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浙江省宁波市第三中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题


宁波三中 2015 学年度第一学期高二数学期中考试试卷
(所有答案均答在答题卷上,答在试卷上无效) 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( ▲ ) A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3
<

br />D.

5? 6

2.直线 2 x ? my ? 1 ? 3m ? 0(m ? R) ,当 m 变动时,所有直线都经过定点( ▲ ) A. ( ,3)

1 2

B. (? ,3)

1 2

C. ( ?

1 , ?3) 2

D. ( , ?3)

1 2

3.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ? , 腰和上底均为 1 的等腰 梯形,那么原平面图形的面积为( ▲ ) A. 2 ? 2 B.

1? 2 2

C.

2? 2 2

D. 1 ? 2

4.不等式 ( x ? 2 y ? 1)( x ? y ? 3) ? 0 表示的平面区域(用阴影部分表示)是( ▲ )

A.

B.

C.

D.

5. ? , ? 为不重合的平面, m, n 为不重合的直线,则下列命题正确的是( ▲ ) A. 若 ? ? ? , ? ? ? ? n, m ? n ,则 m ? ? C. 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? B. 若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 n ? ? D. 若 m ∥ ? , n ∥ ? , m ? n ,则 ? ? ?

6.设一个球的表面积是 S1 ,它的内接正方体的表面积是 S2 ,则

S1 等于( ▲ ) S2

A.

2

?

B.

6

?

C.

? 6

D.

? 2

7.已知点 A(?1,0), B(cos ? ,sin ? ) 且 | AB |? 3 ,则直线 AB 的方程为( ▲ ) A. y ? 3x ? 3 或 y ? ? 3x ? 3 C. y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 B. y ?

3 3 3 3 x? x? 或y?? 3 3 3 3

D. y ? 2 x ? 2 或 y ? ? 2x ? 2

1

8.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据,可知此几 何体的表面积是( ▲ ) A. 24 C. 6 ? 2 5 ? 2 2 B.

64 3

D. 24 ? 8 5 ? 8 2

B (4, ? 2) 9. 已知直线 l 经过 P(3, 4)且与点 A(? 2, 2), 等距
离,则直线 l 的方程为( ▲ ) A. 2 x ? 3 y ? 18 ? 0 C. 2 x ? 3 y ? 18 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0 10.曲线 B. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. 3x ? 2y ? 18 ? 0 或 x ? 2 y ? 2 ? 0

| x| | y| ? ? 1 与直线 y ? 2 x ? m 有两个交点,则 m 的取值范围是( ▲ ) 2 3
B. (?4, 4) C. (??, ?3) ? (3, ??) D. (??, ?4) ? (4, ??)

A. (?3,3)

二、填空题(每题 4 分,共 28 分) 11. 若两平行直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0,6 x ? ay ? c ? 0 之间的距离为 ___.

2 13 ,则 c 的值为 ___ ▲ 13

?x ? y ? 8 ?2 y ? x ? 4 ? 12.若变量 x, y 满足约束条件 ? 且 z ? 5 y ? x 的最大值为 a , 最小值为 b , 则a ?b ?x ? 0 ? ?y ? 0
的值为___▲___. 13.过三棱柱 ABC ? A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线, 其中与平面 ABB1 A 1 平行的直线共 有___▲___条. 14.已知长方体 ABCD ? A 则异面直线 BD1 与 AC 所 1B 1C1D 1 中,AB ? 4, BC ? 3, AA 1 ?5, 成角的余弦值为___▲___. 15.若直线 l1 : 4x ? y ? 4 ? 0, l2 : mx ? y ? 0, l3 : 2x ? 3my ? 4 ? 0不能围成三角形,则 m 的 值为___▲___. 16. 已 知 0 ? k ? 4 , 直 线 l1 : k ? x2 ? y2 ? k 8 ?和0直 线

l2 : 2x ? k 2 y ? 4k 2 ? 4 ? 0 与两坐标轴围成一个四边形,则使这个四
边形面积最小的 k 的值为___▲___. 17.如图 PA⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AE⊥ PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE
2

⊥平面 PBC,其中真命题的序号是___▲___.

