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2015届高考数学必考题型过关练:专题五+数列 学生版


第 24 练

基本量——破解等差、等比数列的法宝

题型一 等差、等比数列的基本运算 例 1 已知等差数列{an}的前 5 项和为 105,且 a10=2a5. (1)求数列{an}的通项公式; (2)对任意 m∈N*,将数列{an}中不大于 72m 的项的个数记为 bm.求数列{bm}的前 m 项和 Sm.

题型二

等差、等比数列的性质及应用 例2 (1)已知正数组成的等差数列{an},前 20 项和为 100,则 a7· a14 的最大值是( )

A.25 B.50 C.100 D.不存在 S12 S10 (2)在等差数列{an}中,a1=-2 013,其前 n 项和为 Sn,若 - =2,则 S2 013 的值为( 12 10 A.-2 011 B.-2 012 C.-2 010 D.-2 013 题型三 等差、等比数列的综合应用 例 3 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足条件 2Sn=3(an-1),其中 n∈N*. (1)证明:数列{an}为等比数列; (2)设数列{bn}满足 bn=log3an,若 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和. )

总结提高 (1)关于等差、等比数列的基本量的运算,一般是已知数列类型,根据条件,设出 a1,an,Sn, n,d(q)五个量的三个,知三求二,完全破解. (2)等差数列和等比数列有很多相似的性质,可以通过类比去发现、挖掘. (3)等差、等比数列的判断一般是利用定义,在证明等比数列时注意证明首项 a1≠0,利用等比数列求和时 注意公比 q 是否为 1.

1.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( ) C.90 D.110 )

A.-110 B.-90

2.(2014· 课标全国Ⅱ)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn 等于( A.n(n+1) B.n(n-1) n?n+1? n?n-1? C. D. 2 2 )

3.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2S4=S5+S6,则数列{an}的公比 q 的值为( A.-2 或 1 B.-1 或 2 C.-2 D.1

4.(2014· 大纲全国)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和等于( A.6 B.5 C.4 D.3 5.(2014· 大纲全国)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=3,S4=15,则 S6 等于( A.31 B.32 C.63 D.64

)

)

An 7n+45 an 6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 = ,则使得 为整数的正整数 n Bn n+3 bn 的个数是( )

A.2 B.3 C.4 D.5 2 1 7.(2013· 课标全国Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式是 an=________. 3 3 8.(2014· 江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是________. 9.(2014· 安徽)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q=________. 10.在数列{an}中,如果对任意 n∈N*都有 差比.现给出下列问题: ①等差比数列的公差比一定不为零; ②等差数列一定是等差比数列; ③若 an=-3n+2,则数列{an}是等差比数列; ④若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比. 其中正确命题的序号为________. 11.(2014· 课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; an (2)求数列{ n}的前 n 项和. 2 an+2-an+1 =k(k 为常数),则称数列{an}为等差比数列,k 称为公 an+1-an

12.(2014· 北京)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且{bn-an}为等 比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和.

第 25 练

常考的递推公式问题的破解方略

题型一 由相邻两项关系式求通项公式
2 例 1 已知正项数列{an}满足 a1=1,(n+2)a2 n+1-(n+1)an+anan+1=0,则它的通项公式为(

)

1 2 A.an= B.an= n+1 n+1

n+1 C.an= D.an=n 2

题型二 已知多项间的递推关系求通项公式 1 例 2 已知数列{an}满足 a1= ,anan-1=an-1-an,则数列{an}的通项公式为________. 2 题型三 构造法求通项公式 例3 (1)已知 a1=1,an+1=2an+1,求 an; an (2)已知 a1=1,an+1= ,求 an. an+1

总结提高 求数列通项公式常见的方法: (1)观察法:利用递推关系写出前 n 项,根据前 n 项的特点观察,归纳猜想出 an 的表达式.

? n=1, ?S1, (2)利用前 n 项和与通项的关系 an=? ?Sn-Sn-1, n≥2. ?

(3)在已知数列{an}中,满足 an+1-an=f(n)且 f(1)+f(2)+?+f(n)可求,则可用累加法求数列的通项 an. (4)在已知数列{an}中,满足 an+1 =f(n)且 f(1)· f(2)· ?· f(n)可求,则可用累乘法求数列的通项 an. an

(5)将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列).

a3 1.在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则 的值是( a5 15 A. 16 15 3 3 B. C. D. 8 4 8

)

