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版走向高考数学第一轮复习段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三角形)


阶段性测试题四(三角函数、三角恒等变形、解三 角形)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) π 1 1.(2014· 玉溪调研)设 sin(4+θ)=3,则 s

in2θ=( 7 A.-9 1 C.9 [答案] A π 2 1 2 [解析] sin(4+θ)= 2 (sinθ+cosθ)=3,sinθ+cosθ= 3 ,两边平 2 7 方得,1+2sinθcosθ=9,故 sin2θ=-9. 6sinα+cosα α 2.(文)(2014· 郑州期末测试)已知 tan2=2,则 的值 3sinα-2cosα 为( ) 7 A.6 6 C.-7 [答案] A B.7 D.-7 1 B.-9 7 D.9 )

4 [解析] 由已知得 tanα= =- 3, 2α 1-tan 2 故 6sinα+cosα 6tanα+1 7 = = . 3sinα-2cosα 3tanα-2 6

α 2tan2

(理)(2014· 南昌模拟)已知函数 f(x)=sinx-cosx 且 f′(x)=2f(x), f′(x)是 f(x)的导函数,则 sin2x=( 1 A.3 3 C.5 [答案] C [解析] 由 f(x)=sinx-cosx 且 f′(x)=2f(x)得 cosx+sinx=2sinx-2cosx,所以 tanx=3, sin2x= 2sinxcosx 2tanx 6 3 = ,故选 C. 2 2 = 2 = sin x+cos x 1+tan x 10 5 ) 3 B.-5 1 D.-3

1 3. (文)设 α 是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且 cosα=5 x,则 tanα=( 4 A.3 3 C.-4 [答案] D 1 [解析] 因为 α 是第二象限角,所以 cosα=5x<0, 1 即 x<0.又 cosα=5x= x ,解得 x=-3, x2+16 ) 3 B.4 4 D.-3

4 4 所以 tanα=x =-3,选 D.

(理)(2014· 潍坊质检)已知角 α 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终 边过点 P(sin120° ,cos120° ),则 α 可以是( A.60° C.150° [答案] B 1 [解析] 由三角函数的定义得 sinα=cos120° =-2,在选项中只 1 有 B 选项的正弦值为-2. ω π 4.(2014· 天津一中月考)函数 y=3sin2( 2 x+4)的最小正周期为 π, 则ω为 ( A.2 C.± 2 [答案] C ω π 3 π 3 [解析] ∵y=3sin2( 2 x+4)=2[1-cos(ωx+2)]=2(1+sinωx),所 2π 以|ω|=π,解得 ω=± 2,故选 C. π 5.(2014· 九江联考)为了得到函数 y=3sin(2x-6)的图像,只需把 π 函数 y=3sin(x-6)的图像上所有的点的( ) ) B.4 D.± 4 )

B.330° D.120°

A.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 1 B.横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的 2 倍,横坐标不变 1 D.纵坐标缩短到原来的2倍,横坐标不变

[答案] B π [解析] 将函数 y=3sin(x-6)中的 x 变为 2x,即得到 y=3sin(2x π 1 -6),故横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,选 B. 6 . (2014· 合肥调研 ) 在△ ABC 中,若 sin(A - B) = 1 + 2cos(B + C)sin(A+C),则△ABC 的形状一定是( A.等边三角形 B.不含 60° 的等腰三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 [答案] D [解析] sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C) =1-2cosAsinB, sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB, 所以 sinAcosB+cosAsinB=1,即 sin(A+B)=1, π 所以 A+B=2,故三角形为直角三角形. 7.(文)(2014· 武昌中学月考)计算 sin15° sin75° +cos15° cos75° = ( ) 3 A. 2 1+ 3 C. 2 [答案] B 1 [解析] sin15° sin75° +cos15° cos75° =cos(75° -15° )=cos60° =2. (理)(2014· 潍坊期末)已知函数 y=sinx 的定义域为[a,b],值域为 1 B.2 D. 3-1 2 )

