点 . 解析几何解答题的一般命题模式是先根据已知 的关系确定一个曲线的方程,然后再结合直线方程 与所求曲线方程把问题引向深入,其中的热点问题 有:参数范围、最值、直线或曲线过定点、某些量 为定值等 . 在直线与圆锥曲线交于不同两点的相关 问题中,一般是设出点的坐标,然后确定点的坐标 之间的关系 ( 特别是直线是动直线时这个方法是必 需的),再进行整体处理(通常是利用韦达定理处理 这类问题). x2 y2 若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C: + 4 3 =1 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 证明:椭圆 C 的右顶点为 A2(2,0),设 A(x1, y1),B(x2,y2),因为点 A2 在以 AB 为直径的圆上, 所以根据圆周角性质,得 A2A⊥A2B,由向量的数量 → → 积A2A·A2B=(x1-2)(x2-2)+y1y2 =(x1-2)(x2-2)+(kx1+m)(kx2+m) = (k2 + 1)x1x2 + (km - 2)(x1 + x2) + 4 + m2 = 0. ① ?y=kx+m, ? 联 立 方 程 ?x2 y2 得 (4k2 + 3)x2 + 8kmx + + = 1 , ?4 3 ? 4m2-12 8km 2 4m -12=0, 所以 x1+x2=- 2 , xx= , 4k +3 1 2 4k2+3 代入①式得 (4m2-12)(k2+1) 8km(km-2) - +4+ 4k2+3 4k2+3 7m2+16mk+4k2 m2 = 0 , 整 理 得 = 0 , 即 4k2+3

类型二

定点问题

(2013·陕西)已知动圆过定点 A(4, 0), 且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)已知点 B(-1,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P,Q,若 x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明直线 l 过定点. |O1A| 解: (1)如图, 设动圆圆心 O1(x, y), 由题意, =|O1M|,当 O1 不在 y 轴上时,过 O1 作 O1H⊥MN 1 |MH|= |MN|= 交 MN 于点 H, 则 H 是 MN 的中点, 2 2 2 O M | | 4,∴ 1 = x +4 .

又|O1A|= (x-4)2+y2, ∴ (x-4)2+y2 = x2+42 , 化 简 得 y2 = 8x(x≠0); 当 O1 在 y 轴上时,O1 与 O 重合,点 O1 的坐标 (0,0)也满足方程 y2=8x,∴动圆圆心的轨迹 C 的 方程为 y2=8x. (2)证明:如图,

设直线 l 的方程为 y=kx+b(k≠0),P(x1,y1), Q(x2, y2), 将 y=kx+b 代入 y2=8x 中, 得 k2x2+(2kb 2 2 - 8)x + b = 0 ,其中 Δ = (2kb - 8) - 4k2b2 = 64 - 32kb>0,得 kb<2.
50

(7m+2k)(m+2k) 2 =0.解得 m=- k 或-2k. 2 7 4k +3 2? 2 2 当 m=- k 时,y=kx- k=k? ?x-7?,过定点 7 7 ?2,0?; ?7 ? 当 m=-2k 时,y=kx-2k,过定点(2,0),即 过椭圆右顶点,与题意矛盾. 2 ? 所以直线 l 过定点? ?7,0?.

手,求出定点、定值、定线,再证明定点、定值、 定线与变量无关;(2)直接计算、推理,并在计算、 推理的过程中消去变量,从而得到定点、定值、定 线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设 而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效 地简化运算. x2 y2 已知直线 l 与椭圆 C: + =1 交于 3 2 6 P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,且△OPQ 的面积 S= , 2 2 2 2 其中 O 为坐标原点.证明:x2 1+x2和 y1+y2均为定值. 证明:当直线 l 垂直于 x 轴时,设直线 l 的方程 a2 y2 为 x=a(- 3<a< 3),代入椭圆 C 的方程得 + 3 2 2 a? = 1 ,即 y1 , 2 =± 2? ?1- 3 ? ,∴ |PQ|= |y1 - y2|= a2 1- ?. 2 2? ? 3? a2 6 1 1- ? ∵△OPQ 的面积 S= ,∴ |a|·2 2? ? 3? 2 2 6 3 = ,解之得 a2= . 2 2 2 2 2 2 ∴x1 +x2 2=2a =3,y1+y2=2. 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线 l 的方程为 y =kx+m(m≠0). y=kx+m, ? ?2 2 由方程组?x y 消去 y 整理得(2+3k2)x2 + = 1 ? ?3 2 2 +6kmx+3(m -2)=0. 依题意得 Δ=36k2m2-12(2+3k2)(m2-2)>0, 即 3k2+2>m2. 6km 由 韦 达 定 理 得 x1 + x2 = - 2 , x1x2 = 3k +2 3(m2-2) . 3k2+2 ∴|PQ|= 1+k2|x1-x2| = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] 2 2 2 ? 36k m -12(m -2)? = (1+k2)? 2 2 2 3k +2 ? ?(3k +2) ? 2 6· 3k2+2-m2 = 1+k · . 3k2+2
2

