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2014-2015上高二理数期末质检评分标准(B卷)第20题修正


宁德市 2014—2015 学年度第一学期高二期末质量检测

数学(理科 B 卷)试题参考答案及评分标准
说明: 1、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力,给出一种或几种解法供参考。如果考 生的解法与给出的解法不同,可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细 则。 2、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误,但整体解决方案可行且后续步骤没

有 出现推理或计算错误, 则错误部分依细则扣分, 并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分 的给分, 但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错 误,就不再给分。 3、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4、解答题只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算。本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.C 2. D 3. A 4. .B 5 C 6. A 7. B 8. D 9. B 10. C

二、填空题 :本题考查基础知识和基本运算。本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 11. 5 12. 3 13. 45 ? 14. 2n ? 1 三、解答题:本大题 共 6 小题,共 80 分。 15.[-1,3]

16. 本题主要考查数列部分的基本知识,考查运算求解能力及化归思想转化。满分 13 分。 解: (I)依题设,得 a1 ? 2 ? 2 ? 6 解得 a1 ? 2 . …………………………………………………………………………………3 分

?an ? 2 ? 2 ? n ?1? ? 2n, ……………………………………………………………………5 分
Sn ? n ? 2 ? 2n ? ? n ? n ? 1? . ………………………………………………………………7 分 2

(Ⅱ)

bn ?

1 1 1 1 ? ? ? , …………………………………………………10 分 Sn n ? n ? 1? n n ? 1
1 ? ?1 ?? ? ? ? n n ?1 ?

? 1? ?1 1? ?1 1? ?Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? 2 3? ? 2 3?
? 1? 1 n ? . n ?1 n ?1

………………………………………………………………13 分

17. 本题主要考查抛物线定义、标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识。考查运 算化简能力以及数形结合思想。满分 13 分。 解:(Ⅰ) 依题意设抛物线的方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,…………………………………2 分
2

1



p ? 1 ,? p ? 2 , ………………………………………………………………………2 分 2

? 所求抛物线方程为 y 2 ? 4x .………………………………………………………………6 分
(Ⅱ ) 解法一:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , N ? x0 , y0 ? ,…………………………………………7 分

? y2 ? 4x 2 联立 ? ,得 x ? 8 x ? 4 ? 0 , ……………………………………………………9 分 ?y ? x ? 2
? ? ? ?8 ? ? 16 ? 0 , …………………………………………………………………………10 分
2

x0 ?

x1 ? x2 8 ? ? 4, y0 ? x0 ? 2 ? 2 , ……………………………………………………12 分 2 2

?弦AB中点N的坐标为? 4, 2? . ……………………………………………………………13 分
解法二:设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , N ? x0 , y0 ? ,………………………………………………7 分 则有 ?

? y12 ? 4 x1① ,①-②得 2 ? y 2 ? 4 x2 ②

? y1 ? y2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 4 ? x1 ? x2 ? ,
? y1 ? y2 4 , ……………………………………………………………………9 分 ?? x1 ? x2 y1 ? y2 y1 ? y2 ? k AB ? 1, y1 ? y2 ? 2 y0 , x1 ? x2 ?1 ? 4 , y0 ? 2,? x0 ? y0 ? 2 ? 4, 2 y0
……………………………………………………12 分

?弦AB中点N的坐标为? 4, 2? . ……………………………………………………………13 分
18. 本题主要考查集合与简易逻辑、双曲线标准方程及一元二次不等式的解法等基本知识, 考查运算求解能力和逻辑推理能力以及分类整合思想。满分 13 分。 解: (Ⅰ)若 a ? 2 , p 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 8 . …………………………2 分
2 由 x ? 7 x ? 6 ? 0 ,得 1 ? x ? 6 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 1 ? x ? 6 .

………………………………………………………………………………4 分 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 6 .……………………6 分 (Ⅱ)设 A ? ?x | p( x)? , B ? ?x | q( x)? ? (1,7) ,…………………………………………7 分

p 是 q 的充分不必要条件, ? A ? B . ……………………………………………………9 分 ?
2

? a ?1 3 a ? 0 时, A ? (a, 4a) ,有 ? ,解得 1 ? a ? ;…………………………………12 分 2 ?4a ? 6 3 ∴实数 a 的取值范围是 1 ? a ? .…………………………………………………………13 分 2
19. 本题主要考查余弦定理、解三角形、数学建模等基本知识。考查函数方程思想、化归转 化思想、运算求解能力以及应用意识。满分 13 分。 解:由题意,设 AC =x , …………………………………1 分 则 BC =x ? 40, ……………………………2 分 在 ABC 中,由余弦定理得: H

