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高中数学类比推理专题


1.设△ 则

的三边长分别为



的面积为 ,内切圆半径为 , 的四个面的面积分别为 的体积为 , 则 = ( )

.类比这个结论可知:四面体 内切球的半径为 , 四面体

A. C.

B. D.

2. 如图所示, 面积为 S 的

平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 a( , ,2,3,4 ) i i ?1 此 四 边 形 内 任 一 点 P 到 第 i 条 边 的 距 离 记 为 hi ( i ? 1,2,3,4 ) ,若

a1 a2 a3 a4 2S .类比以上性质,体积 ? ? ? ? k ,则 h1 ? 2h2 ? 3h3 ? 4h4 ? 1 2 3 4 k
为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si( i ? 1,2,3,4 ) , 此三棱锥内任一点 Q 到 第 i 个 面 的 距 离 记 为 H i ( i ? 1,2,3,4 ) ,若

S1 S 2 S3 S 4 ? ? ? ? K ,则 1 2 3 4

H1 ? 2H 2 ? 3H3 ? 4H 4 等于(
A.

) C.

2V K

B.

V 2K

3V K

D.

V 3K

3.由直线与圆相切时,圆心到切点连线与直线垂直,想到平面与球相切时, 球心与切点连线与平面垂直,用的是 ( ) A.归纳推理 B.演绎推理 C.类比推理 D.传递性推理 4. 我们知道, 在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值

3 a, 2

类比上述结论, 在边长为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 ( ) A.

6 a 3

B.

6 a 4

C.

3 a 3

D.

3 a 4
) D.正方体

5.平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是( A.三棱柱 B.三棱台 C.三棱锥

6. 平面几何中, 有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值

3 a, 2

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类比上述命题,棱长为 a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 ( ) A.

4 a 3

B.

5 a 4

C.

6 a 3

D.

6 a 4

7.天文学家经研究认为: “地球和火星在太阳系中各方面比较接近,而地球有 生命,进而认为火星上也有生命存在” ,这是什么推理( ) A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.反证法 8.由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间 中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是 ( ) A.归纳推理 B.类比推理 C.演绎推理 D.联想推理 9.下列推理是归纳推理的是( ) A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1 ? 1, an ? 3n ? 1 ,求出 S1 , S 2 , S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式

x2 y2 C. 由圆 x ? y ? r 的面积 ? r , 猜想出椭圆 2 ? 2 ? 1 的面积 S ? ? ab a b
2 2 2
2

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 10.下列正确的是( ) A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是由特殊到一般的推理 C.归纳推理是由个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 11.①由“若 a,b,c∈R,则(ab)c=a(bc)”类比“若 a、b、c 为三个向量, 则(a·b)c=a(b·c)”; n ②在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,猜想 an=2 -2; ③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意 三个面的面积之和大于第四个面的面积”; 上述三个推理中,正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 12.下面几种推理中是演绎推理 的序号为( ) .... A.半径为 r 圆的面积 S ? ? r 2 ,则单位圆的面积 S ? ? ; B.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电; C.由平面三角形的性质,推测空间四面体性质; D.由平面直角坐标系中圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,推测空间直角坐
2 2 2

标系中球的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? ( z ? c) ? r
2 2 2

2



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13.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球 切于四个面( ) A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点 14.在平面几何中有如下结论:若正三角形 ABC 的内切圆面积为

S1 ,外接圆

S1 1 ? S S 4 ,推广到空间几何中可以得到类似结论:若正四面体 面积为 2 ,则 2 V1 ? A ? BCD 的内切球体积为 V1 ,外接球体积为 V2 ,则 V2 (
1 A. 4 1 B. 8 1 C. 16



1 D. 27

15.已知结论:“在正 ?ABC中, BC 中点为 D ,若 ?ABC内一点 G 到各边

AG .若把该结论推广到空间,则有结论: “在棱长都 ? 2” GD 相等的四面体 ABCD中,若 ?BCD的中心为 M ,四面体内部一点 O 到四面 AO 体各面的距离都相等,则 ?( ▲ ) OM
的距离都相等,则 A.1 B.2 C.3 D.4 16.现有两个推理:①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间 中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积” ; ②由“若数列 ?an ? 为等差数列,则有

a6 ? a7 ? ? ? a10 a1 ? a2 ? ? ? a15 ? 成 5 15

立” 类比 “若数列 ?bn ? 为等比数列, 则有 5 b6b7 ? ? ? b10 ? 15 b1b2 ? ? ? b15 成立” , 则得出的两个结论 A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. 都正确 D. 都不正确 17.在平面上,若两个正三角形的边长比为 1:2.则它们的面积之比为 1:4.类 似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为 1:2,则它们的体积比为( ) A.1:2 B. 1:4 C. 1:6 D. 1:8 18.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形 19.由“半径为 R 的圆内接矩形中,正方形的面积最大” ,推理出“半径为 R 的球的内接长方体中,正方体的体积最大”是( ) A. 归纳推理 B. 类比推理 C. 演绎推理 D.以上都不 是 20.学习合情推理后,甲、乙两位同学各举了一个例子,

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甲: 由“若三角形周长为 l, 面积为 S, 则其内切圆半径 r= 三棱锥表面积为 S,体积为 V,则其内切球半径 r=

2S ”类比可得“若 l

3V ”; S

乙:由“若直角三角形两直角边长分别为 a、b,则其外接圆半径 r=

a 2 ? b2 ”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为 a、b、c, 2
则其外接球半径 r=

a 2 ? b2 ? c2 ”.这两位同学类比得出的结论( ) 3

A.两人都对 B.甲错、乙对 C.甲对、乙错 D.两人都错

21.求“方程 3x ? 4x ? 5x 的解”有如下解题思路:设 f ( x) ? ( ) x ? ( ) x ,则

3 5

4 5

f ( x) 在 R 上单调递减,且 f (2) ? 1,所以原方程有唯一解 x ? 2 .类比上述
1 1 . ? 的解为 x3 x 1 22.已知正三角形内切圆的半径是高的 ,把这个结论推广到空间正四面体, 3
解题思路,方程 x 3 ? x ? 类似的结论是____________. 23 . 在 等 差 数 列

