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人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用


专项强化训练(二)
三角函数与平面向量的综合应用 一、选择题 1.(2015·江淮模拟)在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的 边,S 为 △ABC 的面积.若向量 p=(S,a+b+c),q=(a+b-c,1),满足 p∥q,则 tan = ( A. ) B. C.2 D. 由 D.4 p ∥ q 得 S=(a+b)2-c2=2ab+a2+b

2-c2, 即 =4. )

【 解 析 】 选

absinC=2ab+2abcosC,亦即 sinC=1+cosC,tan = 2.已知向量 a=(1, A. B.

),b=(cosθ ,sinθ ),若 a∥b,则 tanθ = ( C.D.-

【解析】选 B.因为 a∥b, 所以 sinθ即 sinθ= 3. 在 △ cosθ=0, cosθ.故 tanθ= ABC 中 , 角 . A,B,C 的 对 边 分 别 为

a,b,c,m=(bcosC,-1),n=((c-3a)cosB,1), 且 m ∥ n, 则 cosB 的 值 为 ( A. ) B.C. D.-

【解题提示】利用已知转化为边角关系后利用余弦定理角化边后可解. 【解析】选 A.由 m∥n,得 bcosC+(c-3a)cosB=0. 所以 = .

-1-

则 c(a2+b2-c2)=3a(a2+c2-b2)-c(a2+c2-b2). 所以 2a2c=3a(a2+c2-b2),则 = 于是 cosB= = . .

4.(2015·临沂模拟)若向量 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),则 a 与 b 一定满足 ( ) B.a⊥b D.(a+b)⊥(a-b)

A.a 与 b 的夹角等于α -β C.a∥b

【解题提示】欲求 a 与 b 满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判 断 a 与 b 是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断. 【解析】 选 D.因为 a· b=(cosα,sinα)· (cosβ,sinβ)=cos(α-β), 这表明这两个向量的夹角的余弦值为 cos(α-β). 同时,也不能得出 a 与 b 的平行和垂直关系. 因为计算得到(a+b)·(a-b)=0, 所以(a+b)⊥(a-b). 故选 D. 5.(2015·鹰潭模拟)已知 P,M,N 是单位圆上互不相同的三个点,且满足 | A.|=| |,则 B.· 的最小值是 ( C.) D.-1

【解析】 选 B.根据题意,不妨设点 P 的坐标为(1,0),点 M 的坐标为(cos θ,sinθ),点 N 的坐标为(cosθ,-sinθ),其中 0<θ<π, 则 所以 =(cosθ-1,sinθ), · =(cosθ-1,-sinθ),

=(cosθ-1,sinθ)·(cosθ-1,-sinθ)

-2-

=(cosθ-1)2-sin2θ =cos2θ-2cosθ+1-sin2θ =2cos2θ-2cosθ=2 所以当 cosθ= 时, 二、填空题 6. 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 所 对 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 m=(1,2),n=(ccosA,b), p=(c,-bcosA),若 m∥n,m⊥p,则△ABC 的形状是 . · - , 有最小值- .

【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解. 【解析】由 m∥n 可得,b=2ccosA. 由正弦定理可得 sinB=2sinCcosA, 即 sin(A+C)=2sinCcosA. 从而 sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA, 故 sinAcosC-cosAsinC=0. 即 sin(A-C)=0,又-π<A-C<π, 所以 A-C=0,即 A=C. 由 m⊥p 可得 c-2bcosA=0, 从而 sinC-2sinBcosA=0, 故 sin(A+B)-2sinBcosA=0. 即 sinAcosB-cosAsinB=0, 即 sin(A-B)=0,故 A-B=0,A=B. 所以 A=B=C.

-3-

故三角形为等边三角形. 答案:等边三角形 7.(2015·银川模拟)已知正三角形 OAB 中,点 O 为原点,点 B 的坐标是 (-3,4),点 A 在第一象限,向量 m=(-1,0),记向量 m 与向量 α ,则 sinα 的值为 【解析】 设向量 β= , cos β =- ,sin α =sin( π - α )=sin 答案: 8. 在 △ ABC 2cos2 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 且 × = . = sin β cos β = × . 的夹角为

与 x 轴正向的夹角为β,则α+β=π+ = ,且有 sin

cosB-sin(A-B)sinB ,b=5,则 在 方向上的射影为 .

+cos(A+C)=- ,若 a=4

【解题提示】利用已知条件先转化求得 cosA,再利用正余弦定理可解. 【解析】由 2cos2 cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=- ,

得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=- , 即 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=- . 则 cos(A-B+B)=- , 即 cosA=- . 由 0<A<π, 得 sinA= , 由正弦定理,有 = ,

-4-

所以,sinB=

= .

