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高中文科数学一轮复习——立体几何


第十四章
第一节

立体几何
简单几何体

A组 1.下列命题中,不正确的是______. ①棱长都相等的长方体是正方体 ②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱 ③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 ④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体 解析:由平行六面体、正方体的定义知①④正确;对于②,相邻两侧面垂直于底面,则 侧棱垂

直于底面, 所以该棱柱为直棱柱, 因而②正确; 对于③, 若两侧面平行且垂直于底面, 则不一定是直棱柱.答案:③ 2.(2009 年高考全国卷Ⅱ改编)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、 南、西、 北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平, 得到如图的平面图形, 则标“△”的面的方位是________.

解析:将所给图形还原为正方体,如图所示,最上面为△,最左面为东,最里面为上, 将正方体旋转后让东面指向东,让“上”面向上可知“△”的方位为北.答案:北 3.(2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD,下列命题正确的是________.(写出所有正确命 题的编号). ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△BCD 三条高线的交点; ③若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④任何三个面的面积之和都大于 第四个面的面积; ⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 解析:②中的四面体如果对棱垂直,则垂足是△BCD 的三条高线的交点;③中如果 AB 与 CD 垂直,则两条高的垂足重合.答案:①④⑤ 4.下列三个命题,其中正确的有________个. ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;②两个底面平行且相似, 其余各面都是梯形的多面体是棱台; ③有两个面互相平行, 其余各面都是等腰梯形的六面体 是棱台. 解析:①中的平面不一定与底面平行,②③可用反例图去验证.答案:0 5.下面命题正确的有________个. ①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱 ②过圆锥侧面上一点有无数条母线 ③三棱锥的每个面都可以作为底面 ④圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形 解析:①②错,③④正确.①错在绕一条直线,应该是绕长方形的一条边所在的直线; ②两点确定一条直线, 圆锥的母线必过圆锥的顶点, 因此过圆锥侧面上一点只有一条母线. 答 案:2 6.如图所示,长方体的长、宽、高分别为 4 cm,3 cm,5 cm,一只蚂蚁从 A 到 C1 点沿着表面 爬行的最短距离是多少?

解:长方体 ABCD-A1B1C1D1 的表面可如下图三种方法展开后,A、C1 两点间的距离分 别为: (5+4)2+32=3 10, (5+3)2+42=4 5, (3+4)2+52= 74,三者比较得 74 是从 点 A 沿表面到 C1 的最短距离,∴最短距离是 74 cm.

B组
1.(2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD,下列命题正确的是________. ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△BCD 三条高线的交点; ③若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 解析:②中的四面体如果对棱垂直,则垂足是△BCD 的三条高线的交点;③中如果 AB 与 CD 垂直,则两条高的垂足重合.答案:①④⑤ 2.下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱 锥. 其中,真命题的编号是______.(写出所有真命题的编号) 解析:对于①,设四面体为 D-ABC,过棱锥顶点 D 作底面的垂线 DE,过 E 分别作 AB,BC,CA 边的垂线,其垂足依次为 F,G,H,连结 DF,DG,DH,则∠DFE,∠DGE, ∠DHE 分别为各侧面与底面所成的角,所以∠DFE=∠DGE=∠DHE,于是有 FE=EG= EH,DF=DG=DH,故 E 为△ABC 的内心,又因△ABC 为等边三角形,所以 F,G,H 为 各边的中点,所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD,故 DA=DB=DC,故棱锥 为正三棱锥.所以为真命题.对于②,侧面为等腰三角形,不一定就是侧棱为两腰,所以为 假命题. 对于③, 面积相等, 不一定侧棱就相等, 只要满足斜高相等即可, 所以为假命题. 对 于④,由侧棱与底面所成的角相等,可以得出侧棱相等,又结合①知底面应为正三角形,所 以为真命题.综上,①④为真命题.答案:①④ 3.关于如图所示几何体的正确说法为________. ①这是一个六面体 ②这是一个四棱台 ③这是一个四棱柱 ④这是一个四棱柱和三棱柱的 组合体 ⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱 答案:①②③④⑤ 4. (2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD, 下列命题正确 的 是 ________. ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△BCD 三条高线的交点;

③若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点. 解析:②中的四面体如果对棱垂直,则垂足是△BCD 的三条高线的交点;③中如果 AB 与 CD 垂直,则两条高的垂足重合.答案:①④⑤ 5.给出以下命题:①底面是矩形的四棱柱是长方体;②直角三角形绕着它的一边旋转一周 形成的几何体叫做圆锥;③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形.其中说法正确的是 __________. 解析:命题①不是真命题,因为底面是矩形,若 侧棱不 垂直于底面,这时四棱柱是斜四棱柱;命题②不是真 命题, 直 角三角形绕着它的一条直角边旋转一周形成的几何体 叫做圆 锥,如果绕着它的斜边旋转一周,形成的几何体则是 两个具 有共同底面的圆锥;命题③是真命题,如图所示,在 四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, 则可以 得到四个侧面都是直角三角形.故填③. 答案:③ 6.下列结论正确的是 ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥 ②以三角形的一条边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆 锥 ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥 ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 解析:①错误.如图(1)所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各 面都是三角形,但它不是棱锥. ②错误.如图(2)(3)所示,若△ABC 不是直角三角形,或是直角三角形但旋转轴不是直 角边,所得的几何体都不是圆锥.

③错误.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以 正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长. ④正确.答案:④ 7.过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成的角是 60° ,则该 截面的面积是________. 解析:设截面的圆心为 O′,由题意得:∠OAO′=60° ,O′A=1,S=π·12=π.答案: π 8.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下 四个命题中,假命题是________. ①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 ②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 ③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 ④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 解析:①如图,∵SA=SB=SC=SD ,∴∠SAO= ∠ SBO= ∠ SCO= ∠SDO ,即等腰四棱锥腰与底面所成的角相 等,正确; ②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角相等或互补 不一定成 立;③如图,由 SA=SB=SC=SD 得 OA=OB=OC=OD, 即等腰四 棱锥的底面四边形存在外接圆,正确;④等腰四棱锥 各顶点在

同一个球面上,正确.故选②.答案:② 9.(2008 年高考江西卷)如图(1),一个正四棱柱形的密闭容器水平放置,其底部镶嵌了同底 的正四棱锥形实心装饰块,容器内盛有 a 升水时,水面恰好经过正四棱锥的顶点 P.如果将 容器倒置,水面也恰好过点 P(图(2))

