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2014年高中数学难点:等比数列·例题解析


2014 年高中数学难点:等比数列·例题解析 【例 1】 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和, Sn=pn(p∈R, n∈N*), 那么数列{an}. [ A.是等比数列 B.当 p≠0 时是等比数列 C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 D.不是等比数列 分析 由 Sn=pn(n∈N*),有 a1=S1=p,并且当 n≥2 时, ] an=Sn-Sn-1=pn-pn-1

=(p-1)pn-1 ? ? ?p≠ 0 ? 故a 2 = (p-1)p,因此数列{a n }成等比数列 ? ?p-1≠ 0 ? n ?1 p( p ? 1) ? (p ? 1)p n?2 ? ? p ? ( p ? 2) p 但满足此条件的实数 p 是不存在的,故本题应选 D. 说明 数列{an}成等比数列的必要条件是 an≠0(n∈N*),还要注 意对任n∈N * ,n≥2 , 【例 2】 解 an 都为同一常数是其定义规定的准确含义. a n?1 已知等比数列 1,x1,x2,…,x2n,2,求 x1·x2·x3·…·x2n. ∵1,x1,x2,…,x2n,2 成等比数列,公比 q ∴2=1·q2n+1 x1x2x3…x2n=q·q2·q3…q2n=q1+2+3+…+2n =q 2n(1+2n) 2 ? q n ( 2 n ?1) ? 2 n 1 ,求通项公 2 【例3】 等比数列{a n }中, (1) 已知a 2 = 4 ,a 5 =- 式;(2)已知 a3·a4·a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值. 解 (1)a 5 = a 2 q 5? 2 ∴q = - 1 2 -1- 1 1 ∴a n =a 2 q n ? 2 = 4( - ) n ?2 = ( ? ) n ? 4 2 2 2 (2) ∵a 3 ·a 5 =a 4 a 3 ·a 4 ·a 5 =a 3 4 =8 ∴a4=2 又a 2 a 6 =a 3a 5 =a 2 4 ∴a 2 a 3a 4 a 5a 6 = a 5 4 = 32 【例 4】 已知 a>0,b>0 且 a≠b,在 a,b 之间插入 n 个正数 x1,x2,…, xn,使得 a,x1,x2,…,xn,b 成等比数列,求 证 n x 1 x 2 …x n < 证明 a?b . 2 设这 n+2 个数所成数列的公比为 q,则 b=aqn+1 ∴q n ?1 ? b a n ?1 2 ∴ n x 1 x 2 …x n ? n aqaq 2 …aq n ? aq ? ab < 【例 5】 -d)2. 证法一 ∵a、b、c、d 成等比数列 a?b 2 设 a、b、c、d 成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a ∴ a b c ? ? b c d ∴b2=ac,c2=bd,ad=bc ∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2 =2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2) =a2-2ad+d2 =(a-d)2=右边 证毕. 证法二 ∵a、b、c、d 成等比数列,设其公比为 q,则: b=aq,c=aq2,d=aq3 -2- ∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2 =a2-2a2q3+a2q6 =(a-aq3)2 =(a-d)2=右边 证毕. 说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住了 求证式中右边没有 b、 c 的特点, 走的是利用等比的条件消去左边式中的 b、 c

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