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高中数学必修二《直线与方程及圆与方程》测试题


圆与方程练习题 一、选择题 2 2 ) 1. 圆 ( x ? 2) ? y ? 5 关于原点 P( 0 , 0 对称的圆的方程为 (
A. ) D. )

( x ? 2)2 ? y 2 ? 5

B.

x2 ? ( y ? 2)2 ? 5

C.

( x ? 2)2

? ( y ? 2)2 ? 5

x2 ? ( y ? 2)2 ? 5

2 2 2. 若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(

A.

x? y ?3 ? 0

B.

2x ? y ? 3 ? 0

C.

x ? y ?1 ? 0

D.

2x ? y ? 5 ? 0


2 2 3. 圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是(

A. 4.

2

B.

1?

2

1?
C.

2 2

D.

1? 2 2

2 2 将直线 2 x ? y ? ? ? 0 ,沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 相切,则实数 ? 的值为

( A.



?3或7

B.

?2或8

C.

0或10

D.

1或11


) ) 1,且与点 B( 3 , 1 2 的直线共有( 5. 在坐标平面内,与点 A( 1 , 2 距离为 距离为
A.
2

1条
2

B.

2条

C.

3条

D.

4条


6. 圆 x ? y ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为( A.

x ? 3y ? 2 ? 0

B.

x ? 3 y ? 4 ? 0 C.
2 2

x ? 3y ? 4 ? 0

D.

x ? 3y ? 2 ? 0

二、填空题

x ? y ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 相切,则此直线在 y 轴上的截距是 ) 1. 若经过点 P(? 1 , 0 的直线与圆
2.

..

0 2 2 , P, B 切 点 分 别 为 A, B? , AP ? B6 0 则动点 P 的轨迹方 由 动 点 P 向 圆 x ? y ?1 引 两 条 切 线 P A ,



.

, 4B ), ? (0, ,则圆 2 )C 的方程 3. 圆心在直线 2 x ? y ? 7? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A( 0 ?
为 .
2 2 OP ? OQ 4. 已知圆 ?x ? 3? ? y ? 4 和过原点的直线 y ? kx 的交点为 P, Q 则 的值为________________.
2 2 , PB 已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, P A 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线, A, B 是切点, C 是圆

5.

心,那么四边形 P A C B 面积的最小值是________________. 三、解答题 1. 点

P? a , b ?

2 2 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,求 a ? b ? 2a ? 2b ? 2 的最小值.

1

), ? (5, 6) 2. 求以 A(? 1 , 2B 为直径两端点的圆的方程 .
3. 求过点

A ?1 , 2 ?



B ?1 , 1 ?0

且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的圆的方程.

4. 已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 ,求圆 C 的方程. 5. 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关系. 6. 圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个? 圆与方程练习题答案 一、选择题 1. A 2. 3. 4. A B

( x, y ) 关于原点 P(0, 0) 得 (? x, ? y) ,则得 (? x ? 2)2 ? (? y)2 ? 5 。
设圆心为 C (1, 0) ,则 圆心为

AB ? CP, kCP ? ?1, k AB ? 1, y ? 1 ? x ? 2 。

C(1,1), r ? 1, dmax ? 2 ?1

A 直线 2 x ? y ? ? ? 0 沿 x 轴向左平移 1个单位得 2 x ? y ? ? ? 2 ? 0

圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心为
2 2

C (?1, 2), r ? 5, d ?

?2 ? ? 5

? 5, ? ? ?3, 或? ? 7


5. 6.

B 两圆相交,外公切线有两条 D (x ? 2)? y ? 4 的在点 P(1, 3) 处的切线方程为 (1 ? 2)( x ? 2) ? 3 y ? 4
2 2

二、填空题 1. 2. 3.
2 2 ) x ? y ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 上,即切线为 x ? y ? 1 ? 0 1 点 P(? 1 , 0在圆

x2 ? y 2 ? 4

OP ? 2

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5 圆心既在线段 AB 的垂直平分线即 y ? ?3 ,又在
, 3 )r? 5 2 x ? y ? 7? 0 上,即圆心为 ( 2 ? ,

4. 5.

5

设切线为 OT ,则

O P ? O Q?