有下列四个命题: A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B.将容器侧面水平放置时,水面也恰好过点 P C.任意摆放该容器,当水面静止时,水面都恰好经过点 P D.若往容器内再注入 a 升水,则容器恰好能装满. 其中真命题的代号是:______(写出所有真命题的代号). 解析:设正四棱柱底面边长为 b,高为 h1,正四棱锥高为 h2,则原题图(1)中水的体积 1 2 2 为 b h2- b2h2= b2h2, 3 3 图(2)中水的体积为 b2h1-b2h2=b2(h1-h2), 2 5 所以 b2h2=b2(h1-h2),所以 h1= h2,故 A 错误,D 正确. 3 3 对于 B,当容器侧面水平放置时,P 点在长方体中截面上,又水占容器内空间的一半, 所以水面也恰好经过 P 点,故 B 正确.对于 C,假设 C 正确,当水面与正四棱锥的一个侧 25 2 面重合时,经计算得水的体积为 b2h2> b2h2,矛盾,故 C 不正确.答案:BD 36 3 10.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且 底面边长与各侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、 三棱锥、 三棱柱的高分别为 h1,h2,h3,求 h1∶h2∶h3 的值. 解:选依题意,四棱锥为正四棱锥,三棱锥为正三棱锥,且棱长均相等,设为 a,h2= 2 2 2 3 6 a) = a,h2= a2-( a)2= a, 2 2 3 3 故 h1∶h2∶h3= 3∶2∶2. 11. 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上. 已知正三棱柱的底面边 长为 2,求该三角形的斜边长. h3,h1= a2-( 解:如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 为正 三角形, 边长为 2,△DEF 为等腰直角三角形,DF 为斜边,设 DF 长为 x, 则 2 DE=EF= x,作 DG⊥BB1,HG⊥CC1,EI⊥CC1, 2 x2 x2 则 EG = DE2-DG2= -4 , FI = EF2-EI2 = -4, 2 2 x2 FH=FI+HI=FI+EG=2 -4,在 Rt△DHF 中,DF2 = DH2 + 2 x2 FH2,即 x2=4+(2 -4))2,解得 x=2 3.即该三角形 的斜边长 2 为 2 3. 12.(2009 年高考辽宁卷改编)如果把地球看成一个球体,求地球上北纬 60° 纬线长和赤道线 长的比值.

解:设地球的半径为 R,那么对应的赤道线的大圆的半径为 R,而对应的北纬 60° 纬线 1 1 1 所在的小圆的半径为 R,那么它们对应的长度之比为 R∶R= . 2 2 2 1 即所求比值为 . 2

第二节

空间图形的基本关系与公理

A组 1.以下四个命题中,正确命题的个数是________. ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 解析:①正确,可以用反证法证明;②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C,但 是若 A、B、C 共线,则结论不正确;③不正确,共面不具有传递性;④不正确,因为此时 所得的四边形四条边可以不在一个平面上.答案:1 2.给出下列四个命题: ①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; ②两条直线可以确定一个平面; ③若 M∈α,M∈β,α∩β=l,则 M∈l; ④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内. 其中真命题的个数为________. 解析:根据平面的基本性质知③正确.答案:1 3.(2009 年高考湖南卷改编)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面 的棱的条数为________. 解析:根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面,可得 CD、BC、BB1、AA1、 C1D1 符合条件.答案:5 4.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点.那么,正方体的 过 P、Q、R 的截面图形是________. 2 解析:边长是正方体棱长的 倍的正六边形.答案:正六边形 2 5.(原创题)已知直线 m、n 及平面 α,其中 m∥n,那么平面 α 内到两条直线 m、n 距离相等 的点的集合可能是: (1)一条直线; (2)一个平面; (3)一个点; (4)空集. 其中正确的是________. 解析:如图 1,当直线 m 或直线 n 在平面 α 内且 m、n 所在平面与 α 垂直时不可能有符 合题意的点;如图 2,直线 m、n 到已知平面 α 的距离相等且两直线所在平面与已知平面 α 垂直,则已知平面 α 为符合题意的点;如图 3,直线 m、n 所在平面与已知平面 α 平行,则 符合题意的点为一条直线.

答案:(1)(2)(4) 6. 如图, 已知平面 α、 β, 且 α∩β=l.设梯形 ABCD AD∥BC,且 AB?α ,CD? β.求证: AB,CD, l 一点).

中 , 共点(相交于

证明:∵梯形 ABCD 中,AD∥BC,∴AB, CD 是 梯 形 ABCD 的两腰, ∴AB,CD 必定相交于一点. 如图,设 AB∩CD=M. 又∵AB?α,CD?β, ∴M∈α,且 M∈β, ∴M∈α∩β. 又∵α∩β=l,∴M∈l, 即 AB,CD,l 共点 B组 1.有以下三个命题: ①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点; ②直线 l 在平面 α 内,可以用符号“l∈α”表示; ③若平面 α 内的一条直线 a 与平面 β 内的一条直线 b 相交, 则 α 与 β 相交, 其中所有正 确命题的序号是______________. 解析:表示线与面的关系用“?”或“?”表示,故②错误.答案:①③ 2.(2010 年黄冈调研)下列命题中正确的是________. ①若△ABC 在平面 α 外,它的三条边所在的直线分别交 α 于 P、Q、R,则 P、Q、R 三点共线;②若三条直线 a、b、c 互相平行且分别交直线 l 于 A、B、C 三点,则这四条直 线共面;③空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面. 解析:在①中,因为 P、Q、R 三点既在平面 ABC 上,又在平面 α 上,所以这三点必在 平面 ABC 与 α 的交线上,即 P、Q、R 三点共线,故①正确;在②中,因为 a∥b,所以 a 与 b 确定一个平面 α,而 l 上有 A、B 两点在该平面上,所以 l?α,即 a、b、l 三线共面于 α; 同理 a、c、l 三线也共面,不妨设为 β,而 α、β 有两条公共的直线 a、l,∴α 与 β 重合,即 这些直线共面, 故②正确; 在③中, 不妨设其中有四点共面, 则它们最多只能确定 7 个平面, 故③错.答案:①② 3.对于空间三条直线,有下列四个条件: ①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点 ④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交 其中使三条直线共面的充分条件有:________. 解析:易知①中的三条直线一定共面,④中两条直线平行可确定一个平面,第三条直线 和这两条直线相交于两点,则第三条直线也在这个平面内,故三条直线共面.答案:①④ 4. (2008 年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线 a 与 b, 必存在平面 α, 使得________. ①a?α,b?α ②a?α,b∥α ③a⊥α,b⊥α ④a?α,b⊥α 解析:不相交的直线 a、b 的位置有两种:平行或异面.当 a、b 异面时,不存在平面 α 满足①、③;又只有当 a⊥b 时④才成立.答案:② 5.正方体 AC1 中,E、F 分别是线段 C1D、BC 的中点,则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系 是________. 解析:直线 AB 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1,EF?平面 A1BCD1,且两直线 不平行,故两直线相交.答案:相交 6.(2010 年湖南郴州调研)设 α,β,γ 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列四个命 题: ①若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α; ②若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β; ③若 l 上有两点到 α 的距离相等,则 l∥α; ④若 α⊥β,α∥γ,则 γ⊥β. 其中正确命题的序号是________. 解析: ①错误, l 可能在平面 α 内; ②正确, l∥β, l?γ, β∩γ=n?l∥n?n⊥α, 则 α⊥β; ③错误,直线可能与平面相交;④正确.故填②④.答案:②④ 7.(2009 年高考广东卷改编)给定下列四个命题:

①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 其中,为真命题的是________. 解析:当两个平面相交时,一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面,故①不对; 由平面与平面垂直的判定定理可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行, 相交也可以异面,故③不对;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线 才与另一个平面垂直,故④正确.答案:②④ 8.(2009 年高考宁夏、海南卷改编)如图所示, 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个 动点 E , 2 F,且 EF= ,则下列结论中错误的是________. 2 ①AC⊥BE ②EF∥平面 ABCD ③三棱锥 A-BEF 的体积为定值 ④异面直线 AE,BF 所成的角为定值 解 析 : ∵AC⊥ 平 面 BB1D1D , 又 BE ? 平 面 BB1D1D, ∴AC⊥BE.故①正确. ∵B1D1∥平面 ABCD,又 E、F 在直线 D1B1 上运动, ∴EF∥平面 ABCD.故②正确. ③中由于点 B 到直线 B1D1 的距离不变,故 △BEF 的面 2 积为定值.又点 A 到平面 BEF 的距离为 ,故 VA-BEF 为定 2 值. 当点 E 在 D1 处,F 为 D1B1 的中点时, 建立空间直角坐标系,如图所示,可得 A(1,1,0) , 1 1 → → ? B(0,1,0),E(1,0,1),F? 1,1),B F = ?2,2,1?.∴A E =(0,- 1 1 ( ,- ,1), 2 2 3 2 6 3 → → 3 → → → → ∴A E · B F = .又|AE|= 2,|BF|= ,∴cos〈A E ,B F 〉= = , 2 2 2· 6 2 2 ∴AE 与 BF 成 30° 角.当 E 为 D1B1 中点,F 在 B1 处时, 1 1 ? 1 1 → → , ,1 ,F(0,1,1),∴A E =?- ,- ,1?,B F =(0,0,1), 此时 E? 2 2 2 2 ? ? ? ? 3 2 6 3 → → → → → ∴A E · B F =1,|A E |= ,∴cos〈A E ,B F 〉= = ≠ .故④错. 2 3 3 2 答案:④ 9.(2008 年高考陕西卷改编)如图,α ⊥β ,α ∩β =l,A ∈α ,B ∈β ,A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b,AB 与α 、β 所成 的角分 别是θ 和φ , AB 在α 、 β 内的射影分别是 m 和 n.若 a>b, 则θ 与 φ 的大小关系为______,m 与 n 的大小关系为______. 解析:AB 与 β 成的角为∠ABC=φ, AB 与 α 成的角为∠BAD=θ, a sin φ=sin∠ABC= , |AB|

b sinθ=sin∠BAD= . |AB| ∵a>b,∴sinφ>sinθ.∴θ<φ. AB 在 α 内的射影 AD= AB2-b2, AB 在 β 内的射影 BC= AB2-a2, ∴AD.BC,即 m>n. 答案:θ<φ m>n 10.如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F D1C1、B1C1 的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q, 平面 DBFE 于 R 点,试确定 R 点的位置. 解:在正方体 AC1 中,连结 PQ, ∵Q∈A1C1,∴Q∈平面 A1C1CA.又 Q∈EF, ∴Q∈平面 BDEF, 即 Q 是平面 A1C1CA 与平面 公共点, 同理, P 也是平面 A1C1CA 与平面 BDEF 的公 ∴平面 A1C1CA∩平面 BDEF=PQ. 又 A1C∩平面 BDEF=R, ∴R∈A1C, ∴R∈平面 A1C1CA, R∈平面 BDEF. ∴R 是 A1C 与 PQ 的交点.如图. 11 . 如 图 , 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD - M 为 AB 的中点, N 为 BB1 的中点, O 为平面 BCC1B1 (1)过 O 作一直线与 AN 交于 P, 与 CM 交于 Q(只 证明); (2)求 PQ 的长. 解:(1)连结 ON,由 ON∥AD 知,AD 与 ON 确 又 O、C、M 三点确定一个平面 β(如图所示). ∵三个平面 α,β 和 ABCD 两两相交,有三条 CM、 DA, 其中交线 DA 与交线 CM 不平行且共面. ∴DA 与 CM 必相交,记交点为 Q,∴OQ 是 交线. 连结 OQ 与 AN 交于 P,与 CM 交于 Q, 故直线 OPQ 即为所求作的直线. (2)在 Rt△APQ 中, 易知 AQ=1, 又易知△APQ ∽△OPN, AP AQ 5 5 ∴ = =2,AN= ,∴AP= , PN NO 2 3 14 ∴PQ= AQ2+AP2= . 3 12.(2008 年高考四川卷)如图,平面 ABEF⊥平面 边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB= 1 1 AD,BE 綊 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 2 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (3)设 AB=BE,证明:平面 ADE⊥平面 CDE. 解:(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD,

分 别 为 若 A1C 交

BDEF



共点.

A1B1C1D1 中, 的中心. 写作法,不必

定一个平面 α. 交线 OP、 α与β的

ABCD,四 90° , BC 綊

1 1 所以 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD,故 GH 綊 BC.所以四边形 BCHG 是平行四边形. 2 2 (2)C、D、F、E 四点共面.理由如下: 1 由 BE 綊 AF,G 是 FA 的中点知,BE 綊 GF,所 以 2 EF∥BG. 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC、FH 共 面. 又点 D 在直线 FH 上,所以 C、D、F、E 四点共 面. (3)证明: 连结 EG.由 AB=BE, BE 綊 AG 及∠BAG = 90° 知 ABEG 是正方形, 故 BG⊥EA.由题设知,FA、AD、AB 两两垂直, 故 AD⊥平 面 FABE, 因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影. 根据三垂 线定理, BG⊥ED. 又 ED∩EA=E,所以 BG⊥平面 ADE. 由(1)知,CH∥BG,所以 CH⊥平面 ADE. 由(2)知 F∈平面 CDE,故 CH?平面 CDE,得平面 ADE⊥平面 CDE.

