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高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理2学案


1.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)

[学习目标] 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.能根据实际问题特征,正确选择原理解决实际问题. [知识链接] 1.火车上有 10 名乘客,沿途有 5 个车站,乘客下车的可能方式有多少种? 答 分 10 步. 第 1 步:考虑第 1 名乘客下车的所有可能有 5 种; 第 2 步:考虑第 2 名乘客下车的所有可能有 5 种; ? 第 10 步:考虑第 10 名乘客下车的所有可能有 5 种. 故共有乘客下车的可能方式有 5×5×5×?×5 ,10 个=5 (种). 2.从 1,2,3,4,7,9 六个数中,任意两个不同数作对数的底数和真数,则所有不同的对 数的值的个数有多少? 答 (1)当取的两数中有 1 时,且 1 只能为真数,此时不管取哪一个数为底数对数的值都为 0. (2)当两数都不取 1 时,分两步:①取底数,5 种;②取真数,4 种. 其中 log23=log49,log32=log94,log24=log39,log42=log93, ∴即所有不同的对数的值的个数为 1+5×4-4=17. [预习导引] 1.两计数原理的联系 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题. 2.两计数原理的区别 分类加法计数原理针对的是分类问题, 其中各种方法相互独立, 用其中任何一种方法都可以 做完这件事,分类要做到不重不漏;分步乘法计数原理针对的是分步问题,各个步骤中的方 法相互依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事,分步要做到步骤完整.
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要点一 两个计数原理在排数中的应用 例 1 数字不重复的四位偶数共有多少个? 解 (1)0 在末位时,十、百、千分别有 9,8,7 种排法,共有 9×8×7=504(个). (2)0 不在末位时,2,4,6,8 中的一个在末位,有 4 种排法,首位有 8 种(0 除外),其余 两位分别有 8,7 两种排法. ∴共有 4×8×8×7=1 792(个). 由(1)(2)知,共有符合题意的偶数为 504+1 792=2 296(个). 规律方法 排数问题实际就是分步问题,需要用分步乘法计数原理解决.此题中,由于数字 0 的出现,又进行了分类讨论,即在解决相关的排数问题时,要注意两个原理的综合应用. 跟踪演练 1 用 0,1,?,9 这十个数字,可以组成多少个: (1)三位整数? (2)无重复数字的三位整数? (3)小于 500 的无重复数字的三位整数? 解 由于 0 不可在最高位,因此应对它进行单独考虑. (1)百位数字有 9 种选择,十位数字和个位数字都各有 10 种选择.由分步乘法计数原理知, 适合题意的三位数共有 9×10×10=900(个). (2)由于数字不可重复,可知百位数字有 9 种选择,十位数字也有 9 种选择,但个位数字仅 有 8 种选择.由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数共有 9×9×8=648(个). (3)百位数字只有 4 种选择,十位数字有 9 种选择,个位数字有 8 种选择. 由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数共有 4×9×8=288(个). 要点二 抽取(分配)问题 例 2 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级 去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( A.16 种 B.18 种 C.37 种 D.48 种 答案 C 解析 法一 (直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类:
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)

第一类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有 1 种情况; 第二类, 有两个班级去甲工厂, 剩下的班级去另外三个工厂, 其分配方案共有 3×3=9(种); 第三类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配方案共有 3×3×3= 27(种). 综上所述,不同的分配方案有 1+9+27=37(种). 法二 (间接法) 先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数, 再扣除甲工厂无人去的情况, 即: 4×4×4-3×3×3 =37(种)方案. 规律方法 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时,一般选用例举法、树状图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计 数原理. 一般地, 若抽取是有顺序的就按分步进行; 若是按对象特征抽取的, 则按分类进行. ② 间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即 可. 跟踪演练 2 3 个不同的小球放入 5 个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种 方法? 解 法一 (以小球为研究对象)分三步来完成: 第一步:放第一个小球有 5 种选择; 第二步:放第二个小球有 4 种选择; 第三步:放第三个小球有 3 种选择. 根据分步乘法计数原理得:共有方法数 N=5×4×3=60(种). 法二 (以盒子为研究对象)盒子标上序号 1,2,3,4,5;分成以下 10 类: 第一类:空盒子标号为(1,2),选法有 3×2×1=6(种); 第二类:空盒子标号为(1,3),选法有 3×2×1=6(种); 第三类:空盒子标号为(1,4),选法有 3×2×1=6(种). 分类还有以下几种情况:(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5);共 10 类,每一类都有 6 种方法. 根据分类加法计数原理得:共有方法数 N=6+6+?+6=60(种). 要点三 涂色问题 例 3 一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分
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为 n(n≥3,n∈N)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花.

