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必修2第三章教案 直线的方程(2)


高一数学 必修二 直线与方程

直线的方程(2)
一、新知学习 1.直线的两点式方程 若直线经过点 P ,则其方程为 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) (其中 x1 ? x2 , y1 ? y2 )
证明:当 x1 ? x2 时,所求直线的斜率 k ?
y ? y1 x ? x1 ? . y2 ? y

1 x2 ? x1

y ? y1 x ? x1 ? . y2 ? y1 x2 ? x1

y ?y y2 ? y1 .任取 P , P2 中的一点,例如,取 P ,由点斜式方程,得 y ? y1 ? 2 1 ( x ? x1 ) , 1 1 (x 1 , y1 ) x2 ? x1 x2 ? x1

当 y1 ? y2 时,可写为

注:若 P ,P 中有 x1 ? x2 或 y1 ? y2 时,直线 PP 没有两点式方程.当 x1 ? x2 时,直线 PP 垂直于 x 轴,直线方程为 x ? x1 ; 2 (x2 , y2 ) 1 2 1 2 1 (x 1 , y1 ) 当 y1 ? y2 时,直线 PP 垂直于 y 轴,直线方程为 y ? y1 . 1 2

2.推论 直线 l 的截距式方程 若直线 l 的横、纵截距分别为 a , b ,且 a ? 0 , b ? 0 ,则其方程为

x y ? ?1. a b
y ?0 x?a , ? b?0 0?a

证明: 由题意可知, 直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0) , 与 y 轴的交点为 B(0,b) , 将两点 A(a,0) ,B(0,b) 的坐标代入两点式, 得



x y ? ?1 . a b

二、知识迁移 A.概念理解 1.判断题: (1)斜率不存在的直线有两点式方程. (2)与 x 轴平行的直线没有两点式方程. (3)过原点的直线没有截距式方程. (4)过点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )的直线方程是
(1)错误. (2)正确. (3)正确. (4)错误.

y ? y1 y2 ? y1 ? . x ? x1 x2 ? x1

2.口答: (1)过点 A(1,1) , B(2,3) 的直线的方程为 2x ? y ?1 ? 0 . (2)过点 C (0, 2) , D(?3,0) 的直线的截距式方程为
x y ? ?1 . ?3 2

(3)已知点 E (1,5) , F (?1,3) ,则线段 EF 的中点坐标为 (0,4) .

3.思考: (1) 已知直线所过两点的坐标, 除了用两点式写出直线的方程外, 还可以如何写出准线方程? (2)应用两点式求直线方程的关键是什么?
1

高一数学 必修二 直线与方程 答: (1)还可以先求出直线的斜率,再代入点斜式写出直线方程. (2)首先要确定是否具备两点式应用的条件,即存在斜率且斜率不为 0,然后要注意分子、分母四个减式的作差顺序.

4.写出满足下列条件的直线的两点式方程: (1) A(1,3) , B(?2, ?1) . (2) C (6, ?7) , D(2,1) .
结果: (1)方程为
y ?1 x ? 2 y ?1 x ? 2 . (2) . ? ? 3 ?1 1? 2 ?7 ? 1 6 ? 2

5.思考: (1)截距式与两点式有什么关系? (2)

x y x y ? ? 1 与 ? ? 2 都是直线的截距式方程吗? 3 5 3 5
x y x y ? ?1 , ? ?1 . 3 ?5 6 10

答: (1)截距式是两点式的一种特殊情况,两个点是直线与坐标轴的交点. (2)两个方程都不是直线的截距式方程,可改写为

6.根据下列条件求直线的截距式方程,并画出图形. (1)在 x 轴上的截距是 3,在 y 轴上的截距是 ?2 . (2)过 A(?4,0) , B(0, ?5) 两个点.
结果: (1)
x y x y (2) ? ? 1 ,图略. ? ? 1 ,图略. 3 ?2 ?4 ?5

B.直线的两点式方程及其应用 例 (1)直线 l 过点 A(?1, ?1) 和 B(2,5) 且点 C (1006, b) 为该直线上一点,则 b 的值为 A.2011 B.2012 C.2013 (2) △ABC 的三顶点为 A(?3,0) , B(2,1) , C (?2,3) ,求: (ⅰ) AC 所在直线的方程; (ⅱ)边 BC 的垂直平分线的方程.
解: (2) (ⅰ)由直线方程的两点式得
y ? 0 x ? (?3) ,所以 AC 所在直线方程是 3x ? y ? 9 ? 0 . ? 3 ? 0 ?2 ? (?3)

C

D.2014

(ⅱ)因为 B(2,1) , C(?2,3) ,所以 kBC ? 为 y ? 2 ? 2(x ? 0) ,整理得 2x ? y ? 2 ? 0 .