第三节

平行关系

A组 1.已知 m、n 是两条不同直线,α,β 是两个不同平面,下列命题中的真命题是_. ①如果 m?α,n?β,m∥n,那么 α∥β ②如果 m?α,n?β,α∥β,那么 m∥n ③如果 m?α,n?β,α∥β 且 m,n 共面,那么 m∥n ④如果 m∥n,m⊥α,n⊥β,那么 α⊥β 解析:m?α,n?β,α∥β?m,n 没有公共点.又 m,n 共面, 所以 m∥n.答案:③ 2.已知 m、n 是不同的直线,α、β 是不重合的平面,给出下列命题: ①若 m∥α,则 m 平行于平面 α 内的无数条直线; ②若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n; ③若 m⊥α,n⊥β,m∥n,则 α∥β; ④若 α∥β,m?α,则 m∥β. 其中,真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号) 解析: ②中 α∥β, m?α, n?β?m∥n 或 m, n 异面, 所以②错误. 而其它命题都正确. 答 案:①③④ 3.(2010 年苏北四市调研)给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面 α、β 的四个命题: ①若 m?α,l∩α=A,点 A?m, 则 l 与 m 不共面; ②若 m、l 是异面直线,l∥α,m∥α,且 n⊥l,n⊥m,则 n⊥α; ③若 l∥α,m∥β,α∥β,则 l∥m; ④若 l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则 α∥β. 其中为真命题的是________. 解析: ③中若 l?β, m?α, α∥β?l∥m 或 l, m 异面, 所以②错误. 而其它命题都正确. 答 案:①②④ 4.(2009 年高考福建卷改编)设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条 相交直线,则 α∥β 的一个充分而不必要条件是________. ①m∥β 且 l1∥α ②m∥l1 且 n∥l2 ③m∥β 且 n∥β ④m∥β 且 n∥l2 解析:∵m∥l1,且 n∥l2,又 l1 与 l2 是平面 β 内的两条相交直线, ∴α∥β,而当 α∥β 时不一定推出 m∥l1 且 n∥l2,可能异面.答案: ② 5.(原创题)直线 a∥平面 α,α 内有 n 条直线交于一点,则这 n 条直线中与直线 a 平行的直 线有________条. 答案:1 或 0

6.如图,ABCD 为直角梯形,∠C=∠CDA=90° , AD = 2BC =2CD,P 为平面 ABCD 外一点,且 PB⊥BD. (1)求证:PA⊥BD; (2)若 PC 与 CD 不垂直,求证:PA≠PD; (3)若直线 l 过点 P,且直线 l∥直线 BC,试在 直线 l 上 找一点 E,使得直线 PC∥平面 EBD. 解:(1)证明:∵ABCD 为直角梯形,AD= 2AB = 2BD, ∴AB⊥BD,PB⊥BD,AB∩PB=B, AB,PB?平面 PAB,BD⊥平面 PAB, PA?平面 PAB,∴PA⊥BD. (2)证明:假设 PA=PD,取 AD 中点 N,连结 PN,BN, 则 PN⊥AD,BN⊥AD, AD⊥平面 PNB,得 PB⊥AD, 又 PB⊥BD,得 PB⊥平面 ABCD, ∴PB⊥CD. 又∵BC⊥CD,∴CD⊥平面 PBC, ∴CD⊥PC,与已知条件 PC 与 CD 不垂直矛 盾. ∴PA≠PD. (3)在 l 上取一点 E,使 PE=BC,连结 BE,DE, ∵PE∥BC,∴四边形 BCPE 是平行四边形, ∴PC∥BE,PC?平面 EBD,BE?平面 EBD, ∴PC∥平面 EBD. B组 1. 已知 m, n 是两条不同的直线, α, β, γ 是三个不同的平面, 则下列命题正确的是________. ①若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β ②若 m∥n,m?α,n?β,则 α∥β ③若 m∥n,m∥α,则 n∥α ④若 n⊥α,n⊥β,则 α∥β 解析:①错,两平面也可相交;②错,不符合面面平行的判定定理条件,需两平面内有 两条相交直线互相平行;③错,直线 n 不一定在平面内;④由空间想象知垂直于同一直线的 两平面平行,命题正确.答案:④ 2.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,有下列 4 个命题: ①若 m∥n,n?α,则 m∥α; ②若 m⊥n,m⊥α,n?α,则 n∥α; ③若 α⊥β,m⊥α,n⊥β,则 m⊥n; ④若 m,n 是异面直线,m?α,n?β,m∥β,则 n∥α.其中正确的命题有_. 解析:对于①,m 有可能也在 α 上,因此命题不成立;对于②,过直线 n 作垂直于 m 的平面 β,由 m⊥α,n?α 可知 β 与 α 平行,于是必有 n 与 α 平行,因此命题成立;对于③, 由条件易知 m 平行于 β 或在 β 上,n 平行于 α 或在 α 上,因此必有 m⊥n;对于④,取正方 体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立. 综上可 知②③正确.答案:②③ 3.已知 m,n 是平面 α 外的两条直线,且 m∥n,则“m∥α”是“n∥α”的________条件. 解析:由于直线 m,n 在平面外,且 m∥n,故若 m∥α,则必有 n∥α,反之也成立.答 案:充要 4.设 l1,l2 是两条直线,α,β 是两个平面,A 为一点,下列命题中正确的命题是________. ①若 l1?α,l2∩α=A,则 l1 与 l2 必为异面直线 ②若 α⊥β,l1?α,则 l1⊥β ③l1?α,l2?β,l1∥β,l2∥α,则 α∥β ④若 l1∥α,l2∥l1,则 l2∥α 或 l2?α 解析:①错,两直线可相交于点 A;②错,不符合面面垂直的性质定理的条件;③错, 不符合面面平行的判定定理条件; ④正确,空间想象即 可.答案: ④ 5.(2010 年广东深圳模拟)若 a 不平行于平面 α,且 a?α, 则下列结

论成立的是________. ①α 内的所有直线与 a 异面 ②α 内与 a 平行的直线不存在 ③α 内存在唯一的直线与 a 平行 ④α 内的直线与 a 都相交 解析:由题设知,a 和 α 相交,设 a∩α=P,如图,在 α 内过点 P 的直线与 a 共面,① 错;在 α 内不过点 P 的直线与 a 异面,④错;(反证)假设 α 内直线 b∥a,∵a?α,∴a∥α, 与已知矛盾,③错.答案:② 6.设 m、n 是异面直线,则(1)一定存在平面 α,使 m?α 且 n∥α;(2)一定存在平面 α,使 m?α 且 n⊥α;(3)一定存在平面 γ,使 m、n 到 γ 的距离相等;(4)一定存在无数对平面 α 与 β,使 m?α,n?β,且 α∥β.上述 4 个命题中正确命题的序号为________. 解析:(1)成立;(2)不成立,m、n 不一定垂直;(3)过 m、n 公垂线段中点分别作 m、n 的平行线所确定平面到 m、n 距离就相等,(3)正确;满足条件的平面只有一对,(4)错.答 案:(1)(3) 7.如图,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分 别是下 a AP= , 底面的棱 A1B1、 B1C1 的中点, P 是上底面的棱 AD 上的一点, 3 ______. 过 P、M、N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ= 2 2 答案: a 3 8.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、 N、P 分 别为其所在棱的中点,能得出 AB∥面 MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的 图形序号).

