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广东省东莞市2015届高三数学理小综合专题练习:数列


2015 届高三理科数学小综合专题练习——数列
资料提供:实验中学老师
一.选择题: (在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 .请把正确选项的代 号填涂到答题卡上) 1.数列 1,-3,5,-7,9,??的一个通项公式为 ( ) A 、 C 、

a n ? 2n ? 1

B、

a

n ? (?1) n (1 ? 2n) a n ? (?1) n (2n ? 1)

a n ? (?1) n (2n ? 1)

D 、

2. ?an ? 是等差数列, a1 与 a2 的等差中项为 1, a2 与 a3 的等差中项为 2,则公差 d ?

A. 2

B.

3 2

C. 1

D.

1 2

3.已知等比数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 ,公比 | q |? 1,若 a m ? a1a 2 a3 a 4 a5 ,则 m ? ( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

4.等差数列 ?an ? 的公差不为零,首项 a1 ? 1 , a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之 和是 ( A. 90 ) B. 100 C. 145 D. 190

5.各项为正数的等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,且 a2 , a3 , a1 成等差数列, 则

1 2

a3 ? a4 值是 ( a4 ? a5



A.

5 ?1 2
1? 5 2

B.

5 ?1 2 5 ?1 5 ?1 或 2 2

C.

D.

二.填空题(请将正确答案填在答卷上) 6.设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7 , a3 ? b3 ? 21,则 a5 ? b5 ? _________ 7.某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植树 2 棵,以后每天植树的棵树是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于_____________. 8.数列 ?an ? 的通项公式 a n ?

1 n ?1 ? n ? 2

, 其前 n 项和 S n ? 3 2, ,则 n =_____.

9.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 an ? an?1 ? an ,则数列通项 an =__________

-1-

10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,f(x)=

f ? n ? 1? 2x ?1 ,an=log2 ,则 S2 013=________. x ?1 f ? n?

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 11. (1)等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ?

1 , a 2 ? a5 ? 4, a n ? 33 ,试求 n 的值. 3

(2)在等比数列 ?an ? 中, a5 ? 162 ,公比 q ? 3 ,前 n 项和 Sn ? 242 ,求首项 a1 和项数 n .

12. 已知 ?an ? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 (1)求 ?an ? 的通项; (2)数列 ?an ? 从哪一项开始小于 0? (3)求 a1 ? a3 ? a5 ?

? a19 值.

13.已知数列 an 的前 n 项和公式为 Sn=n2-23n-2(n∈N*). (1)写出该数列的第 3 项; (2)判断 74 是否在该数列中; (3)确定 Sn 何时取最小值,最小值是多少?
2 14.数列 ?an ? 中, an ? n ? n ? 2 ,

(1)证明:数列 ?an ? 是递增数列. (2)求数列 ?an ? 的最小项.

15 . 已 知 等 比 数 列 {an } 为 正 项 递 增 数 列 , 且 a2 a8 ? 4 , a 4 ? a 6 ?

20 ,数列 3

bn ? l o g 3

an * n (? N ) . 2

(1)求数列 {bn } 的通项公式; (2) Tn ? b1 ? b2 ? b22 ?

? b2n?1 ,求 Tn .

16.等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 Sn , {bn } 为等比数列, b1 ? 1 ,且

b2 S2 ? 64, b3 S3 ? 960 .
-2-

(Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)求和:

1 1 ? ? S1 S2

?

1 . Sn

17.假设你正在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案: (Ⅰ)每年年末 加 1000 元; .... (Ⅱ)每半年 结束时加 300 元.请你选择. ... (1)如果在该公司干 10 年,问两种方案各加薪多少元? (2)对于你而言,你会选择其中的哪一种?

18. 我们用部分自然数构造如下的数表: 用 aij(i≥j)表示第 i 行第 j 个数(i、 j 为正整数), 使 ail=aii=i ; 每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和(第一、二行除外,如图),设第 n(n 为 正整数)行中各数之和为 bn. (1)试写出 b2 一 2b1; ,b3-2b2,b4-2b3,b5-2b4,并推测 bn+1 和 bn 的关系(无需证明); (2)证明数列{bn+2}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式 bn;

19.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 2an ? S n ? 2n ? 1(n ? N*) . (1)求 a1,a 2 ,a3 (2)求证:数列 ?an ? 2?是等比数列; (3)求数列 ?n ? an ? 的前 n 项和 Tn .

