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2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)


2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (5 月 5 日 8:00 至 10:00)

一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1.设方程 x2 ? 2mx ? m2 ? 1 ? 0 的根大于 ?2 ,且小于 4 ,则实数 m 的范围是 2.从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配成一双的概率为 . .

3.设实数 x , y 满足 x2 ? 4 x ? y ? 3 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最大值与最小值之差是



4.若存在正实数 a , b 满足 (a ? bi)n ? (a ? bi)n ( i 是虚数单位, n ? N* ) ,则 n 的最小值是 5.若三角形 ABC 的三边 AB , BC , AC 成等差数列,则 ?A 的取值范围是





6.若数列 ?an ? 满足 a4 ? 9 , (an?1 ? an ? 1)(an?1 ? 3an ) ? 0 ( n ? N* ) ,则满足条件的 a1 的所有可能值之积 是 .
60

7.已知 f ( x) ? x 2 ? 94 x ? 2013 ,则 ? ? f (n) ? f (n) ? ?
n ? 30



8.设 x , y ? ? 0 ,2π ? ,且满足 2sin x cos y ? sin x ? cos y ? ?

1 ,则 x ? y 的最大值为 2



9.已知正四面体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是面 ABC 上的一个动点,满足 P 到面 DAB 、 DBC 、 DCA 的 距离成等差数列,则 P 到面 DCA 距离的最大值是 .

10.将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数,这个四位数为完全平方数,再 过 31 年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全平方数,小王现在 的年龄是 .

二.解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.设 k 为实数, 0 ? k ? 6 ,椭圆 E1 :
( x ? k )2 x2 ? y 2 ? 1 与椭圆 E2 : ? y 2 ? 1 交于点 A 和 C , E1 的左顶 9 9

点为 B , E2 的右顶点为 D (如图) ,若四边形 ABCD 是正方形,求实数 k .

12.如图,梯形 ABCD 中, B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B? 、 D? , A 、 C 关于对角线 BD 对 称的点分别是 A? 、 C ? .证明:四边形 A?B?C?D? 是梯形.

1 13.设实数 a , b 满足 0 ≤ a ≤ ≤ b ≤1 .证明: 2(b ? a) ≤ cos πa ? cos πb . 2

14.正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明:必存在四个同色点,恰为某等腰梯形的顶 点.


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