3 ?1 1 2 ? 2 1? 3 ? ? ,线段 BC 的中点坐标是 ( , ) ,即 (0,2) ,所以 BC 边的垂直平分线方程 ?2 ? 2 2 2 2

变式 1 已知 △ABC 的三顶点为为 A(?3,0) , B(2,1) , C (?2,3) ,求 AB 边上的中线所在直线的 方程.
解:因为 A(?3,0) , B(2,1) ,所以线段 AB 的中点坐标为 (? , ) ,所以 AB 边上的中线所在直线过点 (? , ) , (?2,3) ,两点式方程为
1 1 x? 2? 2 ,整理得 5x ? 3y ? 1 ? 0 . 1 1 3? ?2 ? 2 2 y?

1 1 2 2

1 1 2 2

变式 2 已知 △ABC 的三顶点为 A(1, 2) , B(3,6) ,C (5, 2) ,M 为 AB 的中点, N 为 AC 的中点,
2

高一数学 必修二 直线与方程

则中位线 MN 所在直线的方程为 2x ? y ? 8 ? 0 .

C.直线的截距式方程及其应用 例 (1)直线 l1 : y ? kx ? b(kb ? 0) ;直线 l2 :
y
l2
l1 l2

x y ? ? 1 在同一坐标系中的图象可能是 k b
y y
l1

D

y

l1

l2

l2

l1

O O
x

O

x

x

O

x

A (2)已知直线 l 过点 A(?2,3) .

B

C

D

(ⅰ)直线 l 的倾斜角为 135? ,求直线 l 的方程; (ⅱ)直线 l 在两坐标轴上的截距之和为 2,求直线 l 的方程.
解: (2) (ⅰ)因为直线 l 的倾斜角为 135? ,所以直线 l 的斜率 k ? tan135? ? ?1 .又因为直线 l 过点 A(?2,3) ,所以直线 l 的点斜式方程 为 y ? 3 ? ?(x ? 2) ,即 x ? y ?1 ? 0 .
? a ? b ? 2, ?a ? 1, ? a ? ?4, x y ? 解得 ? 或? ? ? 1 ,由题意得 ??2 3 ? ? 1, a b ?b ? 1, ? b ? 6. ? ?a b

(ⅱ)设直线 l 的截距式方程为

所以直线 l 的方程为 x ? y ? 1 或

x y ? ? 1 ,即 x ? y ? 1 或 3x ? 2y ? 12 ? 0 . ?4 6

变式 已知 Rt △ ABC 的两直角边 AC ? 3 , BC ? 4 ,直角顶点 C 在原点,直角边 AC 在 x 轴负 半轴上, BC 在 y 轴正半轴上,求斜边 AB 所在直线的方程.
解:由题意得 A(?3,0) , B(0,4) ,C(0,0) ,所以直线 AB 在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 ?3 ,4, 所以直线 AB 的截距式方程为 即 4x ? 3y ? 12 ? 0 .
x y ? ?1 , ?3 4

D.直线方程的综合应用 例 (1)过点 P(?5, ?4) 与两坐标轴围成的三角形面积为 5 的直线方程为 . (2)已知 △ABC 的三顶点是 A(?1, ?1) , B(3,1) ,C (1,6) ,直线 l 平行于 AB ,分别交 AC , BC 于 E , F , △CEF 的面积是 △CAB 面积的

1 .求直线 l 的方程. 4
1?1 1 1 ? .因为 EF ∥ AB ,所以直线 EF 的斜率为 .因 3 ?1 2 2

解: (1) 2x ? 5y ?10 ? 0 或 8x ? 5y ? 20 ? 0 . (2)由已知,直线 AB 的斜率 k ?

为 △CEF 的面积是 △CAB 面积的

CE 1 1 1 且 △CEF ∽ △CAB ,所以 △CEF 与 △CAB 的相似比是 ,所以 ? ,所以 E 是 CA 的中点.点 E CA 2 4 2

的坐标是 (0, ) .直线 EF 的方程是 y ? ? x ,即 x ? 2y ? 5 ? 0 .

5 2

5 2

1 2

3

高一数学 必修二 直线与方程

3 变式 求与两坐标轴围成的三角形周长为 9,且斜率为 ? 的直线 l 的方程. 4
解:设直线方程为
?| a | ? | b | ? a 2 ? b2 ? 9, 3 3 x y 3 ? 由②知 b ? a ,代入①得, | a | ? | a | ? a 2 ? ( a)2 ? 9 ,整理得 | a |? 3 , ? ? 1 .由题意知 ? b 3 4 4 a b 4 ? ? ?? . 4 ? a

解方程组得 ?

? a ? 3, ? a ? ?3, x y x y ? ? ? ? 1 ,即 3x ? 4 y ? 9 ? 0 ,或 3x ? 4 y ? 9 ? 0 . 9 所以直线 l 的方程为 ? ? 1 ,或 9 或? b?? . b ? 3 9 ?3 ? 9 ? ? ? 4 ? 4 4 4

4


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