(1)如图 1,圆环分成的 3 等份为 a1,a2,a3,有多少种不同的种植方法? (2)如图 2,圆环分成的 4 等份为 a1,a2,a3,a4,有多少种不同的种植方法? 解 (1)如题图 1,先对 a1 部分种植,有 3 种不同的种植方法,再对 a2,a3 种植. 因为 a2,a3 与 a1 不同颜色,a2,a3 也不同,所以由分步乘法计数原理得 3×2×1=6(种). (2)如图 2, 当 a1, a3 不同色时, 有 3×2×1×1=6(种)种植方法, 当 a1, a3 同色时, 有 3×2×2×1 =12(种)种植方法,由分类加法计数原理,共有 6+12=18(种)种植方法. 规律方法 (1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,但是不相邻的区域可以同色.因此 一般以不相邻区域同色、不同色为分类依据,相邻区域可用分步涂色的办法涂色. (2)涂色问题往往涉及两计数原理的综合应用,因此,要找准分类标准,兼顾条件的情况下 分步涂色.

跟踪演练 3 如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P-ABC 与正三棱柱 ABC-A1B1C1 组合而成 的,现用 3 种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面 A1B1C1 不涂色),要求相邻的面均不同 色,则不同的染色方案共有________种. 答案 12 解析 先涂三棱锥 P-ABC 的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,由分步乘法计数原理, 共有 3×2×1×2=12(种)不同的涂法. 要点四 种植问题 例 4 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种在不同土质的三块土地 上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法. 解 法一 (直接法):若黄瓜种在第一块土地上,则有 3×2×1=6(种)不同种植方法. 同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有 3×2×1=6(种)不同种植方法.

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故不同的种植方法共有 6×3=18(种). 法二 (间接法):从 4 种蔬菜中选出 3 种,种在三块地上,有 4×3×2=24(种),其中不种 黄瓜有 3×2×1=6(种),故共有不同种植方法 24-6=18(种). 规律方法 按元素性质分类,按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法,区分“分

类”与“分步”的关键, 是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情, 分类中的每一种 方法都完成了这件事情, 而分步中的每一种方法不能完成这件事情, 只是向事情的完成迈进 了一步. 跟踪演练 4 将 3 种作物种植在如图所示的 5 块试验田里, 每块种植一种作物且相邻的试验 田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有________种(以数字作答).

答案 42 解析 分别用 a,b,c 代表 3 种作物,先安排第一块田,有 3 种方法,不妨设放入 a,再安 排第二块田,有 2 种方法 b 或 c,不妨设放入 b,第三块也有 2 种方法 a 或 c. (1)若第三块田放 c:

a

b

c

第四、五块田分别有 2 种方法,共有 2×2=4(种)方法. (2)若第三块田放 a:

a
第四块有 b 或 c2 种方法: ①若第四块放 c:

b

a

a
第五块有 2 种方法; ②若第四块放 b:

b

a

c

a
第五块只能种作物 c,共 1 种方法.

b

a

b

综上,共有 3×2×(2×2+2+1)=42(种)方法.

1.某小组有 8 名男生,6 名女生,从中任选男生、女生各一人去参加座谈会,则不同的选 法有( )
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A.48 种 B.24 种 C.14 种 D.12 种 答案 A 解析 从 8 名男生中任意挑选一名参加座谈会, 共有 8 种不同的选法, 从 6 名女生中任意挑 选一名参加座谈会,共有 6 种不同的选法.由分步乘法计数原理知,不同的选法共有 8×6 =48(种). 2.已知函数 y=ax +bx+c 为二次函数,其中 a,b,c∈{0,1,2,3,4},则不同的二次 函数的个数为( )
2