1 [-1,2],则 b-a 的值不可能是( 4π A. 3 C.π [答案] D

) 2π B. 3 π D.3

π 5π 1 3π [解析] 由正弦曲线知,在一个周期内 sin6=sin 6 =2,sin 2 = 5π 3π π -1,∴可取 a= 6 , 2 ≤b≤2π+6, 2π 4π π ∴ 3 ≤b-a≤ 3 ,D 中3不在此范围内,故选 D. 8.(2014· 温州一模)△ABC 中,∠A=30° ,AB= 3,BC=1,则 △ABC 的面积等于( 3 A. 2 3 C. 2 或 3 [答案] D AB2+AC2-BC2 [解析] 由余弦定理 cosA= ,代入各值整理可得 2AB· AC 1 AC2-3AC+2=0, 解得 AC=1 或 AC=2 三角形面积 S=2AB· AC· sinA 3 3 所以面积为 2 或 4 . π 9. (文)(2014· 昆明一中第三次联考)将函数 y=sin(6x+4)图像上各 π 点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平移8个单位,得到的函数的 一个对称中心是( ) ) 3 B. 4 3 3 D. 2 或 4

π A.(2,0) π C.(9,0) [答案] A

π B.(4,0) π D.(16,0)

π [解析] 将函数 y=sin(6x+4)图像上各点横坐标伸长到原来的 3 π π π π 倍后得 y=sin(2x+4),再向右平移8个单位得 y=sin[2(x-8)+4]= kπ sin2x,由 2x=kπ(k∈Z)得对称中心为( 2 ,0)(k∈Z),故选 A. π (理)(2014· 昆明一中第三次联考)将函数 f(x) =2sin(ωx-3)(ω>0) π 的图像向左平移3ω个单位, 得到函数 y=g(x)的图像. 若 y=g(x)在[0, π 4]上为增函数,则 ω 的最大值( A.1 C.3 [答案] B π [解析] 由题意 g(x)=2sinωx,要使其在[0,4]为增函数,如图所 π π 示,只需2ω≥4,所以 0<ω≤2,选 B. ) B.2 D.4

10 . ( 文 )(2014· 遵 义 一 中 月 考 ) 如 下 图 是 函 数 y = 4sin(ωx + φ)(ω>0,|φ|<π)图像的一部分,则 ( )

13 5π A.ω= 5 ,φ= 6 7 5π C.ω=5,φ= 6 [答案] C

11 π B.ω= 5 ,φ=6 23 π D.ω= 5 ,φ=6

[解析] ∵y=4sin(ωx+φ)的图像过点(0,2), 1 所以 4sinφ=2?sinφ=2,由于函数 y=4sin(ωx+φ)在 x=0 附近 5π 单调递减,且|φ|<π,故 φ= 6 , 5π 5π 5π ∴y=4sin(ωx+ 6 ).由于( 6 ,0)是函数 y=4sin(ωx+ 6 )的图像

5π 5π 7 在 y 轴右侧第二个对称中心,故有 6 ω+ 6 =2π,解得 ω=5,故选 C. ( 理 )(2014· 遵义一中月考 ) 设 x ∈ R ,则 f(x) = coscosx 与 g(x) = sinsinx 的大小关系为( A.f(x)<g(x) C.f(x)>g(x) [答案] C π [解析] ∵f(x)=coscosx=sin(2-cosx), π π 由于 sinx+cosx= 2sin(x+4)≤ 2<2, π π π π 所以 sinx<2-cosx,且-2<sinx<2-cosx<2, π π 由于函数 y=sinx 在(-2,2)上单调递增, π 所以 sinsinx<sin(2-cosx)=coscosx, 即 f(x)>g(x),故选 C. 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确 答案填在题中横线上) 1 π 11.(2014· 铜川月考)若 sin(3π+α)=2,α∈(-2,0),则 tanα= ________. 3 [答案] - 3 1 π [解析] sin(3π+α)=2,α∈(-2,0)得 ) B.f(x)≤g(x) D.f(x)≥g(x)

1 3 3 sinα=-2,cosα= 2 ,故 tanα=- 3 12.(文) (2014· 云南师大附中调研)直线 2x-y+1=0 的倾斜角为 1 θ,则 2 的值为________. sin θ-cos2θ 5 [答案] 3 [解析] 由题意可知,tanθ=2,则 sin2θ+cos2θ tan2θ+1 5 1 = = = . sin2θ-cos2θ sin2θ-cos2θ tan2θ-1 3 3π (理)若点 P(cosα,sinα)在直线 y=-2x 上,则 cos(2α+ 2 )的值等 于________. 4 [答案] -5 [解析] 因为点 P(cosα,sinα)在直线 y=-2x 上,所以 sinα=- 2cosα,即 tanα=-2, 3π 所以 cos(2α+ 2 )=sin2α=2sinαcosα = 2sinαcosα 2tanα 4 2 2 = 2 =- . 5 sin α+cos α 1+tan α

13.(2014· 北京朝阳区模拟)已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内 cosB b 角 A,B,C 所对的边,若cosC=- ,则 B=________. 2a+c [答案] 2π 3

cosB sinB [解析] 由已知得cosC=- , 2sinA+sinC 化简得 2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0, 所以 2sinAcosB+sinA=0,

1 2π 因此 cosB=-2,∵B∈(0,π),∴B= 3 . 14.(2014· 长丰一模)如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸 上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60° , 再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10m 到位置 D,测得∠BDC=45° ,则 塔 AB 的高是________m.