三、解答题(本题共 72 分) 18.(本题 15 分)已知两直线 l1 : mx ? 8 y ? n ? 0 和 l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 ,试确定 m, n 的值, 使其分别满足如下条件: (1) l1 ∥ l2 ; (2) l1 ? l2 且 l1 在 y 轴上的截距为 ?1 ; (3) l1 与 l2 相交于点 P(m, ?1) .

?x ? y ? 1 ? 19.(本题 14 分)若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , ?2 x ? y ? 2 ?
(1)求目标函数 z ?

x 2 ? y 2 的最大值和最小值;

(2)若目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点 (1, 0) 处取得最小值,求 a 的取值 范围. 20.(本题 14 分)如图所示,在正四棱锥 P ? ABCD 中,底面是边长 为 2 的正方形,侧棱 PA ?

P F

6 , E 为 BC 的中点,F 为侧棱 PD 上的
D A B E C

一动点. (1)求证: AC ? BF ; (2)当直线 PE ∥平面 ACF 时,求三棱锥 F ? ACD 的体积.

21. (本题 14 分) 如图所示, 射线 OA, OB 分别与 x 轴正半轴成 45 ? 和 30 ? 角,过点 P(1, 0) 作直线 AB 分别交 OA, OB 于 A, B 两点,当 AB 的中点

C 恰好落在直线 y ?

1 x 上时,求直线 AB 的方程. 2

22.(本题 15 分)如图,在四棱锥 S?ABCD 中,平面 SAD⊥平面 ABCD, 四边形 ABCD 为正方形,且 P 为 AD 的中点,Q 为 SB 的中点. (1)求证:PQ∥平面 SCD; (2)求证: ;CD⊥SA (3)若 SA=SD,M 为 BC 的中点,在棱 SC 上是否存在点 N,使得平面 DMN⊥平面 ABCD?并证 明你的结论.
3

宁波三中 2015 第一学期期中考试高二数学参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 C 6 D 7 B 8 D 9 C 10 D

二、填空题(每小题 4 分,共 72 分) 11. 2 或 ?6 12. 24 13. 6 14.

7 2 50

15.

1 2 4, ?1, ? , 6 3

16.

1 8

17. ①

②④ 三、解答题: 18.(本题共 15 分) (1) m ? 4, n ? ?2 或 m ? ?4, n ? 2 ………………5 分 (2) m ? 0, n ? 8 ………………………………………5 分 (3) m ? 1, n ? 7 …………………………………………5 分 19.(本题共 14 分) (1) zmax ? 5, zmin ?

2 ………………………………8 分 2

(2) a ? (?4, 2) ………………………………………6 分 20.(本题共 14 分) (1)提示:连接 BD,证 AC⊥平面 PBD……………5 分 (2)提示:连接 DE 交 AC 于 G,连 FG. ∵PE∥平面 ACF ∴PE∥FG 可得:DG=2GE,?

DG AD ? ?2 GE CE

?

DF 2 ? DP 3

1 4 8 ? VF? ACD ? ? 2 ? ? …………………………9 分 3 3 9
21.(本题 14 分) 提示: OA : y ? x

OB : y ? ?

3 x 3

设 A(m, m), B(? 3n, n) ,则 C(

m ? 3n m ? n , ) 2 2

4

? m ? n 1 m ? 3n ? ? ? ? 2 2 2 ?? m ? 0 n ? 0 ? ? ? ? n ? 1 ? 3n ? 1
? A( 3, 3) ? k AB ? 3 3? 3 ? 2 3 ?1

? m ? 3 …………………8 分

∴AB 方程为 y ?

3? 3 ( x ? 1) ……………………………14 分 2

22.(本题共 15 分) (1)提示:取 SC 的中点 R,易证 PQ∥DR. …………………4 分 (2)提示:证 CD⊥平面 SAD. ………………………………4 分 (3)N 为 SC 的中点. ………………………………7 分

5


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