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高考备考总复习典型例题:解三角形知识点总复习


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高考备考总复习典型例题:解三角形知识点总复习
一、 知识点复习精品课
1、正弦定理及其变形
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C ( R为三角形外接圆半径)

() 1 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C (边化角公式)
(2) sin A ? a b c ,sin B ? ,sin C ? (角化边公式) 2R 2R 2R (3)a : b : c ? sin A : sin B : sin C

(4)

a sin A a sin A b sin B ? , ? , ? b sin B c sin C c sin C

2、正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) ; 已知 a,b 和 A,不解三角形,求 B 时的解的情况: 如果 sinA≥sinB,则 B 有唯一解;如果 sinA<sinB<1,则 B 有两解; 如果 sinB=1,则 B 有唯一解;如果 sinB>1,则 B 无解. 3、余弦定理及其推论
b2 ? c2 ? a 2 2bc 2 a ? c2 ? b2 cos B ? 2ac 2 a ? b2 ? c2 cos C ? 2ab cos A ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C
4、余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边。 5、常用的三角形面积公式

1 ? 底?高 ; 2 1 1 1 (2) S?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边夹一角) ; 2 2 2 6、三角形中常用结论

(1) S ?ABC ?

(1) a ? b ? c, b ? c ? a, a ? c ? b(即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2) 在?ABC中,A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B(即大边对大角,大角对大边)
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( 3 ) 在 △ ABC 中 , A+B+C= π , 所 以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= - cosC ; tan(A+B)= - tanC 。 A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin 2 2 2 2

二、高考精品课典型例题分析:
题型 1 边角互化 [例 1 ]在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 3 : 5 : 7 ,则角 C 的度数为 【解析】 由正弦定理可得 a:b:c=3:5:7, ,令 a、 b、 c 依次为 3、 5、 7, 则 cosC=
2 因为 0 ? C ? ? ,所以 C= ? 3

1 a 2 ? b 2 ? c 2 32 ? 52 ? 7 2 = =? 2 2ab 2 ? 3? 5

[例 2 ] 若 a 、b 、c 是 ?ABC 的三边, f ( x) ? b 2 x 2 ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) x ? c 2 ,则函数 f ( x ) 的图象与 x 轴【 】 A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点

【解析】由余弦定理得 b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc cos A ,所以

f ( x) ? b2 x2 ? 2bc cos A?x ? c2 = (bx ? c cos A)2 ? c2 ? c2 cos2 A ,因为 cos 2 A ? 1,所以 c2 ? c2 cos2 A ? 0,因
此 f ( x) ? 0 恒成立,所以其图像与 X 轴没有交点。 题型 2 三角形解的个数 [例 3]在 ?ABC 中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是【 A、 a ? 7 , b ? 14 , A ? 30? ; C、 b ? 4 , c ? 5 , B ? 30? ; 题型 3 面积问题 [例 4] ?ABC 的一个内角为 120°,并且三边构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面积为 【解析】设△ABC 的三边分别:x-4、x、x+4, ∠C=120° ,∴由余弦定理得:﹙x+4﹚? =﹙x-4﹚? +x? -2× ﹙x-4﹚× x× cos120° ,解得:x=10 ∴△ABC 三边分别为 6、10、14。
1 1 3 ? S? ABC ? ab sin C ? ? 6 ?10 ? ? 15 3 2 2 2



B、 b ? 25 , c ? 30 , C ? 150 ? ; D、 a ? 6 , b ? 3 , B ? 60? 。

题型 4 判断三角形形状 [例 5] 在 ?ABC 中,已知 (a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ? (a2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ,判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 方法一: a2[sin( A ? B) ? sin( A ? B)] ? b2[? sin( A ? B) ? sin( A ? B)]
? 2a2 cos A sin B ? 2b2 cos B sin A

由正弦定理,即知 sin 2 A cos A sin B ? sin 2 B cos B sin A
?sin A sin B(sin A cos A ? sin B cos B) ? 0

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? sin 2 A ? sin 2 B

由 0 ? 2 A, 2B ? 2? ,得 2 A ? 2 B 或 2 A ? ? ? 2 B 即 ?ABC 为等腰三角形或直角三角形 方法二:同上可得 2a 2 cos A sin B ? 2b2 cos B sin A b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? b2a 由正、余弦定理,即得: a 2b 2bc 2ac

? a2 (b2 ? c2 ? a2 ) ? b2 (a2 ? c2 ? b2 )
即 (a2 ? b2 )(c2 ? a2 ? b2 ) ? 0
? a ? b 或 c 2 ? a 2 ? b2