[答案] 10 6 [解析] 由题意知,∠BCD=90° +15° =105° , 又∠BDC=45° ,CD=10,故∠CBD=30° ,由正弦定理得 BC= DC · sin∠CDB=10 2, sin∠CBD 又因为∠ABC=90° ,∠ACB=60° , 所以 AB=BC· tan60° =10 6. 15.(2014· 济南调研测试)对于△ABC,有如下四个命题: ①若 sin2A=sin2B,则△ABC 为等腰三角形; ②若 sinB=cosA,则△ABC 不一定是直角三角形; ③若 sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC 是钝角三角形; a B c ④若 A= B= C,则△ABC 是等边三角形.其中正确的命 cos 2 cos 2 cos 2 题是________.

[答案] ④ π [解析] 对于命题①,若 A+B=2,则 2A+2B=π,所以 2A=π -2B,所以 sin2A=sin(π-2B)=sin2B,故△ABC 也可能是直角三角 形,故命题①为假命题; 3 对于命题②,取 A=30° ,B=120° ,则 sinB= 2 =cosA,此时 △ABC 为钝角三角形,故△ABC 不一定是直角三角形,故命题②为 真命题; 对于命题③,由于 sin2A+sin2B>sin2C,所以 a2+b2>c2.故有 cosC a2+b2-c2 = 2ab >0,故角 C 为锐角,并不能说明 A,B 其中一个为钝角, 即△ABC 不一定是钝角三角形,所以命题③为假命题; a b c 对于命题④,由于 A= B= C, cos 2 cos 2 cos 2 sinA sinB sinC 所以 A= B= C, cos 2 cos 2 cos 2 A B C 于是得到 sin 2 =sin 2 =sin 2 ,由于 0<A<π, A π B π C π 所以 0< 2 <2,同理可得 0< 2 <2,0< 2 <2, π 由于函数 y=sinx 在(0,2)上是单调递增的, A B C 故 2 = 2 = 2 ,于是有 A=B=C,所以△ABC 为等边三角形. 故正确的命题为②④. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 75 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分 12 分)(文)已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m =0 的两根为 sinθ 和 cosθ,且 θ∈(0,2π),求: sin2θ cosθ (1) + 的值; sinθ-cosθ 1-tanθ (2)m 的值; (3)方程的两根及此时 θ 的值. sin2θ cosθ [解析] (1)原式= + sinθ sinθ-cosθ 1-cosθ sin2θ cos2θ = + sinθ-cosθ cosθ-sinθ sin2θ-cos2θ = =sinθ+cosθ. sinθ-cosθ 由条件知 sinθ+cosθ= 3+1 2 ,

3+1 sin2θ cosθ 故 + = 2 . sinθ-cosθ 1-tan θ (2)由 sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ =(sinθ+cosθ)2,得 1+m=( 3+1 2 3 ) ,即 m = 2 2.

(3)



+1 , ?sinθ+cosθ= 32 ? 3 sin θ · cos θ = ? 4



?sinθ= 23, ? 1 cos θ = ? 2



?sinθ=2, ? 3 cos θ = ? 2.
π π 又 θ∈(0,2π),故 θ=6或 θ=3.

1

(理)(2014· 茂名一模)已知函数 f(x)=-cos2x-sinx+1. (1)求函数 f(x)的最小值; 5 (2)若 f(α)=16,求 cos2α 的值. [解析] (1)因为 f(x)=-cos2x-sinx+1 1 1 =sin2x-sinx=(sinx-2)2-4, 1 又 sinx∈[-1,1],所以当 sinx=2时, 1 函数 f(x)的最小值为-4. 1 1 5 (2)由(1)得(sinα-2)2-4=16, 1 9 所以(sinα-2)2=16. 5 1 于是 sinθ=4(舍)或 sinα=-4. 1 7 故 cos2α=1-2sin2α=1-2(-4)2=8. 17.(本小题满分 12 分)(文)(2014 洛阳模拟)已知函数 f(x)=3sin2x +2sinxcosx+cos2x-2. π (1)求 f(4)的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. [解析] (1)依题意 f(x)=2sin2x+sin2x-1 π =sin2x-cos2x= 2sin(2x-4). π π π 则 f(4)= 2sin(2×4-4)=1. 2π (2)f(x)的最小正周期 T= 2 =π.

