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第七章 学案36 基本不等式及其应用


学案 36

基本不等式及其应用

导学目标: 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

自主梳理 a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:____________. (2)等号成立的条件:当且仅当________时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+

b2≥________ (a,b∈R). b a (2) + ≥____(a,b 同号). a b a+b?2 (3)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R). a2+b2 a+b?2 (4)? ____ . 2 ? 2 ? 3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为________,几何平均数为________,基本不等式 可叙述为:________________________________________________. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当________时,x+y 有最____值是________(简记: 积定和最小). (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当________时,xy 有最____值是__________(简记: 和定积最大). 自我检测 a2+b2 1.“a>b>0”是“ab< ”的( ) 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 a+b? 2.(2011· 南平月考)已知函数 f(x)=?2?x,a、b∈(0,+∞),A=f? ? ? ? 2 ?,B=f( ab),C 2ab =f?a+b?,则 A、B、C 的大小关系是( ) ? ? A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A 3.下列函数中,最小值为 4 的函数是( ) 4 A.y=x+ x 4 B.y=sin x+ (0<x<π) sin x -x x C.y=e +4e D.y=log3x+logx81 1 4.(2011· 大连月考)设函数 f(x)=2x+ -1(x<0),则 f(x)有最________值为________. x x 5. (2010· 山东)若对任意 x>0,2 ≤a 恒成立, a 的取值范围为________________. 则 x +3x+1

探究点一 利用基本不等式求最值 1 9 例 1 (1)已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值; x y 5 1 (2)已知 x< ,求函数 y=4x-2+ 的最大值; 4 4x-5 (3)若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0,求 x+y 的最小值.

1 4 变式迁移 1 (2011· 重庆)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是( a b 7 A. B.4 2 9 C. D.5 2 探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用 1 1 例 2 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+ )(1+ )≥9. a b

)

变式迁移 2 已知 x>0,y>0,z>0. y z x z x y 求证:?x+x??y+y??z +z ?≥8. ? ?? ?? ?

探究点三 基本不等式的实际应用 例 3 (2011· 镇江模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至 少 10 层,每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平 均建筑费用为 560+48x(单位:元). (1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式; (2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?

购地总费用 (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= ) 建筑总面积

变式迁移 3 (2011· 广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在 2012 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3-x 与 t+1 成反比例, 如果不搞促销活动, 化妆品的年销量 只能是 1 万件,已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150%与 平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完. (1)将 2012 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数. (2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)

a+b b a + 1.a2+b2≥2ab 对 a、b∈R 都成立; ≥ ab成立的条件是 a,b∈R ; + ≥2 成立 2 a b 的条件是 ab>0,即 a,b 同号. 2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件,并且和为定值时,积 有最大值,积为定值时,和有最小值. b 3.使用基本不等式求最值时,若等号不成立,应改用单调性法.一般地函数 y=ax+ , x 当 a>0,b<0 时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当 a<0,b>0 时,函数在(- b ? ? b? ∞,0),(0,+∞)上是减函数;当 a>0,b>0 时函数在?- 上是减 ,0 , 0, a ? ? a? ? b? ? b ? 函数,在?-∞,- , ,+∞ 上是增函数;当 a<0,b<0 时,可作如下变形: a? ? a ? ? b?? y=-??-ax?+?-x??来解决最值问题. ? ?

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1 1 1.设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为( ) a b 1 A.8 B.4 C.1 D. 4 1 a? 2.(2011· 鞍山月考)已知不等式(x+y)?x+y?≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a ? 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 1 1 3.已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是( ) a b A.2 B.2 2 C.4 D.5 4.一批货物随 17 列货车从 A 市以 a km/h 的速度匀速直达 B 市,已知两地铁路线长 400 a km,为了安全,两列车之间的距离不得小于?20?2 km,那么这批货物全部运到 B 市,最快需 ? ? 要( ) A.6 h B.8 h C.10 h D.12 h

?3x-y-6≤0 ? 5.(2011· 宁波月考)设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0 ?x≥0,y≥0 ?

,若目标函数 z=ax+by (a>0,

2 3 b>0)的最大值为 12,则 + 的最小值为( ) a b 25 8 11 A. B. C. D.4 6 3 3 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2010· 浙江)若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 2 7.(2011· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图象 x 交于 P,Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. 8.已知 f(x)=32x -(k+1)3x +2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值,则 k 的取值范围为 __________________. 三、解答题(共 38 分) 4 9.(12 分)(1)已知 0<x< ,求 x(4-3x)的最大值; 3 (2)点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,求 2x+4y 的最小值.

10. 分)(2011· (12 长沙月考)经观测, 某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与汽车的 920v 平均速度 v(千米/小时)之间有函数关系 y= 2 (v>0). v +3v+1 600 (1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最大?最大车流量为多少? (2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围 内?