-3-

20. 已知数列 ?an ? 的各项均为正数, 其前 n 项和为 Sn , 且满足 a1 ? 1, an?1 ? 2 Sn ? 1 , n ?N .
*

(1)求 a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)是否存在正整数 k , 使 ak , S2 k ?1 , a4 k 成等比数列? 若存在, 求 k 的值; 若不存在, 请说明理由..

2015 届高三数学小综合(数列)专题练习参考答案 一、选择题: 题号 1 2 3 4 答案 二、填空题: 6.35 三、解答题: 11.解: (1)因为 a2 ? a5 ?(a1 +d)+(a1 +4d)=2a1 ? 5d ? 4 , a1 ? 7.6 B 8.30 C C B 10.log2

5 B

1 9. n ?

4027 +1 2015

1 3

2 2 1 , an ? a1 ? (n ? 1)d ? n ? 3 3 3 2 1 由 an ? 33 得: n ? ? 33 ,解得 n=50 3 3
所以 d ? (2)因为 a5 ? 162 ,公比 q ? 3

-4-

所以由 a5 ? a1q 4 得: 162 ? a1 34 ,解得 a1 ? 2 所以 Sn ?

a1 (1 ? q n ) ? 3n ? 1 1? q

因为 Sn ? 242 ,所以 Sn ? 3n ?1 ? 242 解得 n ? 5 12.解: (1) (2)

a4 ? a1 ? 3d ? d ? ?3
1 3

? an ? 28 ? 3n

28 ? 3n ? 0 ? n ? 9

∴数列 ?an ? 从第 10 项开始小于 0

(3) a1 ? a3 ? a5 ? 其和 S ? 10 ? 25 ?

? a19 是首项为 25,公差为 ? 6 的等差数列,共有 10 项

10 ? 9 ? (?6) ? ?20 2

13.解: (1)a3=S3-S2=-18. (2)n=1 时,a1=S1=-24, n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-24, 即?

?? 24, n ? 1, ?2n ? 24, n ? 2,

由题设得 2n-24=74(n≥2),得 n=49. ∴74 在该数列中. (3)Sn=(n-

23 2 232 )-2,∴当 n=11 或 n=12 时,(Sn)min=-134. 2 4
a n ?1 n ? 1 ? ( n ? ) 2 ? 2 n ? n2 ? 2 ? ? ?1 an n ? n2 ? 2 n ? 1 ? ( n ? 1) 2 ? 2
a n ? a n ?1
.

14.解?



2 又? an ? n ? n ? 2 <0,?

,数列 ?an ? 是递增数列

?数列 ?an ? 的最小项为 a1 ? 1 ? 3

15.解:(1)∵{an}是正项等比数列,?由a2a8 ? 4 得 a52 ? 4, a5 ? 2



a4 ? a6 ?

20 3 1 , 3



q 3 ? . 2 1? q 10

∴ q ? 3或 q ?

n ?1 ∵ {an } 为增数列∴ an ? a1q ?

2 n ?1 ? 3 ? 2 ? 3n ?5 , 81

-5-

? bn ? log 3

an ? n?5 2

.

(2) Tn ? b1 ? b2 ? b22 ? ....... ? b2n?1 ? (1 ? 5) ? (2 ? 5) ? (22 ? 5) ? =

? (2n?1 ? 5)

1 ? 2n ?5n ? 2n ?5n ? 1 1? 2

16.解:(Ⅰ)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1
6 ? d ?? ? ?d ? 2 ? 5 解得 ? (舍去) ,或? ?q ? 8 ? q ? 40 ? 3 ?
(Ⅱ) Sn ? 3 ? 5 ? ∴

依题意有 ?