类型三

定值问题

(2014·江西)如图,已知抛物线 C:x2 =4y,过点 M(0,2)任作一直线与 C 相交于 A,B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点).

(1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴),与直线 y =2 相交于点 N1,与(1)中的定直线相交于点 N2.证 明:|MN2|2-|MN1|2 为定值,并求此定值. 证明:(1)依题意可设 AB 方程为 y=kx+2,代 入 x2=4y,得 x2=4(kx+2),即 x2-4kx-8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x2=-8, y1 直线 AO 的方程为 y= x,BD 的方程为 x=x2, x1 x=x2, ? ? 解得交点 D 的坐标为? y1x2 ? ?y= x1 . y1x1x2 注意到 x1x2=-8 及 x2 = 1=4y1,则有 y= x2 1 -8y1 =-2.因此 D 点在定直线 y=-2(x≠0)上. 4y1 (2)依题设,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设 切线 l 的方程为 y=ax+b(a≠0),代入 x2=4y 得 x2 =4(ax+b),即 x2-4ax-4b=0,由 Δ=0 得 16a2 +16b=0,化简整理得 b=-a2. 故切线 l 的方程可写为 y=ax-a2. 分别令 y=2,y=-2 得 N1,N2 的坐标为 2 ? ? 2 ? N1? ?a+a,2?,N2?-a+a,-2?, 2 2 2 2 - +a? + 42 - ? +a? = 则 |MN2|2 - |MN1|2 = ? ? a ? ?a ? 8,即|MN2|2-|MN1|2 为定值 8. 点拨: 求解此类问题的方法一般有两种:(1)从特殊入
51

∵原点 O 到直线 l 的距离为 d= 的面积 S= 6 , 2

|m| , △OPQ 1+k2

2 6· 3k2+2-m2 1 |m| 6 ∴ · 1+k2· · = . 2 2 2 2 3k +2 1+k 2 2 令 3k +2=t,化简得 t=2m ,即 3k2+2=2m2. 2 2 2 ? 6km ? - x2 1 + x 2 = (x1 + x2) - 2x1x2 = -3k2+2 ? ?

6(m2-2) =3. 3k2+2 2 2 2 y2 1+y2=(kx1+m) +(kx2+m) 2 2 =k2(x1 +x2 2)+2km(x1+x2)+2m 2 2 12k m =3k2- 2 +2m2=2. 3k +2 2 2 2 综上知,x2 1+x2=3,y1+y2=2,即均为定值.

x2 y2 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离 a b 6 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3. 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,坐标原 3 点 O 到直线 l 的距离为 , 求△AOB 面积的最大值. 2 c 6 ? ? = , a 3 解:(1)设椭圆的半焦距为 c,依题意? 心率为

类型四

与弦有关的范围与最值问题

? ?a= 3,

已知曲线 C:y2=-4x(x>-3),直线 l 过点 M(1,0)交曲线 C 于 A,B 两点,点 P 是 AB 的中点,EP 是 AB 的中垂线,E 点的坐标为(x0,0), 试求 x0 的取值范围. 解: 由题意可知, 直线 l 与 x 轴不垂直, 可设 l: y=k(x-1),代入曲线 C 的方程得

