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吉林省四平市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


吉林省四平市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 1. (4 分)若集合 A={1,2,3,4},集合 B={2,4,6},则 A∩B 等于() A.{2,4} B.{1,3,6} C.{2,1,6} D.{1,2,3,4,6} 2. (4 分)若直线 x+ay+1=0 的倾斜角为 45°,则实数

a 的值为() A.﹣1 B. 1 C . ﹣2 D.2 3. (4 分)已知直线 l1:ax﹣2y﹣1=0 与直线 l2:4x﹣(a+2)y﹣a ﹣2=0 平行,则实数 a 等于 () A.﹣4 B. 2 C . ﹣4 或 2 D.﹣
2

4. (4 分)函数 f(x)= A.(﹣∞,5] ∞,0)∪(0,5)

的定义域为() (﹣∞,5] D. (﹣

B.(﹣∞,0)∪(0,5] C.

5. (4 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,给出下列条件,能得到 m⊥β 的是() A.α⊥β,m?α B.m⊥α,α⊥β C.m⊥n,n?β D.m∥n,n⊥β 6. (4 分)下列函数中既是奇函数又是增函数的是() A.y=3x+1 B.y=2 ﹣2
﹣x

x

C.y=x +1

2

D.y=x|x|

7. (4 分)如图是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的直观图,则四面体 D1ABC 的俯视图为()

A.

B.
0.2 0.5 0.1

C.

D.

8. (4 分)已知 a=0.8 ,b=0.8 ,c=5.2 ,则这三个数的大小关系为() A.b<a<c B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a 9. (4 分)若 P(2,﹣1)为圆(x﹣1) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是() A.x﹣y﹣3=0 B.2x+y﹣3=0 C.x+y﹣1=0 D.2x﹣y﹣5=0
2 2

10. (4 分)已知水平放置的△ ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中 B′O′=C′O′=1,A′O′= ,那么原△ ABC 的面积是()

A.

B.

C.

D.

11. (4 分)一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示(单位:cm) ,该组合体的体积为()

A.42cm

3

B.48cm

3

C.56cm

3

D.44cm

3

12. (4 分)定义运算“?”如下:x?y= 两个零点,则()

,若函数 f(x)=m﹣(1﹣2 )?(2 ﹣2)有

x

x

A. m∈(﹣ ,+∞) B. m∈(﹣ ,1)

C. m∈

13. (4 分)在空间直角坐标系中,若 A(﹣1,﹣1,2) ,B(1,2,﹣1) ,则|AB|=. 14. (4 分)集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a},且 A∪B=B,则 a 范围是. 15. (4 分)设 a>0,lga+1g =m,则 m=.

16. (4 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD 的中点,点 M 在线段 PC 上,PM=tPC,PA∥平面 MQB,则实数 t=.

三、解答题(共 5 小题,满分 56 分) 17. (10 分)已知直线 l 过点(1,4) . (1)若直线 l 与直线 y=2x 平行,求直线 l 的方程;

(2)若直线 l 与直线 y= x+1 垂直,求直线 l 的方程.

18. (10 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,BC=PB=PC, PO⊥AD,O 为 BC 的中点. (1)求证:AB∥平面 PCD; (2)求证:PO⊥底面 ABCD.

19. (12 分)已知函数 f(x)=﹣x +ax+b,且 f(4)=﹣3. (1)若函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求函数 f(x)在区间上的值域; (2)若函数 f(x)在区间上递减,求实数 b 的取值范围. 20. (12 分)已知圆 C 的方程为 x +y ﹣2x+4y=0,直线 l:2x﹣y+t=0. (1)若直线 l 与圆 C 相切,求实数 t 的取值; (2)若直线 l 与圆 C 相交于 M,N 两点,且|MN|= ,求实数 t 的取值. 21. ( 12 分)设函数 f(x)=a +m(a>0,或 a≠1)的图象经过点 A(1,0) ,B(2,﹣ ) . (1)求 a、m 的值; (2)若函数 y=f(x)在区间(b>﹣2)上的最大值是最小值的 7 倍,求 b 的值; (3)若不等式 ln>0 对任意实数 t∈恒成立,求实数 x 的取值范围.
x 2 2

2

吉林省四平市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 4 分,满分 48 分) 1. (4 分)若集合 A={1,2,3,4},集合 B={2,4,6},则 A∩B 等于() A.{2,4} B.{1,3,6} C.{2,1,6} D.{1,2,3,4,6} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解. 解答: 解:集合 A={1,2,3,4},集合 B={2,4,6}, 则 A∩B={2,4}, 故选:A 点评: 本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础.