?S3b3 ? (9 ? 3d )q 2 ? 960 ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64

故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8n?1

? (2n ? 1) ? n(n ? 2)
? 1 n(n ? 2)

1 1 ? ? S1 S2

?

1 1 1 1 ? ? ? ? S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5
? 1 1 ? ) n n?2

?
?

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? 2 3 2 4 3 5

1 1 1 1 3 2n ? 3 (1 ? ? ? )? ? 2 2 n ?1 n ? 2 4 2(n ? 1)(n ? 2)

17.解:设方案一第 n 年年末加薪 an,因为每年末加薪 1000 元,则 an=1000n;设方案二第 n 个半年加薪 bn,因为每半年加薪 300 元,则 bn=300n; (1) 在该公司干 10 年(20 个半年),方案 1 共加薪 S10=a1+a2+??+a10=55000 元.方案 2 共 加薪 T20=b1+b2+??+b20=20×300+ 20 ? (20 ? 1) ? 300 =63000 元; (2)设在该公司 2 干 n 年,两种方案共加薪分别为: Sn=a1+a2+??+an=1000×n+

n(n ? 1) 2 ? 1000 =500n +500n 2
2

T2n=b1+b2+??+b2n=2n×300+ 2n ? (2n ? 1) ? 300 =600n +300n
2

令 T2n≥Sn 即:600n +300n>500n +500n,解得:n≥2,当 n=2 时等号成立. ∴如果干 3 年以上(包括 3 年)应选择第二方案;如果只干 2 年,随便选;如果只干 1 年, 当然选择第一方案.

2

2

-6-

18.解:(1)bl=1,;b2=4;b3=10;b4=22;b5=46: 可见:b2-2 bl=2;b3-2 b2=2;b4-2 b3=2;b5-2 b4=2 猜测:bn+1-2 bn=2 (或 bn+1=2 bn+2 或 bn+1- bn=3×2n-1) (2)由(1)

bn ?1 ? 2 ?2 bn ? 2

所以{bn+2},是以 b1+2=3 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ bn+2=3×2n-1 ,即 bn =3×2n-1-2..19.解:(1)由题意,当 n=1 时,得 2a1=a1+3,解得 a1=3 当 n=2 时,得 2a2=(a1+a2)+5,解得 a2=8 当 n=3 时,得 2a3=(a1+a2+a3)+7,解得 a3=18 所以 a1=3,a2=8,a3=18 为所求. (2)因为 2an=Sn+2n+1,所以有 2an+1=Sn+1+2n+3 成立 两式相减得:2an+1-2an=an+1+2 * 所以 an+1=2an+2(n ? N ),即 an+1+2=2(an+2) 所以数列{an+2}是以 a1+2=5 为首项,公比为 2 的等比数列 n-1 n-1 * (3)由(2)得:an+2=5×2 ,即 an=5×2 -2(n ? N ) n-1 * 则 nan=5n·2 -2n(n ? N ) n-1 设数列{5n·2 }的前 n 项和为 Pn, 0 1 2 n-2 n-1 则 Pn=5×1×2 +5×2×2 +5×3×2 +?+5×(n-1)·2 +5×n·2 , 1 2 3 n-1 n 所以 2Pn=5×2×2 +5×3×2 +5×3×2 +?+5(n-1)·2 +5×n·2 , 1 2 n-1 n 所以-Pn=5(1+2 +2 +?+2 )-5n·2 , n * 即 Pn=(5n-5)·2 +5(n ? N ) 所以数列{n·an}的前 n 项和 Tn=(5n-5)·2 +5-2× 整理得,Tn=(5n-5)·2 -n -n+5(n ? N )
n 2 * n

n(n ? 1) 2 ,

20. (1)解:∵ a1 ? 1, an?1 ? 2 Sn ? 1, ∴ a2 ? 2 S1 ? 1 ? 2 a1 ? 1 ? 3 . ??????????1 分

(2)解法 1:由 an?1 ? 2 Sn ? 1 ,得 Sn ?1 ? Sn ? 2 Sn ? 1, ??????????2 分 故 Sn?1 ?

?

Sn ? 1 .

?