11.(14 分)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为 1.5 元,每次购买 原材料需支付运费 600 元,每千克原材料每天的保管费用为 0.03 元,该厂每天需要消耗原材 料 400 千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400 千克不需要保管). (1)设该厂每 x 天购买一次原材料, 试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1 关 于 x 的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最小,并求出这个最小 值.

学案 36

基本不等式及其应用

自主梳理 1.(1)a>0,b>0 (2)a=b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤ a+b 3. ab 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4.(1)x=y 小 2 p 2 p2 (2)x=y 大 4 自我检测 1.A 2.A 3.C 1 4.大 -2 2-1 5.[ ,+∞) 5 课堂活动区 例 1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求最 值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或 积为定值的形式),构造出基本不等式的形式再进行求解.基本不等式成立的条件是“一正、 二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条件. 1 9 解 (1)∵x>0,y>0, + =1, x y 1 9? ∴x+y=(x+y)? x+y? ? y 9x = + +10≥6+10=16. x y

y 9x 1 9 当且仅当 = 时,上式等号成立,又 + =1, x y x y ∴x=4,y=12 时,(x+y)min=16. 5 (2)∵x< ,∴5-4x>0. 4 1 1 y=4x-2+ =-?5-4x+5-4x?+3 ? ? 4x-5 1 ≤-2 ?5-4x?· +3=1, 5-4x 1 当且仅当 5-4x= , 5-4x 即 x=1 时,上式等号成立,故当 x=1 时,ymax=1. (3)由 2x+8y-xy=0,得 2x+8y=xy, 2 8 ∴ + =1. y x 8 2 8y 2x ∴x+y=(x+y)? x+y?=10+ + ? ? x y 4y x? =10+2? x +y? ? 4y x ≥10+2×2× ·=18, x y 4y x 当且仅当 = ,即 x=2y 时取等号. x y 又 2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6. ∴当 x=12,y=6 时,x+y 取最小值 18. a+b 变式迁移 1 C [∵a+b=2,∴ =1. 2 1 4 1 4 a+b 5 2a b 5 2a b 9 2a b ∴ + =( + )( )= +( + )≥ +2 · = (当且仅当 = ,即 b=2a 时, a b a b 2 2 b 2a 2 b 2a 2 b 2a 1 4 9 “=”成立),故 y= + 的最小值为 .] a b 2 例 2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到,也会给解决问题提供简捷 的方法. 在不等式证明时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转化是否 有误的一种方法. 证明 方法一 因为 a>0,b>0,a+b=1, a+b 1 b 所以 1+ =1+ =2+ . a a a 1 a 同理 1+ =2+ . b b 1 1 b a 所以(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ ) a b a b b a =5+2( + )≥5+4=9. a b 1 1 1 所以(1+ )(1+ )≥9(当且仅当 a=b= 时等号成立). a b 2 1 1 1 1 1 方法二 (1+ )(1+ )=1+ + + a b a b ab a+b 1 2 =1+ + =1+ , ab ab ab 因为 a,b 为正数,a+b=1, a+b 2 1 1 2 所以 ab≤( ) = ,于是 ≥4, ≥8, 2 4 ab ab

1 1 1 因此(1+ )(1+ )≥1+8=9(当且仅当 a=b= 时等号成立). a b 2 变式迁移 2 证明 ∵x>0,y>0,z>0, y z 2 yz ∴ + ≥ >0, x x x x z 2 xz + ≥ >0, y y y x y 2 xy + ≥ >0. z z z y z x z x y ∴?x+x??y+y??z +z ? ? ?? ?? ? 8 yz· xz· xy ≥ =8. xyz 当且仅当 x=y=z 时等号成立. y z x z x y 所以( + )( + )( + )≥8. x x y y z z 例 3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为: 由题设写 变形 利用基本 求得 → → → → 结论 出函数 转化 不等式 最值 2.在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点:(1)先理解题意,设变量,一 般把要求最值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式, 把实际问题抽象为函数最值问题; (3)在定义域内求函数最值;(4)正确写出答案. 解 (1)依题意得 2 160×10 000 y=(560+48x)+ 2 000x 10 800 =560+48x+ (x≥10,x∈N*). x 10 800 (2)∵x>0,∴48x+ x ≥2 48×10 800=1 440, 10 800 当且仅当 48x= ,即 x=15 时取到“=”, x 此时,平均综合费用的最小值为 560+1 440=2 000(元). 答 当该楼房建造 15 层时, 可使楼房每平方米的平均综合费用最少, 最少值为 2 000 元. k 变式迁移 3 解 (1)由题意可设 3-x= , t+1 2 将 t=0,x=1 代入,得 k=2.∴x=3- . t+1 当年生产 x 万件时, ∵年生产成本=年生产费用+固定费用, 2 ∴年生产成本为 32x+3=32?3-t+1?+3. ? ? 当销售 x(万件)时,年销售收入为 2 1 150%?32?3-t+1?+3?+ t. ? ? ? ? 2 由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费, -t2+98t+35 得年利润 y= (t≥0). 2?t+1? -t2+98t+35 ?t+1 32 ? (2)y= =50-? 2 + t+1? 2?t+1? ? ?