?an ?







a10 ? 0







a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a19?n (n ? 19,且n ? N ? ) 成立.类比上述性质,在等比数列 ?bn ? 中,若 b9 ? 1 ,
则存在的类似等式为________________________. 24.半径为 r 的圆的面积 s(r ) ? ? r ,周长 C(r ) ? 2? r ,若将 r 看作(0,+
2

∞)上的变量,则 (? r )' ? 2? r ①,①式用语言可以叙述为:圆的面积函数的
2

导数等于圆的周长函数.对于半径为 R 的球,若将 R 看作 (0, + ? ) 上的变量, 请 写 出 类 比 ① 的 等 式 : ____________________ . 上 式 用 语 言 可 以 叙 述 为 _________________________. 25.已知圆的方程是 x ? y ? r ,则经过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线方程为
2 2 2

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x0 x ? y0 y ? r 2 类 比 上 述 性 质 , 可 以 得 到 椭 圆

x2 y2 ? ?1 类似的性质为 a 2 b2

________. 26.在 Rt△ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆半径 r =

a 2 ? b2 ,将此结论类比到空间有________________________ 2

27.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 则 S4 ? S8 ? S4 ? S12 ? S8 ? S16 ? S12 成等差 数 列 . 类 比 以 上 结 论 有 : 设 等 比 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 积 为 Tn ? 则

T4 ?



, T12 成等比数列.

T16

28.在 Rt△ ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,斜边 AB 上的高为 h,则有结论 h2= ,运用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 .

a,b,c,且三棱锥的直角顶点到底面的高为 h,则有结论:

29.已知边长分别为 a、b、c 的三角形 ABC 面积为 S,内切圆 O 半径为 r,连 接 OA、OB、OC,则三角形 OAB、OBC、OAC 的面积分别为 由S ?

1 1 1 cr 、 ar 、 br , 2 2 2

1 1 1 2S ,类比得四面体的体积为 V,四个面 cr ? ar ? br 得 r ? 2 2 2 a?b?c

的面积分别为 S1 , S 2 , S 3 , S 4 ,则内切球的半径 R=_________________ 30. 已知点 A( x1, a x1 ), B( x2 , a x2 ) 是函数 y ? a x (a ? 1) 的图象上任意不同两点, 依据图象可知,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论
x1 ? x2 a x1 ? a x2 ?a 2 成 立 . 运 用 类 比 思 想 方 法 可 知 , 若 点 2

A( x1 , sin x1 ), B( x2 , sin x2 ) 是函数 y ? sin x( x ? (0, ? )) 的图象上任意不同两
点,则类似地有_________________成立. 31. 如图(1)有面积关系: =________.

V S ?PA?B? PA? ? PB? = , 则图(2)有体积关系: P ? A?B?C ? S ?PAB VP ? ABC PA ? PB

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32.在平面上,我们用一直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角 形,按如图所标边长,由勾股定理有 c ? a ? b .设想正方形换成正方体,
2 2 2

把截线换成如图截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥

O ? LMN ,如果用 S1 , S 2 , S 3 表示三个侧面面积, S 4 表示截面面积,那么类
比得到的结论是 .

1 33.已知正三角形内切圆的半径 r 与它的高 h 的关系是: r ? h ,把这个结论 3

推广到空间正四面体,则正四面体内切球的半径 r 与正四面体高 h 的关系 是 . 34.在平面上,到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线.类比在空 间中: (1)到定直线的距离等于定长的点的轨迹是 ; (2)到已知平面相等的点的轨迹是 . 35.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的 正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积 恒为

a2 ;类比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另 4

一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为___________ .

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36. 若等差数列 ?an ? 的首项为 a1 , 公差为 d , 前 n 项的和为 S n , 则数列 { 等差数列,且通项为

Sn }为 n

Sn d ? a1 ? (n ? 1) ? .类似地,请完成下列命题:若各项 n 2

均 为 正 数 的 等 比 数 列 {bn } 的 首 项 为 b1 , 公 比 为 q , 前 n 项 的 积 为 Tn , 则 .

37.对于问题:“已知关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为(-1,2) , 解关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 ”,给出如下一种解法: 解:由 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为(-1,2) ,得 a(? x) 2 ? b(? x) ? c ? 0 的解 集为(-2,1) , 即关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为(-2,1)

k x?b 1 ? ? 0 的解集为(-1, ? )? x?a x?c 3 1 kx bx ? 1 ( ,1) ,则关于 x 的不等式 ? ? 0 的解集为________________ 2 ax ? 1 cx ? 1
参考上述解法, 若关于 x 的不等式 38.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4, 类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为 ________. 39.已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于 A 、 B 两点, 则当 AB 与抛物线的对称轴垂直时, AB 的长度最短;试将上述命题类比到其 他曲线,写出相应的一个真命题为 . 40.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥” ,三棱锥的侧面和底面分别 叫为直角三棱锥的“直角面和斜面” ;过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面 均称为斜面的“中面” .请仿照直角三角形以下性质: (1)斜边的中线长等于 斜边边长的一半; (2)两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方; (3)斜 边与两条直角边所成角的余弦平方和等于 1.写出直角三棱锥相应性质(至少 一条) :_____________________. 42.通过圆与球的类比,由“半径为 R 的圆的内接矩形中,以正方形的面积为 最大,最大值为 2 R 2 . ”猜想关于球的相应命题为“半径为 R 的球内接六面体 中以 的体积为最大,最大值为 ” 43. 在平面内, 三角形的面积为 S, 周长为 C, 则它的内切圆的半径 r ?

2S . 在 C

空间中,三棱锥的体积为 V,表面积为 S,利用类比推理的方法,可得三棱锥 的内切球 (球面与三棱锥的各个面均相切) 的半径 R=______________________。 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题都选的只计算第 14

试卷第 7 页,总 12 页

题的得分. )

44.已知结论:“正三角形中心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍” 。若把 该结论推广到空间,则有结论: 45 . 在 等 差 数 列

?an ?

中 , 若 a10 ? 0

, 则 有 等 式

a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a19?n (n ? 19, n ? N * ) 成立,类比上述性
质 , 在 等 比 数 列 式

?bn ?
.

