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高中数学人教A版·必修5(有详解答案):课时作业24:基本不等式的应用


课时作业 24

基本不等式的应用

时间:45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分) 2 1.函数 y=2x+x(x>0)的最小值是( A.2 C.4 2 解析:y=2x+x≥2 故选 C. 答案:C

分值:100 分

) B.3 D.6

2 2 2 x

· = 4 ,当且仅当 2 x = x x,x=1 时取等号,ymin= 4.

2.已知 m,n∈R,m2+n2=100,则 mn 的最大值是( A.100 C.20 B.50 D.10

)

m2+n2 100 解析:mn≤ 2 = 2 =50,当且仅当 m=n= 50或 m=n=- 50时等号 成立. 答案:B 3.下列结论正确的是( )

1 A.当 x>0 且 x≠1 时,lgx+lgx≥2 B.当 x>0 时, x+ 1 ≥2 x

1 C.当 x≥2 时,x+x 的最小值为 2

1 D.当 0<x≤2 时,x-x无最大值 解析:选项 A 中,当 x>0 且 x≠1 时,lgx 不一定是正数,所以 A 不正确; 1 选项 C 中,当 x≥2 时,x+x≥2 1 x· x=2 中的等号不成立,所以 C 不正确;

1 选项 D 中,当 0<x≤2 时,可以证明函数 y=x-x是增函数,则其最大值是 3 f(2)=2,所以 D 不正确; 选项 B 中,满足基本不等式的条件一正二定三相等,所以 B 正确. 答案:B 4.(2012· 浙江卷)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( 24 A. 5 C.5 28 B. 5 D.6
? ?

)

1?1 3? 解析:∵x>0,y>0,由 x+3y=5xy 得5? y+x?=1.
?1 3? 1 ∴3x+4y=5(3x+4y)?y +x ? ? ?

12y? 13 1?3x 12y? 1?3x =5? y +4+9+ x ?= 5 +5? y + x ? ? ? ? ? 13 1 ≥ 5 +5×2 3x 12y y · x =5(当且仅当 x=2y 时取等号),

∴3x+4y 的最小值为 5. 答案:C 5.周长为 36 的矩形绕其一边旋转形成一个圆柱,该圆柱的侧面积的最大值 是( ) A.27π C.108π B.81π D.162π

解析:设矩形的长与宽分别为 x,y,则 2(x+y)=36?x+y=18≥2 xy,则 xy≤81.又圆柱的侧面积为 2πxy≤ 2π×81=162π, 当且仅当 x=y=9 时, 等号成立. 答案:D 6.设 x>y>z,n∈N,且 A.2 C.4 1 1 n + ≥ 恒成立,则 n 的最大值为( x-y y-z x-z B.3 D.5 )

x-z x-z 1 1 4 解析:∵ + = ≥ = ,∴n 的最大值为 4. x-y y-z ?x-y??y-z? x-z 2 x-z ? 2 ? 答案:C 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分) 7.若 x+2y =1,则 2x+4y 的最小值为________. 解析:∵2x+4y=2x+22y≥2 2x· 22y =2 2x+2y=2 2, 1 当且仅当 x=2y=2时上式等号成立. 答案:2 2 1 8 8.当 x>2时,函数 y=x+ 的最小值为________. 2x-1 1 解析:设 t=2x -1 ,∵x>2,∴2x-1>0,即 t>0. t+1 8 t 8 1 ∴y= 2 + t =2+ t +2≥2 t 8 1 9 2· t +2=2.

t 8 5 当且仅当2= t ,即 t=4,即 x=2时,取等号. 9 答案:2

1 9.函数 y=log1 (x+ +1)(x>1)的最大值为________. x-1
2

解析:∵x>1,∴x-1>0, 1 1 ∴x+ +1=x-1+ +2≥2 x-1 x-1 1 ?x-1?· +2=4. x-1

1 当且仅当 x-1= ,即 x=2 时等号成立. x-1 又 y=log1 x 是减函数,∴y≤log1 4=-2.
2 2

答案:-2 三、解答题(共计 40 分) 1 10.(10 分)(1)已知 x>-1,试比较 x+ 与 1 的大小; x+1 1 1 (2)若 x>0,y>0,x+y=1,求证:x +y ≥4. 解:(1)∵x>-1, 1 ∴x+1>0, >0. x+1 1 1 ∴x+ =(x+1)+ -1≥ x+1 x+1 2 1 ?x+1?· ? ?-1=1. x+1

1 1 当 x+1= 即 x=0 时,x+ =1. x+1 x+1 1 当 x>-1,且 x≠0 时 x+ >1. x+1 y x (2)∵x+y=1,x>0,y>0,∴x>0,y>0. 1 1 x+y x+y ∴ x +y = x + y

y x =2+x+y≥2+2

yx x· y=4.

1 当且仅当 x=y=2时取等号. 11.(15 分)某公司欲建连成片的网球场数座,用 128 万元购买土地 10 000 平 方米,每座球场的建筑面积均为 1 000 平方米,球场总建筑面积的每平方米的平 均建筑费用与球场数有关,当该球场建 n 个时,每平方米的平均建筑费用用 f(n) n-5 表示,且 f(n)=m(1+ 20 )(其中 n∈N),又知建五座球场时,每平方米的平均建 筑费用为 400 元,为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用 与购地费用之和),公司应建几个球场? 128×104 1 280 解:设建成 n 个球场,则每平方米的购地费用为 1 000n = n , 由题意,知 n=5, f(n)=400, 5-5 则 f(5)=m(1+ 20 )=400,所以 m=400. n-5 所以 f(n)=400(1+ 20 )=20n+300. 从而每平方米的综合费用为 1 280 64 y=f(n)+ n =20(n+ n )+300≥20×2 64+300=620(元), 当且仅当 n =8 时 等号成立. 所以当建成 8 座球场时,每平方米的综合费用最省. 12.(15 分)过点 P(2,1)的直线 l 分别交 x 轴,y 轴的正半轴于 A,B 两点,求 △AOB 的面积 S 的最小值. 解:方法 1:设直线 l 的 表达式为 y-1=k(x-2)(显然 k 存在,且 k≠0), 1 令 y=0,可得 A(2-k ,0); 令 x=0,可得 B(0,1-2k).

∵A,B 都在正半轴上, 1 ∴2-k>0 且 1-2k>0,可得 k<0. 1 1 1 ∴S△AOB=2|OA|· |OB |=2(2-k)(1-2k) -4k2+4k-1 1 = =- 2 k + +2≥2 2k -2k 1 ?-2k?· +2=4, ?-2k?

1 1 当且仅当 k2=4,即 k=-2时,S△ AOB 取得最小值,为 4. x y 方法 2:设直线 l 的方程为a+b=1(a>0,b>0), ∵l 过点 P(2,1), 2 1 2 1 ∴a+b=1.∴1=a+b≥2 2 ab,可得 ab≥8.

1 2 1 ∴S△AOB=2ab≥4,当且仅当a=b,且 ab=8, 即 a=4,b=2 时,S△AOB 取得最小值 4.


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