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8柱、锥、台和球的体积


1.1.7柱、锥、台和球的体积

长方体体积公式

V长方体=abc =Sh

祖暅原理
幂势既同,则积不容异。
夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于 这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面 的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。 等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等。
演示

1.棱柱和圆柱的体积
柱体(棱柱、圆柱)的体积等于 它的底面积S和高h的积。

V柱体=Sh
底面半径是r高是h的圆柱 的体积计算公式是

V圆柱=πr2h

2.棱锥和圆锥的体积

Sh

1 Sh 3

演示

2.棱锥和圆锥的体积
锥体(棱锥、圆锥)的底面积S,高是h。

1 V锥体= Sh 3
圆锥底面半径是r,高是h

V圆锥=

1 2 ?r h 3

3.棱台和圆台的体积
台体(棱锥、圆锥)的上、下底面积分别为S、S’,高是h。

V台体=

1 h(S ? SS' ? S' ) 3
S’
h

圆锥底面半径是r,高是h

1 2 2 V圆台= ?h(r ? rr '? r' ) 3

S

柱、锥、台的侧面积公式的内在联系
1 h(S ? SS' ? S' ) V台体= 3
S=S’ S’=0

V柱体=Sh

1 V锥体= Sh 3

4.球的体积
V球=

4 3 ?R 3

R

小结
V柱体=Sh
V锥体=

1 1 2 Sh ? ?r h 3 3

1 1 V台体= h(S ? SS' ? S' )? ?h(r 2 ? rr '? r' 2 ) 3 3

4 3 V球= ?R 3

例1、如图所示,在长方体ABCD-A’B’C’D’中,用截面 截下一个棱锥C-A’DD’,求棱锥C-A’DD’的体积与剩余部 分的体积之比。
D’ C’ B’

解:设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,则它的体积为V=abc

A’

1 因为棱锥C-A'DD '的底面面积为 bc,高是a, 2 D 1 所以棱锥C-A'DD'的体积V ? A ' DD ' ? abc 6 A 1 5 余下的体积是abc ? abc ? abc 6 6

C B

所以棱锥C—A1DD1的体积与剩余 部分的体积之比为1:5.

练习题:
已知正四棱锥的侧面都是等边 三角形,它的斜高为 3 ,求 这个正四棱锥的体积。
V

? 4 2 ? 答案: ? 3 ?

? ? ? ?
D A O B M

例2、有一堆相同规格的六角螺帽毛坯,共重5.8kg, 已知螺帽的底面六边形边长是12mm,高是10mm,内 孔直径是10mm,问约有毛坯多少个(铁的密度是 7.8g/cm3 ,π≈3.14).

当堂小测: 2 sh ?r h 1、V柱体 ? _______ V圆柱 ? _______
V锥体 ?
1 sh _______ 3

V圆锥

1 2 ?r ? _______h 3

2、用一个长、宽、高分别为1、2、3的长方体形 橡皮泥做一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高 6 为( ). 2 ?R 3、轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥,已知 等边圆锥底面半径为r,则其体积为( 3 3 )

3

?r


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