中 , 若

b9 ? 1 , 则 有 等

1 1 4 ? ? a , a a ? a ? m a a2 m ,用 1 2 1 2 1 46.已知命题“设 是正实数,如果 ,则有
类 比 思 想 推 广 ,” 设

a1 , a2 , a3 是 正 实 数 , 如 果 a1 ? a2 ? a3 ? m ,

则 。 47.在圆中有结论:如图所示,“AB 是圆 O 的直径,直线 AC,BD 是圆 O 过 A, B 的切线,P 是圆 O 上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有 PO2=PC·PD”.类 比到椭圆:“AB 是椭圆的长轴,直线 AC,BD 是椭圆过 A,B 的切线,P 是椭圆 上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有__▲__.”

48.在平面几何中,已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”,类 比到空间写出你认为合适的结论: . . 49.若点 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 外,过点 P0 作该椭圆的两 a 2 b2

条切线的切点分别为 P 1, P 2 , 则 切 点 弦 PP 1 2 所 在 直 线 的 方 程 为

x2 y2 x0 x y0 y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,类似地,可以得 .那么对于双曲线 ? ? 1 a2 b2 a2 b2
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到一个正确的命题为“若点 P 0 ( x0 , y0 ) 不在双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

上,过点 P 0 作该双曲线的两条切线的切点分别为 P 1, P 2 ,则切点弦 PP 1 2 所在直 线的方程为 ” . 50.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几 何中,类比上述命题,可以得到命题: “___________________________” 这个类比 命题的真假性是________ 51.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥” ,三棱锥的侧面和底面分别 叫直角三棱锥的“直角面和斜面”; 过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均 称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质:“斜边的中线长等于斜边边 长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质: . 52.试通过圆和球的类比,由“半径为 R 的圆内接矩形中,以正方形的面积最 大 , 最 大 值 为 2R
2

”, 猜 测 关 于 球 的 相 应 命 题

由 。 53.下列使用类比推理所得结论正确的序号是______________ (1) 直线 a, b, c , 若 a / bb 则 a // c .类推出: 向量 a, b, c , 若 a / bb , / c , , / c 则 a // c (2)同一平面内,三条不同的直线 a, b, c ,若 a ? c , b ? c ,则 a // b .类推出: 空间中,三条不同的直线 a, b, c ,若 a ? c, b ? c ,则 a // b (3) 任意 a, b ? R, a ? b ? 0 则 a ? b .类比出: 任意 a, b ? C, a ? b ? 0 则 a ? b (4) 、以点 (0,0) 为圆心, r 为半径的圆的方程是 x ? y ? r .类推出:以点
2 2 2

? ??

? ?? ?

? ?

(0, 0, 0) 为球心, r 为半径的球的方程是 x2 ? y2 ? z 2 ? r 2
54 . 等 差 数 列 有 如 下 性 质 , 若 数 列 {a n } 是 等 差 数 列 , 则 当

bn ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n 时, 数列{bn } 也是等差数列;类比上述性质,相应地 n
时,数列 {d n } 也是等比数列。

{cn } 是正项等比数列,当 d n ?

55.在 Rt△ABC 中,CA⊥CB,斜边 AB 上的高为 h1,则

1 1 1 ;类 ? ? 2 2 h1 CA CB 2

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比此性质,如图,在四面体 P—ABC 中,若 PA,PB,PC 两两垂直,底面 ABC 上 的高为 h,则 h 与 PA, PB, PC 有关系式: .

D

O

56 .若 {bn } 是等比数列, m, n, p 是互不相等的正整数,则有正确的结论:

? bp ? ? bm ? ? bn ? ? ? 1 .类比上述性质,相应地,若 {an } 是等差数列, ? ? ?? ? ? ? ? ? ? bn ? ? bp ? ? bm ? m, n , p 是 互 不 相 等 的 正 整 数 , 则 有 正 确 的 结
论: . . 57.我们知道:周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大;周长一定的所有 矩形与圆中,圆的面积最大.将这些结论类比到空间,可以得到的结论 是 . 58 .在平面直角坐标系中,以点 ( x0 , y0 ) 为圆心, r 为半径的圆的方程为

m

n

p

( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? r 2 ,类比圆的方程,请写出在空间直角坐标系中以点
P( x0 , y0 , z0 ) 为球心,半径为 r 的球的方程为


59.在平面几何里,已知直角三角形 ABC 中,角 C 为 90? ,AC=b,BC=a,运用 类比方法探求空间中三棱锥的有关结论: 有三角形的勾股定理,给出空间中三棱锥的有关结论:________ 若三角形 ABC 的外接圆的半径为 r ?

a 2 ? b2 ,给出空间中三棱锥的有关结 2

论:________ 2 60.已知 P(x0,y0)是抛物线 y =2px(p>0)上的一点,过 P 点的切线方程的斜率可 通过如下方式求得: 2 在 y =2px 两边同时求导,得: 2yy'=2p,则 y'=

p p ,所以过 P 的切线的斜率:k= . y y0

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试用上述方法求出双曲线 x - =1 在 P(

2

,

)处的切线方程为

.

61. 在平面几何中, △ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为

AE AC , = EB BC

把这个结论类比到空间:在三棱锥 A-BCD 中(如图所示),平面 DEC 平分二面 角 A-CD-B 且与 AB 相交于 E,则得到的类比的结论是________.

62.类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”,得空间相应的结 论为________.

63.已知 O 是△ABC 内任意一点, 连结 AO、 BO、 CO 并延长交对边于 A′,B′,C′, 则
OA' OB' OC ' + + =1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”. AA' BB ' CC '

OA' OB' OC ' S ?OBC S ?OCA S ?OAB S ?ABC + + = + + = =1, AA' BB ' CC ' S ?ABC S ?ABC S ?ABC S ?ABC

请运用类比思想,对于空间中的四面体 V—BCD,存在什么类似的结论?并用 体积法证明. 64.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比,试由“平行四边形对边相 等”得出平行六面体的相关性质.
BC ; 65.如图(1) ,在三角形 ABC 中, AB ? AC ,若 AD ?BC ,则 AB 2 ?BD · 若类比该命题,如图(2) ,三棱锥 A ? BCD 中, AD ? 面 ABC ,若 A 点在三角 形 BCD 所在平面内的射影为 M ,则有什么结论?命题是否是真命题.

