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湖北省天门市名校联考2016届中考数学3月模拟试题(含解析)


湖北省天门市名校联考 2016 届中考数学 3 月模拟试题
一.选择题 1.有个零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置,它的左视图是( )

A. B. C. D. 2 2 2.分解因式(2x+3) ﹣x 的结果是( ) 2 2 A.3(x +4x+3) B.3(x +2x+3) C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3) 3.在盒子

里放有三张分别写有整式 a+1,a+2,2 的卡片,从中随机抽取两张卡片,把两张卡片上的 整式分别作为分子和分母,则能组成分式的概率是( ) A. B. C. D.

4.若点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都是反比例函数 y=﹣ 图象上的点,并且 y1<0<y2<y3, 则下列各式中正确的是( ) A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x2<x1<x3 D.x2<x3<x1 5.如图,在网格中,小正方形的边长均为 1,点 A,B,C 都在格点上,则∠ABC 的正切值是( )

A.2 B. C. D. 6.如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,如果 DE∥BC,且∠DCE=∠B,那么下列说法中, 错误的是( )

A.△ADE∽△ABC B.△ADE∽△ACD C.△ADE∽△DCB D.△DEC∽△CDB 7.某经济技术开发区今年一月份工业产值达 50 亿元,且一月份、二月份、三月份的产值为 175 亿 元,若设平均每月的增长率为 x,根据题意可列方程( ) 2 2 A.50(1+x) =175 B.50+50(1+x) =175 2 2 C.50(1+x)+50(1+x) =175 D.50+50(1+x)+50(1+x) =175

1

8.如图,Rt△AOC 的直角边 OC 在 x 轴上,∠ACO=90°,反比例函数 y= 经过另一条直角边 AC 的中 点 D,S△AOC=3,则 k=( )

A.2 B.4 C.6 D.3 2 9.如果一条抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为 顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”,[a,b,c]称为“抛物线三角形系数”,若抛物 线三角形系数为[﹣1,b,0]的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,则 b 的值( ) A.±2 B.±3 C.2 D.3 10.将一副三角尺(在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°,在 Rt△EDF 中,∠EDF=90°,∠E=45°) 如图摆放, 点 D 为 AB 的中点, DE 交 AC 于点 P, DF 经过点 C, 将△EDF 绕点 D 顺时针方向旋转 α (0° <α <60°),DE′交 AC 于点 M,DF′交 BC 于点 N,则 的值为( )

A.

B.

C.

D.

二.填空题(3 分×5=15 分) 11.已知 α 、β 均为锐角,且满足|sinα ﹣ |+ =0,则 α +β = . 12 .如图,在半径为 3 的⊙ O 中,直径 AB 与弦 CD 相交于点 E ,连接 AC , BD ,若 AC=2 ,则 cosD= .

13.关于 x 的一元二次方程( k﹣1)x ﹣2x+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围 是 . 14.如图,点 A 在双曲线 y= 上,AB⊥x 轴于点 B,且△AOB 的面积是 2,则 k 的值是 .

2

2

15.如图,正方形 CDEF 内接于 Rt△ABC,点 D、E、F 分别在边 AC、AB 和 BC 上,当 AD=2,BF=3 时, 正方形 CDEF 的面积是 .

三.解答题(共 75 分) 16.计算: sin45°+cos 30°﹣ +2sin60°. 2 17.用配方法解方程:2x ﹣3x﹣3=0. 18.如图,四边形 ABCD 为正方形,点 A 的坐标为(0,1),点 B 的坐标为(0,﹣2),反比例函数 y= 的图象经过点 C,一次函数 y=ax+b 的图象经过 A、C 两点 (1)求反比例函数与一次函数的解析式; (2)求反比例函数与一次函数的另一个交点 M 的坐标; (3)若点 P 是反比例函数图象上的一点,△OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积,求 P 点的坐 标.
2

19.将九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理,分成 5 个小组(x 表示成绩,单位:米).A 组: 5.25≤x<6.25;B 组:6.25≤x<7.25;C 组:7.25≤x<8.25;D 组:8.25≤x<9.25;E 组:9.25≤x <10.25,并绘制出扇形统计图和频数分布直方图(不完整).规定 x≥6.25 为合格,x≥9.25 为优 秀. (1)这部分男生有多少人?其中成绩合格的有多少人? (2)这部分男生成绩的中位数落在哪一组?扇形统计图中 D 组对应的圆心角是多少度? (3)要从成绩优秀的学生中,随机选出 2 人介绍经验,已知甲、乙两位同学的成绩均为优秀,求他 俩至少有 1 人被选中的概率.