得 c= 2,b2=a2-c2=1, x2 所求椭圆方程为 +y2=1. 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 当 AB 与 x 轴垂直时,|AB|= 3. 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y =kx+m. |m| 3 3 由已知 = ,得 m2= (k2+1). 4 1+k2 2 把 y=kx+m 代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2 +6kmx+3m2-3=0. ∵直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点, ∴ Δ = 36k2m2 - 12(3k2 + 1)(m2 - 1) = 12(3k2 + 1 2 -m )=36k2+12-9(k2+1)=27k2+3>0,即 k∈R. -6km 3(m2-1) ∴x1+x2= 2 ,x1x2= . 3k +1 3k2+1 ∴|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2 2 2 2 ? 36k m -12(m -1)? =(1+k2)? ? 3k2+1 ? ?(3k2+1)2 2 2 2 12(1+k )(3k +1-m ) = (3k2+1)2 2 3(1+k )(9k2+1) = (3k2+1)2 12k2 12 =3+ 4 =3+ 2 1 9k +6k +1 9k2+ 2+6 k 12 ≤3+ =4(k≠0). 2×3+6 1 3 当且仅当 9k2= 2,即 k=± 时等号成立.当 k k 3 =0 时,|AB|= 3. 综上所述:|AB|max=2. ∴当|AB|最大时,△AOB 的面积取得最大值 1 3 3 S= ×|AB|max× = . 2 2 2

k2x2+2(2-k2)x+k2=0(-3<x≤0),① 设 f(x)=k2x2+2(2-k2)x+k2, 由直线 l 交曲线 C 于 A , B 两 点 , 则 必 有 ( 等 价 代 数 形 k≠0,

? ?Δ=4(2-k ) -4k >0, 式)? 3 ? ?|k|> 2 ,
2 2 4

3? ? 3 ? ∪ ,1 . 2? ?2 ? 2 2(k -2) 1 由方程①得 xA+xB= , xP= (xA+xB) k2 2 k2-2 2 = 2 ,yP=k(xP-1)=- , k k k2-2 2 1 ∴直线 EP 的方程为 y+ =- ?x- 2 ?. k k? k ? 2 令 y=0,得 x0=-1- 2. k 3 ∵ <k2<1, 4 11 ∴ - < x0 < - 3 , 即 x0 的 取 值 范 围 是 3 11 ?- ,-3?. ? 3 ?

解之得 k∈?-1,-

?

点拨: 对于参数的取值范围问题,要能从几何特征的 角度去分析参数变化的原因,谁是自变量,定义域 是什么,这实际是函数问题,要学会用函数的观点 分析这类问题.
52

类型五

对称问题

已知抛物线 y=ax2-1(a≠0)上总有关

于直线 x+y=0 对称的相异两点,求 a 的取值范围. 解:设 A(x1,y1)和 B(x2,y2)为抛物线 y=ax2-1 上的关于直线 x+y=0 对称的两相异点,则 y1=ax2 1 -1,y2=ax2 2-1. 两式相减,得 y1-y2=a(x1-x2)(x1+x2). y1-y2 再由 x1≠x2,得 =a(x1+x2)=1. x1-x2 x1+x2 设线段 AB 的中点为 M(x0, y0), 则 x0= = 2 1 . 2a 1 由 M 点在直线 x+y=0 上,得 y0=- . 2a 1 1 ∴直线 AB 的方程为 y+ =x- . 2a 2a 联立直线 AB 与抛物线的方程并消去 y,得 1 ax2-x+ -1=0. a 依题意,上面的方程有两个相异实根, 1 ? 3 ∴Δ=1-4a? ?a-1?>0,解得 a>4. 3 ? ∴a 的取值范围是? ?4,+∞?. 点拨: 应用判别式法解决此类对称问题, 要抓住三点: (1)中点在对称轴上;(2)两个对称点的连线与对称轴 垂直;(3)两点连线与曲线有两个交点,故 Δ>0.一 般通过“设而不求”、“点差法”得到对称点连线 的方程,再与曲线方程联立,由判别式不等式求出 参数范围. x2 y2 已知椭圆 C: + =1,试确定 m 的 4 3 取值范围,使得椭圆上有两个不同的点关于直线 y =4x+m 对称. 解:设 P(x1,y1),Q(x2,y2)是椭圆 C 上符合条 件 的 两 点 , M(x , y) 是 PQ 的 中 点 , 则 有 2 2 ? ?3x1+4y1=12,
? 2 2 ?3x2+4y2=12, ?