t+1 32 × =50-2 16=42(万元), 2 t+1 t+1 32 当且仅当 = ,即 t=7 时,ymax=42, 2 t+1 ∴当促销费投入 7 万元时,企业的年利润最大. 课后练习区 1.B [因为 3a·b=3,所以 a+b=1, 3 1 1 ?1+1?=2+b+a + =(a+b)?a b? a b a b ba b a 1 ≥2+2 ·=4,当且仅当 = 即 a=b= 时,“=”成立.] ab a b 2 1 a? y ax 2.B [不等式(x+y)?x+y?≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则 1+a+ + ≥a+2 a+ ? x y 1≥9, ∴ a≥2 或 a≤-4(舍去). ∴正实数 a 的最小值为 4.] 1 1 1 3.C [因为 + +2 ab≥2 +2 ab a b ab 1 1 ?≥4,当且仅当1=1且 =2? = ab, a b ab ? ab+ ab? 即 a=b=1 时,取“=”号.] a 400 4.B [第一列货车到达 B 市的时间为 h,由于两列货车的间距不得小于?20?2 km, ? ? a ?a 16·20?2 ? ? 400 16a 400 400 16a 所以第 17 列货车到达时间为 + = + ≥8,当且仅当 = ,即 a=100 a a a 400 a 400 km/h 时成立,所以最快需要 8 h.] 5.A 6.18 解析 由 x>0,y>0,2x+y+6=xy,得 xy≥2 2xy+6(当且仅当 2x=y 时,取“=”), 即( xy)2-2 2 xy-6≥0, ∴( xy-3 2)· xy+ 2)≥0. ( 又∵ xy>0,∴ xy≥3 2,即 xy≥18. 故 xy 的最小值为 18. 7.4 2 解析 过原点的直线与 f(x)= 交于 P、 两点, Q 则直线的斜率 k>0, 设直线方程为 y=kx, x ≤50-2

?x= 2, ?x=- 2, ?y=kx, ? ? ? k k 由? 2 得? 或? y= , ? x ?y= 2k ?y=- 2k, ? ? ?
∴P( 2 , 2k),Q(- k ? 2 + k 2 ,- 2k)或 P(- k 2 ,- 2k),Q( k 2 , 2k). k

∴|PQ|= =2 2

22 ? +? 2k+ 2k?2 k

1 k+ ≥4. k 8.(-∞,2 2-1) 2 2 解析 由 f(x)>0 得 32x-(k+1)·x+2>0, 3 解得 k+1<3x+ x, 3x+ x≥2 2, 而 ∴k+1<2 2, 3 3

k<2 2-1. 4 9.解 (1)∵0<x< ,∴0<3x<4. 3 1 1 3x+4-3x?2 4 ∴x(4-3x)= (3x)(4-3x)≤ ? 3 3? 2 ? =3,(4 分) 2 当且仅当 3x=4-3x,即 x= 时,“=”成立. 3 2 4 ∴当 x= 时,x(4-3x)的最大值为 .(6 分) 3 3 (2)已知点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,∴x+2y=3. + ∴2x+4y≥2 2x4y=2 2x 2y=2 23=4 2. (10 分) ?2x=4y, ? 3 3 当且仅当? 即 x= ,y= 时,“=”成立. 2 4 ? ?x+2y=3, 3 3 ∴当 x= ,y= 时,2x+4y 的最小值为 4 2. 2 4 (12 分) 920v 920 10.解 (1)y= 2 = ≤ 1 600 v +3v+1 600 v+ v +3 920 920 = ≈11.08.(4 分) 83 1 600 2 v× v +3 1 600 当 v= v ,即 v=40 千米/小时时,车流量最大,最大值为 11.08 千辆/小时(6 分) 920v (2)据题意有 2 ≥10,(8 分) v +3v+1 600 化简得 v2-89v+1 600≤0,即(v-25)(v-64)≤0, 所以 25≤v≤64. 所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内. (12 分) 11.解 (1)每次购买原材料后,当天用掉的 400 千克原材料不需要保管费,第二天用掉 的 400 千克原材料需保管 1 天, 第三天用掉的 400 千克原材料需保管 2 天, 第四天用掉的 400 千克原材料需保管 3 天,?,第 x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的 400 千克 原材料需保管(x-1)天. ∴每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1=400×0.03×[1+2+3+…+(x-1)] =6x2-6x.(6 分) (2)由(1)可知,购买一次原材料的总费用为 6x2-6x+600+1.5×400x, ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为 1 600 y= (6x2-6x+600)+1.5×400= +6x+594.(9 分) x x 600 ∴y≥2 · 6x+594=714,(12 分) x 600 当且仅当 =6x,即 x=10 时,取等号. x ∴该厂 10 天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用 y 最小, 且最小为 714 元. (14 分)


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