3

20.在升旗结束后,小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度,如图,旗杆的顶端垂下一绳子, 将绳子拉直钉在地上,末端恰好至 C 处且与地面成 60°角,小铭从绳子末端 C 处拿起绳子后退至 E 点,求旗杆 AB 的高度和小铭后退的距离.(单位:米,参考数据: 留一位小数) ≈1.41, ≈1.73,结果保

21.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上,PD 切⊙O 于点 D,过点 B 作 BE 垂直于 PD, 交 PD 的延长线于点 C,连接 AD 并延长,交 BE 于点 E. (1)求证:AB=BE; (2)若 PA=2,cosB= ,求⊙O 半径的长.

22.某企业接到一批粽子生产任务,按要求在 15 天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只 6 元,为 按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第 x 天生产的粽子数量为 y 只,y 与 x 满足下 列关系式:

y=



(1)李明第几天生产的粽子数量为 420 只? (2)如图,设第 x 天每只粽子的成本是 p 元,p 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李 明第 x 天创造的利润为 w 元,求 w 与 x 之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是

4

多少元?(利润=出厂价﹣成本) (3)设(2)小题中第 m 天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第 m 天的利润至少多 48 元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?

23.已知,点 P 是 Rt△ABC 斜边 AB 上一动点(不与 A、B 重合),分别过 A、B 向直线 CP 作垂线, 垂足分别为 E、F、Q 为斜边 AB 的中点. (1)如图 1,当点 P 与点 Q 重合时,AE 与 BF 的位置关系是 ,QE 与 QF 的数量关系 是 ; (2)如图 2,当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时,试判断 QE 与 QF 的数量关系,并给予证明; (3)如图 3,当点 P 在线段 BA(或 AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形 并给予证明.

24. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A, 与 y 轴交于点 C. 抛物线 y=ax +bx+c 的对称轴是 x=﹣ 且经过 A、C 两点,与 x 轴的另一交点为点 B. (1)①直接写出点 B 的坐标;②求抛物线解析式. (2)若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点,连接 PA,PC.求△PAC 的面积的最大值,并求出此 时点 P 的坐标. (3) 抛物线上是否存在点 M, 过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N, 使得以点 A、 M、 N 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

2

5

2016 年湖北省天门市名校联考中考数学模拟试卷(3 月份) 参考答案与试题解析 一.选择题 1.有个零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置,它的左视图是(



A. B. C. D. 【考点】简单组合体的三视图. 【分析】根据左视图是从左边看得到的图形,可得答案. 【解答】解:从左边看一个正方形被分成三部分,两条分式是虚线,故 C 正确; 故选:C. 【点评】本题考查了简单组合体的三视图,左视图是从左边看得到的图形. 2.分解因式(2x+3) ﹣x 的结果是( ) 2 2 A.3(x +4x+3) B.3(x +2x+3) C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3) 【考点】因式分解-运用公式法. 【分析】直接利用平方差公式分解因式,进而得出答案. 2 2 【解答】解:(2x+3) ﹣x =(2x+3﹣x)(2x+3+x) =(x+3)(3x+3) =3(x+3)(x+1). 故选:D. 【点评】此题主要考查了公式法分解因式,熟练应用平方差公式是解题关键. 3.在盒子里放有三张分别写有整式 a+1,a+2,2 的卡片,从中随机抽取两张卡片,把两张卡片上的 整式分别作为分子和分母,则能组成分式的概率是( ) A. B. C. D. 【考点】概率公式;分式的定义. 【专题】应用题;压轴题. 【分析】列举出所有情况,看能组成分式的情况占所有情况的多少即为所求的概率. 【解答】解:分母含有字母的式子是分式,整式 a+1,a+2,2 中,抽到 a+1,a+2 做分母时组成的都 是分式,共有 3×2=6 种情况,其中 a+1,a+2 为分母的情况有 4 种,所以能组成分式的概率= = . 故选 B. 【点评】用到的知识点为:概率等于所求情况数与总情况数之比.
2 2

