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双基限时练4


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双基限时练(四)
1.下列说法中正确的是( A.合情推理就是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程 D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程 答案 D ) )

2.下列推理正确的是(

A.把

a(b+c)与 lg(x+y)类比,则 lg(x+y)=lgx+lgy B.把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则 sin(x+y)=sinx+siny C.把 a(b+c)与 ax+y 类比,则 ax+y=ax+ay D.把 a(b+c)与 a· (b+c)类比,则 a· (b+c)=a· b+a· c 解析 答案 由向量的运算性质知,a· (b+c)=a· b+a· c 正确. D )

3.立体几何中与平面几何中的三角形做类比对象的是( A.三棱柱 C.三棱锥 答案 C B.三棱台 D.正方体

4.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质, 可推出正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是( )

①各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相 等; ③各个面都是全等的正三角形, 同一顶点上的任意两条棱的夹角 都相等.
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A.① C.①② 答案 D

B.③ D.①②③

1 5.三角形的面积为 S=2(a+b+c)· r,a,b,c 为三角形的边长, r 为三角形内切圆的半径,利用类比推理可以得出四面体的体积为 ( ) 1 A.V=3abc 1 B.V=3Sh 1 C.V=3(S1+S2+S3+S4)· r(S1,S2,S3,S4 分别为四面体的四个 面的面积,r 为四面体内切球的半径) 1 D.V=3(ab+bc+ac)· h(h 为四面体的高) 解析 平面几何与立体几何的类比,类比的知识点有:面积与体

积,边长与面积,圆与球.因此,应选 C. 答案 C

x y 6.在平面直角坐标系内,方程a+b=1 表示在 x,y 轴上的截距 分别为 a,b 的直线,拓展到空间,在 x,y,z 轴上的截距分别为 a, b,c(abc≠0)的方程为( x y z A.a+b+c=1 x y z B.ab+bc+ac=1 xy yz zx C.ab+bc+ca=1 D.ax+by+cz=1
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)

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答案

A

7.圆的面积 S=πr2,周长 c=2πr,两者满足 c=S′(r),类比此 关系写出球的公式的一个结论是:________. 解析 圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得,球的

4 体积 V=3πR3,表面积 S=4πR2,满足 S=V′(R). 答案 4 V 球=3πR3,S 球=4πR2,满足 S=V′(R)

8.等差数列{an}中,有 2an=an-1+an+1(n≥2,且 n∈N*),类比 以上结论,在等比数列{bn}中类似的结论是________. 答案 b2 bn+1(n≥2,且 n∈N*) n=bn-1·

9.坐标平面上 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则线段 P1P2 的中点 P 的 x1+x2 y1+y2 坐标为( 2 , 2 ). 类比以上结论, 若△ABC 中, A(x1, y1), B(x2, y2),C(x3,y3),则△ABC 重心 G 的坐标为________. 答案 x1+x2+x3 y1+y1+y3 ( , ) 3 3

10. 找出圆与球的相似之处, 并用圆的性质类比球的有关性质. 完 成下表中的空白. 圆 (1)圆心与弦(非直径)中点的直线 垂直于弦 (2)与圆心距离相等的弦长相等 (3)圆的周长 C=πd (4)圆的面积 S=πr2 球 (1)__________________________ _____________________________ (2)__________________________ _____________________________ (3)__________________________ _____________________________ (4)__________________________

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_____________________________ 答案 于截面 (2)与球心的距离相等的两个截面圆的面积相等 (3)球的表面积 S=4πr2 4 (4)球的体积 V=3πr3 11.在圆 x2+y2=r2 中,AB 为直径,C 为圆上异于 AB 的任意一 x2 y 2 点,则有 kAC· kBC=-1,你能用类比的方法得出椭圆a2+b2=1(a>b >0)中有什么样的结论? 解 设 A(x0,y0)为椭圆上的任意一点,则 A 点关于中心的对称 (1) 球心与截面圆 (不过球心的小截面圆 ) 圆心的连线垂直

点 B 的坐标为(-x0,-y0),点 P(x,y)为椭圆上异于 A,B 两点的任 意一点,则
2 y-y0 y+y0 y2-y0 kAP· kBP= · = . x-x0 x+x0 x2-x2 0

由于 A,B,P 三点都在椭圆上. x y ? ?a2+b2=1, 所以? 2 x0 y2 0 ? ?a2+b2=1,
2 2

x2-x2 y2-y2 0 0 两式相减有 a2 + b2 =0,

2 y2-y0 b2 b2 所以 2 2=-a2,即 kAP· kBP=-a2. x -x0

x2 y 2 故椭圆a2+b2=1(a>b>0)中过中心的一条弦的两个端点 A,B, b2 P 为椭圆上异于 A,B 的任意一点,则有 kAP· kBP=-a2. 1 1 12.在△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证:AD2=AB2+
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1 AC2. 在四面体 A-BCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并 说明理由.

图1 解 如图 1 所示,在 Rt△ABC 中,由射影定理得 AD2=BD· DC,

AB2=BD· BC,AC2=BC· DC, 1 1 ∴AD2=BD· DC BC2 BC2 =BC· BD· DC· BC=AB2· AC2. 又∵BC2=AB2+AC2, AB2+AC2 1 1 1 ∴AD2= AB2· 2 = 2+ AC AB AC2. 猜想:类比 AB⊥AC,AD⊥BC,猜想在四面体 A-BCD 中,AB, 1 1 1 1 AC,AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD 于 E,则AE2=AB2+AC2+AD2.

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图2 如图 2,连接 BE 交 CD 于 F,连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD,∴AB⊥平面 ACD. ∵AF?平面 ACD,∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, 1 1 1 ∴AE2=AB2+AF2. 在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, 1 1 1 ∴AF2=AC2+AD2. 1 1 1 1 ∴AE2=AB2+AC2+AD2.

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