?y+3m=-4(x+m), ∴联立方程组? x y ? 4 + 3 =1,
2 2

1

化简得 13x2+ 26mx+ 169m2- 48=0,Δ =4 - 2 13 2 13 13m2>0,解得- <m< . 13 13

两式相减,得 3(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0. ∵x1≠x2,x1+x2=2x,y1+y2=2y, y1-y2 3x ∴ =- =-kPQ. 4y x1-x2 1 ∵kPQ=- ,∴y=3x. 4 ?y=3x, ?x=-m, ? ? 由? 解得? ? ? ?y=4x+m, ?y=-3m. ∴M(-m,-3m),PQ 的直线方程是 y+3m= 1 - (x+m). 4 ∵PQ 与曲线方程交于两点,
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1.对于圆锥曲线的综合问题,①要注意将曲线 的定义性质化,找出定义赋予的条件;②要重视利 用图形的几何性质解题 (本书多处强调 );③要灵活 运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、 判别式等解题,巧妙运用“设而不求”、“整体代 入”、“点差法”、“对称转换”等方法. 2.在给定的圆锥曲线 f(x, y)=0 中, 求中点为(m, n)的弦 AB 所在直线方程或动弦中点 M(x, y)轨迹时, 一般可设 A(x1,y1),B(x2,y2),利用 A,B 两点在曲 线上,得 f(x1,y1)=0,f(x2,y2)=0 及 x1+x2=2m(或 y1-y2 2x),y1+y2=2n(或 2y),从而求出斜率 kAB= , x1-x2 最后由点斜式写出直线 AB 的方程,或者得到动弦 所在直线斜率与中点坐标 x,y 之间的关系,整体消 去 x1,x2,y1,y2,得到点 M(x,y)的轨迹方程. 3. 对满足一定条件的 直线或者曲线过定点问 题,可先设出该直线或曲线上两点的坐标,利用坐 标在直线或曲线上以及切线、点共线、点共圆、对 称等条件,建立点的坐标满足的方程或方程组.为简 化运算应多考虑曲线的几何性质,求出相应的含参 数的直线或曲线,再利用直线或曲线过定点的知识 加以解决. 以“求直线 l:y=kx+2k+1(k 为参数)是否过 定点?”为例,有以下常用方法: ①待定系数法:假设直线 l 过点(c1,c2),则 y -c2=k(x-c1),即 y=kx-c1k+c2,通过与已知直 线方程比较得 c1=-2,c2=1.所以直线 l 过定点(- 2,1). ②赋值法:令 k=0,得 l1:y=1;令 k=1,得 l2:y=x+3,求出 l1 与 l2 的交点(-2,1),将交点 坐标代入直线系得 1=-2k+2k+1 恒成立, 所以直 线 l 过定点(-2,1). 赋值法由两步构成,第一步:通过给参数赋值, 求出可能的定点坐标;第二步:验证其是否恒满足 直线方程. ③参数集项法:对直线 l 的方程中的参数集项 得 y=k(x+2)+1,令 k 的系数为 0,得 x=-2,y =1,k 的取值是任意的,但 l 的方程对点(-2,1) 恒成立,所以直线 l 过定点(-2,1). 若方程中含有双参数,应考虑两个参数之间的 关系. 4. 给出曲线上的点到直线的最短 ( 长 )距离或求 动点到直线的最短 (长)距离时,可归纳为求函数的

最值问题,也可借助于图形的性质 ( 如三角形的公 理、对称性等)求解. 5.圆锥曲线上的点关于某一直线对称的问题, 通常利用圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线 l(或者是直线系)垂直,圆锥曲线上两点连成线段的 中点一定在对称轴直线 l 上,再利用判别式或中点 与曲线的位置关系求解.

