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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形训练 文


第2讲

三角恒等变换与解三角形

一、选择题 1.已知 α ∈R,sin α +2cos α = A. 4 3 3 B. 4 10 ,则 tan 2α 等于( 2 4 D.- 3 )

3 C.- 4 10 , 2

解析 ∵sin α +2cos α =

5 2 2 ∴sin α +4sin α ·cos α +4cos α = . 2 用降幂公式化简得:4sin 2α =-3cos 2α , sin 2α 3 ∴tan 2α = =- .故选 C. cos 2α 4 答案 C π? 3 ?π ? ? 2.(2015·武汉模拟)已知 α ∈? ,π ?,sin?α + ?= ,则 cos α 等于( 2 4? 5 ? ? ? A.- 2 10 2 7 2 或 10 10 7 2 B. 10 7 2 D.- 10 )

C.-

5 ? π ?3 ?π ? 解析 ∵α ∈? ,π ?,∴α + ∈? π , π ?. 4 ? 4 ?4 ?2 ? π? 3 π? 4 ? ? ∵sin?α + ?= ,∴cos?α + ?=- , 4? 5 4? 5 ? ? π? π? ?? ∴cos α =cos??α + ?- ? 4? 4? ?? π? π? π π ? ? =cos?α + ?cos +sin?α + ?sin 4 4 4 4 ? ? ? ? 4 2 3 2 2 =- × + × =- . 5 2 5 2 10 答案 A 1 3.(2014·新课标全国Ⅱ卷)钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=( 2 A.5 B. 5 C.2 D.1 )

1

1 1 1 2 解析 S△ABC= AB·BCsin B= ×1× 2sin B= ,∴sin B= ,若 B=45°,则由余弦 2 2 2 2 定理得 AC=1,∴△ABC 为直角三角形,不符合题意,因此 B=135°,由余弦定理得 AC =AB +BC -2AB·BCcos B=1+2-2×1× 2×?-
2 2 2

? ?

2? ?=5,∴AC= 5.故选 B. 2?

答案 B 4.(2015·广东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=2 3,cos A = 3 ,且 b<c,则 b=( 2 B.2 2
2 2 2

) C.2
2

A. 3

D. 3 3 2 ,即 b -6b+8 2

解析 由余弦定理 a =b +c -2bccos A,得 4=b +12-2×b×2 3× =0, ∴b=4 或 b=2,又 b<c,∴b=2. 答案 C

4 5 5.已知 tan β = ,sin(α +β )= ,其中 α ,β ∈(0,π ),则 sin α 的值为( 3 13 A. 63 65 33 B. 65 13 C. 65 63 33 D. 或 65 65

)

4 3 5 解析 依题意得 sin β = ,cos β = .注意到 sin(α +β )= <sin β ,因此有 α + 5 5 13 π π π β > (否则,若 α +β ≤ ,则有 0<β <α +β ≤ ,0<sin β <sin(α +β ),这 2 2 2 12 与“sin(α +β )<sin β ”矛盾),则 cos(α +β )=- ,sin α =sin[(α +β )-β ] 13 63 =sin(α +β )cos β -cos(α +β )sin β = . 65 答案 A 二、填空题 π? 2π ? 4 3 π ? ? 6.(2015·济宁模拟)已知 sin?α + ?+sin α =- ,- <α <0,则 cos?α + ?= 3 3 ? 5 2 ? ? ? ________. π? 4 3 π ? 解析 ∵sin?α + ?+sin α =- ,- <α <0, 3? 5 2 ? 3 3 4 3 ∴ sin α + cos α =- , 2 2 5

2



3 1 4 sin α + cos α =- , 2 2 5

2π ? 2π 2π ? ∴cos?α + ?=cos α cos -sin α sin 3 ? 3 3 ? 1 3 4 =- cos α - sin α = . 2 2 5 答案 4 5

7.(2015·安徽卷)在△ABC 中,AB= 6,A=75°,B=45°,则 AC=________. 解析 由已知 C=60°,由正弦定理得 = , sin B sin C 6× 3 2 2 2

AC

AB

∴AC=

6sin 45° = sin 60°

=2.