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66. (本小题 12 分)类比平面直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性 质的猜想,并证明。

试卷第 12 页,总 12 页

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参考答案 1.C 【解析】 试题分析:设内切球的球心为 O ,所以可将四面体 的 四 个 面 的 面 积 ,

分为四个小的三棱锥,即 以

, 而四个小三棱锥的底面积分别是四面体 高 是 内 切 球 的 半 径 , 所

故选 C。 考点:类比推理。 【方法点睛】 类比推理是一种重要的推理方法, 可以根据已知题目方法推理出所求题目的方 法, 甚至直接从形式上推理出答案。 本题可以通过三角形面积与内切圆半径的关系的推导方 法, 推理出四面体的体积与其内切球的半径的关系。 三角形的内切圆的圆心与三个顶点相连 可将三角形分为三个小的三角形, 每个小三角形的底边是原三角形的边, 高为其内切圆的半 径,运用类比推理,可将四面体的内切球的球心将四面体分为四个小的四面体,每个小四面 体的底面是原四面体的四个面,高为其内切球的半径,从而得解。 2.C 【解析】 试题分析:类比,得 H1 ? 2 H 2 ? 3H 3 ? 4 H 4 ?

3V ;证明如下:连接 Q 与三棱锥的四个顶 K

点 , 则 将 原 三 棱 锥 分 成 四 个 小 三 棱 锥 , 其 体 积 和 为

V , 即

S 1 S S S V1 ? V2 ? V3 ? V4 ? V , ( S1 H1 ? S1 H1 ? S1 H1 ? S1 H1 ) ? V ,又由 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? K , 3 1 2 3 4 K 得 S1 ? K , S 2 ? 2 K , S3 ? 3K , S 4 ? 4 K , 则 ( H1 ? H 2 ? H 3 ? H 4 ) ? V , 即 3 3V ,故选 C. H 1 ? 2 H 2 ? 3H 3 ? 4 H 4 ? K
考点:类比推理. 【名师点睛】类比推理的应用一般分类比定义、类比性质和类比方法. 类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解; 类比性质:从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比性问题,求解时要 认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键; 类比方法: 有一些处理问题的方法具有类比性, 可将这种方法类比应用到其他问题的求解中, 注意知识的迁移. 3.C 【解析】 试题分析: 类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同, 从而推出它们的其他属性也相 同的推理。本题中描述的都是关于相切问题下的性质,因此属于类比推理 考点:类比推理 4.A 【解析】

?2 3 ? 6 试题分析:此四棱锥的高为 a ? ? ? ? 3 2 a? ? ? 3 a, ? ?
2

2

答案第 1 页,总 15 页

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所以此棱锥的体积为 V ?

1? 1 2 6 2 3 ?? a? a , ? a sin 60 ? ? 3? 2 12 ? 3

棱锥内任意一点到四个面的距离之和为 h ,可将此棱锥分成 4 个同底的小棱锥根据体积相等 可得 V ?

1? 1 2 2 3 ?? a , ? a sin 60 ? h ? 3? 2 12 ?
6 a .故 A 正确. 3

解得 h ?

考点:1 棱锥的体积;2 类比推理. 5.C 【解析】 试题分析:一般平面几何中的点对应立体几何中的线,线对应平面,所以对应的是三棱锥. 考点:类比推理 6.C 【解析】 试题分析:设任一点 O 到四个平面 ABC, ABD, ACD, BCD 的距离分别为 d1 , d 2 , d 3 , d 4 , 则 正 四 面 体 的 体 积

V A? BCD ? VO ? ABC ? VO ? ABD ? VO ? ACD ? VO ? BCD

1 ? ?S ?ABC ? d1 ? S ?ABD ? d 2 ? S ?ACD ? d 3 ? S ?BCD ? d 4 ? 3

正 四 面 体 的 体 积 等 于 V ?

1 1 ? S ? ? h ? ? S ? ? ?d1 ? d 2 ? d 3 ? d 4 ? , 所 以 3 3

d1 ? d 2 ? d 3 ? d 4 ? h ,这样转化为求正四面体的高,求法,如图:

由点 A 向平面 BCD引垂线,垂足为 P ,连 BP ,这样在直角三角形 ABP 内,根据勾股定理:

AP ? h ?

? 3 ? 6 ? AB ? BP ? a ? ? ? 3 a ? ? 3 a ,故选 C. ? ?
2 2 2

2

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考点:1.类比推理;2.等体积转化求高. 7.B 【解析】 试题分析: 类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同, 从而推出它们的其他属性也相 同的推理. 考点:类比推理 8.B 【解析】 试题分析:圆的圆心 ? 三棱锥的球的球心,相同类型,用类比方法. 考点:类比推理. 9.B 【解析】 试题分析:A 选项用的双曲线的定义进行推理,不符合要求.B 选项根据前 3 个 S1,S2,S3 的值,猜想出 Sn 的表达式,属于归纳推理,符合要求.C 选项由圆 x +y =r 的面积 S=π r , 猜想出椭圆
2 2 2 2

x2 y2 ? =1的面积 S ? ? ab ,用的是类比推理,不符合要求.D 选项用的是演 a 2 b2

绎推理,不符合要求.故选 B. 考点:归纳推理. 10.C 【解析】 试题分析:对于 A,类比推理是从个别到个别的推理,故 A 错;对于B:演绎推理是由一般到 特殊的推理,故B错;对于C:归纳推理是由个别到一般的推理,是正确的;对于D:合情 推理不可以作为证明的步骤,故D错;因此选C. 考点:推理方法. 11. C 【解析】 试题分析:①显然错误,向量没有结合律; ②根据 a n?1? 2an ? 2 , 可构造出 a n?1?m ? 2(an ? m) , 即 m ? 2 , 可得