解析:①∵面 AB∥面 MNP,∴AB∥面 MNP. ②若下底面中心为 O,易知 NO∥AB,NO?面 MNP,∴AB 与面 MNP 不平行. ③易知 AB∥MP,∴AB∥面 MNP. ④易知存在一直线 MC∥AB,且 MC?平面 MNP,∴AB 与面 MNP 不平行. 答案:①③ 9. 如图所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F、G 、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、CD 的中点,N 是 BC 中点. 点M在 四边形 EFGH 上及其内部运动,则 M 满足条件 ________时, 有 MN∥平面 B1BDD1. 答案:M∈FH

10.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=1, AD=2, E 为 BC 的中点, 点 M 为棱 AA1 (1)证明:DE⊥平面 A1AE; (2)证明:BM∥平面 A1ED. 证明:(1)在△AED 中,AE=DE= 2,AD ∴AE⊥DE. ∵A1A⊥平面 ABCD, ∴A1A⊥DE, ∴DE⊥平面 A1AE.

AA1= 2, 的中点.

=2,

(2) 设 AD 的中点为 N,连结 MN、BN. 在△A1AD 中,AM=MA1,AN=ND,∴MN∥A1D, ∵BE∥ND 且 BE=ND, ∴四边形 BEDN 是平行四边形, ∴BN∥ED, ∴平面 BMN∥平面 A1ED, ∴BM∥平面 A1ED. 11. (2010 年扬州调研)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M , N 分别是 AB,BC 的中点. (1)求证:平面 B1MN⊥平面 BB1D1D; (2)若在棱 DD1 上有一点 P,使 BD1∥平面 PMN, 求线段 DP 与 PD1 的比 解:(1)证明:连结 AC,则 AC⊥BD , 又 M,N 分别是 AB,BC 的中点, ∴MN∥AC,∴MN⊥BD. ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体, ∴BB1⊥平面 ABCD, ∵MN?平面 ABCD, ∴BB1⊥MN, ∵BD∩BB1=B, ∴MN⊥平面 BB1D1D, ∵MN?平面 B1MN, ∴平面 B1MN⊥平面 BB1D1D. PN (2)设 MN 与 BD 的交点是 Q,连结 PQ,PM, ∵BD1∥平面 PMN,BD1?平面 BB1D1D,平面 BB1D1D∩平面 PMN=PQ, ∴BD1∥PQ, ∴DP∶PD1=DQ∶QB=3∶1. 12.如图,四边形 ABCD 为矩形,BC⊥平面 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设点 M 为线段 AB 的中点,点 N 为线段 CE 点.求证:MN∥平面 DAE. ABE , F





证明:(1)因为 BC⊥平面 ABE,AE?平面 ABE, 所以 AE⊥BC, 又 BF⊥平面 ACE,AE?平面 ACE, 所以 AE⊥BF, 又 BF∩BC=B,所以 AE⊥平面 BCE, 又 BE?平面 BCE,所以 AE⊥BE. (2)取 DE 的中点 P,连结 PA,PN,因为点 N 为 线段 CE 的中点. 1 所以 PN∥DC,且 PN= DC, 2 又四边形 ABCD 是矩形,点 M 为线段 AB 的中 点, 所以 1 AM∥DC,且 AM= DC, 2 所以 PN∥AM,且 PN=AM,故四边形 AMNP 是平行四边形,所以 MN∥AP, 而 AP?平面 DAE,MN?平面 DAE,所以 MN∥平面 DAE.

第四节

垂直关系

A组 1.(2010 年宁波十校联考)设 b、c 表示两条直线,α,β 表示两个平面,则下列命题是真命 题的是________. ①若 b?α,c∥α,则 b∥c ②若 b?α,b∥c,则 c∥α ③若 c∥α,α⊥β,则 c⊥β ④若 c∥α,c⊥β,则 α⊥β 解析:①中,b,c 亦可能异面;②中,也可能是 c?α;③中,c 与 β 的关系还可能是 斜交、平行或 c?β;④中,由面面垂直的判定定理可知正确. 答案:④ 2.(2010 年青岛质检)已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,下面有三个命题: ①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β.则真命题的个数为________. 解析:对于①,由直线 l⊥平面 α,α∥β,得 l⊥β,又直线 m?平面 β,故 l⊥m,故① 正确;对于②,由条件不一定得到 l∥m,还有 l 与 m 垂直和异面的情况,故②错误;对于 ③,显然正确.故正确命题的个数为 2.答案:2 个 3.(2009 年高考山东卷改编)已知 α、β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则 “α⊥β ”是“m⊥β ”的________条件. 解析: 由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 α 内的一条直线, m⊥β, 则 α⊥β, 反过来则不一定.所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件. 答案:必要不充分 4.(2009 年高考浙江卷)如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为 线段 EC(端点除外)上一动点.现将△AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD⊥平面 ABC.在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足.设 AK=t,则 t 的取值范围是________.

解析: 如图, 过 D 作 DG⊥AF, 垂足为 G, 连结 GK, ∵平面 ABD⊥平面 ABC, 又 DK⊥AB, ∴DK⊥平面 ABC,∴DK⊥AF. ∴AF⊥平面 DKG,∴AF⊥GK. 容易得到, 当 F 接近 E 点时, K 接近 AB 的中 点, 当F接 1 围是( , 近 C 点时,K 接近 AB 的四等分点.∴t 的取值范 2 1 1).答案:( ,1) 2 5.(原创题)已知 a、b 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,且 a⊥α,b⊥β,则下 列命题中假命题的有________. ①若 a∥b,则 α∥β;②若 α⊥β,则 a⊥b;③若 a、b 相交,则 α、β 相交;④若 α、β 相交,则 a,b 相交. 解析:若 α、β 相交,则 a、b 既可以是相交直线,也可以是异面直线. 答案:④ 6.(2009 年高考山东卷)如图,在直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD, AB = 4 , BC=CD=2,AA1=2,E,E1 分别是棱 AD,AA1 的 中点. (1)设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE1∥平 面 FCC1; (2)证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. C1F1. 证明: (1)法一: 取 A1B1 的中点为 F1, 连结 FF1, 由于 FF1∥BB1∥CC1, 所以 F1∈平面 FCC1. 因此平面 FCC1 即为平面 C1CFF1.