2. (4 分)若直线 x+ay+1=0 的倾斜角为 45°,则实数 a 的值为() A.﹣1 B. 1 C . ﹣2 D.2 考点: 专题: 分析: 解答: 直线的倾斜角. 直线与圆. 由直线的一般式方程求得直线的斜率,由斜率等于倾斜角的正切值列式求得 a 的值. 解:∵直线 x+ay+1=0 的倾斜角为 45°, =1,

∴tan45°=

即 a=﹣1. 故选:A. 点评: 本题考查了直线的倾斜角,考查了直线倾斜角与斜率的关系,是基础题. 3. (4 分)已知直线 l1:ax﹣2y﹣1=0 与直线 l2:4x﹣(a+2)y﹣a ﹣2=0 平行,则实数 a 等于 () A.﹣4 B. 2 C . ﹣4 或 2 D.﹣
2

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 直接利用两直线平行得到两直线系数间的关系,由此可得 a 的值. 解答: 解:由直线 l1:ax﹣2y﹣1=0 与直线 l2:4x﹣(a+2)y﹣a ﹣2=0 平行, 得: ,
2

解得:a=﹣4 或 2. 故选:C. 点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系,关键是对直线平行条件的记忆与 运用,是基础题.

4. (4 分)函数 f(x)= A.(﹣∞,5] ∞,0)∪(0,5)

的定义域为() (﹣∞,5] D. (﹣

B.(﹣∞,0)∪(0,5] C.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接由对数式的真数大于 0,分式的分母不等于 0 求解 x 的取值集合得答案. 解答: 解:由 ,解得 x<5 且 x≠0.

∴函数 f(x)=

的定义域为(﹣∞,0)∪(0,5) .

故选:D. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了不等式的解法,是基础题. 5. (4 分)设 m,n 是两条不同的直 线,α,β 是两个不同的平面,给出下列条件,能得到 m⊥β 的是() A.α⊥β,m?α B.m⊥α,α⊥β C.m⊥n,n?β D.m∥n,n⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据选项 A,B,C,D 所给的条件,分别进行判断,能够得到正确结果. 解答: 解:A:α⊥β,且 m?α?m?β,或 m∥β,或 m 与 β 相交,故 A 不成立; B:由 m⊥α,α⊥β,知 m∥β 或 m?β,从而 m⊥β 不成立,故 B 不成立; C:m⊥n,n?β?m?β,或 m∥β,或 m 与 β 相交,故 C 不成立; D:m∥n,且 n⊥β?m⊥β,故 D 成立; 故选 D. 点评: 本题考查直线与平面的位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答. 6. (4 分)下列函数中既是奇函数又是增函数的是() A.y=3x+1 B.y=2 ﹣2
﹣x

x

C.y=x +1

2

D.y=x|x|

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数图象的对称性,一次函数的图象,减函数、增函数的定义,偶函数、奇 函数的定义,二次函数的单调性即可判断每个选项的正误,从而找到正确选项. 解答: 解 :A.y=3x+1,该函数的图象既不关于 y 轴对称,也不关于原点对称,∴该函数为 非奇非偶函数,∴该选项错误; B.y=2 ﹣2 ,x 增大时,y 减小,∴该函数为减函数,∴该选项错误; 2 C.y=x +1,显然 该函数为偶函数,∴该选项错误; D.y=x|x|,显然该函数为奇函数,y=x|x|=
2
﹣x

x

,而 x≥0 时,x 递增,x<0 时,﹣x

2

2

递增,且 x<0 时,﹣x <0; ∴函数 y=x|x|是增函数; ∴该选项正确. 故选:D. 点评: 考查奇函数图象的对称性,奇函数、偶函数的定义,能画出一次函数的定义,函数 单调性的定义,以及二次函数的单调性,分段函数的单调性. 7. (4 分)如图是正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的直观图,则四面体 D1ABC 的俯视图为()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据俯视图的定义,画出该几何体的俯视图即可. 解答: 解:根据题意,点 D1 在底面的射影是 D, ∴BD1 在底面的射影是 BD,AD1 在底面的射影是 AD,CD1 在底面的射影是 CD, 而 AC 是被挡住的棱,应画出虚线;