A.125 B.15 C.100 D.10 答案 C 解析 若 y=ax +bx+c 为二次函数,则 a≠0,要完成该事件,需分步进行: 第一步:对于系数 a 有 4 种不同的选法; 第二步:对于系数 b 有 5 种不同的选法; 第三步:对于系数 c 有 5 种不同的选法. 由分步乘法计数原理知,共有 4×5×5=100(个). 3.(a1+a2)·(b1+b2+b3)·(c1+c2+c3+c4)的展开式中有________项. 答案 24 解析 要得到项数分三步: 第一步,从第一个因式中取一个因子,有 2 种取法; 第二步,从第二个因式中取一个因子,有 3 种取法; 第三步,从第三个因式中取一个因子,有 4 种取法. 由分步乘法计数原理知,共有 2×3×4=24(项). 4.由 0,1,2,3 这四个数字,可组成多少个: (1)无重复数字的三位数? (2)可以有重复数字的三位数? 解 (1)0 不能做百位数字,所以百位数字有 3 种选择,十位数字有 3 种选择,个位数字有 2 种选择,所以无重复数字的三位数共有 3×3×2=18(个). (2)百位数字有 3 种选择,十位数字有 4 种选择,个位数字也有 4 种选择. 由分步乘法计数原理知,可以有重复数字的三位数共有 3×4×4=48(个).
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1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本,也是最重要的原理,是解答排列, 组合问题,尤其是较复杂的排列,组合问题的基础. 2.应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成;应用分步乘法计数 原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤. 3.一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏. 4.若正面分类,种类比较多,而问题的反面种类比较少时,则使用间接法会简单一些.

一、基础达标 1.如图,小圆点表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有 网线相连,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通 过的最大信息量.现从结点 A 向结点 B 传递信息,信息可沿不 同的路径同时传递,则单位时间传递的最大信息量是 ( A.26 答案 D 解析 单位时间内传递的最大信息量是 N=3+4+6+6=19,故选 D. 2.已知 x∈{1,2,3,4},y∈{5,6,7,8},则 xy 可表示不同值的个数为( A.2 答案 D 解析 完成 xy 这件事分两步: 第一步:从集合{1,2,3,4}选一个数,共有 4 种选法; 第二步:从集合{5,6,7,8}选一个数,共有 4 种选法. 共有 4×4=16(种)选法.其中 3×8=4×6,所以 xy 可表示的不同值的个数为 15. 3.从 0,1,2,?,9 这 10 个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a,b) 的坐标,能够确定不在 x 轴上的点的个数是 A.100 答案 C 解析 分两步:第一步选 b,∵b≠0,所以有 9 种选法;第二步选 a,因 a≠b,所以有 9 种
7

) D.19

B.24

C.20

)

B.4

C.8

D.15

( D.72

)

B.90

C.81

选法.由分步乘法计数原理知共有 9×9=81(个)点. 4.(2013·福建理)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax +2x+b=0 有实数解 的有序数对(a,b)的个数为 A.14 答案 B 解析 ①当 a=0 时,很显然为垂直于 x 轴的直线方程,有解,此时 b 取 4 个值,故有 4 种 有序数对;②当 a≠0 时,需要 Δ =4-4ab≥0,即 ab≤1,显然有 3 个实数对不满足题意, 分别为(1,2),(2,1),(2,2).∵(a,b)共有 3×4=12 个实数对,此时(a,b)的取值为 12-3=9(个).∴(a,b)的个数为 4+9=13. 5.五个工程队承建某项工程的 5 个不同的子项目,每个工程队承建 1 项,其中甲工程队不 能承建 1 号子项目,则不同的承建方案有________种. 答案 96 解析 完成承建任务可分五步: 第一步,安排 1 号有 4 种; 第二步,安排 2 号有 4 种; 第三步,安排 3 号有 3 种; 第四步,安排 4 号有 2 种; 第五步,安排 5 号有 1 种. 由分步乘法计数原理知,共有 4×4×3×2×1=96(种). 6.有 10 本不同的数学书,9 本不同的语文书,8 本不同的英语书,从中任取两本不同类的 书,共有________种不同的取法. 答案 242 解析 分三类,第一类:取数学书和语文书,有 10×9=90(种);第二类:取数学书和英语 书,有 10×8=80(种);第三类:取语文书和英语书,有 9×8=72(种),故共有 90+80+ 72=242(种). 7.若把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的 12 条直 线中,异面直线共有多少对? 解 把六棱锥的棱分成三类: 第一类,底面上的六条棱所在的直线共面,则每两条之间不能构成异 B.13 C.12 D.10 ( )
2

