tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

数列型不等式放缩技巧方法


数列型不等式放缩技巧方法
证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考 性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各 级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列 通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:

一 利

用重要不等式放缩
1. 均值不等式法
2 例 1 设 S n ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 n(n ? 1) ? S n ? (n ? 1) . 2 2

解析

此数列的通项为 ak ?
? k ? k (k ? 1) ?

k (k ? 1) , k ? 1,2,?, n.

n n 1 k ? k ?1 1 ? k ? ,? ? k ? S n ? ? (k ? ) , 2 2 2 k ?1 k ?1

2 即 n(n ? 1) ? S n ? n(n ? 1) ? n ? (n ? 1) .

2

2

2

2

注:①应 注意把握放缩的“度 ” :上述不等式右边放缩 用的是均值不等式 n (n ? 1)(n ? 3) (n ? 1) 2 ,就放 a ? b ,若放成 k (k ? 1) ? k ? 1 则得 S n ? ? (k ? 1) ? ? ab ? 2 2 2 k ?1 过“度”了! ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式,这里
n 1 1 ??? a1 an ? n a1 ? a n ? a1 ? ? ? a n ? n
2 a12 ? ? ? a n n

其中, n ? 2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。

1 1 , f (1) ? 4 , f (x) 在[0, 若 且 1]上的最小值为 , bx 2 1? a ? 2 5 1 1 求证: f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ? n ?1 ? . (02 年全国联赛山东预赛题) 2 2
例2 已知函数 f ( x) ? 简析 f ( x) ?

4x 1 1 1 ?1? ?1? ( x ? 0) ? f (1) ? ? ? f (n) ? (1 ? ) x x x 2? 2 1? 4 1? 4 2?2 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? n ? n ?1 ? . 2 n 4 2 2 2? 2 2? 2 2 2

例 3 已知 a, b 为正数,且

1 1 ? ? 1 ,试证:对每一个 n ? N ? , a b

(a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .(88 年全国联赛题) 1 1 1 1 a b 简析 由 ? ? 1 得 ab ? a ? b ,又 (a ? b)( ? ) ? 2 ? ? ? 4 ,故 a b a b b a n 0 n 1 n?1 r n ?r r n ab ? a ? b ? 4 ,而 (a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b n ,
n n n 1 n?1 r n ?r r n?1 n?1 令 f (n) ? (a ? b) ? a ? b , f (n) = Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn ab , 则

i n 因为 Cn ? Cn ?i ,倒序相加得
1 r n 2 f (n) = Cn (a n?1b ? abn?1 ) ? ? ? Cn (a n?r b r ? a r b n?r ) ? ? ? Cn ?1 (abn?1 ? a n?1b) ,
n

而 a n?1b ? abn?1 ? ? ? a n?r b r ? a r b n?r ? ? ? abn?1 ? a n?1b ? 2 a n b n ? 2 ? 4 2 ? 2 n?1 ,则 1 r n 2 f (n) = (Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ?1 )(a r b n?r ? a n?r b r ) ? (2n ? 2)(a r b n?r ? a n?r b r )

? (2 n ? 2) ? 2 n ?1 ,所以 f (n) ? (2 n ? 2) ? 2 n ,即对每一个 n ? N ? , (a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1 .
1

例 4 求证 C ? C ? C ? ? ? C ? n ? 2
1 n 2 n 3 n n n
1 n 2 n 3 n

n?1 2

(n ? 1, n ? N ) .

简析 不等式左边 C ? C ? C ? ? ? C ? 2 n ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1
n n

? n ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2
n 2

= n ? 2 ,原结论成立. 2.利用有用结论 例 5 求证 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ? 1 ) ? 2n ? 1. 3 5 2n ? 1 简析 本题可以利用的有用结论主要有: 法 1 利用假分数的一个性质 b ? b ? m (b ? a ? 0, m ? 0) 可得
n?1

n ?1 2

a

a?m

2 4 6 2n 3 5 7 2 n ? 1 1 3 5 2n ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2n ? 1) 1 3 5 2n ? 1 2 4 6 2n 2 4 6 2n ? ( 2 ? 4 ? 6 ? 2n ) 2 ? 2n ? 1 即 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 )? (1 ? 1 ) ? 2n ? 1. 3 5 2n ? 1 1 3 5 2n ? 1 n ? 法 2 利用贝努利不等式 (1 ? x) ? 1 ? nx(n ? N , n ? 2, x ? ?1, x ? 0) 的一个
特例 (1 ?
1?
1 )得 1 2 1 (此处 n ? 2, x ? ) ? 1? 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

n n 1 2k ? 1 1 2k ? 1 ? ? ?(1 ? )?? ? 2n ? 1. k ?1 k ?1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 注:例 5 是 1985 年上海高考试题,以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成 1998 年全国高考文科试题;进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是: 1 1 1 证明 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? 3 3n ? 1. (可考虑用贝努利不等式 n ? 3 的特例) 4 7 3n ? 2