6

4.若点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都是反比例函数 y=﹣ 图象上的点,并且 y1<0<y2<y3, 则下列各式中正确的是( ) A.x1<x2<x3 B.x1<x3<x2 C.x2<x1<x3 D.x2<x3<x1 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征. 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及在每一象限内函数的增减性,再 根据 y1<0<y2<y3 判断出三点所在的象限,故可得出结论. 【解答】解:∵反比例函数 y=﹣ 中 k=﹣1<0, ∴此函数的图象在二、四象限,且在每一象限内 y 随 x 的增大而增大, ∵y1<0<y2<y3, ∴点(x1,y1)在第四象限,(x2,y2)、(x2,y2)两点均在第二象限, ∴x2<x3<x1. 故选 D. 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,先根据题意判断出函数图象所在的象限是 解答此题的关键. 5.如图,在网格中,小正方形的边长均为 1,点 A,B,C 都在格点上,则∠ABC 的正切值是( )

A.2 B. C. D. 【考点】锐角三角函数的定义;勾股定理;勾股定理的逆定理. 【专题】压轴题;网格型. 【分析】根据勾股定理,可得 AC、AB 的长,根据正切函数的定义,可得答案.

【解答】解:如图: 由勾股定理,得 AC= ,AB=2 ,BC= ,



∴△ABC 为直角三角形, ∴tan∠B= = , 故选:D. 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,先求出 AC、AB 的长,再求正切函数.

7

6.如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,如果 DE∥BC,且∠DCE=∠B,那么下列说法中, 错误的是( )

A.△ADE∽△ABC B.△ADE∽△ACD C.△ADE∽△DCB D.△DEC∽△CDB 【考点】相似三角形的判定. 【分析】由相似三角形的判定方法得出 A、B、D 正确,C 不正确;即可得出结论. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC,∠BCD=∠CDE,∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB, ∵∠DCE=∠B, ∴∠ADE=∠DCE, 又∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACD; ∵∠BCD=∠CDE,∠DCE=∠B, ∴△DEC∽△CDB; ∵∠B=∠ADE, 但是∠BCD<∠AED,且∠BCD≠∠A, ∴△ADE 与△DCB 不相似; 正确的判断是 A、B、D,错误的判断是 C; 故选:C. 【点评】本题考查了相似三角形的判定方法;熟练掌握相似三角形的判定方法,由两角相等得出三 角形相似是解决问题的关键. 7.某经济技术开发区今年一月份工业产值达 50 亿元,且一月份、二月份、三月份的产值为 175 亿 元,若设平均每月的增长率为 x,根据题意可列方程( ) 2 2 A.50(1+x) =175 B.50+50(1+x) =175 2 2 C.50(1+x)+50(1+x) =175 D.50+50(1+x)+50(1+x) =175 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程. 【专题】增长率问题. 【分析】增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),本题可先用 x 表示出二月份 的产值,再根据题意表示出三月份的产值,然后将三个月的产值相加,即可列出方程. 【解答】解:二月份的产值为:50(1+x), 2 三月份的产值为:50(1+x)(1+x)=50(1+x) , 2 故第一季度总产值为:50+50(1+x)+50(1+x) =175. 故选:D. 【点评】本题主要考查了一元二次方程的运用,解此类题目时常常要按顺序列出接下来几年的产值, 再根据题意列出方程即可.

8.如图,Rt△AOC 的直角边 OC 在 x 轴上,∠ACO=90°,反比例函数 y= 经过另一条直角边 AC 的中 点 D,S△AOC=3,则 k=( )

8

A.2 B.4 C.6 D.3 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义. 【分析】由直角边 AC 的中点是 D,S△AOC=3,于是得到 S△CDO= S△AOC= ,由于反比例函数 y= 经过另一 条直角边 AC 的中点 D,CD⊥x 轴,即可得到结论. 【解答】解:∵直角边 AC 的中点是 D,S△AOC=3, ∴S△CDO= S△AOC= , ∵反比例函数 y= 经过另一条直角边 AC 的中点 D,CD⊥x 轴, ∴k=2S△CDO=3, 故选 D. 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义,求得 D 点的坐标是解题的关键. 9.如果一条抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为 顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”,[a,b,c]称为“抛物线三角形系数”,若抛物 线三角形系数为[﹣1,b,0]的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,则 b 的值( ) A.±2 B.±3 C.2 D.3 【考点】抛物线与 x 轴的交点. 【专题】新定义. 【分析】把抛物线三角形系数代入抛物线,令 y=0 求出点 A 的坐标,再求出顶点坐标,然后根据等 腰直角三角形的斜边上的高线等于斜边的一半列出方程求解即可得到 b 的值. 【解答】解:∵抛物线三角形系数为[﹣1,b,0],
2