BC = BA ? CA ? 2 BA CA cos ?BAC ,
2

2

2

2

A

2 即 ? x ? 40 ? =x ? 10000 ? 100 x, 解得 x =420. ………8 分

C

在 ACH 中, AC =420,?CAH=30?, ?ACH=90?,

B

所以, CH = AC ? tan ?CAH ? 140 3. …………………………………………………12 分 答:这种烟花的垂直发射高度为 140 3. …………………………………………………13 分 20. 本题主要考查直线与平面的位置关系, 综合考查运用空间向量知识求解直线与平面所成 的角,考查化归转化思想、数形结合思想、方程思想、空间想象能力、运算求解能力 和推理论证能力.满分 14 分。

.解:(Ⅰ)在 Rt ABD 中, AD ? AB2 ? BD2 ? 3 .
四边形 ABCD 是平行四边形,

? 2, ? BC ? A1D ? 3, CD ? A1B ? 1, 又 AC 1

z A1

? A1B ? BC ? AC ,
2 2 2

? A1B ? BC, …………………3 分
又A 1B ? BD, BC

B

E D y C

BD ? B,

x

? A1B ? 平面BCD. …………………………5 分
(Ⅱ)如图,过 B 作 BD 的垂线,以点 B 为原点建立空间直角坐标系,则

A1 (0,0,1), D(0, 2,0), C(1, 2,0) ,从而 BC ? (1, 2,0), DA1 ? (0, ? 2,1) ………6 分
cos ? BC , DA1 ?? BC ? DA1 BC DA1 ? ?2 2 ? ? ,………………………………………8 分 3 3? 3
3

2 ? 异面直线 BC 与 A1D 所成角的余弦值等于 .……………………………………9 分 3
(Ⅲ) DC ? (1,0,0), CA1 ? (?1, ? 2,1) . 设 CE ? ?CA 1 , 则 DE ? DC ? CE ? (1 ? ?, ? 2?, ? ), ………………………………10 分 取平面 BCD 的一个法向量为 n ? (0,0,1) ,……………………………………………11 分 则 sin 30? ? cos ? DE, n ? ?

DE ? n DE ? n

?

?
(1 ? ? ) ? 2? ? ?
2 2 2

?

1 1 ,解得 ? ? …………………………………………13 分 2 2

? CE ?

1 CA1 , 即 CE ? 1. ……………………………………………………………14 分 2

(注:图中没有画坐标系扣 1 分) 21. 本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考 查化归转化思想、数形结合思想、方程思想以及运算化简能力、探究能力。满分 14 分。 解:(Ⅰ)由题意 e ?

c 2 ,又 a ? 2 2 ,…………………………………………… 2 分 ? a 2

?c ? 2, b2 ? a2 ? c2 ? 4 ,……………………………………………………………………4 分
椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 .……………………………………………………………5 分 8 4

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 联立 ?

? y ? kx ? 6 ? 2 2 ,得 ?1 ? 2k ? x ? 4 6k ? 4 ? 0 2 2 ? ?x ? 2 y ? 8

? = 4 6k

?

?

2

? 16 ?1 ? 2k 2 ? ? 64k 2 ? 16 ? 0 ? k 2 ?

1 ----① 4
A

y

l

? ?4 6 k x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 2k 2 ……………………7 分 ? ? xx ? 4 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

D B O C x

? kOA ? kOB
y1 y2 = ?

b2 1 yy 1 ? ? 2 ? ? ,? 1 2 ? ? a 2 x1 x2 2

1 1 4 ?2 x1 x2 ? ? ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 …………………………………………………8 分
4

y1 y2 = kx1 ? 6 kx2 ? 6 ? k 2 x1 x2 ? 6k ( x1 ? x2 ) ? 6

?

??

?

? k2

4 ?4 6k 6 ? 8k 2 ? 6 k ? 6 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

………………………………………………9 分

?

?2 6 ? 8k 2 ? ? k 2 ? 1 (满足不等式①)…………………………………………10 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

设原点到直线 AB 的距离为 d,则

S

AOB

?

1 1 6 AB ? d ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1 ? 2 2 1? k 2

6 ? 2 ?

? x1 ? x2 ?

2

6 ? 4 x1 x2 ? 2

? ?4 6k ? 4 ? ? 1 ? 2k 2 ? ? ? 4 1 ? 2k 2 ? ?

2

6 4 3 ? ?2 2 2 3

? S四边形ABCD ? 4 S ?AOB ? 8 2 .
所以四边形 ABCD 的面积为定值 8 2 ……………………………………………………14 分 (备注:判别式没写出或没进行判断扣 1 分)

5


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