即 ?ABC 为等腰三角形或直角三角形 【点拨】判断三角形形状问题,一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系,通 过因式分解等方法化简得到边与边关系式,从而判断出三角形的形状; (角化边) 二是应用正弦定理、 余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通过三角恒等变形以及三 角形内角和定理得到内角之间的关系,从而判断出三角形的形状。 (边化角) 题型 5 正弦定理、余弦定理的综合运用
1 [例 6]在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,且 sin A ? sin C ? p sin B( p ? R) 且 ac ? b 2 4 5 (1)当 p ? , b ? 1 时,求 a , c 的值; 4 (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围。 5 1 1 1 【解析】 (1)由题设并由正弦定理,得 a ? c ? , ac ? ,解得, a ? 1, c ? 或 a ? , c ? 1 4 4 4 4 1 1 (2)由余弦定理, b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B = (a ? c) 2 ? 2ac ? 2ac cos B ? p 2b 2 ? b 2 ? b 2 cos B 2 2

即 p2 ?

3 1 3 6 ? cos B ,因为 0 ? cos B ? 1 ,所以 p 2 ? ( , 2) ,由题设知 p ? 0 ,所以 ? p? 2 2 2 2 2

题型 6、解三角形的实际应用 如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处 时,乙船位于甲船的北偏西 105? 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120? 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形,把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已 知和未知的边、角.本题应先利用 S ? vt 求出边长,再进行进一步分析.
[解析]如图,连结 A1B1 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 , 北

120 高中教师学生互动群 148026512,学习资料打包下载群: A2 461093003

?

B2

105?

A1

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A1 A2 ? 30 2 ?

20 ? 10 2 , 60

? A1 A2 ? A2 B1 ,
? ? ? 又 ∠A 1A 2 B2 ? 180 ? 120 ? 60 ,

?△A1 A2 B2 是等边三角形,

? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
? ? ? 由已知, A 1B 1 ? 20 , ∠B 1A 1B2 ? 105 ? 60 ? 45 , 2 2 在 △ A1 B2 B1 中,由余弦定理, B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B2 ?A1B2 ? cos 45?

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

2 ? 200 .? B1B2 ? 10 2 . 2

因此,乙船的速度的大小为

10 2 . ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

【点拨】解三角形时,通常会遇到两种情况:①已知量与未知量全部集中在一个三角形中,此时应直接 利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形 优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解.

三、课堂练习辅导:
1、满足 A ? 45? ,c= 6 ,a=2 的 ?ABC 的个数为 m,则 a m 为

2、已知 a=5,b= 5 3 , A ? 30? ,解三角形。

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3、在 ?ABC 中,已知 a ? 4 cm , b ? x cm , A ? 60? ,如果利用正弦定理解三角形有两解,则 x 的取值 范围是【 A、 x ? 4 】 B、 0 ? x ≤ 4 C、 4 ≤ x ≤
8 3 3
8 3 3

D、 4 ? x ?

1 2 2 2 4、在 ?ABC 中,若 S ? 4 (a ? b ? c ), 则角 C=

5、设 R 是 ?ABC 外接圆的半径,且 2R(sin2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B ,试求 ?ABC 面积的最大值。

6、在 ?ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD=33, sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD。 13 5

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7、在 ?ABC 中,已知 a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,若

a cos B ? ,试确定 ?ABC 形状。 b cos A

8、在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,已知
sin C ; sin A 1 (2)若 cos B ? , b ? 2, 求 ?ABC 的面积。 4

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? cos B b

(1)求

四、课后作业
1、在 ?ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,且 sin A ? 2 sin B cos C ,则 ?ABC 是 A、等边三角形 C、直角三角形 B、钝角三角形 D、等腰直角三角形

1 2、△ABC 中若面积 S= ( a 2 ? b 2 ? c 2 ) 则角 C= 4

3、清源山是国家级风景名胜区,山顶有一铁塔 AB ,在塔顶 A 处测得山下水平面上一点 C 的俯角为 ? , 在塔底 B 处测得点 C 的俯角为 ? ,若铁塔的高为 h m ,则清源山的高度为

m。

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A、 C、

h sin ? cos ? sin(? ? ? ) h sin ? sin ? sin(? ? ? )

B、 D、

h cos? sin ? sin(? ? ? ) h cos? cos ? sin(? ? ? )
B?C 取得最大值,并求出这个最大 2

4、 ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 值。

5、在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B,C 的对边,且满足 c sin A ? a cos C (1)求角 C 的大小