∴抛物线解析式为 y=﹣x +bx=﹣(x﹣ ) +

2

2



∴顶点坐标为( ,
2

),

令 y=0,则﹣x +bx=0, 解得 x1=0,x2=b, ∴与 x 轴的交点为(0,0),(b,0), ∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形,


2

= |b|,
2

∴b =2b 或 b =﹣2b,

9

∵b=0 时,抛物线与 x 轴只有一个交点(0,0), ∴b=0 不符合题意, ∴b=2 或 b=﹣2, 故选:A. 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质,待定系数法求二次函数解析式,读懂题目信息, 理解“抛物线三角形”的定义是解题的关键. 10.将一副三角尺(在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=60°,在 Rt△EDF 中,∠EDF=90°,∠E=45°) 如图摆放, 点 D 为 AB 的中点, DE 交 AC 于点 P, DF 经过点 C, 将△EDF 绕点 D 顺时针方向旋转 α (0° <α <60°),DE′交 AC 于点 M,DF′交 BC 于点 N,则 的值为( )

A. B. C. D. 【考点】旋转的性质. 【专题】压轴题. 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得 CD=AD=DB,则∠ACD=∠A=30°,∠BCD=∠B=60°, 由于∠EDF=90°,可利用互余得∠CPD=60°,再根据旋转的性质得∠PDM=∠CDN=α ,于是可判断 △PDM∽△CDN,得到 = ,然后在 Rt△PCD 中利用正切的定义得到 tan∠PCD=tan30°= ,于是

可得 = . 【解答】解:∵点 D 为斜边 AB 的中点, ∴CD=AD=DB, ∴∠ACD=∠A=30°,∠BCD=∠B=60°, ∵∠EDF=90°, ∴∠CPD=60°, ∴∠MPD=∠NCD, ∵△EDF 绕点 D 顺时针方向旋转 α (0°<α <60°), ∴∠PDM=∠CDN=α , ∴△PDM∽△CDN, ∴ = , ,

在 Rt△PCD 中,∵tan∠PCD=tan30°= ∴ =tan30°= 故选 C. .

10

【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了相似三角形的判定与性质. 二.填空题(3 分×5=15 分) 11.已知 α 、β 均为锐角,且满足|sinα ﹣ |+ =0,则 α +β = 75° . 【考点】特殊角的三角函数值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:算术平方根. 【分析】根据非负数的性质求出 sinα 、tanβ 的值,然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度 数. 【解答】解:∵|sinα ﹣ |+ =0,

∴sinα = ,tanβ =1, ∴α =30°,β =45°, 则 α +β =30°+45°=75°. 故答案为:75°. 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.

12. 如图, 在半径为 3 的⊙O 中, 直径 AB 与弦 CD 相交于点 E, 连接 AC, BD, 若 AC=2, 则 cosD=



【考点】锐角三角函数的定义;圆周角定理. 【分析】连接 BC,根据同弧所对的圆周角相等得到∠D=∠A,在直角三角形 ABC 中,根据余弦的定 义即可得到结果. 【解答】解:连接 BC, ∴∠D=∠A, ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°, ∵AB=3×2=6,AC=2, ∴cosD=cosA= 故答案为: . = = .

【点评】本题考查了圆周角定理,解直角三角形,连接 BC 构造直角三角形是解题的关键.

11

13.关于 x 的一元二次方程(k﹣1)x ﹣2x+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是 k <2 且 k≠1 . 【考点】根的判别式;一元二次方程的定义. 2 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k﹣1≠0 且△=(﹣2) ﹣4(k﹣1)>0,然 后求出两个不等式的公共部分即可. 2 【解答】解:∵关于 x 的一元二次方程(k﹣1)x ﹣2x+1=0 有两个不相等的实数根, 2 ∴k﹣1≠0 且△=(﹣2) ﹣4(k﹣1)>0, 解得:k<2 且 k≠1. 故答案为:k<2 且 k≠1. 2 2 【点评】本题考查了一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b ﹣4ac:当△>0,方程有 两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.

2

14.如图,点 A 在双曲线 y= 上,AB⊥x 轴于点 B,且△AOB 的面积是 2,则 k 的值是 ﹣4 .