∴四面体 D1ABC 的俯视图为 故选:C. 点评: 本题考查了画出几何体的三视图的应用问题,是基础题目. 8. (4 分)已知 a=0.8 ,b=0.8 ,c=5.2 ,则这三个数的大小关系为() A.b<a<c B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别考察指数函数 y=0.7 以及 y=5.2 ,即可比较三个幂值的大小. x 解答: 解:∵指数函数 y=0.8 在 R 上为单调减函数, 0.5 0.2 ∴0.8 <0.8 <1, ∴b<a<1, 0.1 0 ∵c=5.2 >5.2 =1 ∴b<a<c, 故选:A 点评: 本题考查了指数函数的图象和性质,利用函数单调性比较大小,取中间量比较大小 的技巧. 9. (4 分)若 P(2,﹣1)为圆(x﹣1) +y =25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是() A.x﹣y﹣3=0 B.2x+y﹣3=0 C.x+y﹣1=0 D.2x﹣y﹣5=0 考点: 直线和圆的方程的应用;直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: 由圆心为 O(1,0) ,由点 P 为弦的中点,则该点与圆心的连线垂直于直线 AB 求解 其斜率,再由点斜式求得其方程. 解答: 解:已知圆心为 O(1,0)
2 2 x x 0.2 0.5 0.1

根据题意:Kop= kABkOP=﹣1 kAB=1,又直线 AB 过点 P(2,﹣1) , ∴直线 AB 的方程是 x﹣y﹣3=0 故选 A 点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用,主要涉及了弦的中点与圆心的 连线与弦所在的直线垂直. 10. (4 分)已知水平放 置的△ ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中 B′O′=C′O′=1,A′O′= ,那么原△ ABC 的面积是()

A.

B.

C.

D.

考点: 斜二测法画直观图. 专题: 计算题. 分析: 由直观图和原图的面积之间的关系 直接求解即可.

解答: 解:因为



且若△ A′B′C′的面积为

×2×

×

=



那么△ ABC 的面积为 故选 A. 点评: 本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系,属基本概念、基本运算的考 查. 11. (4 分)一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示(单位:cm) ,该组合体的体积为()

A.42cm

3

B.48cm

3

C.56cm

3

D.44cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 几何体是一个长方体与一三棱柱的组合体,判定长方体的长、宽、高,再判断三棱 柱的高与底面面积,把数据代入长方体与棱柱的体积公式计算. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是一个长方体与一三棱柱的组合体, 且长方体的长、宽、高分别为 6、4、1, 三棱柱的高为 2,底面三角形的底边长为 4,该边上的高为 5, ∴几何体的体积 V=1×4×6+ ×4×5×2=44(cm ) . 故选:D. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及相关几何量 的数据是解答此类问题的关键.
3

12. (4 分)定义运算“?”如下:x?y= 两个零点,则() A.

,若函数 f(x)=m﹣(1﹣2 )?(2 ﹣2)有

x

x

m∈(﹣ ,+∞) B. m∈(﹣ ,1)

C. m∈

点评: 本题考查的知识眯是集合关系中的参数取值问题,解答的关键是根据两个集合的关 系,构造关于 参数 k 的不等式. 15. (4 分)设 a>0,lga+1g =m,则 m=lg5.

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算法则即可得出. 解答: 解:∵a>0,lga+1g =m, ∴m= =lg5.

故答案为:lg5. 点评: 本题考查了对数的运算法则,属于基础题. 16. (4 分)在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,∠BAD=60°,Q 为 AD 的中点,点 M 在线段 PC 上,PM=tPC,PA∥平面 MQB,则实数 t= .

考点: 直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 连 AC 交 BQ 于 N,交 BD 于 O,说明 PA∥平面 MQB,利用 PA∥MN,根据三角形 相似,即可得到结论; 解答: 解:连 AC 交 BQ 于 N,交 BD 于 O,连接 MN,如图

则 O 为 BD 的中点, 又∵BQ 为△ ABD 边 AD 上中线,∴N 为正三角形 ABD 的中心, 令菱形 ABCD 的边长为 a,则 AN= a,AC= a.