由题知 a>b,则 A>B,故 B= , 根据余弦定理,有(4 )2=52+c2-2×5c× ,

解得 c=1 或 c=-7(舍去). 故向量 答案: 三、解答题 9.(2015 · 九 江 模 拟 ) 在 △ ABC 中 ,a,b,c 分 别 是 角 A,B,C 的 对 边,m=(2a+c,b), n=(cosB,cosC),且 m·n=0. (1)求角 B 的大小. (2)设函数 f(x)=sin2xcos(A+C)- cos2x,求函数 f(x)的最小正周期, 最大值及当 f(x)取得最大值时 x 的值. 【解析】(1)由已知得,(2a+c)cosB+bcosC=0, 即(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0, 即 2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0. 所以 2sinAcosB+sin(B+C)=0, 即 2sinAcosB+sinA=0. 因为 0<A<π,所以 sinA≠0. 所以 2cosB+1=0,所以 cosB=- . 又 0<B<π,所以 B= . (2)因为 f(x)=sin2xcos(A+C)- cos2x 在 方向上的射影为| |cosB= .

-5-

=-sin2x·cosB- cos2x = sin2x- cos2x =sin .

故 f(x)的最小正周期 T= =π. 当 2x- =2kπ+ ,k∈Z 即当 x=kπ+ ,k∈Z 时,f(x)max=1. 10. 已知平面向量 a=(cos φ ,sin φ ),b=(cosx,sinx),c=(sin φ ,-cos φ),其中 0<φ<π ,且函数 f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx 的图像过点 . (1)求φ的值及函数 f(x)的单调增区间. (2)先将函数 y=f(x)的图像向左平移 个单位,然后将得到函数图像上 各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图像, 求函数 y=g(x)在 上的最大值和最小值.

【解题提示】(1)由平面向量数量积的运算及三角函数的相关公式化简 函数解析式,由函数 f(x)的图像过定点确定φ的值,并由此求函数 f(x) 的单调增区间. (2)先根据图像变换的法则确定函数 g(x)的表达式,并由此根据给定的 范围求函数 g(x)的最值. 【解析】(1)因为 a·b=cosφcosx+sinφsinx=cos(φ-x), b·c=cosxsinφ-sinxcosφ=sin(φ-x). 所以 f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx =cos(φ-x)cosx+sin(φ-x)sinx

-6-

=cos(φ-x-x) =cos(2x-φ), 即 f(x)=cos(2x-φ), 所以 f =cos =1,而 0<φ<π,

所以φ= . 所以 f(x)=cos ,

由 2kπ-π≤2x- ≤2kπ. 得 kπ- ≤x≤kπ+ , 即 f(x)的单调增区间为 (2)由(1)得,f(x)=cos y=cos 于是 g(x)=cos 当 x∈ =cos . (k∈Z). ,平移后的函数为 ,

时,- <x- < . ≤1,

所以 ≤cos

即当 x= 时,g(x)取得最小值 , 当 x= 时,g(x)取得最大值 1. 11.△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(-1,1),n= (cosBcosC,sinBsinC- ),且 m⊥n. (1)求 A 的大小. (2) 现 给 出 下 列 四 个 条 件 : ① a=1; ② b=2sinB; ③ 2c-( +1)b=0; ④

B=45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的△ABC 的 面积.

-7-

【解析】(1)因为 m⊥n, 所以-cosBcosC+sinBsinC- =0, 即 cosBcosC-sinBsinC=- ,cos(B+C)=- , 因为 A+B+C=180°, 所以 cos(B+C)=-cosA, 所以 cosA= ,又 0°<A<180°, 所以 A=30°. (2)选择①③可确定△ABC. 因为 A=30°,a=1,2c-( 由余弦定理 12=b2+ 整理得 b2=2,b= ,c= +1)b=0, -2b· . × × = . bcos30°,

所以 S△ABC= bcsinA= ×

【一题多解】(2)选择①④可确定△ABC. 因为 A=30°,a=1,B=45°, 所以 C=105°. 因为 sin105 ° =sin(60 ° +45 ° )=sin60 ° cos45 ° +cos60 ° sin45 ° = , = = , , × = .

由正弦定理 得 b= =

所以 S△ABC= absinC= ×1×

【加固训练】 (2015 ·上饶模拟 ) 已知 a=(sinx,1),b=(cosx,- ), 若 f(x)=a·(a-b),求:

-8-

(1)f(x)的最小正周期及对称轴方程. (2)f(x)的单调递增区间. (3)当 x∈ 时,函数 f(x)的值域. ,

【解析】因为 a=(sinx,1),b= 所以 a-b= ,

所以 f(x)=a·(a-b)=sinx(sinx-cosx)+ =sin2x-sinxcosx+ = - sin2x+

=2- (sin2x+cos2x) =2- sin ,

所以函数 f(x)的最小正周期为 T= = =π, 令 2x+ = +kπ(k∈Z), 解得 x= + (k∈Z), 所以函数 f(x)对称轴方程为 x= + (k∈Z). (2)因为 f(x)=2- sin ,

所以函数 f(x)的单调增区间为函数 y=sin 2x+ 的单调减区间, 令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z), 即得 +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z), 所以函数 f(x)的单调增区间为 (3)令 2x+ =t∈ , , (k∈Z).

所以原式化为 f(t)=2- sint 因为 t∈ ,

所以- ≤sint≤1,

-9-

即得 2- ≤f(t)≤ , 所以函数 f(x)在区间 上的值域为 .

- 10 -


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