an?1 ? 2 ? 2 , 该数列 an ? 2

是公比为 2,首项是 a1 ? 2 ? 2 的等比数列, 所以其通项公式为 an ? 2 ? 2n ,可得 an ? 2n ? 2 , 正确; ③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三 个侧面的面积之和大于底面面积.正确. 考点:向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理. 12.A 【解析】 试题分析: 根据演绎推理的定义, 应该是从一般性的原理出发, 推出某个特殊情况下的结论, 只有 A 符合从特殊到一般这一特征. 考点:演绎推理的定义. 13.C
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【解析】 试题分析: 四面体的面可以与三角形的边类比, 因此三边的中点也就类比成各三角形的中心, 故选 C. 考点:类比推理. 14.D 【解析】 平面上, 若两个正三角形的内切圆与外接圆面积的比为 1: 4, 则它们的半径比为 1: 2,类似地,由平面图形面积类比立体图形的体积,得出:在空间内,若两个正四面体的外 接球的半径比为 1:3,则它以体积比为 1:27,故选 D 15.C 【解析】解:设正四面体 ABCD 边长为 1,易求得 AM= 等, 所以 O 为四面体的内切球的球心, 设内切球半径为 r, 则有 r=3V /S 表 , 可求得 r 即 OM=

6 ,又 O 到四面体各面的距离都相 3

6 , 12

所以 AO=AM-OM=

6 ,所以 AO OM =3 4

故答案为:3

16.C 【解析】因为在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个 面的面积之和大于第四个面的面积”成立。同理根据等差中项与等比中项性质可知也成立, 选C 17.D 【解析】 试题分析: 由平面图形面积类比立体图形的体积, 结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即 可解:平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1:4,类似地,由 平面图形面积类比立体图形的体积,得出:在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 1:2, 则它们的底面积之比为 1:4,对应高之比为 1:2,所以体积比为 1:8 故选 D 考点:类比推理 点评:本试题主要是考查了类比推理,类比推理是指依据两类数学对象的相似性,将已知的 一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去。 18.C 【解析】 试题分析:根据题意 ,由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象,那么最适合的 为平行四边形的运用,故可知答案为 C. 考点:类比推理 点评:主要是考查了类比推理的运用,属于基础题。 19.B 【解析】 试题分析:类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类 事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .所以,由“半径为 R 的圆内接矩形中,正方形的面积最大” ,推理出“半径为 R 的球的内接长方体中,正方体的
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体积最大”是类比推理。选 B。 考点:本题主要考查类比推理。 点评:简单题,类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用 一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . 20.C 【解析】 利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是正确的; 把三条侧棱两两垂直的 三棱锥补成一个长方体, 则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径, 可求得其半径

r=

a 2 ? b2 ? c2 ,因此,乙同学类比的结论是错误的. 2

21.-1 或 1 【解析】 试 题 分 析 : 设 f ? x ? ? x3 ? x ? ?

? 1 1? ? ? 函 数 的 增 区 间 为 ? ??, 0 ? ? 0, ?? ? 且 3 ? x x?
1 1 ? 的解为-1 或 1 x3 x

f ? ?1? ? 0, f ?1? ? 0 ,所以方程 x 3 ? x ?
考点:方程与函数的互相转化 22.正四面体内切球的半径是高的

1 4

【解析】 试题分析: 类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同, 从而推出它们的其他属性也相 同的推理。 本题中正三角形内切圆类比到空间为正四面体内切球, 因此类似的结论为正四面 体内切球的半径是高的 考点:类比推理 23. b1b2 ?bn ? b1b2 ?b17 ?n (n ? 17,且n ? N ) 【解析】 试题分析:等差是加,等比就是乘,由已知,当 19- n ? n 时, n ? 10 右边 - 左边等于
?

1 4

an?1 ? an?2 ? ....? a19?n = ?19 - 2n?a10 ? 0 ,所以原式成立,当 n ? 10 时,左边 -右边等于 a20?n ? a21?n ? ... ? an ? ?2n ? 19?a10 ? 0 , 所 以 原 式 成 立 当 为 等 比 数 列 时 , 猜 想 b1b2 ?bn ? b1b2 ?b17?n (n ? 17,且n ? N ? ) , 当 17 ? n ? n 时 , n ? 9 时 ,右 边 / 左 边
= bn?1bn?2 ...... b17?n ? b9 = b18?n b19?n ...... bn ? b9
17 ?2 n

? 1 等 式 成 立 , 当 17 ? n ? n 时 , 即 n ? 9 时 , 右 边 / 左 边

2n?17

? 1 ,等式成立。

考点:1.类比推理;2.等差数列的性质;3.等比数列的性质. 24. ( ? R ) ' ? 4? R ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数
3 2

4 3

【解析】
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试题分析:根据导数的计算公式知: ( ? R 3 ) ' ? 4? R 2 ,用语言叙述为球的体积函数的导数 等于球的表面积函数. 考点:类比推理 25.经过椭圆

4 3

x2 y2 xx y y ? 2 ? 1 上一点 P(x0 , y0 的切线方程为 02 ? 02 ? 1 ) 2 a b a b

【解析】圆的性质中,经过圆上一点 M ( x0 , y0 ) 的切线方程就是将圆的方程中的一个 x 与 y

x2 y2 分别用 M(x0 , y0 的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆 2 ? 2 ? 1 类似的性质为:过椭圆 ) a b x2 y2 xx y y ? 2 ? 1 上一点 P( x0 , y0 ) 的切线方程为 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b
26.在三棱锥 A—BCD 中,若 AB、AC、AD 两两互相垂直,且 AB=a,AC=b,AD=c,则此三 棱锥的外接球半径 R=

a 2 ? b2 ? c 2 2

【解析】 试题分析: 根据类比推理的特点, 平面中的直角三角形应类比空间中三十个侧面两垂直的三 棱锥; 平面中三角形的外接圆类比空间中三棱锥的外接球, 于是答案应填: 在三棱锥 A—BCD 中,若 AB、AC、AD 两两互相垂直,且 AB=a,AC=b,AD=c,则此三棱锥的外接球半径 R =

a 2 ? b2 ? c 2 2
T8 T4 T12 T8

考点:合情推理. 27.