1 - . 2 1 当 k=- 时,切点在第四象限,与题意不符, 2 舍去. ? ?x=8, 将 k=2 代入①②,得? 即 B(8,8). ?y=8, ? 4 又 F(2,0),∴kBF= .故选 D. 3 4.若直线 mx+ny-5=0 与圆 x2+y2=5 没有公 x2 y2 共点,则过点 P(m,n)的一条直线与椭圆 + =1 7 5 的公共点的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.1 或 2 5 m2 2 2 解: 由已知得 2 > 5 , 即 m + n < 5 . 又 7 m +n2

x2 y2 1.已知直线 x=1 过椭圆 + 2=1 的焦点, 则直 4 b 线 y=kx+2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是 ( ) 1 1? A.k∈? ?-2,2? 1 1 -∞,- ?∪? ,+∞? B.k∈? 2 ? ? ?2 ? 2 2? ? C.k∈ - , 2? ? 2 2 2 D.k∈?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? 解:易知椭圆中 c2=a2-b2=4-b2=1,即 b2 x2 y2 =3,∴椭圆方程是 + =1.联立 y=kx+2 可得(3 4 3 1 1? 2 2 +4k )x +16kx+4=0.由 Δ≤0 可解得 k∈? ?-2,2?. 故选 A. 2.设斜率为 2 的直线过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦 点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OFA(O 为坐标原点) 的面积为 4,则抛物线的方程为( ) A.y2=± 4x B.y2=± 8x C.y2=4x D.y2=8x a ? 解:焦点 F 坐标为? ?4,0?,设直线的方程为 a? a y=2? ?x-4?,则 A 点纵坐标为-2,△OFA 的面 1 a? ? a? a2 - = =4,解得 a=± 积为 S= ·? · 8.故选 2 ?4? ? 2? 16 B. 3.(2014·辽宁)已知点 A(-2,3)在抛物线 C: 2 y =2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限 相切于点 B, 记 C 的焦点为 F, 则直线 BF 的斜率为 ( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 2 3 4 3 解:∵点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准 p p 线 x=- 上,∴- =-2,p=4,抛物线 C:y2= 2 2 8x. 设直线 AB 的方程为 x=k(y-3)-2 ①, 将①与 y2=8x 联立,得 y2-8ky+24k+16=0 ②, Δ=(-8k)2-4(24k+16)=0,解得 k=2 或 k=
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n2 m2 n2 + ≤ + <1,所以点 P 在椭圆内,因此过点 P 5 5 5 的一条直线与椭圆有两个公共点.故选 C. 5.(2014·湖北)设 a,b 是关于 t 的方程 t2cosθ +tsinθ=0 的两个不等实根,则过 A(a,a2),B(b, x2 y2 b2)两点的直线与双曲线 2 - 2 =1 的公共点的 cos θ sin θ 个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解: 显然可知方程两根分别为 0,-tanθ(tanθ ≠0),则直线 AB 的方程为 y=(-tanθ)·x,又该双 曲线的渐近线为 y=±tanθ· x, ∴直线 AB 与双曲线 无公共点.故选 A. x2 y2 6.椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1, 4 3 A 2, 点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是[-2, -1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是( ) 1 3 3 3 ? ? A.? B.? ?2,4? ?8,4? 1 ? 3 ? C.? D.? ?2,1? ?4,1? 解:由题意知点 P 在第一象限,设 P 点横坐标 3 为 x,则其纵坐标 y= · 4-x2,由 PA2 的斜率知 2 3 · 4-x2 2 -2≤ ≤-1,∵2-x>0,2+x>0,∴上 x-2 2+x 2+x 4 2 ≤2, 即 ≤ ≤ . 2-x 2-x 3 3 3 · 4-x2 2 2-x 3 ∴ PA1 的 斜 率 k = = · 2 x+2 2+x 3 3 ? ∈? ?8,4?.故选 B. x2 y2 7.已知 P(4,2)是直线 l 被椭圆 + =1 截得 36 9 线段的中点,则直线 l 的方程为________. 解:线段两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1 式可化为 1≤ 3 · 2