【考点】反比例函数系数 k 的几何意义. 【分析】根据反比例函数的系数 k 的几何意义:在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线, 这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|,且保持不变,可得 |k|=S△AOB=2,据此求 出 k 的值是多少即可. 【解答】解:∵△AOB 的面积是 2, ∴ |k|=2, ∴|k|=4, 解得 k=±4, 又∵双曲线 y= 的图象经过第二、四象限, ∴k=﹣4, 即 k 的值是﹣4. 故答案为:﹣4. 【点评】此题主要考查了反比例函数的系数 k 的几何意义,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确: 比例系数 k 的几何意义在反比例函数 y=xk 图象中任取一点,过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线, 与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线,这一点和 垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|,且保持不变. 15.如图,正方形 CDEF 内接于 Rt△ABC,点 D、E、F 分别在边 AC、AB 和 BC 上,当 AD=2,BF=3 时, 正方形 CDEF 的面积是 6 .

12

【考点】相似三角形的判定与性质;正方形的性质. 【分析】根据正方形的性质得到 DE∥BC,由平行线的性质得到∠AED=∠B,∠ADE=∠EFB=90°,推 出△ADE∽△BEF,根据相似三角形的性质得到 【解答】解:∵四边形 CDEF 是正方形, ∴DE∥BC, ∴∠AED=∠B,∠ADE=∠EFB=90°, ∴△ADE∽△BEF, ∴ , ,代入数据即可得到结论.

即 , ∴DE?EF=2×3=6, ∴正方形 CDEF 的面积是 6. 故答案为:6. 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,正方形的性质,熟练掌握相似三角形的性质定理是 解题的关键. 三.解答题(共 75 分) 16.计算: sin45°+cos 30°﹣ +2sin60°. 【考点】特殊角的三角函数值. 【分析】先把各特殊角的三角函数值代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可. 【解答】解:原式= = + ﹣ + ? +( )﹣
2 2

+2×

=1+ . 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键. 17.用配方法解方程:2x ﹣3x﹣3=0. 【考点】解一元二次方程-配方法. 【分析】首先把方程的二次项系数化为 1,移项,然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半 的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解. 2 【解答】解:2x ﹣3x﹣3=0, x ﹣ x﹣ =0,
2 2

13

x ﹣ x+
2

2

=

+ , , ,

(x﹣ ) = x﹣ =±

解得:x1=

,x2=



【点评】此题考查利用配方法解一元二次方程,用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项 的系数为 1,一次项的系数是 2 的倍数. 18.如图,四边形 ABCD 为正方形,点 A 的坐标为(0,1),点 B 的坐标为(0,﹣2),反比例函数 y= 的图象经过点 C,一次函数 y=ax+b 的图象经过 A、C 两点 (1)求反比例函数与一次函数的解析式; (2)求反比例函数与一次函数的另一个交点 M 的坐标; (3)若点 P 是反比例函数图象上的一点,△OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积,求 P 点的坐 标.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【专题】计算题. 【分析】(1)先根据 A 点和 B 点坐标得到正方形的边长,则 BC=3,于是可得到 C(3,﹣2),然后 利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式; (2)通过解关于反比例函数解析式与一次函数的解析式所组成的方程组可得到 M 点的坐标; (3)设 P(t,﹣ ),根据三角形面积公式和正方形面积公式得到 ×1×|t|=3×3,然后解绝对值 方程求出 t 即可得到 P 点坐标. 【解答】解:(1)∵点 A 的坐标为(0,1),点 B 的坐标为(0,﹣2), ∴AB=1+2=3, ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴Bc=3, ∴C(3,﹣2), 把 C(3,﹣2)代入 y= 得 k=3×(﹣2)=﹣6,

14

∴反比例函数解析式为 y=﹣ ,

把 C(3,﹣2),A(0,1)代入 y=ax+b 得 ∴一次函数解析式为 y=﹣x+1;

,解得



(2)解方程组







∴M 点的坐标为(﹣2,3); (3)设 P(t,﹣ ), ∵△OAP 的面积恰好等于正方形 ABCD 的面积, ∴ ×1×|t|=3×3,解得 t=18 或 t=﹣18, ∴P 点坐标为(18,﹣ )或(﹣18, ).

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标,把 两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点. 19.将九年级部分男生掷实心球的成绩进行整理,分成 5 个小组(x 表示成绩,单位:米).A 组: 5.25≤x<6.25;B 组:6.25≤x<7.25;C 组:7.25≤x<8.25;D 组:8.25≤x<9.25;E 组:9.25≤x <10.25,并绘制出扇形统计图和频数分布直方图(不完整).规定 x≥6.25 为合格,x≥9.25 为优 秀. (1)这部分男生有多少人?其中成绩合格的有多少人? (2)这部分男生成绩的中位数落在哪一组?扇形统计图中 D 组对应的圆心角是多少度? (3)要从成绩优秀的学生中,随机选出 2 人介绍经验,已知甲、乙两位同学的成绩均为优秀,求他 俩至少有 1 人被选中的概率.