答案 2 8.如图,嵩山上原有一条笔直的山路 BC,现在又新架设了一条索道 AC, 小李在山脚 B 处看索道 AC,发现张角∠ABC=120°;从 B 处攀登 400 米到达 D 处,回头看索道 AC,发现张角∠ADC=150°;从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处,则索道 AC 的长为________米. 解析 如题图,在△ABD 中,BD=400 米,∠ABD=120°.因为∠ADC=150°,所以∠ADB =30°.所以∠DAB=180°-120°-30°=30°. 由正弦定理,可得 = . sin∠DAB sin∠ABD 400 AD 所以 = ,得 AD=400 3(米). sin 30° sin 120° 在△ADC 中,DC=800 米,∠ADC=150°,由余弦定理可得

BD

AD

AC2=AD2+CD2-2·AC·CD·cos∠ADC
=(400 3) +800 -2×400 3×800×cos 150°=400 ×13,解得 AC=400 13(米).故索 道 AC 的长为 400 13米. 答案 400 13 三、解答题 9.(2015·江苏卷)在△ABC 中,已知 AB=2,AC=3,A=60°. (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值.
2 2 2

3



1 2 2 2 (1)由余弦定理知, BC =AB +AC -2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3× =7,所以 2

BC= 7. AB BC AB 2sin 60° 21 (2)由正弦定理知, = ,所以 sin C= ·sin A= = . sin C sin A BC 7 7
因为 AB<BC,所以 C 为锐角,则 cos C= 1-sin C= 因此 sin 2C=2sin C·cos C=2× 21 2 7 4 3 × = . 7 7 7
2

3 2 7 1- = . 7 7

?π ? 10.(2015·浙江卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 tan? +A?= ?4 ?
2. sin 2A (1)求 的值; 2 sin 2A+cos A π (2)若 B= ,a=3,求△ABC 的面积. 4 解 1 ?π ? (1)由 tan? +A?=2,得 tan A= . 4 3 ? ?

sin 2A 2tan A 2 所以 = . 2 = sin 2A+cos A 2tan A+1 5 1 (2)由 tan A= ,A∈(0,π ), 3 得 sin A= 10 3 10 ,cos A= . 10 10

π a b 又由 a=3,B= 及正弦定理 = ,得 b=3 5. 4 sin A sin B 2 5 ? π? 由 sin C=sin(A+B)=sin?A+ ?得 sin C= , 4? 5 ? 1 设△ABC 的面积为 S,则 S= absin C=9. 2 11.(2015·四川卷)已知 A、B、C 为△ABC 的内角,tan A,tan B 是关于 x 的方程 x + 3px -p+1=0(p∈R)的两个实根. (1)求 C 的大小; (2)若 AB=3,AC= 6,求 p 的值. 解 (1)由已知,方程 x + 3px-p+1=0 的判别式
2 2 2 2

Δ =( 3p) -4(-p+1)=3p +4p-4≥0,

4

2 所以 p≤-2,或 p≥ , 3 由根与系数的关系,有 tan A+tan B=- 3p,tan Atan B=1-p, 于是 1-tan Atan B=1-(1-p)=p≠0, tan A+tan B 3p 从而 tan(A+B)= =- =- 3, 1-tan Atan B p 所以 tan C=-tan(A+B)= 3,所以 C=60°. (2)由正弦定理,得 sin B=

ACsin C 6sin 60° 2 = = , AB 3 2

解得 B=45°,或 B=135°(舍去), 于是 A=180°-B-C=75°, 3 1+ 3 tan 45°+tan 30° 则 tan A=tan 75°=tan(45°+30°)= = =2+ 3, 1-tan 45°tan 30° 3 1- 3 所以 p=- 1 3 (tan A+tan B)=- 1 3 (2+ 3+1)=-1- 3.

5


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