∵PA∥平面 MQB,PA?平面 PAC,平面 PAC∩平面 MQB=MN ∴PA∥MN ∴PM:PC=AN:AC 即 PM= PC,t= ; 故答案为: 点评: 本题考查了线面平行的性质定理的运用,关键是将线面平行转化为线线平行,利用 平行线分线段成比例解答. 三、解答题(共 5 小题,满分 56 分) 17. (10 分)已知直线 l 过点(1,4) . (1)若直线 l 与直线 y=2x 平行,求直线 l 的方程; (2)若直线 l 与直线 y= x+1 垂直,求直线 l 的方程.

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由已知求得所求直线的斜率,代入直线方程的点斜式,化为一般式得答案; (2)由已知求得所求直线的斜率,代入直线方程的点斜式,化为一般式得答案. 解答: 解: (1)∵所求直线与直线 y=2x 平行, ∴所求直线的斜率为 2,由直线过点(1,4) , 则直线方程为 y﹣4=2(x﹣1) ,整理得:2x﹣y+2=0;

(2)∵所求直线与直线 y= x+1 垂直, ∴所求直线的斜率为﹣3,由直线过点(1,4) , 则直线方程为 y﹣4=﹣3(x﹣ 1) ,整理得:3x+y﹣7=0. 点评: 本题考查了直线的一般式方程与直线平行和垂直的关系,考查了直线方程的点斜式, 是基础题. 18. (10 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,BC=PB=PC, PO⊥AD,O 为 BC 的中点. (1)求证:AB∥平面 PCD; (2)求证:PO⊥底面 ABCD.

考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)先证明 AB∥CD,由 CD?平面 PCD,AB?平面 PCD,AB,CD?平面 ABCD, 即可判定 AB∥平面 PCD; (2)要证 PO⊥底面 ABCD,只需证明直线 PO 垂直底面 ABCD 内的两条相交直线 BC、AD 即可; 解答: 证明: (1)∵四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°, ∴AB∥CD, ∵CD?平面 PCD,AB?平面 PCD,AB,CD?平面 ABCD, ∴AB∥平面 PCD; (2)∵PB=PC=BC,O 为 BC 中点 ∴PO⊥BC 又∵PO⊥AD 而 ABCD 是直角梯形,从而 B C 与 AD 相交(没有说明扣 1 分) ∴PO⊥底面 ABCD

点评: 本题考查直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,考查空间想象能力,逻 辑思维能力,转化思想,属于中档题.

19. (12 分)已知函数 f(x)=﹣x +ax+b,且 f(4)=﹣3. (1)若函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求函数 f(x)在区间上的值域; (2)若函数 f(x)在区间上递减,求实数 b 的取值范围. 考点: 二次函数的性质;函数的值域;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据题意求出二次函数 f(x)解析式,再求出 f(x)在区间上的值域; (2)根据 f(x)图象的对称轴,结合 f(x)在区间上的值域是; 2 2 (2)∵函数 f(x)=﹣x +ax+b,且 f(4)=﹣4 +4a+b=﹣3, ∴a= ; ,

2

又∵f(x)的图象的对称轴为 x= =

且 f(x)在区间(b>﹣2)上的最大值是最小值的 7 倍,求 b 的值; (3)若不等式 ln>0 对任意实数 t∈恒成立,求实数 x 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)把点 A(1,0) ,B(2,﹣ )的坐标代入方程 f(x)=a +m,求解关于 a,m 的方程组得答案; (2)由 f(x)= 式求得 b 的值; (3)把不等式 ln>0 转化为(4﹣t)f(x)+ t>1,把 f(x)代入,然后更换主元,令 g(t) 在上为减函数求得函数的最值,再由最大值是最小值的 7 倍列
x

=

, 由

, 解不

等式组求得实数 x 的取值范围. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=a +m(a>0,且 a≠1)的图象经过点 A(1,0) ,B(2,﹣ ) ,
x



,解得:a= ,m=﹣ ; ,函数在上为减函数,则 , ,

(2)f(x)=

由题意可得

,即

,解得 b=0;

(3)不等式 ln>0,即(4﹣t)f(x)+ t>1,

也就是(4﹣t)+

>1,即

. 恒成立,求 x 得范

则问题转化为对任意实数 t∈,不等式 围. 令 g(t)= ,则



解得: ∴

, .

∴实数 x 的取值范围是(

) .

点评: 本题考查指数函数和对数函数的性质,考查了函数恒成立问题,考查了数学转化思 想方法,训练了指数不等式和对数不等式的解法,是中档题.


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