连结 A1D,F1C, 由于 A1F1 綊 D1C1 綊 CD, 所以四边形 A1DCF1 为平行四边形, 因此 A1D∥F1C.又 EE1∥A1D, 得 EE1∥F1C. 而 EE1?平面 FCC1,F1C?平面 FCC1, 故 EE1∥平面 FCC1. 法二:因为 F 为 AB 的中点, CD=2,AB=4,AB∥CD, 所以 CD 綊 AF, 因此四边形 AFCD 为平行四边形, 所以 AD∥FC. 又 CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC?平面 FCC1,CC1?平面 FCC1,AD∩DD1=D,AD ?平面 ADD1A1,DD1?平面 ADD1A1. 所以平面 ADD1A1∥平面 FCC1. FCC1. 又 EE1 ? 平面 ADD1A1 ,所以 EE1∥ 平面 (2)连结 AC,在△FBC 中,FC=BC=FB, 又 F 为 AB 的中点,所以 AF=FC=FB. 因此∠ACB=90° ,即 AC⊥BC. 又 AC⊥CC1,且 CC1∩BC=C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C. 而 AC?平面 D1AC, 故平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. B组 1.设 a,b 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则能得出 a⊥b 的是____. ①a⊥α,b∥β,α⊥β ②a⊥α,b⊥β,α∥β ③a?α,b⊥β,α∥β ④a?α,b∥β,α⊥β 解析:由 α∥β,b⊥β ?b⊥α,又 a?α,故 a⊥b.答案:③ 2.设 α,β 为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是________. ①若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β ②若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α ③若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α⊥β ④若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α 解析:由 n⊥α,n⊥β 可得 α∥β,又因 m⊥β,所以 m⊥α.答案:② 3.设 m,n 是两条不同的直线, α,β 是两个不同的平面,则下列命题正确的是. ①m⊥α,n?β,m⊥n?α⊥β ②α∥β,m⊥α,n∥β ?m⊥n ③α⊥β,m⊥α,n∥β ?m⊥n ④α⊥β,α∩β=m,n⊥m?n⊥β 解析:①错,不符合面面垂直的判断定理的条件;②由空间想象易知命题正确;③错, 两直线可平行; ④错, 由面面垂直的性质定理可知只有当直线 n 在平面 α 内时命题才成立. 答 案:② 4.已知两条不同的直线 m,n,两个不同的平面 α,β,则下列命题中正确的是_. ①若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n ②若 m⊥α,n∥β,α⊥β,则 m⊥n ③若 m∥α,n∥β,α∥β,则 m∥n ④若 m∥α,n⊥β,α⊥β,则 m∥n 解析:易知①正确.而②中 α⊥β 且 m⊥α?m∥β 或 m∈β,又 n∥β,容易知道 m,n 的位置关系不定,因此②错误.而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定,因此 ③错误.而④中因为②不对,此项也不对.综上可知①正确.答案:① 5. 设 a, b, c 表示三条直线, α, β 表示两个平面, 则下列命题的逆命题不成立的是________. ①c⊥α,若 c⊥β,则 α∥β ②b?β,c 是 a 在 β 内的射影,若 b⊥c,则 a⊥b

③b?β,若 b⊥α,则 β⊥α ④b?α,c?α,若 c∥α,则 b∥c 解析:当 b?β,若 β⊥α,则未必有 b⊥α.答案:③ 6.已知二面角 α-l-β 的大小为 30° ,m、n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β,则 m、n 所成的角为________. 解析:∵m⊥α,n⊥β, ∴m、n 所成的夹角与二面角 α-l-β 所成的角相等或互补. ∵二面角 α-l-β 为 30° , ∴异面直线 m、n 所成的角为 30° .答案:30° 7.如图所示,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC= 90° , BC1⊥AC, 则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在直线______ 上. 解析:由 AC⊥AB,AC⊥BC1,AC⊥平面 ABC1, AC ? 平 面 ABC,∴平面 ABC1⊥平面 ABC,C1 在平面 ABC 上的 射影 H 必在两平面的交线 AB 上.答案:AB 8. (2010 年江苏昆山模拟)在矩形 ABCD 中, AB=3, AD =4,P 在 AD 上运动,设∠ABP=θ,将△ABP 沿 BP 折起,使 得平面 ABP 垂直于平面 BPDC,AC 长最小时 θ 的值为________. 解析:过 A 作 AH⊥BP 于 H,连 CH,∴AH⊥平 面 BCDP. ∴在 Rt△ABH 中,AH=3sinθ,BH=3cosθ. 在 △BHC 中 , CH2 = (3cosθ)2 + 42 - 2×4×3cosθ×cos(90° -θ), ∴在 Rt△ACH 中, AC2=25-12sin2θ, ∴θ=45° 时,AC 长最小.答案:45° 3 9.在正四棱锥 P-ABCD 中,PA= AB,M 是 BC 的中点,G 是△PAD 的重心,则在平面 2 PAD 中经过 G 点且与直线 PM 垂直的直线有________条. 3 为 a. 解析: 设正四棱锥的底面边长为 a,则侧棱长 2 由 PM⊥BC, a?2 2 3 ∴PM= ? a?2-? = a, ? 2 ? ?2? 2 连结 PG 并延长与 AD 相交于 N 点, 2 则 PN= a,MN=AB=a, 2 ∴PM2+PN2=MN2, ∴PM⊥PN,又 PM⊥AD, ∴PM⊥面 PAD, ∴在平面 PAD 中经过 G 点的任意一条直线都与 PM 垂 直.答案:无数 10.如图,在三棱锥 S-ABC 中,OA=OB,O 为 BC 中点, SO⊥平面 ABC,E 为 SC 中点,F 为 AB 中点. (1)求证:OE∥平面 SAB; (2)求证:平面 SOF⊥平面 SAB. 证明:(1)取 AC 的中点 G,连结 OG,EG, ∵OG∥AB,EG∥AS,EG∩OG=G,SA∩AB=A, ∴平面 EGO∥平面 SAB,OE?平面 OEG ∴OE∥平面 SAB (2)∵SO⊥平面 ABC, ∴SO⊥OB,SO⊥OA, 又 ∵OA = OB , SA2 = SO2 + OA2 , SB2 = SO2 + OB2,