2.学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A,B 两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一 选 A 种菜的,下星期一会有 20%改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下星期一会有 30%改选 A 种菜.用 an,bn 分别表示在第 n 个星期的星期一选 A 种菜和选 B 种菜的人数,如果 a1=300,则 a10 为( A.350 B.300 C.400 D.450 n-1 x 1 2 3.已知 f(x)=log2 +1,an=f( )+f( )+?+f( ),n 为正整数,则 a2 015 等于( n n n 1-x A.2 014 B.2 009 C.1 005 D.1 006 4.在正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项公式为________. 5.数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 2SnSn-1=an(n≥2,n∈N*),且 a1=1,则数列{an}的通项公式为________. 1 - 6.设函数 f(x)=a1+a2x+a3x2+?+anxn 1,f(0)= ,数列{an}满足 f(1)=n2an(n∈N*),则数列{an}的通项 2 an=________. 7.若 f(n)为 n2+1(n∈N*)的各位数字之和,如 62+1=37,f(6)=3+7=10,f1(n)=f(n),f2(n)=f(f1(n)),?, fk+1(n)=f(fk(n)),k∈N*,则 f2 014(4)=________. 1 8.数列{an},{bn}满足 an=ln n,bn= ,则数列{an· bn}中第________项最大. n n 9.对于正项数列{an},定义 Hn= 为{an}的“光阴”值,现知某数列的“光阴”值为 a1+2a2+3a3+?+nan 2 Hn= ,则数列{an}的通项公式为________. n+2 1 10.(2014· 课标全国Ⅱ)数列{an}满足 an+1= ,a =2,则 a1=________. 1-an 8 11.(2014· 大纲全国)数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 12.(2014· 湖南)已知数列{an}满足 a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*. (1)若{an}是递增数列,且 a1,2a2,3a3 成等差数列,求 p 的值; 1 (2)若 p= ,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式. 2 ) )

第 26 练

数列求和问题大全

题型一 分组转化法求和 例 1 等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2,a3 中的任何两个 数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1)nln an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

题型二 错位相减法求和 例 2 已知:数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2an-n(n∈N*). (1)求 a1,a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)若数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且满足 bn=nan(n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

题型三 倒序相加法求和 1 例 3 已知函数 f(x)= x (x∈R). 4 +2 1 (1)证明:f(x)+f(1-x)= ; 2 n (2)若数列{an}的通项公式为 an=f( )(m∈N*,n=1,2,?,m),求数列{an}的前 m 项和 Sm; m 1 1 1 1 (3)设数列{bn}满足 b1= ,bn+1=b2 Tn= + +?+ ,若(2)中的 Sm 满足对不小于 2 的任 n+bn, 3 b1+1 b2+1 bn+1 意正整数 m,Sm<Tn 恒成立,试求正整数 m 的最大值.

题型四 裂项相消法求和 例 4 在公差不为 0 的等差数列{an}中,a1,a4,a8 成等比数列. (1)已知数列{an}的前 10 项和为 45,求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)若 bn= ,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,若 Tn= - ,求数列{an}的公差. 9 n+9 anan+1

总结提高 数列求和的主要方法: (1)分组求和法:一个数列既不是等差数列也不是等比数列,若将这个数列适当拆开,重新组合,就会变成 几个可以求和的部分,即能分别求和,然后再合并,或对字母 n 分类讨论后再求和. (2)错位相减法: 这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 主要用于求{an· bn}的前 n 项和, 其中{an} 和{bn}分别是等差数列和等比数列.

(3)倒序相加法: 这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法,将一个数列倒过来排序,如果原数列相加时, 若有公因式可提,并且剩余项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和. 1 (4)裂项相消法:把数列和式中的各项分别裂开后,消去一部分从而计算和的方法,适用于求通项为 an· an+1 1 1 1 1 的前 n 项和,其中{an}若为等差数列,则 = · ( - ). an· an+1 d an an+1 其余还有公式法求和等.

2 1.若数列{an}的通项公式为 an= ,则其前 n 项和 Sn 为( n?n+2? 1 A.1- n+2 3 1 1 B. - - 2 n n+1 3 1 1 C. - - 2 n n+2

)

3 1 1 D. - - 2 n+1 n+2 ) 1 D.n2+2- n-1 2 )

1 1 1 1 2.已知数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,则其前 n 项和 Sn 为( 2 4 8 16 1 A.n2+1- n 2 B.n2+2- 1 2n C.n2+1- 1 - 2n 1

3.(2013· 课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m 等于( A.3 B.4 C.5 D.6

4.在数列{an}中,若存在一个确定的正整数 T,对任意 n∈N*满足 an+T=an,则称{an}是周期数列,T 叫作 它的周期.已知数列{xn}满足 x1=1,x2=a(a≤1),xn+2=|xn+1-xn|,当数列{xn}的周期为 3 时,则{xn}的前 2 013 项和 S2 013 等于( A.1 340 B.1 342 ) C.1 344 D.1 346

5.已知数列 2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,?,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前 后两项之和,则这个数列的前 2 014 项之和 S2 014 等于( A.2 008 B.2 010 C.1 D.0 6.数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前 60 项和为________.
? 1 ? 7. 在等比数列{an}中, a1=3, a4=81, 若数列{bn}满足 bn=log3an, 则数列?b b ?的前 n 项和 Sn=________. ? n n+1?

)

8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=1.{an}的“差数列”的通项公式为 an+1-an=2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 9.定义:若数列{An}满足 An+1=A2 n,则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中,a1=2,点(an, an+1)在函数 f(x)=2x2+2x 的图象上,其中 n 为正整数. (1)证明:数列{2an+1}是“平方递推数列”,且数列{lg(2an+1)}为等比数列; (2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 Tn,即 Tn=(2a1+1)· (2a2+1)· ?· (2an+1),求数列{an}的通项 公式及 Tn 关于 n 的表达式.

n2+n 10.(2014· 湖南)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前 2n 项和.

11.(2014· 课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1 (1)证明{an+ }是等比数列,并求{an}的通项公式; 2 1 1 1 3 (2)证明 + +?+ < . a1 a2 an 2

12.(2014· 山东)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(-1)n
-1

4n ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1


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