+x2=8,y1+y2=4. ∵A,B 在椭圆上,∴

? ?x y ?36+ 9 =1,
2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1, 36 9

1-ky0 1+ky0 - k -k yE-yF ∴ kEF = = = xE-xF (1-ky0)2 (1+ky0)2 - 2 2 k k 2 k 1 =- (定值).∴直线 EF 的斜率为定值. 2 y0 -4ky0 2 k 10.已知双曲线 2x2-y2=2. (1)求以 M(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直 线的方程; (2)过点 N(1,1)能否作直线 l,使直线 l 与所给 双曲线交于 P1, P2 两点, 且点 N 是弦 P1P2 的中点? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理 由. 解:(1)设以 M(2,1)为中点的弦两端点为 A(x1, y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2. 2 2 又∵A,B 两点在双曲线上,∴2x1 -y2 1=2,2x2 2 -y2=2, 两式相减得 2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2). y1-y2 由双曲线的对称性知 x1≠x2,∴kAB= = x1-x2 2(x1+x2) =4. y1+y2 ∴所求直线的方程为 y-1=4(x-2),即 4x-y -7=0. (2)假设存在直线 l,由(1)求 kAB 的方法可求得 kl=2, ∴直线 l 的方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1 =0. ?2x-y-1=0, ? 由方程组? 2 2 消去 y 整理得 2x2- ? 2 x - y = 2 ? 4x+3=0. ∵Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,∴方程无实 根,即直线 l 与双曲线无交点,故直线 l 不存在. x2 y2 11.设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E: + =1 4 3 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出 M 点的坐 标;若不存在,说明理由.

两式相减得 (x1-x2)(x1+x2) (y1-y2)(y1+y2) =- . 36 9 y1-y2 x1+x2 1 ∵x1≠x2,∴kAB= =- =- . 2 x1-x2 4(y1+y2) ∴直线 l 的方程为 x+2y-8=0.故填 x+2y-8 =0. 8.设 F 为抛物线 C: y2=4x 的焦点, 过点 P(-1, 0)的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,点 Q 为线段 AB 的中点 . 若 |FQ| = 2 3 ,则直线 l 的斜率等于 ________. 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y ? ?y=k(x+1), =k(x+1),联立? 2 得 k2x2+(2k2-4)x ?y =4x, ? ?k≠0, ? +k2=0,由? 解得 k∈(- 2 2 4 ? ?Δ=(2k -4) -4k >0, 2k2-4 4 1,0)∪(0,1),x1+x2=- 2 =-2+ 2,y1+y2 k k x1+x2 4 =k(x1+x2)+2k= ,设 Q(x0,y0),则 x0= = k 2 y1+y2 2 2 2? 2 -1+ 2, y0= = , 即 Q? 又 F(1, ?-1+k2,k?, k 2 k 2 2 2 2 -1+ 2-1? +? ? =2 3,解得 k 0),∴|FQ|= ? k ? ? ?k ? 2 2 =± .故填± . 2 2 9.如图, M 是抛物线 y2=x 上的一点, 动弦 ME, MF 分别交 x 轴于 A,B 两点,且 MA=MB.若 M 为 定点,证明:直线 EF 的斜率为定值.

证明:设 M(y2 0,y0),直线 ME 的斜率为 k(k> 0),则直线 MF 的斜率为-k, 2 ∴直线 ME 的方程为 y-y0=k(x-y0 ). ?y-y0=k(x-y2 ? 0), 联立? 2 消去 x, ? ?y =x, 得 ky2-y+y0(1-ky0)=0. 1-ky0 (1-ky0)2 解得 yE= ,∴xE= . k k2 1+ky0 (1+ky0)2 同理,yF= ,∴xF= . k2 -k