【解析】 试题分析:当数列是等差数列时 S4 ? S8 ? S4 ? S12 ? S8 ? S16 ? S12 成立,所以由类比推理可得: 当数列是等差数列时应为 考点:类比推理. 28.h2=

T8 T4

T12 . T8

a 2b 2 c 2 a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2

【解析】 试题分析: 如图,设 PA、PB、PC 为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱,

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三棱锥 P-ABC 的高为 PD=h, 连接 AD 交 BC 于 E, ∵PA、PB、PC 两两互相垂直, ∴PA⊥平面 PBC,PE?平面 PBC, ∴PA⊥PE,PA⊥BC, ∴AE⊥BC,PE⊥BC

? PE

2

?

b c b2 ? c2

2

2

,

? h2 ? PD 2 ?

PA PE PA2 ? PE 2

2

2

?

a2 ? a
2

b 2c 2 b2 ? c2 b 2c 2 ? 2 b ? c2

=

a 2b 2 c 2 a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2
考点:类比推理. 29.

3V S1 ? S2 ? S3 ? S4

【解析】 试题分析:设球心为 O ,分别连结四个顶点与球心 O ,将四面体分割成底面面积分别为

1 1 1 1 S1 , S 2 , S 3 , S 4 高 为 R 的 三棱 锥 , 其 体积 分 别 为 S1 R , S 2 R , S3 R , S 4 R , 由 3 3 3 3
V= S1 R + S 2 R + S3 R + S 4 R 得,R= 考点:类比推理 30.

1 3

1 3

1 3

1 3

3V . S1 ? S2 ? S3 ? S4

sin x1 ? sin x2 x ?x ? sin 1 2 2 2

【解析】 试题分析:由于函数 y ? a x (a ? 1) 的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段 AB 总是位

答案第 7 页,总 15 页

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x1 ? x2 a x1 ? a x2 2 ? a 于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 成立;而函数 2

y ? sin x( x ? (0, ? )) 的图象上任意不同两点 A( x1 , sin x1 ), B( x2 , sin x2 ) 的线段总是位于 A、
B 两点之间函数图象的下方,类比可知应有: 考点:类比推理. 31.

sin x1 ? sin x2 x ?x ? sin 1 2 成立. 2 2

PA? ? PB? ? PC? PA ? PB ? PC

【解析】 试 题 分 析 : 过 点 PAC, VP? A' B 'C ' ? p 作 直 线

A' H ' ? 平 面

PAC , BH ? 平 面

1 1 A ' H ' SPB 'C ' ; VP? ABC ? BHSPAC 3 3

1 ? 1 2 ? f ( ) ? ( ? 1) ? 2, (1 ? a ? 0) a a ? ? f (a) ? (a ? 1) 2 ? 2, (a ? 1) ?

因 为 A' H ' / B , 所 以 由 ( 1 ) 类 比 得 / H

1 A ' H ' S PB 'C ' VP ? 'A 'B C PB ' PC ' A ' H ' PA? ? PB? ? PC? '3 = = = VP ? A B C 1 BHS PAPCBH PA ? PB ? PC PAC 3
考点:类比法. 32. s1 ? s2 ? s3 ? s4 【解析】 试题分析:由正方形截下的一个直角三角形,有勾股定理 c ? a ? b ,即两边的平方等于
2 2 2
2 2 2 2

截边的平方,所以类比得 s1 ? s2 ? s3 ? s4 。 考点:合情推理的运用 1 33. r ? h 4 【解析】 试题分析: 球 心 到 正 四 面 体 一 个 面 的 距 离 即 球 的 半 径 r ,连 接 球 心 与 正 四 面 体 的 四 个 顶 点 . 把 正 四 面 体 分 成 四 个 高 为 r 的 三 棱 锥 , 所 以 4× 所 以 r=

2

2

2

2

1 1 × S × r= ×S×h, 3 3

1 h( 其 中 S 为 正 四 面 体 一 个 面 的 面 积 , h 为 正 四 面 体 的 高 ) 4

答案第 8 页,总 15 页

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故 答 案 为 : r=

1 h. 4

考点:类 比 推 理 . 34. (1)圆柱面(2)两个平行平面 【解析】 试题分析: (1)因为在平面上,到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线,当这个 平面绕着定直线旋转半周, 就变成了空间的情况, 此时原来的两条平行直线绕定直线旋转半 周后变成了圆柱面,故在空间中,到定直线的距离等于定长的点的轨迹是圆柱面; (2)由在 平面上,到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线,当把定直线变成平面时,轨迹 的两条平行直线也相应变成两个平行平面,故到已知平面相等的轨迹是两个平行平面. 考点:类比推理. 35.

a3 8

【解析】 试题分析: 本题主要考查类比推理的知识点, 解答本题的关键是根据平面中正方形的性质类 比推理出空间正方体的性质特征,本题难度不是很大.同一个平面内有两个边长都是 a 的正 方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为

a2 ,类比 4

到空间有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心, 则这两个正方体 重叠部分的体积恒为

a3 . 8

考点:合情推理中的类比推理. 36.数列 { n Tn } 为等比数列,且通项为 n Tn ? b1 ( q )n ?1 . 【解析】 试题分析: 根据等差数列与等比数列类似原理, 等差数列和的算术均值对应等比数列积的几 何均值,即数列

{ n Tn }

为等比数列,且通项为

n

Tn ? b1 ( q )n?1

.

考点:类比 37. (-3,-1) ? (1,2) . 【解析】 2 2 试题分析:由 ax +bx+c>0 的解集为(-1,2) ,得 a(-x) +b(-x)+c>0 的解集为(-2,1) , 发现-x∈(-1,2) ,则 x∈(-2,1) 若关于 x 的不等式

k x?b 1 1 ? ? 0 的解集为(?1, ? )∪( ,1), x?a x?c 3 2

则关于 x 的不等式

1 kx bx ? 1 ? ? 0 可看成前者不等式中的 x 用 代入可得, ax ? 1 cx ? 1 x



1 1 1 ∈(?1, ? )∪( ,1),即 x∈(-3,-1)∪(1,2) , 3 2 x
答案第 9 页,总 15 页

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故答案为(-3,-1)∪(1,2) . 考点:1.归纳推理;2.一元二次不等式的应用. 38.1∶8

1 Sh V1 3 1 1 S1 h1 1 1 1 【解析】考查类比的方法, = = ? = ? = ,所以体积比为 1∶8. V2 1 S h S2 h2 4 2 8 2 2 3 39.过椭圆的焦点作一直线与椭圆交于 A 、 B 两点,则当 AB 与椭圆的长轴垂直时, AB 的
2b 2 长度最短( | AB |? 2 ) a
【解析】圆锥曲线有很多类似性质, “通径”最短是其中之一,答案可以填:过椭圆的焦点 作 一 直 线 与 椭 圆 交 于 A 、 B 两 点 , 则 当 AB 与 椭 圆 的 长 轴 垂 直 时 , AB 的 长 度 最短 ( | AB |?