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面直线. 第二类,六条侧棱所在的直线共点,每两条之间也不能构成异面直线. 第三类, 结合图形可知, 底面上的六条棱所在的直线中的每一条与之不相交的四条侧棱所在 的四条直线中的每一条才能构成异面直线. 再由分步乘法计数原理,可构成异面直线 6×4=24(对). 二、能力提升 8.现有 4 种不同颜色对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界 的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有( A.24 种 C.36 种 答案 D 解析 共有 4×3×2×2=48(种). 9.从集合{1,2,3,4,5}中任取 2 个不同的数,作为直线 Ax+By=0 的系数,则形成不同 的直线最多有 A.18 条 答案 A 解析 第一步取 A 的值,有 5 种取法,第二步取 B 的值有 4 种取法,其中当 A=1,B=2 时, 与 A=2,B=4 时是相同的;当 A=2,B=1 时,与 A=4,B=2 时是相同的,故共有 5×4- 2=18(条). 10.如图是 5 个相同的长方形,用红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色涂这些长方形,使每个长方 形涂一种颜色,且相邻长方形涂不同的颜色.如果颜色可反复使用,那么共有________种涂 色方法. ?答案 1 280 解析 涂第一个长方形时有 5 种方法;涂第二个长方形时颜色与第一个不同,有 4 种方法; 由于颜色可以反复使用,因此第三个、第四个、第五个长方形各有 4 种涂法.由分步乘法计 数原理知,所有的涂色方法共有 5×4×4×4×4=1 280(种). 11.有一项活动,需在 3 名老师、8 名男同学和 5 名女同学中选人参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同方法? (2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同选法? (3)若需一名老师、一名学生参加,有多少种不同选法?
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)

B.30 种 D.48 种

( B.20 条 C.25 条 D.10 条

)

解 (1)有三类选人的方法:3 名老师中选一人,有 3 种方法;8 名男同学中选一人,有 8 种方法;5 名女同学中选一人,有 5 种方法. 由分类加法计数原理,共有 3+8+5=16 种选法. (2)分三步选人:第一步选老师,有 3 种方法;第二步选男同学,有 8 种方法;第三步选女 同学,有 5 种方法. 由分步乘法计数原理,共有 3×8×5=120 种选法. (3)可分两类,每一类分两步.第一类:选一名老师再选一名男同学,有 3×8=24 种选法; 第二类:选一名老师再选一名女同学,共有 3×5=15 种选法. 由分类加法计数原理,共有 24+15=39 种选法. 12.从{-3,-2,-1,0,1,2,3}中,任取 3 个不同的数作为抛物线方程 y=ax +bx+c 的系数,如果抛物线经过原点,且顶点在第一象限,则这样的抛物线共有多少条? 解 因为抛物线经过原点,所以 c=0,从而知 c 只有 1 种取值.
2

b ? ?-2a>0, 又抛物线 y=ax +bx+c 顶点在第一象限,所以顶点坐标满足? 4ac-b ? ? 4a >0,
2 2

由 c=0 解得 a<0,b>0,所以 a∈{-3,-2,-1},b∈{1,2,3}, 这样要求的抛物线的条数可由 a,b,c 的取值来确定: 第一步:确定 a 的值,有 3 种方法; 第二步:确定 b 的值,有 3 种方法; 第三步:确定 c 的值,有 1 种方法. 由分步乘法计数原理知,表示的不同的抛物线有 N=3×3×1=9(条). 三、探究与创新 13.(1)从 5 种颜色中选出三种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶 点上,每个顶点上染一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色, 求不同的染色方法总数. (2)从 5 种颜色中选出四种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上, 每个顶点上染一种颜色,并使同一条棱上的两端点异色,求不同 的染色方法总数. 解 (1)如图,由题意知,四棱锥 S-ABCD 的顶点 S,A,B 所染 色互不相同, 则 A, C 必须颜色相同, B, D 必须颜色相同, 所以, 共有 5×4×3×1×1=60(种).
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(2)法一 由题意知,四棱锥 S-ABCD 的顶点 S,A,B 所染色互不相同,则 A,C 可以颜色相 同,B,D 可以颜色相同,并且两组中必有一组颜色相同.所以,先从两组中选出一组涂同 一颜色,有 2 种选法(如:B,D 颜色相同);再从 5 种颜色中,选出四种颜色涂在 S,A,B,

C 四个顶点上, 有 5×4×3×2=120(种)涂法; 根据分步乘法计数原理, 共有 2×120=240(种)
不同的涂法. 法二 分两类. 第一类,C 与 A 颜色相同.由题意知,四棱锥 S-ABCD 的顶点 S,A,B 所染色互不相同,它 们共有 5×4×3=60(种)染色方法.共有 5×4×3×1×2=120(种)方法; 第二类,C 与 A 颜色不同.由题意知,四棱锥 S-ABCD 的顶点 S,A,B 所染色互不相同,它 们共有 5×4×3=60(种)染色方法.共有 5×4×3×2×1=120(种)方法; 由分类加法计数原理,共有 120+120=240(种)不同的方法.

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