π π π 当 2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2时, π 3π 即 kπ-8≤x≤kπ+ 8 时,f(x)为增函数. π 3π 则函数 f(x)的单调增区间为[kπ-3,kπ+ 8 ],k∈Z. ( 理 )(2014· 洛 阳 模 拟 ) 已 知 向 量 a = (2sinx , 3 cosx) , b = (sinx,2sinx),函数 f(x)=a· b. (1)求 f(x)的单调递增区间; π (2)若不等式 f(x)≥m 对 x∈[0,2]都成立,求实数 m 的最大值. [解析] (1)f(x)=2sin2x+2 3sinxcosx =1-cos2x+2 3sinxcosx = 3sin2x-cos2x+1 π =2sin(2x-6)+1 π π π 由 2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2(k∈Z). π π 得 kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z), π π ∴f(x)的单调增区间是[kπ-6,kπ+3](k∈Z) π π π 5π (2)∵0≤x≤2,∴-6≤2x-6≤ 6 . 1 π ∴-2≤sin(2x-6)≤1, π ∴f(x)=2sin(2x-6)+1∈[0,3], ∴m≤0,m 的最大值为 0. 18.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 海淀期中)已知 a,b,c 分别为

△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,2bcosC=2a-c. (1)求 B; 2 (2)若 cosC=3,求 sinA 的值. a2+b2-c2 [解析] (1)由余弦定理知得 2b× 2ab =2a-c, ∴b2=a2+c2-ac, 1 π ∴cosB=2,又 0<B<π,∴B=3. 2 5 (2)∵cosC=3,0<C<π,∴sinC= 3 , 2π ∴sinA=sin(π-B-C)=sin( 3 -C) 2 3+ 5 2π 2π =sin 3 cosC-cos 3 sinC= . 6 π (理)(2014· 丽水模拟)已知函数 f(x)=sin(2-x)cosx-sinx·cos(π+ x ). (1)求函数 f(x)的单调区间; π (2)在△ABC 中,若 A 为锐角,且 f(A)=1,BC=2,B=3,求 AC 边的长. π [解析] (1)f(x)=sin(2-x)cosx-sinx·cos(π+x)=cos2x+sinxcosx 1 1 =cos2x+2sin2x=2(sin2x+cos2x+1) 2 π 1 = 2 sin(2x+4)+2 π π π 令-2+2kπ≤2x+4≤2+2kπ,k∈Z.

3π π 可得函数 f(x)的单调增区间为:[- 8 +kπ,8+kπ], k∈Z. π 5π 同理可得函数 f(x)的单调减区间为:[8+kπ, 8 +kπ],k∈Z. 2 π 1 (2)因为 f(A)=1,所以 2 sin(2A+4)+2=1 π 2 所以 sin(2A+4)= 2 , π π 5π 因为 A 为锐角,所以4<2A+4< 4 π 3π π 所以 2A+4= 4 ,所以 A=4, BC AC 在△ABC 中,由正弦定理得,sinA=sinB, 即 AC = π π, sin4 sin3 2

解得 AC= 6. 19.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 内江市第一次模拟)已知向量 m 1 =(sinx,-1),向量 n=( 3cosx,-2),函数 f(x)=(m+n)· m. (1)求 f(x)的最小正周期 T; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,A 为锐角, π a=2 3,c=4,且 f(A)恰是 f(x)在[0,2]上的最大值,求 A 和 b. [解析] (1)f(x)=(m+n)· m 1 =sin2x+1+ 3sinxcosx+2, = 1-cos2x 3 1 3 1 + 1 + sin2 x + = sin2 x - 2 2 2 2 2cos2x+2

π =sin(2x-6)+2, 2π ∴T= 2 =π. π (2)由(1)知,f(x)=sin(2x-6)+2, π π π 5π x∈[0,2]时,-6≤2x-6≤ 6 π π π ∴当 2x-6=2时 f(x)取得最大值 3,此时 x=3. π 由 f(A)=3 得 A=3. 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA, 1 ∴12=b2+16-2×4b×2,∴b=2. (理)(2014· 内江市第一次模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对 →· → =8,∠BAC=θ,a=4. 边长分别为 a,b,c,AB AC (1)求 bc 的最大值及 θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ)= 3sin2θ+cos2θ+1 的最大值和最小值. [解析] (1)bc· cosθ=8,b2+c2-2bccosθ=42, 即 b2+c2=32,又 b2+c2≥2bc,所以 bc≤16, 8 即 bc 的最大值为 16.即cosθ≤16, 1 π 所以 cosθ≥2,又 0<θ<π,所以 0<θ≤3. π (2)f(θ)= 3sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+6)+1 π π π 5π 因 0<θ≤3,所以6<2θ+6≤ 6 , 1 π ≤ sin(2 θ + 2 6)≤1,