2b 2 ) a2

40.斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一 【解析】 (1)斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一; (2)三个直角面面积的平方和等于 斜面面积的平方; (3)斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于 1,等等. 41.

1 1 1 1 ? ? ? a 2 b2 c 2 h2 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 . ?PA、PB、PC 两两互相垂直,? PA⊥平面 PBC. 由已知 2 a b c h
bc b2 ? c2
,

【解析】

有 :PD=

h ? PO ?

a ? PD a 2 ? PD 2

. ? h2 ?

a 2b 2 c 2 a 2b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2



1 1 1 1 ? ? ? a 2 b2 c 2 h2

8 3 3 R 42.正方体, 9

【解析】 43.

【解析】 44.正四面体的中心到顶点的距离是到对面中心距离的 3 倍 【解析】略
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45. b1b2 ?bn ? b1b2 ?b17 ?n 【解析】 考点:类比推理. 分析:根据等差数列与等比数列通项的性质,结合类比的规则,和类比积,加类比乘,由类 比规律得出结论即可. * 解: 在等差数列{an}中, 若 a10=0, 则有等式 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n 成立 (n<19, n∈N ) . , * 故相应的在等比数列{bn}中,若 b9=1,则有等式 b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n∈N ) * 故答案为:b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n∈N ).

46. 【解析】略 47.PF1?PF2=PC?PD 【解析】略 48.正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的距离之和是一个定值. 【解析】 考点:类比推理. 分析:根据平面中的某些性质类比推理出空间中的某些性质,一般遵循“点到线”,“线到 面”,“面到体”等原则,由在平面几何中,已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个 定值”,是一个与线有关的性质,由此可以类比推出空间中一个与面有关的性质,由此即可 得到答案. 解答:解:∵平面几何中,已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”, 根据平面中边的性质可类比为空间中面的性质 则我们可以将“正三角形”类比为“正四面体”(或“正六面体”,即“正方体”) “到三边距离之和”类比为“到四(六)个面的距离之和” 故答案为:正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的距离之和是一个定值 点评:本题考查的知识点是类比推理,类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的 相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题 (猜想). 49.

x0 x y 0 y ? 2 ?1 a2 b

【解析】 解: P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 外,过点 P0 作该椭圆的两条切线的切点分别 a 2 b2
x0 x y0 y ? 2 ?1 . 那 么 对 于 双 曲 线 a2 b

为 P 1, P 2 , 则 切 点 弦 PP 1 2 所 在 直线 的 方程 为

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上,过点 若点 不在双曲线 P ( x , y ) 0 0 0 a2 b2 a2 b2

P0 作 该 双 曲 线 的 两 条 切 线 的 切 点 分 别 为 P 1, P 2 , 则 切 点 弦 PP 1 2 所在直线的方程为
答案第 11 页,总 15 页

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x0 x y 0 y ? 2 ?1 a2 b
50.夹在两个平行平面间的平行线段相等;真命题 【解析】 平面几何中的平行线类比空间的平行平面就得到相应的命题, 根据面面平行的性质 定理可证得命题是真命题. 51.斜面的中面面积等于斜面面积的 1/4 【解析】解:根据题意,可得实施类比的思路:点变成线,线变成面,从二维平面转变到三 维空间; (1)直角三角形具有性质: “两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方” ,可得 以下性质:直角三棱锥中,三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方; (2)直角三角形具有性质: “斜边的中线长等于斜边边长的一半” ,可得 以下性质:直角三棱锥中,斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一. 故答案为:直角三棱锥中,三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方 直角三棱锥中,斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一 52.半径为 R 的球内接长方体中,以正方体的体积最大,最大值为 【解析】解:在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时, 一般为:由平面几何中点的性质,类比推理空间几何中线的性质; 由平面几何中线的性质,类比推理空间几何中面的性质; 由平面几何中面的性质,类比推理空间几何中体的性质; 故由: “周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大” , 类比到空间可得的结论是: “半径为 R 的球的内接长方体中以正方体的体积为最大,最大值为

8 3 3 R ; 9

8 3 3 R ” 9
8 3 3 ” R . 9

故答案为: “半径为 R 的球的内接长方体中以正方体的体积为最大,最大值为 53 . ( 4)

【 解 析 】 (1) 中 , 当 a ? 0, a, c 不 一 定 平 行 . 故 不 正 确 ; ( 2 ) 在 空 间 中 , a, b 可 平 行 , 相 交 和 异 面 .故 不 正 确 ; ( 3) 在 复 数 范 围 内 , 只 有 当 两 个 数 全 为 实 数 时 , 才 能 比 较 大 小 .故 不 正 确 ; ( 4) 正 确 54. n c1c2 ?cn 【 解 析 】 解 : 因 为 等 差 数 列 有 如 下 性 质 , 若 数 列 {a n } 是 等 差 数 列 , 则 当

?