y=kx+m, ? ?2 2 解:联立方程?x y 得(4k2+3)x2+8kmx + = 1 , ? ?4 3 +4m2-12=0. 根据题意 l 与椭圆 E 相切, 得 Δ=64k2m2-4(4k2 +3)· (4m2-12)=0,化简得 4k2+3=m2>0.
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设 P 点坐标为(x1,y1),由韦达定理得 2x1=- 8km 8k 4k =- ,即 x1=- ,代入直线 l 的方程得 2 m m 4k +3 4k2 3 y1=- +m= . m m 由图形的对称性,假设存在点 M (t , 0) ,则 → → → MP·MQ=0,根据题意得 Q(4,4k+m),∴MP= → → → ?-4k-t, 3 ?, 4k+m).∴MP· MQ= - m? MQ=(4-t, ? m 4(4-t)k (4t-4)k 12k -t(4-t)+ +3= -t(4-t) m m m 4k(t-1) +3= +(t-1)(t-3)=0, 当 t=1, 等式恒 m 成立.∴坐标平面内存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. ( 2014·湖北) 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 M 到点 F(1, 0)的距离比它到 y 轴的距离多 1, 记点 M 的轨迹为 C. (1)求轨迹 C 的方程; (2)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(-2,1).求直 线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共点、三 个公共点时 k 的相应取值范围. 解: (1)设点 M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1, 即 (x-1)2+y2=|x|+1,化简整理得 y2=2(|x|+ x). ?4x,x≥0, ? 故点 M 的轨迹 C 的方程为 y2=? ?0,x<0. ? (2)在点 M 的轨迹 C 中,记 C1:y2=4x,C2:y =0(x<0). 依题意,可设直线 l 的方程为 y-1=k(x+2). ?y-1=k(x+2), ? 由方程组? 2 可得 ?y =4x, ? ky2-4y+4(2k+1)=0.① 当 k=0 时, 此时 y=1.把 y=1 代入轨迹 C 的方 1 程,得 x= .故此时直线 l:y=1 与轨迹 C 恰好有一 4 1 ? 个公共点? ?4,1?. 当 k≠0 时,方程①的判别式为 Δ=-16(2k2+k-1).②

设直线 l 与 x 轴的交点为(x0,0),则 2k+1 由 y-1=k(x+2),令 y=0,得 x0=- .③ k ? ?Δ<0, 1 (i)若? 由②③解得 k<-1,或 k> . 2 ?x0<0, ? 1 ? 即当 k∈(-∞,-1)∪? ?2,+∞?时,直线 l 与 C1 没有公共点,与 C2 有一个公共点,故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点. ? ? ?Δ=0, ?Δ>0, (ii) 若 ? 或 ? 由 ②③ 解 得 ?x0<0, ?x0≥0, ? ? 1? ? 1 k∈?-1,2?,或- ≤k<0. 2 ? ? 1? ? 即当 k∈?-1,2?时,直线 l 与 C1 只有一个公 ? ? 共点,与 C2 有一个公共点. 1 ? 当 k∈? ?-2,0?时,直线 l 与 C1 有两个公共点, 与 C2 没有公共点. 1 ? ? 1? ? ? 故当 k∈? ?-2,0?∪?-1,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点. ? ?Δ>0, 1 1 (iii)若? 由②③解得-1<k<- , 或 0<k< , 2 2 ?x0<0, ? 1? ? 1? 即当 k∈? ?-1,-2?∪?0,2?时,直线 l 与 C1 有两个公共点,与 C2 有一个公共点,故此时直线 l 与轨迹 C 恰好有三个公共点. 1 ? 综上知, 当 k∈(-∞, -1)∪? ?2,+∞?∪{0}时, 1 - ,0? 直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点; 当 k∈? ? 2 ? 1? ? ∪?-1,2?时,直线 l 与轨迹 C 恰好有两个公共点; ? ? 1? ? 1? 当 k∈? 直线 l 与轨迹 C 恰好 ?-1,-2?∪?0,2?时, 有三个公共点.

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一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分, 共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.过点(1,1),且与直线 y=-x-1 平行的直线 方程为( ) A.x+y=0 B.x-y=0 C.x+y-2=0 D.x+y+2=0 解:所求直线斜率为-1,由点斜式得 y-1= -(x-1),即 x+y-2=0.故选 C. y2 2.(2013·北京)双曲线 x2- =1 的离心率大于 m 2的充分必要条件是( ) 1 A.m> B.m≥1 2 C.m>1 D.m>2 c 解:依题意知 e= = m+1> 2,解得 m>1. a 故选 C. 3.直线 l1:x-2ay+1=0 和 l2:2ax+y-1= 0(a∈R)的位置关系是( ) A.互相平行 B.互相垂直 C.关于原点对称 D.关于直线 y=-x 对称 1 解:a≠0 时, ·(-2a)=-1,l1⊥l2;a=0 2a 时,l1:x=-1,l2:y=1,l1⊥l2.综上知,故选 B. 4.(2013·安徽)直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2 2 +y -2x-4y=0 截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.4 6 解:易知圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5, 圆心为(1,2),半径 r= 5,则圆心(1,2)到直线 x |1+4-5+ 5| +2y-5+ 5=0 的距离 d= =1,弦 5 长 l=2 r2-d2=4.故选 C. 5.若圆心在 x 轴上,半径长为 5的圆 C 位于 y 轴左侧, 且与直线 x+2y=0 相切, 则圆 C 的方程是 ( ) A.(x+5)2+y2=5 B.(x-5)2+y2=5 C.(x+ 5)2+y2=5 D.(x- 5)2+y2=5 解: 设圆的方程为(x-a)2+y2=5(a≤- 5), 依 题意圆心(a,0)到直线 x+2y=0 的距离等于 5,即
57