15

【考点】列表法与树状图法;频数(率)分布直方图;扇形统计图;中位数. 【分析】(1)根据题意可得:这部分男生共有:5÷10%=50(人);又由只有 A 组男人成绩不合格, 可得:合格人数为:50﹣5=45(人); (2)由这 50 人男生的成绩由低到高分组排序,A 组有 5 人,B 组有 10 人,C 组有 15 人,D 组有 15 人,E 组有 5 人,可得:成绩的中位数落在 C 组;又由 D 组有 15 人,占 15÷50=30%,即可求得:对 应的圆心角为:360°×30%=108°; (3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与他俩至少有 1 人被选中的情 况,再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解:(1)∵A 组占 10%,有 5 人, ∴这部分男生共有:5÷10%=50(人); ∵只有 A 组男人成绩不合格, ∴合格人数为:50﹣5=45(人); (2)∵C 组占 30%,共有人数:50×30%=15(人),B 组有 10 人,D 组有 15 人, ∴这 50 人男生的成绩由低到高分组排序,A 组有 5 人,B 组有 10 人,C 组有 15 人,D 组有 15 人,E 组有 5 人, ∴成绩的中位数落在 C 组; ∵D 组有 15 人,占 15÷50=30%, ∴对应的圆心角为:360°×30%=108°; (3)成绩优秀的男生在 E 组,含甲、乙两名男生,记其他三名男生为 a,b,c, 画树状图得:

∵共有 20 种等可能的结果,他俩至少有 1 人被选中的有 14 种情况, ∴他俩至少有 1 人被选中的概率为: = . 【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率以及直方图与扇形统计图的知识.用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.

16

20.在升旗结束后,小铭想利用所学数学知识测量学校旗杆高度,如图,旗杆的顶端垂下一绳子, 将绳子拉直钉在地上,末端恰好至 C 处且与地面成 60°角,小铭从绳子末端 C 处拿起绳子后退至 E 点,求旗杆 AB 的高度和小铭后退的距离.(单位:米,参考数据: 留一位小数) ≈1.41, ≈1.73,结果保

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【分析】设绳子 AC 的长为 x 米;由三角函数得出 AB=AC?sin60°,过 D 作 DF⊥AB 于 F,则△ADF 是 等腰直角三角形,得出 AF=DF=x?sin45°,由 AB﹣AF=BF=1.6 得出方程,解方程求出 x,得出 AB, 再由三角函数即可得出小铭后退的距离. 【解答】解:设绳子 AC 的长为 x 米; 在△ABC 中,AB=AC?sin60°, 过 D 作 DF⊥AB 于 F,如图所示: ∵∠ADF=45°, ∴△ADF 是等腰直角三角形, ∴AF=DF=x?sin45°, ∵AB﹣AF=BF=1.6, 则 x?sin60°﹣x?sin45°=1.6, 解得:x=10, ∴AB=10×sin60°≈8.7(m),EC=EB﹣CB=x?cos45°﹣x×cos60°=10× 答:旗杆 AB 的高度为 8.7m,小铭后退的距离为 2.1m. ﹣10× ≈2.1(m);

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、等腰直角三角形的判定与性质;熟练掌握三角函 数,根据题意得出方程是解决问题的关键,本题难度适中. 21.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上,PD 切⊙O 于点 D,过点 B 作 BE 垂直于 PD, 交 PD 的延长线于点 C,连接 AD 并延长,交 BE 于点 E. (1)求证:AB=BE; (2)若 PA=2,cosB= ,求⊙O 半径的长.

17

【考点】切线的性质;解直角三角形. 【分析】(1)本题可连接 OD,由 PD 切⊙O 于点 D,得到 OD⊥PD,由于 BE⊥PC,得到 OD∥BE,得出 ∠ADO=∠E,根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果; (2)由(1)知,OD∥BE,得到∠POD=∠B,根据三角函数的定义即可得到结果. 【解答】(1)证明:连接 OD, ∵PD 切⊙O 于点 D, ∴OD⊥PD, ∵BE⊥PC, ∴OD∥BE, ∴ADO=∠E, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ADO, ∴∠OAD=∠E, ∴AB=BE; (2)解:由(1)知,OD∥BE, ∴∠POD=∠B, ∴cos∠POD=cosB= , 在 Rt△POD 中,cos∠POD= = , ∵OD=OA,PO=PA+OA=2+OA, ∴ , ∴OA=3, ∴⊙O 半径=3.