1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ,0 ? a ? 1, 给定n ? N ? , n ? 2. n ? 求证: f (2 x) ? 2 f ( x)(x ? 0) 对任意 n ? N 且 n ? 2 恒成立。 (90 年全国卷压轴题) 简析 本题可用数学归纳法证明,详参高考评分标准;这里给出运用柯西( Cauchy)
例 6 已知函数 f ( x) ? lg 不等式 [

? (ai bi )]2 ? ? ai2 ? bi2 的简捷证法:
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

f (2 x) ? 2 f ( x) ? lg

1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x 1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ? 2 lg n n

? [1 ? 2 x ? 3x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x ]2 ? n ? [1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x ] x x x x 2 而由 Cauchy不等式得 (1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? ? ? 1 ? (n ? 1) ? a ? n ) ? (12 ? ? ? 12 ) ? [1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a 2 ? n 2 x ] ( x ? 0 时取等号) ,得证! ? n ? [1 ? 2 2 x ? 32 x ? ? ? (n ? 1) 2 x ? a ? n 2 x ] (? 0 ? a ? 1 )
1 1 )an ? n . (I ) 用数学归纳法证明 an ? 2(n ? 2) ; n ?n 2 (II ) 对 ln(1 ? x) ? x 对 x ? 0 都成立,证明 an ? e2 (无理数 e ? 2.71828? ) 年辽宁卷第 (05
例 7 已知 a1 ? 1, an ?1 ? (1 ?
2

22 题) 解析 (II ) 结合第 (I ) 问结论及所给题设条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )的结构特征,可得 放缩思路: a n ?1 ? (1 ?

1 1 1 1 ? n )a n ? ln a n ?1 ? ln(1 ? 2 ? n ) ? ln a n ? n ?n 2 n ?n 2 1 1 1 1 ? ln a n ? 2 ? n 。于是 ln a n ?1 ? ln a n ? 2 ? n, n ?n 2 n ?n 2
2

2

?
i ?1

n ?1

(ln ai ?1 ? ln ai ) ? ?
i ?1

n ?1

1 1 1 ( 2 ? i ) ? ln a n ? ln a1 ? 1 ? ? n i ?i 2

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 2 ? 2 ? ? n ? 2. 1 n 2 1? 2

即 ln an ? ln a1 ? 2 ? an ? e 2 . 注:题目所给条件 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0 )为一有用结论,可以起到提醒思路与探索 放缩方向的作用;当然,本题还可用结论 2 n ? n(n ? 1)(n ? 2) 来放缩: 1 1 1 )(a n ? 1) ? a n ?1 ? (1 ? )a n ? ? a n ?1 ? 1 ? (1 ? n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 1 1 ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ? ln(1 ? )? . n(n ? 1) n(n ? 1)

? ?[ ln(ai ?1 ? 1) ? ln(ai ? 1)] ? ?
i ?2 i ?2

n ?1

n ?1

1 1 ? ln(a n ? 1) ? ln(a 2 ? 1) ? 1 ? ? 1 , i(i ? 1) n

即 ln(an ? 1) ? 1 ? ln 3 ? an ? 3e ?1 ? e 2 .