2

??????????3 分

∵ Sn ? 0 . an ? 0 ,∴ ∴ Sn ?1 ? ∴ 数列
n

Sn ? 1 . S1 ? 1 ,公差为1 的等差数列.

??????????4 分

? S ? 是首项为

∴ Sn ? 1 ? ? n ? 1? ? n .

??????????5 分

-7-

∴ Sn ? n 2 .
2

??????????6 分

2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 , ??????????8 分

又 a1 ? 1 适合上式, ∴ an ? 2n ? 1. 解法 2:由 an?1 ? 2 Sn ? 1 ,得 ? an ?1 ? 1? ? 4 S n ,
2

??????????9 分 ??????????2 分 ??????????3 分 ??????????4分

当 n ? 2 时, ? an ? 1? ? 4 S n ?1 ,
2

∴ ? an?1 ? 1? ? ? an ? 1? ? 4 ? Sn ? Sn ?1 ? ? 4an .
2 2

2 2 ∴ an ?1 ? an ? 2an?1 ? 2an ? 0 .

∴ ? an?1 ? an ?? an?1 ? an ? 2? ? 0 . ∵ an ? 0 , ∴ an?1 ? an ? 2 .

??????????5分

??????????6分

∴ 数列 ?an ? 从第 2 项开始是以 a2 ? 3 为首项,公差为 2 的等差数列.?????7分 ∴ an ? 3 ? 2 ? n ? 2? ? 2n ?1? n ? 2? . ∵ a1 ? 1 适合上式, ∴ an ? 2n ? 1. 解法 3:由已知及(1)得 a1 ? 1 , a2 ? 3 , 猜想 an ? 2n ? 1. 下面用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 , 2 时,由已知 a1 ? 1 ? 2 ?1 ?1 , a2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 1 ,猜想成立. ???3 分 ②假设 n ? k ? k ? 2 ? 时,猜想成立,即 ak ? 2k ? 1 , 由已知 ak ?1 ? 2 Sk ? 1 ,得 ? ak ?1 ? 1? ? 4 S k ,
2

??????????8分

??????????9 分

??????????2 分

??????????4 分

故 ? ak ? 1? ? 4 S k ?1 .
2

∴ ? ak ?1 ? 1? ? ? ak ? 1? ? 4 ? Sk ? Sk ?1 ? ? 4ak .
2 2

??????????5 分

-8-

2 2 2 ∴ ak ?1 ? ak ? 2ak ?1 ? 2ak ? 0 .

∴ ak ?1 ? ak

?

??a

k ?1

? ak ? 2 ? ? 0 .

??????????6 分

∵ ak ? 0, ak ?1 ? 0 , ∴ ak ?1 ? ak ? 2 ? 0 . ∴ ak ?1 ? ak ? 2 ? 2k ?1 ? 2 ? 2 ? k ?1? ?1. 故当 n ? k ? 1 时,猜想也成立. 由① ② 知,猜想成立,即 an ? 2n ? 1. (3)解:由(2)知 an ? 2n ? 1, Sn ? ??????????9 分 ??????????7 分 ??????????8 分

n ?1 ? 2n ? 1? ? n2 . 2

假设存在正整数 k , 使 ak , S2 k ?1 , a4 k 成等比数列,
2 则 S2 k ?1 ? ak ? a4 k .

??????????10 分 ??????????11 分

即 ? 2k ? 1? ? ? 2k ? 1? ? ? 8k ? 1? .
4

∵ k 为正整数, ∴ 2k ? 1 ? 0 . ∴

? 2k ? 1?
3

3

? 8k ? 1 .
2

∴ 8k ? 12k ? 6k ? 1 ? 8k ? 1. 化简得 4k ? 6k ? k ? 0 .
3 2

??????????12 分

∵ k ? 0, ∴ 4k ? 6k ? 1 ? 0 .
2

解得 k ?

6 ? 62 ? 4 ? 4 3 ? 13 , 与 k 为正整数矛盾. ????????13 分 ? 8 4

∴ 不存在正整数 k , 使 ak , S2 k ?1 , a4 k 成等比数列. ??????????14 分

-9-


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