? (2)求 3 sin A ? cos( B ? ) 的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。 4

袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀 蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇 蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂 肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃 肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇 蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄 薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃 肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆 螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂 螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节 蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁

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膅莃螄聿膄蒆薇

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袁节 膅薂羄 肅蒃 薁蚃芀 荿薀螆 肃芅 蕿袈芈 膁蚈 羀肁蒀 蚇蚀袄 莆蚇 螂肀莂 蚆羅袂 芈蚅 蚄膈膄 蚄螇羁 蒂蚃 衿膆莈 蚂羁罿 芄螁 蚁膄膀 螁螃羇 葿螀 袅膃蒅 蝿肈羆莁 螈螇 芁芇莄 袀肄膃 莄羂 艿蒂莃 蚂肂莈 蒂螄 芈芄蒁 袆肀膀 蒀罿 袃薈葿 螈聿蒄 葿袁 羁莀蒈 羃膇芆 蒇蚃 羀膂蒆 螅膅蒁 薅袇 羈莇薄 罿膄芃 薃虿 羆艿薃 袁节膅 薂羄 肅蒃薁 蚃芀荿 薀螆 肃芅蕿 袈芈膁 蚈羀 肁蒀蚇 蚀袄莆 蚇螂 肀莂蚆 羅袂芈 蚅蚄 膈膄蚄 螇羁蒂 蚃衿 膆莈蚂 羁罿芄 螁蚁 膄膀螁 螃羇葿 螀袅 膃蒅蝿 肈羆 莁螈螇 芁芇莄 袀肄 膃莄羂 艿蒂莃 蚂肂 莈蒂螄 芈芄蒁 袆肀 膀蒀罿 袃薈葿 螈聿 蒄葿袁 羁莀蒈 羃膇 芆蒇蚃 羀膂蒆 螅膅 蒁薅袇 羈莇薄 罿膄 芃薃虿 羆艿薃 袁节 膅薂羄 肅蒃薁 蚃芀 荿薀螆 肃芅蕿 袈芈 膁蚈羀 肁蒀蚇 蚀袄 莆蚇螂 肀莂蚆 羅袂 芈蚅蚄 膈膄蚄 螇羁 蒂蚃衿 膆莈蚂 羁罿 芄螁蚁 膄膀 螁螃羇 葿螀 袅膃蒅 蝿肈羆 莁螈 螇芁芇 莄袀肄 膃莄 羂艿蒂 莃蚂肂 莈蒂 螄芈芄 蒁袆肀 膀蒀 罿袃薈 葿螈聿 蒄葿 袁羁莀 蒈羃膇 芆蒇 蚃羀膂 蒆螅膅 蒁薅 袇羈莇 薄罿膄 芃薃 虿羆艿 薃袁节 膅薂 羄肅蒃 薁蚃芀 荿薀 螆肃芅 蕿袈芈 膁蚈 羀肁蒀 蚇蚀袄 莆蚇 螂肀莂 蚆羅袂 芈蚅 蚄膈膄 蚄螇羁 蒂蚃 衿膆莈 蚂羁 罿芄螁 蚁膄 膀螁螃 羇葿螀 袅膃 蒅蝿肈 羆莁螈 螇芁 芇莄袀 肄膃莄 羂艿 蒂莃蚂 肂莈蒂 螄芈 芄蒁袆 肀膀蒀 罿袃 薈葿

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羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂 薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂 莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄 莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀 螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄螇肃肇葿薀罿 肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿 肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁 薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁 薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿 膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃 蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈 螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈 薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇 膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄 羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂 蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃 蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈 腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈 肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇 袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁 莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿 芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿 袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁 螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈 莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆 芃芃螆螂芃莅蕿肁薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀 芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆 袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿 蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿 蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁 芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇 肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃 螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂 肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃 肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇 蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄 薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃 肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆 螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂 螆袅肅芁薈螁膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节 蒈螅羇莁薀薈袃莀艿螃蝿荿莂薆膈莈薄袁肄莇蚆蚄羀莇莆袀袆羃蒈蚂螂羂薁袈肀肁芀蚁羆肁莃袆袂肀薅虿袈聿蚇蒂膇肈莇螇肃肇葿薀罿肆薂螆袅肅芁薈螁 膅莃螄聿膄蒆薇羅膃蚈螂羁膂莈蚅袇膁蒀袀螃膀薂蚃肂腿节衿羈腿莄蚂袄芈蒇袇螀芇蕿蚀聿芆艿蒃肅芅蒁螈羁芄薃薁袆芃芃螆螂芃莅蕿肁节蒈螅羇莁薀薈

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