1 1 1 1 ? ? ? ? ? [log 2 n], n ? N ? , n ? 2.[log 2 n] 表 示 不 超 过 2 3 n 2 nan?1 log2 n 的最大整数。设正数数列 {an } 满足: a1 ? b(b ? 0), an ? , n ? 2. n ? an?1 2b 求证 a n ? , n ? 3. (05 年湖北卷第(22)题) 2 ? b[log2 n] nan?1 1 n ? an?1 1 1 简析 当 n ? 2 时 an ? ? ? ? ? ,即 n ? an?1 an an?1 an?1 n
例 8 已知不等式
n n 1 1 1 1 1 1 )?? . ? ? ?? ( ? a k ak ?1 a n a n ?1 n k ?2 k ?2 k 1 1 1 2b 于是当 n ? 3 时有 ? ? [log2 n] ? a n ? . a n a1 2 2 ? b[log2 n]

注:①本题涉及的和式 1 ? 1 ? ? ? 1 为调和级数,是发散的,不能求和;但是可 2 3 n 1 1 1 1 以利用所给题设结论 ? ? ? ? ? [log 2 n] 来进行有效地放缩; 2 3 n 2 ②引入有用结论在解题中即时应用,是近年来高考创新型试题的一个显著特点, 有利于培养学生的学习能力与创新意识。

1 n ) ,求证:数列 {an } 单调递增且 a n ? 4. n n?1 n?1 n 解析 引入一个结论:若 b ? a ? 0 则 b ? a ? (n ? 1)b (b ? a) (证略) n?1 整理上式得 a ? b n [(n ? 1)a ? nb]. ( ? )
例 9 设 a n ? (1 ?

1 n ?1 1 1 ) ? (1 ? 1 ) n . , b ? 1 ? 代入( ? )式得 (1 ? n ?1 n ?1 n n 即 {an } 单调递增。
以 a ? 1?

1 n 1 1 1 代入( ? )式得 1 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) 2 n ? 4. 2n 2 2n 2n 1 n 此式对一切正整数 n 都成立, 即对一切偶数有 (1 ? ) ? 4 , 又因为数列 {an } 单 n 调递增,所以对一切正整数 n 有 (1 ? 1 ) n ? 4 。 n
以 a ? 1, b ? 1 ?

3

注:①上述不等式可加强为 2 ? (1 ?

1 n ) ? 3. 简证如下: n

1 1 1 1 2 n 1 利用二项展开式进行部分放缩: a n ? (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? C n ? 2 ? ? ? C n n . n n n n 1 1 只取前两项有 a n ? 1 ? C n ? ? 2. 对通项作如下放缩: n

1 1 n n ?1 n ? k ?1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? k ?1 . k k! n n n k! 1 ? 2 ? 2 2 n 1 1 1 1 1 ? (1 / 2) n ?1 故有 a n ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 2 ? ? ? 3. 2 2 2 1 ? 1/ 2 2
k Cn

②上述数列 {an } 的极限存在,为无理数 e ;同时是下述试题的背景: 已知 i, m, n 是正整数,且 1 ? i ? m ? n. (1)证明 n
i i i Am ? mi An ; (2)证明

(1 ? m) n ? (1 ? n) m . (01 年全国卷理科第 20 题)
1 n 简析 对第(2)问:用 1 / n 代替 n 得数列 {bn } : bn ? (1 ? n) 是递减数列;借鉴此

结论可有如下简捷证法: 数列 {(1 ? n)
n m

1 n

} 递减, 1 ? i ? m ? n, 故 (1 ? m) ? (1 ? n) , 且

1 m

1 n

即 (1 ? m) ? (1 ? n) 。 当然,本题每小题的证明方法都有 10 多种,如使用上述例 5 所提供的假分数性质、 贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解 决!详见文[1]。

二 部分放缩
1 1 1 ? a ? ? ? a , a ? 2. 求证: a n ? 2. a 3 n 2 1 1 1 1 1 1 解析 a n ? 1 ? a ? a ? ? ? a ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 . 3 n 2 3 n 2 又 k 2 ? k ? k ? k (k ? 1), k ? 2 (只将其中一个 k 变成 k ? 1 ,进行部分放缩) , 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? , k (k ? 1) k ? 1 k k 1 于是 a n ? 1 ? 12 ? 12 ? ? ? 12 ? 1 ? (1 ? 1 ) ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) ? 2 ? ? 2. n 2 2 3 n ?1 n 2 3 n 2 例 11 设数列 ?an ? 满足 an?1 ? an ? nan ? 1?n ? N ? ? ,当 a1 ? 3 时证明对所有 n ? 1,
例 10 设 a n ? 1 ? 有 (i)an ? n ? 2 ; (ii)

1 1 1 1 ? ??? ? (02 年全国高考题) 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? an 2