OT? 5

2

2 2

当 CP 垂直于已知直线时,四边形 P A C B 的面积最小

三、解答题 1. 解:

(a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2

) x ? y ? 1 ? 0 的距离 的最小值为点 ( 1 , 1 到直线

d?


3 3 2 3 2 ? ( a 2 ? b2 ? 2a ? 2b ? 2)min ? 2 , 2 2 .
2y) ? ( ? 6) 0
2

( ? 5? ) y(? 2. 解: ( x ? 1 ) x

得 x ? y ? 4x ? 4 y ?17 ? 0
2 2

) r ,则 3. 解:圆心显然在线段 AB 的垂直平分线 y ? 6 上,设圆心为 ( a , 6,半径为

( x ? a) ? ( y ? 6) ? r ,得 (1 ? a) ? (10 ? 6) ? r ,而
2 2 2 2 2 2

r?

a ? 13 5

(a ? 1)2 ? 16 ?

(a ? 13)2 , a ? 3, r ? 2 5, 5

?( x ? 3)2 ? ( y ? 6)2 ? 20 .

r ? 3t t t, ) , 4. 解:设圆心为 ( 3 半径为 ,令
2 2 2 2 2

d?

3t ? t 2

?

2t

而 ( 7) ? r ? d ,9t ? 2t ? 7, t ? ?1

?( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 9 ,或 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9
5. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点 P 与圆的位置关系,只须看点 P 与圆心 的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则 点在圆内. 解法一: (待定系数法) 设圆的标准方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2 2 2 2 ∵圆心在 y ? 0 上,故 b ? 0 .∴圆的方程为 ( x ? a) ? y ? r .
2 2 ? ?(1 ? a ) ? 16 ? r 2 2 ? ?(3 ? a ) ? 4 ? r

又∵该圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点.∴ ?
2

2 2 解之得: a ? ?1 , r ? 20 .所以所求圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 20 .

解法二: (直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点,所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上,又因为 k AB ?

4?2 ? ?1 ,故 l 的 1? 3

斜率为 1,又 AB 的中点为 (2 , 3) ,故 AB 的垂直平分线 l 的方程为: y ? 3 ? x ? 2 即 x ? y ? 1 ? 0 . 又知圆心在直线 y ? 0 上,故圆心坐标为 C (?1 , 0) 故所求圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 20 .
2 2

∴半径 r ? AC ?

(1 ? 1) 2 ? 42 ? 20 .

又点 P(2 , 4) 到圆心 C (?1 , 0) 的距离为 d ? PC ? ∴点 P 在圆外.

(2 ? 1) 2 ? 4 2 ? 25 ? r .

6. 圆 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个?
2 2

分析:借助图形直观求解.或先求出直线 l1 、 l 2 的方程,从代数计算中寻找解答.
3

解法一:圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 的圆心为 O1 (3 , 3) ,半径 r ? 3 . 设圆心 O1 到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 d ,则 d ?

3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 11 32 ? 4 2

? 2 ? 3.

如图,在圆心 O1 同侧,与直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 平行且距离为 1 的直线 l1 与圆有两个交点,这两个交点符合题意.

又 r ? d ? 3 ? 2 ? 1. ∴与直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. ∴符合题意的点共有 3 个. 解法二:符合题意的点是平行于直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 ,且与之距离为 1 的直线和圆的交点.设所求直线为

3x ? 4 y ? m ? 0 ,则 d ?

m ? 11 32 ? 42

? 1,

∴ m ? 11 ? ?5 ,即 m ? ?6 ,或 m ? ?16 ,也即

l1: 3x ? 4 y ? 6 ? 0 ,或 l2: 3x ? 4 y ? 16 ? 0 .
设圆 O1: ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 的圆心到直线 l1 、 l 2 的距离为 d 1 、 d 2 ,则
2 2

d1 ?

3? 3 ? 4 ? 3 ? 6 32 ? 42

? 3 , d2 ?

3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 16 32 ? 42

? 1.

∴ l1 与 O1 相切,与圆 O1 有一个公共点; l 2 与圆 O1 相交,与圆 O1 有两个公共点.即符合题意的点共 3 个.

4


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