∴SA=SB,又 F 为 AB 中点, ∴SF⊥AB,∵SO⊥AB, ∵SF∩SO=S,∴AB⊥平面 SOF, ∵AB?平面 SAB,∴平面 SOF⊥平面 SAB. 11.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1 分别是棱 AA1,BB1,A1B1 的中点. (1)求证:CE∥平面 C1E1F; (2)求证:平面 C1E1F⊥平面 CEF. 证明: (1)取 CC1 的中点 G, 连结 B1G 交 C1F 于点 F1 , 连 结 E1F1,A1G,FG, ∵F 是 BB1 的中点,BCC1B1 是矩形, ∵四边形 FGC1B1 也是矩形, ∴FC1 与 B1G 相互平分,即 F1 是 B1G 的中点. 又 E1 是 A1B1 的中点,∴A1G∥E1F1. 又在长方体中,AA1 綊 CC1,E,G 分别为 AA1, CC1 的 中 点, ∴A1E 綊 CG,∴四边形 A1ECG 是平行四边形, ∴A1G∥CE,∴E1F1∥CE. ∵CE?平面 C1E1F,E1F1?平面 C1E1F, ∴CE∥平面 C1E1F. (2)∵长方形 BCC1B1 中, BB1=2BC, F 是 BB1 的中点, ∴△BCF、△B1C1F 都是等腰直角三角形, ∴∠BFC=∠B1FC1=45° , ∴∠CFC1=180° -45° -45° =90° , ∴C1F⊥CF. ∵E,F 分别是矩形 ABB1A1 的边 AA1,BB1 的中点, ∴EF∥AB. 又 AB⊥平面 BCC1B1,又 C1F?平面 BCC1B1, ∴AB⊥C1F,∴EF⊥C1F. 又 CF∩EF=F,∴C1F⊥平面 CEF. ∵C1F?平面 C1E1F,∴平面 C1E1F⊥平面 CEF.

12.(2010 年江苏淮安模拟)如图,已知空间四 ABCD 中,BC=AC,AD=BD,E 是 AB 的中点. 求证:(1)AB⊥平面 CDE; (2)平面 CDE⊥平面 ABC; (3)若 G 为△ADC 的重心,试在线段 AE 上确定 得 GF∥平面 CDE. BC=AC? ? ??CE⊥AB,同理, 证明:(1) ? AE=BE ?
? AD=BD? ??DE⊥AB, AE=BE ? ? 又∵CE∩DE=E,∴AB⊥平面 CDE. (2)由(1)知 AB⊥平面 CDE, 又∵AB?平面 ABC, ∴平面 CDE⊥平面 ABC.





一点 F, 使

AG 2 (3)连结 AG 并延长交 CD 于 H,连结 EH,则 = , GH 1 AF 2 在 AE 上取点 F 使得 = , FE 1 则 GF∥EH,

第五节

简单几何体的面积和体积

A组 1.(2010 年东北四校联考)已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为 1, 3,2,则其 外接球的表面积为________. 解析:设外接球半径为 r,则(2r)2=12+( 3)2+22=8,故 r2=2.∴S 球=4πr2=8π.答案: 8π 2.(2009 年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角边长为 2,则以一直角边所在的直线为轴 旋转一周所成的几何体体积是_________. 解析:如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体. 1 1 V= S· h= πR2· h 3 3 1 8π 8π = π×22×2= .答案: 3 3 3 3.(2010 年南京调研)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D 为棱 AA1 的中点.若截面△BC1D 是面积为 6 的直角 三角形,则此三棱柱的体积为________. 解析:设 AC=a,CC1=b,则由 BC12=BC2+CC12, BC12 = 1 1 3 2 DC12+DB2,即得(a2+ b2)×2=a2+b2,得 b2=2a2,又 × a = 4 2 2 3 6,∴a2=8,∴V= ×8×4=8 3. 4 答案:8 3 4. 矩形 ABCD 中, AB=4, BC=3, 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个 直二面角 B-AC-D,则四面体 ABCD 的外接球的体积为________. 解析:由题意知,球心到四个顶点的距离相等,所以球心在对角线 AC 上,且其半径为 4 5 125π 125π AC 长度的一半,则 V 球= π×( )3= .答案: 3 2 6 6 5.已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且 AC=BC=6, AB=4,则球的半径等于________,球的表面积等于________. 解析:如右图,设球的半径为 r,O′是△ABC 的外 心,外接 1 = ,则 圆半径为 R, 则 OO′⊥面 ABC.在 Rt△ACD 中, cosA 3 2 2 6 9 sinA= .在△ABC 中,由正弦定理得 =2R,R = 2, 即 3 sinA 4 9 O′C= 2. 4 81×2 3 6 1 得 r= . 在 Rt△OCO′中,由题意得 r2- r2= , 2 4 16 9×6 球的表面积 S=4πr2=4π× =54π. 4 3 6 答案: 54π 2 6.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,过 A1、C1、B 三点的平面截去长方体的一 个角后,得到如图所示的几何体 ABCD-A1C1D1,且这个几何体的体

40 积为 .(1)证明:直线 A1B∥平面 CDD1C1;(2)求棱 A1A 的 长;(3)求经 3 过 A1,C1,B,D 四点的球的表面积. 解:(1)证明:法一:如图,连结 D1C, ∵ABCD-A1B1C1D1 是长方体, ∴A1D1∥BC 且 A1D1=BC. ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形. ∴A1B∥D1C. ∵A1B?平面 CDD1C1,D1C?平面 CDD1C1, ∴A1B∥平面 CDD1C1. 法二:∵ABCD-A1B1C1D1 是长方体, ∴平面 A1AB∥平面 CDD1C1. ∵A1B?平面 A1AB,A1B?平面 CDD1C1. ∴A1B∥平面 CDD1C1. 40 (2)设 A1A=h, ∵几何体 ABCD-A1C1D1 的体积为 , 3 A1B1C1 ∴VABCD - A1C1D1 = VABCD - A1B1C1D1 - VB - 40 = , 3 1 40 即 SABCD×h- ×S△A1B1C1×h= , 3 3 1 1 40 即 2×2×h- × ×2×2×h= ,解得 h=4. 3 2 3 ∴A1A 的长为 4. (3)如图,连结 D1B,设 D1B 的中点为 O,连 OA1,OC1,OD. ∵ABCD-A1B1C1D1 是长方体,∴A1D1⊥平面 A1AB. ∵A1B?平面 A1AB,∴A1D1⊥A1B. 1 1 ∴OA1= D1B.同理 OD=OC1= D1B. 2 2 ∴OA1=OD=OC1=OB. ∴经过 A1,C1,B,D 四点的球的球心为点 O. ∵D1B2=A1D12+A1A2+AB2=22+42+22=24. D 1B 2 ∴S 球=4π×(OD1)2=4π×( ) =π×D1B2=24π. 2 故经过 A1,C1,B,D 四点的球的表面积为 24π. B组 1.(2008 年高考湖北卷)用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 π,则球的体 积为________. 解析:截面圆的半径为 1,又球心到截面距离等于 1,所以球的半径 R= 2,故球的体 4 8 8 2π 积 V= πR3= 2π.答案: 3 3 3 2.在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB 的面积分 2 3 6 别为 , , ,则该三棱锥的体积为________. 2 2 2 1 2 1 3 1 6 解析: AB· AC= , AD· AC= , AB· AD= ,∴AB= 2,AC=1,AD= 3.∴V 2 2 2 2 2 2 11 6 6 = ·· 1· 2· 3= .答案: 32 6 6 3.(2010 年福建厦门检测)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个 32π 球的体积是 ,则这个三棱柱的体积是________. 3