解析 (i ) 用数学归纳法:当 n ? 1 时显然成立,假设当 n ? k 时成立即 ak ? k ? 2 ,则 当 n ? k ? 1 时 ak ?1 ? ak (ak ? k ) ? 1 ? ak (k ? 2 ? k ) ? 1 ? (k ? 2) ? 2 ? 1 ? k ? 3 ,成立。
(ii ) 利 用 上 述 部 分 放 缩 的 结 论 ak ?1 ? 2ak ? 1 来 放 缩 通 项 , 可 得

ak ?1 ? 1 ? 2(ak ? 1) ? a k ? 1 ? ? ? 2 k ?1 (a1 ? 1) ? 2 k ?1 ? 4 ? 2 k ?1 ?
n n

1 1 ? k ?1 . ak ? 1 2

1 1? ( ) n 1 1 1 1 ? 1 ? a ? ? 2 i ?1 ? 4 ? 21 ? 2 . i ?1 i ?1 i 1? 2 注 : 上 述 证 明 (i ) 用 到 部 分 放 缩 , 当 然 根 据 不 等 式 的 性 质 也 可 以 整 体 放 缩 :

4

ak ?1 ? (k ? 2)(k ? 2 ? k ) ? 1 ? k ? 3 ;证明 (ii ) 就直接使用了部分放缩的结论 ak ?1 ? 2ak ? 1 。

三 添减项放缩
上述例 5 之法 2 就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。 2 8 例 12 设 n ? 1, n ? N ,求证 ( ) n ? . 3 (n ? 1)(n ? 2) 简析 观察 ( ) 的结构,注意到 ( ) ? (1 ? ) ,展开得
n
n n

即 (1 ? 1 ) n ? (n ? 1)( n ? 2) ,得证.
2 8

1 1 1 n n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? 6 , 1 1 2 3 (1 ? ) n ? 1 ? C n ? ? C n ? 2 ? C n ? 3 ? ? ? 1 ? ? ? 2 2 2 8 8 2 2

2 3

3 2

1 2

例 13 设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? an ? 一切正整数 n 成立; (Ⅱ)令 bn ?
an n

1 (n ? 1,2,?). (Ⅰ)证明 an ? 2n ? 1 对 an

(n ? 1,2,?) ,判定 bn 与 bn ?1 的大小,并说明理由(04

年重庆卷理科第(22)题) 简析 本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有
2 法 1 用数学归纳法(只考虑第二步)a 2 k ?1 ? ak ? 2 ?

1 ? 2k ? 1 ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ; 2 ak

法2

2 a 2 n ?1 ? a n ? 2 ?

1 2 2 2 ? a n ? 2 ? ak ?1 ? ak ? 2, k ? 1,2,?, n ? 1. 2 an

2 2 2 则 an ? a1 ? 2(n ? 1) ? an ? 2n ? 2 ? 2n ? 1 ? an ?

2n ? 1

四 利用单调性放缩
1. 构造数列
如对上述例 1,令 Tn ? S n ? (n ? 1) 则 Tn ?1 ? Tn ? (n ? 1)( n ? 2) ? 2 2 ? Tn ? Tn?1 ,?{Tn } 递减,有 Tn ? T1 ? 2 ? 2 ? 0 ,故 S n ? (n ? 1) . 2
2

2n ? 3 ? 0, 2

1 1 1 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) 3 5 2n ? 1 则 Tn?1 ? ? ? 再如例 5,令 Tn ? Tn 2n ? 1

2n ? 2 2n ? 1 2n ? 3

? 1,

即 Tn ? Tn?1 ,?{Tn } 递增,有 Tn ? T1 ?

2 3

? 1 ,得证!

注:由此可得例 5 的加强命题 (1 ? 1)(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) ? 2 3 2n ? 1. 并可改 3 5 2n ? 1 3 1 1 1 造成为探索性问题: 求对任意 n ? 1 使 (1 ? 1)(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? k 2n ? 1 恒成立的 3 5 2n ? 1 正整数 k 的最大值;同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论,读者不妨一试! 2.构造函数 例 14 已知函数 f ( x) ? ax ?
1 2

3 2 1 1 x 的最大值不大于 1 , 又当 x ? [ , ] 时 2 4 2 6

1 f ( x) ? .(Ⅰ) 8

? 求 a 的值; (Ⅱ)设 0 ? a1 ? , an ?1 ? f (an ), n ? N ,证明 an ?