【点评】本题考查了切线的性质,等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点,正确的画出辅 助线是解题的关键.

18

22.某企业接到一批粽子生产任务,按要求在 15 天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只 6 元,为 按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第 x 天生产的粽子数量为 y 只,y 与 x 满足下 列关系式:

y=



(1)李明第几天生产的粽子数量为 420 只? (2)如图,设第 x 天每只粽子的成本是 p 元,p 与 x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李 明第 x 天创造的利润为 w 元,求 w 与 x 之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是 多少元?(利润=出厂价﹣成本) (3)设(2)小题中第 m 天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第 m 天的利润至少多 48 元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?

【考点】二次函数的应用. 【专题】压轴题. 【分析】(1)把 y=420 代入 y=30x+120,解方程即可求得; (2)根据图象求得成本 p 与 x 之间的关系,然后根据利润等于订购价减去成本价,然后整理即可得 到 W 与 x 的关系式,再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答; (3)根据(2)得出 m+1=13,根据利润等于订购价减去成本价得出提价 a 与利润 w 的关系式,再根 据题意列出不等式求解即可. 【解答】解:(1)设李明第 n 天生产的粽子数量为 420 只, 由题意可知:30n+120=420, 解得 n=10. 答:第 10 天生产的粽子数量为 420 只. (2)由图象得,当 0≤x≤9 时,p=4.1; 当 9≤x≤15 时,设 P=kx+b,

把点(9,4.1),(15,4.7)代入得,



解得



∴p=0.1x+3.2, ①0≤x≤5 时,w=(6﹣4.1)×54x=102.6x,当 x=5 时,w 最大=513(元); ②5<x≤9 时,w=(6﹣4.1)×(30x+120)=57x+228, ∵x 是整数, ∴当 x=9 时,w 最大=741(元);

19

③9<x≤15 时,w=(6﹣0.1x﹣3.2)×(30x+120)=﹣3x +72x+336, ∵a=﹣3<0, ∴当 x=﹣ =12 时,w 最大=768(元); 综上,当 x=12 时,w 有最大值,最大值为 768. (3)由(2)可知 m=12,m+1=13, 设第 13 天提价 a 元,由题意得,w13=(6+a﹣p)(30x+120)=510(a+1.5), ∴510(a+1.5)﹣768≥48,解得 a=0.1. 答:第 13 天每只粽子至少应提价 0.1 元. 【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,主要是利用二次函数的增减性求最值问题, 利用一次函数的增减性求最值,难点在于读懂题目信息,列出相关的函数关系式. 23.已知,点 P 是 Rt△ABC 斜边 AB 上一动点(不与 A、B 重合),分别过 A、B 向直线 CP 作垂线, 垂足分别为 E、F、Q 为斜边 AB 的中点. (1)如图 1,当点 P 与点 Q 重合时,AE 与 BF 的位置关系是 AE∥BF ,QE 与 QF 的数量关系是 QE=QF ; (2)如图 2,当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时,试判断 QE 与 QF 的数量关系,并给予证明; (3)如图 3,当点 P 在线段 BA(或 AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形 并给予证明.

2

【考点】全等三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线. 【分析】(1)根据 AAS 推出△AEQ≌△BFQ,推出 AE=BF 即可; (2)延长 EQ 交 BF 于 D,求出△AEQ≌△BDQ,根据全等三角形的性质得出 EQ=QD,根据直角三角形 斜边上中点性质得出即可; (3)延长 EQ 交 FB 于 D,求出△AEQ≌△BDQ,根据全等三角形的性质得出 EQ=QD,根据直角三角形 斜边上中点性质得出即可.

【解答】解:(1)如图 1, 当点 P 与点 Q 重合时,AE 与 BF 的位置关系是 AE∥BF,QE 与 QF 的数量关系是 AE=BF, 理由是:∵Q 为 AB 的中点, ∴AQ=BQ, ∵AE⊥CQ,BF⊥CQ, ∴AE∥BF,∠AEQ=∠BFQ=90°, 在△AEQ 和△BFQ 中

20

∴△AEQ≌△BFQ, ∴QE=QF, 故答案为:AE∥BF,QE=QF;