π 5π π 1 当 2θ+6= 6 ,即 θ=3时,f(θ)min=2×2+1=2, π π π 当 2θ+6=2,即 θ=6时,f(θ)max=2×1+1=3. 20. (本小题满分 13 分)(2014· 北京东城综合练习)在△ABC 中, A, B,C 的对边分别为 a,b,c 且 acosC,bcosB,ccosA 成等差数列. (1)求 B 的值; (2)求 2sin2A+cos(A-C)的范围. [解析] (1)∵acosC,bcosB,acosA 成等差数列, ∴acosC+ccosA=2bcosB, 由正弦定理得,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入得 2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB, 即:sin(A+C)=sin2B, ∴sinB=sin2B,∵B 是三角形内角, ∴B=2B 或 B+2B=π, π ∵0<B<π,∴B=3. π 2π (2)∵B=3,∴A+C= 3 , 2π ∴2sin2A+cos(A-C)=1-cos2A+cos(2A- 3 ) 1 3 =1-cos2A-2cos2A+ 2 sin2A 3 3 =1+ 2 sin2A-2cos2A π =1+ 3sin(2A-3). 2π π π ∵0<A< 3 ,∴-3<2A-3<π,

3 π ∴- 2 <sin(2A-3)≤1, 1 ∴2sin2A+cos(A-C)的取值范围是(-2,1+ 3]. 21.(本小题满分 14 分)(文) (2014· 东北三校模拟)已知函数 g(x) 3 1 3 π 1 = 4 -2sinxcosx- 2 sin2x,将其图像向左移4个单位,并向上移2个 π 单位,得到函数 f(x)=acos2(x+φ)+b(a>0,b∈R,|φ|≤2)的图像. (1)求实数 a,b,φ 的值; π (2)设函数 φ(x)=g(x)- 3f(x),x∈[0,2],求函数 φ(x)的单调递 增区间和最值. 1 π [解析] (1)依题意化简得 g(x)=2sin(3-2x), 1 π π 1 平移 g(x)得 f(x)=2sin(3-2(x+4))+2 1 π 1 1 2π 1 =2sin(-2x-6)+2=2cos(2x+ 3 )+2 π =cos2(x+3) π ∴a=1,b=0,φ=3. 1 2π 3 2π 3 (2)φ(x) = g(x) - 3 f(x) = 2 sin(2x + 3 ) - 2 cos(2x + 3 ) - 2 = π 3 sin(2x+3)- 2 , π π π 由-2+2kπ≤2x+3≤2+2kπ(k∈Z)得 π π π -12+kπ≤x≤12+kπ,因为 x∈[0,2],

π 所以当 k=0 时,在[0,12]上单调增, π ∴ φ(x)的单调增区间为[0,12], 3 值域为[- 3,1- 2 ], 3 故 φ(x)的最小值为- 3,最大值为 1- 2 . π 3 (理)已知函数 f(x)=2cosxsin(x+3)- 2 . (1)求函数 f(x)的最小正周期 T; (2)若△ABC 的三边 a,b,c 满足 b2=ac,且边 b 所对角为 B,试 求 cosB 的取值范围,并确定此时 f(B)的最大值. π 3 [解析] (1)f(x)=2cosx· sin(x+3)- 2 π π 3 =2cosx(sinxcos3+cosxsin3)- 2 1 3 3 =2cosx(2sinx+ 2 cosx)- 2 3 =sinxcosx+ 3cos2x- 2 1+cos2x 1 3 =2sin2x+ 3· 2 -2 1 3 π =2sin2x+ 2 cos2x=sin(2x+3). 2π 2π ∴T=|ω|= 2 =π. a2+c2-b2 (2)由余弦定理 cosB= 2ac 及 b2=ac 得, a2+c2-ac cosB= 2ac

a2+c2 1 2ac 1 1 = 2ac -2≥2ac-2=2, 1 ∴2≤cosB<1, π π 而 0<B<π,∴0<B≤3.函数 f(B)=sin(2B+3), π π ∵3<2B+3≤π, π π π ∴当 2B+3=2,即 B=12时,f(B)max=1.


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