1 .(04 年辽宁卷第 21 题) n ?1

解析 (Ⅰ)a =1 ; (Ⅱ) an ?1 ? f (an ), 得 an ?1 ? an ? 由

3 2 3 1 1 1 an ? ? (an ? ) 2 ? ? 2 2 3 6 6

5

且 an

? 0. 用数学归纳法(只看第二步) ak ?1 ? f (ak ) 在 a ? (0, : k

1 是增函数, ) k ?1

1 1 3 1 2 1 )? ? ( ) ? . k ?1 k ?1 2 k ?1 k?2 1? a? 例 15 数列 ?xn ? 由下列条件确定: x1 ? a ? 0 , x n ?1 ? ? x n ? (I) ?, n ? N . 2? xn ? ? ? 证明:对 n ? 2 总有 xn ? a ;(II)证明:对 n ? 2 总有 xn ? xn?1 (02 年北京卷第(19)
则得 ak ?1 ? f (ak ) ? f ( 题) 解析 构造函数 f ( x) ? 当 n ? k ? 1 时 x k ?1

1? a? ? x ? ?, 易知 f (x) 在 [ a ,??) 是增函数。 2? x? 1? a ? ? ? x k ? ? 在 [ a ,??) 递增故 xk ?1 ? f ( a ) ? a. ? 2? xk ? ?
1? a ? xn ? ? 2? xn ? 1? a? ? ,构造函数 f ( x) ? ? x ? ?, 它在 [ a ,??) 上 ? 2? x? ? 1? a ? ? ? x n ? ? ? f ( a ) ? 0 ,得证。 2? xn ? ? ?

对(II)有 xn ? xn?1 ?

是增函数,故有 xn ? xn?1

着高等数学背景—数列 ?xn ? 单调递减有下界因而有极限: an ? a (n ? ??). ② f ( x) ?

注:①本题有着深厚的科学背景:是计算机开平方设计迭代程序的根据;同时有

1? a? 1? a ? ? x ? ? 是递推数列 x n ?1 ? ? x n ? ? 的母函数,研究其单调性 ? 2? x? 2? xn ? ?

对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。

五 换元放缩
例 16 求证 1 ? n n ? 1 ?

2 (n ? N ? , n ? 2). n ?1

简析 令 an ? n n ? 1 ? hn ,这里 hn ? 0(n ? 1), 则有

n(n ? 1) 2 2 2 hn ? 0 ? hn ? (n ? 1) ,从而有1 ? a n ? 1 ? hn ? 1 ? . 2 n ?1 n ?1 注:通过换元化为幂的形式,为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的 作用。 n ? (1 ? hn ) n ?
n 例 17 设 a ? 1 , n ? 2, n ? N ,求证 a ?

简析 令 a ? b ? 1 ,则 b ? 0 , a ? 1 ? b ,应用二项式定理进行部分放缩有 n(n ? 1) 2 0 1 2 n 2 a n ? (b ? 1) n ? C n b n ? C n b n ?1 ? C n b n ? 2 ? ? ? C n ? C n b n ? 2 ? b , 注 意 到 2 2 2 2 2 n ? 2, n ? N ,则 n(n ? 1) b 2 ? n b (证明从略) ,因此 a n ? n (a ? 1) 2 4 4

n 2 (a ? 1) 2 . 4

六 递推放缩
递推放缩的典型例子, 可参考上述例 11 中利用 (i ) 部分放缩所得结论 ak ?1 ? 2ak ? 1 进 行 递 推 放 缩 来 证 明 (ii ) , 同 理 例 7 (II ) 中 所 得 ln a n ?1 ? ln a n ?

1 1 ? n 和 n ?n 2
2

ln(a n ?1 ? 1) ? ln(a n ? 1) ?

1 1 1 1 、例 8 中 ? ? 、 例 13(Ⅰ)之法 2 所得 n(n ? 1) a n a n ?1 n
6

2 2 ak ?1 ? ak ? 2 都是进行递推放缩的关键式。

七 转化为加强命题放缩
如上述例 11 第 (ii ) 问所证不等式右边为常数,难以直接使用数学归纳法,我们可 以通过从特值入手进行归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题:

1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? n ?1 . 再用数学归纳法证明此加强命题,就容易多了 1 ? a1 1 ? a 2 1? an 2 2
(略) 。 例 18 设 0 ? a ? 1 , 定义 a1 ? 1 ? a, an?1 ? 1 ? a , 求证: 对一切正整数 n 有 an ? 1. an 解析 用数学归纳法推 n ? k ? 1 时的结论 an?1 ? 1 ,仅用归纳假设 ak ? 1 及递推式

a k ?1 ?
a k ?1 ?