|a|

5 故选 A. 6.(2014·全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 C: y2=3x 的 焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两 点,则|AB|=( ) 30 A. B.6 C.12 D.7 3 3 3 ? 3 ,0 解:易知抛物线中 p= ,焦点 F? 4 ?,直线 ? 2 3 3 AB 的斜率 k = ,故直线 AB 的方程为 y = 3 3 ?x-3?,代入抛物线方程 y2=3x,整理得 x2-21x+ ? 4? 2 9 21 =0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= ,由抛 16 2 21 3 物线的定义可得弦长 |AB|= x1 + x2+ p = + = 12. 2 2 故选 C. 7.(2014·山东)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程 x2 y2 x2 y2 为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2=1,C1 与 a b a b 3 C2 的离心率之积为 , 则 C2 的渐近线方程为( ) 2 A.x± 2y=0 B. 2x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0 a2-b2 解:椭圆 C1 的离心率为 ,双曲线 C2 的 a a2+b2 a2-b2 a2+b2 3 离心率为 , 由题意得 · = , a a a 2 有 a4=4b4,a= 2b.∴双曲线 C2 的渐近线方程为 y 1 =± x,即 x± 2y=0.故选 A. 2 8.(2013·辽宁)已知点 O(0,0),A(0,b),B(a, a3).若△OAB 为直角三角形,则必有( ) 3 A.b=a 1 B.b=a3+ a 3 1? C.(b-a3)? ?b-a -a?=0 1 3 b-a3- ?=0 D.|b-a |+? a? ? 解: 若∠OAB 为直角, 则 A 与 B 的纵坐标相等, 可得 b=a3; 若∠OBA 为直角, 则 OB⊥BA, 即 kOB· kBA

= 5,得 a=-5,∴圆的方程为(x+5)2+y2=5.

a3 b-a 1 = · =-1,得 b-a3- =0.综上知,故选 a a -a C. x2 y2 9.(2013·北京模拟) 设双曲线 2 - 2 = 1(a>0, a b b>0)两焦点为 F1,F2,点 Q 为双曲线上除顶点外的 任一点,过焦点 F1 作∠F1QF2 的平分线的垂线,垂 足为 P,则 P 点的轨迹是( ) A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.圆的一部分

3

1 ? =1,只有点 C? ?2,1?满足条件.故选 B.

解: 设点 Q 在双曲线的右支上(如图), 延长 QF2, 交 F1P 的延长线于点 M, 连接 OP, 则有|QM|=|QF1|, 1 1 P 为 F1M 的中点,∴|PO|= |F2M|= (|QM|-|QF2|) 2 2 1 = (|QF1|-|QF2|)=a,且 P 点不能落在 x 轴上,故 2 P 点的轨迹是圆的一部分.故选 D. 10.(2013·江西)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y = 1-x2相交于 A, B 两点, O 为坐标原点, 当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( ) 3 3 3 A. B.- C.± D.- 3 3 3 3

x2 y2 12.(2013·全国课标Ⅰ)已知椭圆 E: 2+ 2 = a b 1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 45 36 36 27 2 2 x y x2 y2 C. + =1 D. + =1 27 18 18 9 2 x2 y1 1 2+ 2=1, a b 解: 设 A(x1,y1), B(x2,y2), 则有 2 2 x2 y2 + =1, a2 b2 2 2 x1 -x2 y1 -y2 2

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