4 32π 1 3 解析:由 πR3= ,得 R=2.∴正三棱柱的高 h=4.设其底面边长为 a,则 · a=2.∴a 3 3 3 2 3 =4 3.∴V= (4 3)2· 4=48 3.答案:48 3 4 4.(2009 年高考陕西卷改编)若正方体的棱长为 2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸 多面体的体积为________. 2 解析:所求八面体体积是两个底面边长为 1,高为 的四棱锥的体积和,一个四棱锥体 2 1 2 2 2 2 积 V1= ×1× = ,故八面体体积 V=2V1= .答案: 3 2 6 3 3 5.(2009 年高考全国卷Ⅰ)已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截 球面得到圆 M.若圆 M 的面积为 3π,则球 O 的表面积等于__________. R 解析:由题意得圆 M 的半径 r= 3,又球心到圆 M 的距离为 ,由勾股定理得 R2=r2 2 R2 +( ) ,∴R=2,则球的表面积为 4π×22=16π.答案:16π 2 6.(2009 年高考江西卷)体积为 8 的一个正方体,其全面积与球 O 的表面积相等,则球 O 的 体积等于________. 解析:设正方体棱长为 a,则 a3=8,∴a=2. 6 ∵S 正方体=S 球,∴6×22=4πR2,∴R= . π 4 4 6 3 8 6π 8 6π V 球= πR3= π( )= .答案: 3 3 π π π 7.若长方体的三个共顶点的面的面积分别是 2, 3, 6,则长方体的体积是__.

?ab= 解析:可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为 a,b,c,列出方程组?bc= ?ac= ?a= 2, 解得?b=1, ?c= 3.
所以长方体的体积 V=1× 2× 3= 6.

2, 3, 6,

8.在一个锥体中,作平行于底面的截面,若这个截面面积与底面面积之比为 1∶3,则锥体 被截面所分成的两部分的体积之比为________ 解析: 利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比等于相似比 的立方,而这个截面面积与底面面积之比等于相似比的平方. 答案:1∶3 3 9.(2010 年南通调研)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2 3,则四面体 A-B1CD1 的外接 球的体积为________. 解析:四面体 A-B1CD1 的外接球即为正方体的外接球,所以 2r= 3×(2 3)2.∴r=3, 4 4 V 球= πr3= π×27=36π.答案:36π 3 3 10. (2009 年高考宁夏、 海南卷)如图, 在三棱锥 P-ABC 中 , △PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90° . (1)证明:AB⊥PC; (2)若 PC=4,且平面 PAC⊥平面 PBC,求三棱锥 P - ABC 的 体积. 解:(1)证明:因为△PAB 是等边三角形, ∠PAC=∠PBC=90° , 所以 Rt△PBC≌Rt△PAC,可得 AC=BC.

如图,取 AB 中点 D,连结 PD、CD, 则 PD⊥AB,CD⊥AB,所以 AB⊥平面 PDC, 所以 AB⊥PC. (2)作 BE⊥PC,垂足为 E,连结 AE. 因为 Rt△PBC≌Rt△PAC, 所以 AE⊥PC,AE=BE. 由已知,平面 PAC⊥平面 PBC,故∠AEB=90° . 因为 Rt△AEB≌Rt△PEB, 所以△AEB,△PEB,△CEB 都是等腰直角三角形. 由已知 PC=4,得 AE=BE=2, △AEB 的面积 S=2. 因为 PC⊥平面 AEB, 1 8 所以三棱锥 P-ABC 的体积 V= ×S×PC= . 3 3 11.如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, 边三角形,AD=DE=2AB=2,F 为 CD 的中点. (1)求证:AF⊥平面 CDE; (2)求证:AF∥平面 BCE; (3)求四棱锥 C-ABED 的体积. 解:(1)证明:∵F 为等边三角形 CD 边上的 ∴AF⊥CD, ∵DE⊥平面 ACD,AF?平面 ACD, ∴AF⊥DE, 又 CD∩DE=D,∴AF⊥平面 CDE. (2)证明:取 CE 的中点 G,连 FG、BG.∵F 为 CD 的中点, 1 ∴GF∥DE 且 GF= DE. 2 ∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, ∴AB∥DE,∴GF∥AB. 1 又 AB= DE,∴GF=AB. 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF∥BG. ∵AF?平面 BCE,BG?平面 BCE,∴AF∥平面 BCE. (3)取 AD 中点 M,连结 CM, ∵△ACD 为等边三角形,则 CM⊥AD, ∵DE⊥平面 ACD,且 DE?平面 ABED, ∴平面 ACD⊥平面 ABED, 又平面 ACD∩平面 ABED=AD,∴CM⊥平面 ABED, ∴CM 为四棱锥 C-ADEB 的高, 1 1 ∴V= CM· SABED= AF· SABED= 3. 3 3 12.(2010 年广州质检)如图,A1A 是圆柱的母线,AB 面圆的直径,C 是底面圆周上异于 A、B 的任意一点,A1A (1)求证:BC⊥平面 A1AC; (2)求三棱锥 A1-ABC 的体积的最大值. 解:(1)证明:∵C 是底面圆周上异于 A、B 的任意一 是圆柱底面圆的直径, ∴BC⊥AC. ∵AA1⊥平面 ABC,BC ∴AA1⊥BC. ∵AA1∩AC=A,AA1 平面 ABC, 平面 AA1C,AC 平面 AA1C,

△ACD 为等

中点,

是圆柱底 =AB=2.

点, 且 AB

∴BC⊥平面 AA1C. (2)设 AC=x,在 Rt△ABC 中, BC= AB2-AC2= 4-x2(0<x<2), 1 11 故 VA1-ABC= S△ABC· AA1= ·· AC· BC· AA1 3 32 1 = x 4-x2(0<x<2), 3 1 1 即 VA1-ABC= x 4-x2= x2(4-x2) 3 3 1 = -(x2-2)2+4. 3 ∵0<x<2,0<x2<4,∴当 x2=2,即 x= 2时, 2 三棱锥 A1-ABC 的体积最大,其最大值为 . 3


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