1 ? a 是难以证出的,因为 ak 出现在分母上!可以逆向考虑: ak

1 1 故将原问题转化为证明其加强命题: ? a ? 1 ? ak ? . ak 1? a 1 对一切正整数 n 有 1 ? a n ? . (证明从略) 1? a x2 1 例 19 数列 ?xn ? 满足 x1 ? , x n ?1 ? x n ? n . 证明 x2001 ? 1001 (01 年中国西部数 . 2 n2 学奥林匹克试题) n 简析 将问题一般化:先证明其加强命题 x n ? . 用数学归纳法,只考虑第二步: 2 2 n xk k 1 k 2 k 1 k ? 1 ? xk ?1 ? xk ? 2 ? ? 2 ? ( ) ? ? ? . 因此对一切 x ? N 有 x n ? . 2 2 k 2 2 4 2 k

八 分项讨论
例 20 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1.
n

(Ⅰ)写出数列 {an } 的前 3 项 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅲ)证明: 对任意的整数 m ? 4 ,有 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 7 (04 年全国卷Ⅲ) a 4 a5 am 8 简析 (Ⅰ)略, (Ⅱ) a n ? 2 ?2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ?. ; 3 n (Ⅲ)由于通项中含有 (?1) ,很难直接放缩,考虑分项讨论:

1 1 3 1 1 3 2 n?2 ? 2 n?1 当 n ? 3 且 n 为奇数时 ? ? ( n?2 ? n?1 ) ? ? 2n?3 an an?1 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2 ? 2 n?1 ? 2 n?2 ? 1
3 2 n ?2 ? 2 n ?1 3 1 1 ,于是 ? ? ? ( n ?2 ? n ?1 ) (减项放缩) 2 2 2 2 2 n ?3 2 ①当 m ? 4 且 m 为偶数时 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ( 1 ? 1 ) ? ? ? ( 1 ? 1 ) a4 a5 a 6 a m?1 a m a 4 a5 am 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 7 ? ? ( 3 ? 4 ? ? ? m ? 2 ) ? ? ? ? (1 ? m ? 4 ) ? ? ? . 2 2 2 2 2 4 2 8 8 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 (添项放缩) ②当 m ? 4 且 m 为奇数时 ? ??? ? ? ??? ? a 4 a5 a m a 4 a5 a m a m?1 由①知 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 7 . 由①②得证。 a 4 a5 a m a m?1 8 ?

参考文献
[1]李锦旭等《例说高考题的科学背景》 。华东师大《数学教学》2004 年第 11 期。
7


推荐相关:

数列型不等式放缩技巧九法

数列型不等式放缩技巧九法证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考 性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习...


数列型不等式的放缩方法与技巧

数列型不等式的放缩方法与技巧雅安市田家炳中学 张有全 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面 而综合...


数列型不等式放缩技巧八法

数列型不等式放缩技巧八法 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考 性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习...


数列型不等式的放缩技巧

数列型不等式放缩技巧_数学_高中教育_教育专区。数列型不等式放缩技巧一 利用重要不等式放缩 2 例 1 设 S n ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? ...


数列型不等式的放缩技巧九法--1

数列型不等式放缩技巧九法--1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数列型不...(22)题) 简析 本题有多种放缩证明方法,这里我们对(Ⅰ)进行减项放缩,有 ...


数列型不等式放缩技巧

数列型不等式放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查 学生的潜能与后继学习能力,...


教师版数列型不等式放缩技巧九法

中鼎教育 数列型不等式放缩技巧九法证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑 战性, 能全面而综合地考查学生的...


数列型不等式放缩技巧无敌

数列型不等式放缩技巧九法证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考 性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习...


高考难点解析数列型不等式放缩技巧

高考难点解析: 数列型不等式放缩技巧法大家知道:证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧 而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考...


数列型不等式证明方法-----放缩法

数列型不等式证明方法---放缩法_高三数学_数学_高中教育_教育专区。数列型不...化难为易,达到事半功倍的效果;其难点是变形灵活,技巧性强,放缩尺 度很难...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com