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2016年泰山职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解析)


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2016 年泰山职业技术学院单招数学模拟试题(附答案解 析)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.请把答案直接涂在答题卡相应位置上 . ........
1. 已知集合 ( A. ) B.{ 1 } C. D. 则

/>2. 下列命题中错误的是 ( )A.如果平面 平面 ,那么平面 内一定存在直线平行于平面

B.如果平面 C.如果平面 D.如果平面 3. 已知 ( A.

不垂直于平面 平面 平面 ,平面

,那么平面 平面

内一定不存在直线垂直于平面 , ,那么直线 平面

,那么平面

内所有直线都垂直于平面 是 与 的等比中项, 为 的

为等差数列,其公差为 ,则 的值为 ) B. C. ,且 ,那么

,且

前 n 项和,

D. ,则称 a 与 b 互补,记 是 a 与 b 互补的

4. 若实数 a,b 满足



) B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 ,则下列不等式中,恒成立的是 B.

A.充分非必要条件 C.充要条件 5. 若 ( ,且 )A.

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C. D.

6. 已知在平面直角坐标系

上的区域

由不等式组

给定。若 的最大值为

为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ( A.3 7.函数 ) B.4 在定义域 ,设 ( A. ) B. C. 内可导,若

,则

D. ,且当 ,则 时,

C.

D.

8. ( )

的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点

中心对称

A.向左平移

个单位

B.向左平移

个单位

C.向右平移

个单位

D.向右平移

个单位

9. 已知 图像大致是 ( )

是 R 上的奇函数,且当

时,

,则

的反函数的

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10. 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4 个,则取出的 编号互不相同的概率为 ( )

A.

B.

C.

D.

11.已知

为椭圆

的两个焦点,

为椭圆上一点且

则此椭圆的离心率的取值范围是 ( )

A.

B.

C.

D. ,

12. 已知球的直径 SC= 4,A,B 是该球球面上的两点, ,则棱锥 S-ABC 的体积为 ( A.19 ) B. C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡 ... 相应位置上 . .....
13. 已知 为 , . ,则 与 的夹角

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14. 已知 为 .

,且

,则

的值

15.若一个圆的圆心在抛物线 这个圆的标准方程是 16.函数 的定义域为 A,若 为单函数.例如,函数 ①函数 ②若 ③若 f:A ④函数 为单函数,

的焦点处,且此圆与直线 . 且 时总有

相切,则

,则称

是单函数.下列命题: 是单函数; 且 则 ;

B 为单函数,则对于任意 b B,它至多有一个原象;
在某区间上具有单调性,则 一定是该区间上的单函数.

其中的真命题是

.(写出所有真命题的编号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出文字说明、证明过 程.
17.(本小题满分 10 分)在 中,角 所对应的边分别为 ,



,求



.

18.(本小题满分 12 分)如图,已知正三棱柱 各棱长都是 4, 是 的



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中点,动点 (I)当 (II)设二面角 在侧棱 时,求证: 上,且不与点 ; 的大小为 ,求 的最小值. 重合.

19.(本小题满分 12 分)某会议室用 5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相 同,假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为 1 年以上 的概率为 ,寿命为 2 年以上的概率为 ,从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡 更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换. (I)在第一次灯泡更换工作中,求不需要更换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率; (II))在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的 概率; (Ⅲ)当 时,求在第二次灯泡更换工作中,至少需要更换 4 只灯泡

的概率(结果只保留两个有效数字).

20.(本小题满分 12 分)已知关于 x 的函数 .

,其导函数

(Ⅰ)如果函数 (Ⅱ)设当 若 时,函数

试确定 b、c 的值; 图象上任一点 P 处的切线斜率为 k,

,求实数 b 的取值范围.

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21.(本小题满分 12 分)已知数列 的前 n 项和为 ,若 ,且

,数列

的前 n 项和为

.

(I)求证:

为等比数列;

(Ⅱ)求

.

22.(本小题满分 12 分)

是双曲线

上一点,



分别是双曲线

的左、右顶点,直线



的斜率之积为

(I)求双曲线的离心率; (II)过双曲线 点, 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线 ,求 于 的值. 两点, 为坐标原

为双曲线上一点,满足

参考答案
一、1.B B 2. D 3. D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.C 9. A 10. D 11.C 12.

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16. ②③④

二、13.

14.

15.

三、17.由



,∴



∴ 由

,∴ 得

,又

,∴ ,即

. ,







.

由正弦定理 18.解法一:过 E 作 (I)如图 1,连结 NF、 又底面 侧面

,得 于 N,连结 EF. ,由直棱柱的性质知,底面 ABC =AC,且 内的射影, 底面 ABC,所以 侧面 侧面

.

. ,

∴NF 是 EF 在侧面

在 又

中, ,故

则由 ,由三垂线定理知

,得 NF// .



(II)如图 2,连结 AF,过 N 作 ,根据三垂线定理得 即 .

于 M,连结 ME,由(I)知 ,所以

侧面

是二面角 C—AF—E 的平面角,

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设 ,在 中,



中,



.

又 值,

,故当

即当

时,

达到最小

,此时 F 与

重合.

解法二:(I)建立如图 3 所示的空间直角坐标系,则由已知可得

于是 故 (II)设 则由(I)得 于是由 , 可得 平面 AEF 的一个法向量为 ,

取 又由直三棱柱的性质可取 侧面 的一个法向量为 ,

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于是由 为锐角可得 , ,∴



,得

,即

故当

,即点 F 与点

重合时,

取得最小值

19.解:(I)在第一次灯泡更换工作中,不需要更换灯泡的概率为 只灯泡的概率为 (II)对该盏灯来说,在第一、二次都更换了灯泡的概率为 灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为 故所求概率为

,需要更换 2

;在第一次未更换

(Ⅲ)至少换 4 只灯泡包括换 4 只和换 5 只两种情况. 换 5 只的概率为 (其中 为(II)中所求,下同),换 4 只的概率为

故至少换 4 只灯泡的概率为 又当 时, 即满 2 年至少需要换 4 只灯泡的概率为

20.解: (Ⅰ)因为函数 在 处有极值

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所以 (i)当 所以 (ii)当 时, 减; 所以 在 在 时,

,解得 ,



.

上单调递减,不存在极值. 时, , 单调递增; , 时, , 单调递

处存在极大值,符合题意. . .

综上所述,满足条件的值为

(Ⅱ)当

时,函数 ,则 , 恒成立.

, , 恒成立,

设图象上任意一点 因为 ,所以对任意

所以对任意

,不等式

设 所以对任意 ,

,故

在区间 ,所以

上单调递减, .

21.解:(I) 由 又因为 所以 所以 ,所以

,得 ,



是以-2 为首项,2 为公比的等比数列, .

(II) 由(I)知,

,

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故 .

22.解:∵点

在双曲线

上,∴

由题意

,可得

,则

(II)由





,则





又 C 为双曲线

上一点,

,即

化简得,

又 由①式得,

在双曲线上,所以

, ,解得 或

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