? ??

bn ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n 时, 数列{bn } 也是等差数列;类比上述性质,相应地 {cn } 是正项等 n
n

比数列,当 d n ?

c1c2 ?cn 时,数列 {d n } 也是等比数列。
答案第 12 页,总 15 页

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55. 1 ? 1 ? 1 ? 1 h 2 PA2 PB2 PC2 【解析】 解: ∵在平面上的性质, 若 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高为 h, 则有

1 1 1 ? ? 2 2 h1 CA CB 2

我们类比到空间中,可以类比推断出: 在四面体 P-ABC 中,若 PA、PB、PC 两两垂直,底面 ABC 上的高为 h,有:
1 1 1 1 故答案为: 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? h 2 PA2 PB2 PC2 h 2 PA2 PB2 PC2

56 . m(ap ? an ) ? n(am ? ap ) ? p(an ? am ) ? 0 . 【 解 析 】 等差数列中的 bn 和 am 可以类比等比数列中的 b 和 a , 等差数列中的 bn ? am 可以类比等比数列中的
n m

bn ,等差数列中的“差”可以类比等比数列 am

中的“商”.故 m(ap ? an ) ? n(am ? ap ) ? p(an ? am ) ? 0 . 57.表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大;表面积一定的所有长方体与球中,球 的体积最大 【解析】 试题分析:表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大;表面积一定的所有长方体与球 中,球的体积最大 考点:本题主要考查类比推理的意义。 点评:类比推理,是一个观察几个结论是不是通过类比得到,本题解题的关键在于对于所给 的结论的理解. 58. ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ( z ? z0 )2 ? r 2 【解析】 试题分析:设 P( x0 , y0 , z0 ) 是球面上任一点,
2 2 2 由空间两点的距离公式可得 ( x ? x? ) ? ( y ? y? ) ? ( z ? z? ) ? r ,

故答案为: ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? ( z ? z0 )2 ? r 2 考点:类比推理. 点评: 类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同, 从而推出它们的其他属性也相同的 推理.简称类推、类比.它是以关于两个事物某些属性相同的判断为前提,推出两个事物的 其他属性相同的结论的推理.立体几何中的类比推理主要体现在平面几何与立体几何的类 比.
2 2 2 2 59.在三棱锥 O-ABC 中,若三个侧面两两垂直,则 S? ;在三棱 OAB ? S?OAC ? S?OBC ? S?ABC

锥 O-ABC 中,若三个侧面两两垂直,且三条侧棱长分别为 a,b,c, 则其外接球的半径为

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a 2 ? b2 ? c 2 r? 2
【解析】 试题分析:平面几何图形边长满足长度关系式,类比立体几何图形面积满足一定关系式,三 角形中同一点出发的两线垂直, 类比立体几何中同一条棱出发的三面互相垂直, 直角三角形
2 2 2 2 三边的平方关系类比立体几何中的三面平方关系得关系式 S? OAB ? S?OAC ? S?OBC ? S?ABC

直角三角形外接圆半径与两直角边有关系式, 类比立体几何棱锥外接球半径与互相垂直的三 条棱有关系式 r ?

a 2 ? b2 ? c 2 2

考点:知识的类比迁移能力 点评:比较已知中给定的条件与所要类比的问题,找到他们之间的类似点,采用已知中的关 系式形式类比写出所求的关系式 60.2x-y=0
2

【解析】用类比的方法对 =x -1 两边同时求导得,yy'=2x,∴y'= , ∴y'= = =2, =2(x),∴2x-y=0.

∴切线方程为 y61.

AE S? ACD = EB S? BCD

【解析】△ABC 中作 ED⊥AC 于 D,EF⊥BC 于 F,则 ED=EF. ∴

AC S? ACE AE , = = BC S? BCE EB

类比:在三棱锥 A-BCD 中,过直线 AB 作一平面垂直于 CD,并交 CD 于点 H,则∠AHB 是二 面角 A-CD-B 的平面角,连结 EH,则 EH 是∠AHB 的角平分线. ∴

AE AH S? ACD . = = EB BH S? BCD

62.三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 【解析】平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象,从而有结论.
1 S ?h OE h1 3 ?BCD 1 VO? BCD 63.在四面体 O—BCD 与 V—BCD 中: = = = . 1 VE h VV ? BCD S ?BCD ? h 3

【解析】在四面体 V—BCD 中,任取一点 O,连结 VO、DO、BO、CO 并延长分别交四个面于 E、F、G、H 点. 则
OE OF OG OH + + + =1. VE DF BG CH

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1 S ?h OE h1 3 ?BCD 1 VO? BCD 在四面体 O—BCD 与 V—BCD 中: = = = . 1 VE h VV ? BCD S ?BCD ? h 3

同理有: ∴ =

OF VO?VBC OG VO?VCD OH VO?VBD = ; = ; = , DF VD?VBC BG VB?VCD CH VC ?VBD

OE OF OG OH + + + VE DF BG CH

VO?BCD ? VO?VBC ? VO?VCD ? VO?VBD VV ? BCD = =1. VV ?BCD VV ? BCD
ABCD=

64. S?

S?

A1B1C1D1

, S?

ADD1 A1

= S?

BCC1B1

, S?

ABB1 A1 =

S?

CDD1C1

,

【解析】如图所示,

由平行四边形的性质可知 AB=DC,AD=BC, 于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, 我们猜想:

S?

ABCD=

S?

A1B1C1D1

, S?

ADD1 A1

= S?

BCC1B1

, S?

ABB1 A1 =

S?

CDD1C1

,

且由平行六面体对面是全等的平行四边形知,此猜想是正确的. 65.命题是:三棱锥 A ? BCD 中, AD ? 面 ABC ,若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射影
2 · S△BCD 是一个真命题. 为 M ,则有 S△ ABC ? S△ BCM

【解析】命题是:三棱锥 A ? BCD 中, AD ? 面 ABC ,若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的
2 · S△BCD 是一个真命题. 射影为 M ,则有 S△ ABC ? S△ BCM

证明如下: 在图(2)中,连结 DM ,并延长交 BC 于 E ,连结 AE ,则有 DE ? BC . 因为 AD ? 面 ABC , ,所以 AD ? AE . 又 AM ? DE ,所以 AE2 ? EM · ED .
?1 ? ?1 ? ?1 ? 2 BC · AE ? ? ? BC · EM ? · ? BC · ED ? ? S△BCM· S△BCD . 于是 S△ ABC ? ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
2

【答案】 (课本 p26 例 4) 猜想四面体有三个“直角面”s1 , s2 , s3 和一个斜面 s,类比勾股定理有 s2 ? s12 ? s22 ? s32 ?6 分 证明略。 【解析】略
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