(2) QE=QF, 证明:延长 EQ 交 BF 于 D, ∵由(1)知:AE∥BF, ∴∠AEQ=∠BDQ, 在△AEQ 和△BDQ 中

∴△AEQ≌△BDQ, ∴EQ=DQ, ∵∠BFE=90°, ∴QE=QF;, (3)当点 P 在线段 BA(或 AB)的延长线上时,此时(2)中的结论成立,

证明:延长 EQ 交 FB 于 D,如图 3, ∵由(1)知:AE∥BF, ∴∠AEQ=∠BDQ, 在△AEQ 和△BDQ 中

21

∴△AEQ≌△BDQ, ∴EQ=DQ, ∵∠BFE=90°, ∴QE=QF. 【点评】本题考查了平行线的性质和判定,全等三角形的性质和判定,直角三角形的性质的应用, 解此题的关键是求出△AEQ≌△BDQ,用了运动观点,难度适中.

24. 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A, 与 y 轴交于点 C. 抛物线 y=ax +bx+c 的对称轴是 x=﹣ 且经过 A、C 两点,与 x 轴的另一交点为点 B. (1)①直接写出点 B 的坐标;②求抛物线解析式. (2)若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点,连接 PA,PC.求△PAC 的面积的最大值,并求出此 时点 P 的坐标. (3) 抛物线上是否存在点 M, 过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N, 使得以点 A、 M、 N 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

2

【考点】二次函数综合题. 【专题】压轴题. 【分析】(1)①先求的直线 y= x+2 与 x 轴交点的坐标,然后利用抛物线的对称性可求得点 B 的坐 标;②设抛物线的解析式为 y=y=a(x+4)(x﹣1),然后将点 C 的坐标代入即可求得 a 的值; (2)设点 P、Q 的横坐标为 m,分别求得点 P、Q 的纵坐标,从而可得到线段 PQ= m ﹣2m,然后
2

利用三角形的面积公式可求得 S△PAC= ×PQ×4, 然后利用配方法可求得△PAC 的面积的最大值以及此 时 m 的值,从而可求得点 P 的坐标; (3)首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下几种情况分类讨论即可:①当 M 点与 C 点重合, 即 M(0,2)时,△MAN∽△BAC;②根据抛物线的对称性,当 M(﹣3,2)时,△MAN∽△ABC; ④ 当点 M 在第四象限时,解题时,需要注意相似三角形的对应关系. 【解答】解:(1)①y= 当 x=0 时,y=2,当 y=0 时,x=﹣4, ∴C(0,2),A(﹣4,0),

22

由抛物线的对称性可知:点 A 与点 B 关于 x=﹣ 对称, ∴点 B 的坐标为 1,0). 2 ②∵抛物线 y=ax +bx+c 过 A(﹣4,0),B(1,0), ∴可设抛物线解析式为 y=a(x+4)(x﹣1), 又∵抛物线过点 C(0,2), ∴2=﹣4a ∴a= ∴y= x
2

x+2.
2

(2)设 P(m, m m+2). 过点 P 作 PQ⊥x 轴交 AC 于点 Q,

∴Q(m, ∴PQ= =
2

m+2), m
2

m+2﹣( m+2)

m ﹣2m,

∵S△PAC= ×PQ×4, 2 2 =2PQ=﹣m ﹣4m=﹣(m+2) +4, ∴当 m=﹣2 时,△PAC 的面积有最大值是 4, 此时 P(﹣2,3). (3)在 Rt△AOC 中,tan∠CAO= 在 Rt△BOC 中,tan∠BCO= , ∴∠CAO=∠BCO, ∵∠BCO+∠OBC=90°, ∴∠CAO+∠OBC=90°, ∴∠ACB=90°, ∴△ABC∽△ACO∽△CBO, 如下图:

23

①当 M 点与 C 点重合,即 M(0,2)时,△MAN∽△BAC; ②根据抛物线的对称性,当 M(﹣3,2)时,△MAN∽△ABC; ③当点 M 在第四象限时,设 M(n, ∴MN= n + n﹣2,AN=n+4 当 时,MN= AN,即 n + n﹣2= (n+4) 2 整理得:n +2n﹣8=0 解得:n1=﹣4(舍),n2=2 ∴M(2,﹣3); 当 时,MN=2AN,即 n + n﹣2=2(n+4), 2 整理得:n ﹣n﹣20=0 解得:n1=﹣4(舍),n2=5, ∴M(5,﹣18). 综上所述:存在 M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以点 A、M、N 为 顶点的三角形与△ABC 相似. 【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用,难度较大,解答本题需要同学们熟 练掌握二次函数和相似三角形的相关性质.
2 2 2

n

2

n+2),则 N(n,0)

24


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