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高一数学-徐州市2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


徐州市 2015~2016 学年度第一学期期中考试

高一数学试题

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页包含填空题(第 1 题——第 14 题) 、解答题(第 15 题——第 20 题) .本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后请将答题卡交回. 2.答题前请您务

必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效.作答必须用 0.5 毫 米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整笔迹清楚. 4.如需作图须用 2B 铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗. 5.请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1.全集 U 是实数集,集合 A ? { x 2 ? x ? 5}, 则 C U A ? 2.已知幂函数 y ? f ( x ) 的图象过点 ( ,8) ,则 f ( ?2) ? ▲ ▲ . .

1 2

? x 2 ? 1, x ? 1 3.已知 f ( x ) ? ? , 则 f [ f (10)] ? ?lg x ,  x ? 1,





4.函数 f ( x ) ? ln(1 ? 2 x ) 的单调区间是 ▲ . 5.已知集合 A ? {?1,3,2m ? 1}, 集合 B ? {3, m } ,若 B ? A, 则实数 m ? 6.函数 f ( x ) ? ax 3 ? 7.已知 f ( ▲ .

b , 若 f ( ?2) ? 1, 则 f ( 2) ? x
▲ .





x ? 1) ? 2 x ? 3, 则 f (4) ? 2

8.若函数 y ? 2 x ?1 ? m 的图象不经过第二象限,则 m 的取值范围是 ▲ 9 .若方程 2 x ? x ? 5 ? 0 在区间 ( n, n ? 1) 上的实数根,其中 n 为正整数,则 n 的值为 ▲ . .(用“ ? ”

10.已知 a ? log 0.7 0.9, b ? log11 0.9, c ? 1.10.9 , 则这三个数从小到大排列为 ▲ 连接)
1

11.若函数 f ( x) ? a x ? loga ( x ? 1)(a ? 0, 且 a ? 1 )在区间 [0,2] 上的最大值与最小值之和 为 a 2 ,则 a 的值为 ▲ .

? g( x ), f ( x ) ? g( x ), 12 .设 f ( x) ? 1 ? 2 x 2 , g( x) ? x 2 ? 2 x, 若 F ( x ) ? ? ,则 F ( x ) 的最大值 ? f ( x ), f ( x ) ? g( x ),
为 ▲ .

13.若直线 y ? 2a 与函数 y ? a x ? 1 (a ? 0, 且 a ? 1) 的图象有两个公共点,则 a 的取值范围 是 ▲ .

14.已知二次函数 f ( x ) 的最小值为 ? 4, f (0) ? f ( 2) ? ?3, 且 y ? f ( x ) 在区间 [3a , a ? 1] 上 单调,则 a 的取值范围是 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分)

2 (1)计算 lg 8 ? lg 25 ? 3 2 log 3 5 ? 16 4 的值; 3
1

3

(2)已知 a ? a ?1 ? 5, 求 a 2 ? a ?2 和 a 2 ? a

?

1 2

的值.

16. (本小题满分 14 分) 记函数 f ( x) ? lg(3 ? x) ?

x ? 1 的定义域为集合 A, 函数 g( x ) ? 2 x ? a 的值域为集合 B .

2. 若 a ? 2, 求 A ? B 和 A ? B ; 3. 若 A ? B ? B , 求 a 的取值范围.

17.(本小题满分 14 分) 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,当 x ? (0,??) 时的解析式为 f ( x ) ? ? x 2 ? 4 x ? 3.

2

4. 求这个函数在 R 上的解析式; 5. 作出 f ( x ) 的图象,并根据图象直接写出函数 f ( x ) 的单调区间.

y

O

x

18. (本小题满分 16 分) 提高穿山隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况, 在一般情况下, 隧道内的车流速度 v (单 位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米,车流密度指每千米道路上车辆的数量)的 函数.当隧道内的车流密度达到 210 辆/千米时,将造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密 度不超过 30 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时,研究表明:当 30 ? x ? 210 时,车流速 度 v 是车流密度的一次函数. (1)当 0 ? x ? 210 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过某观测点的车辆数,单位:辆/小时) f ( x ) ? x ? v ( x ) 可以达到最大,并求出最大值.

19. (本小题满分 16 分) 4 (a ? 0, 且 a ? 1 ) 已知函数 f ( x ) ? 1 ? ,是定义在 ( ??,??) 上的奇函数. x 2a ? a
3

6. 求 a 的值; 7. 求函数 f ( x ) 的值域; 8. 当 x ? (0,1] 时, tf ( x ) ? 2 x ? 2 恒成立,求实数 t 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分)

2x ( x ? 0). x ?1 8. 求证:函数 f ( x ) 在 (0,??) 上为增函数;
已知函数 f ( x ) ? 9. 设 g( x ) ? log 2 f ( x ), 求 g ( x ) 的值域; 10. 对于(2)中函数 g ( x ) ,若关于 x 的方程 g( x ) ? m g( x ) ? 2m ? 3 ? 0 有三个不同的实 数解,求 m 的取值范围.
2

4

2015~2016 学年度第一学期期中考试
高一数学试题参考答案与评分标准
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1. (??,2] ? (5,??) 2. ? 7. 23 8. (??,?2]

1 8

3. 2

4. (?? , )

1 2

5. ?1 11.

6. ?1

9. 1

10. b ? a ? c

1 3

12.

7 9

13.

1 (0, ) 2

14. (??, ?2] ? [? , 0] ? [ , ) 说明:端点-2,-

1 3

1 1 3 2

1 1 , 可开可闭 3 3

二、解答题:本大题共 6 小题共计 90 分,请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必要 ........ 的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解: (1)原式 =2lg 2 ? 2lg5 ? 25 ? 8 ? 2lg10 ?17 ? ?15 (2) a
2

……………………6 分

? a?2 ? (a ? a?1 )2 ? 2 ? 23
1 2
1 2

………………………………10 分 …………………………12 分 …………………………14 分 …………………2 分

∵ (a ∴由 a
1 2

? a ) ? a ? a ?1 ? 2 ? 7
? 0得a ?a
1 2 ? 1 2

?

1 2 2

?a

?

? 7

16.解: (1)由 ?

?3 ? x ? 0 ,解得 1 ? x ? 3 ,所以 A ? [1,3). x ? 1 ? 0 ?

若 a ? 2, 则 B ? (2,??) 所以, A ? B ? (2,3).A ? B ? [1,??). (2) A ? [1,3). B ? (a,??)

……………………………………4 分 ……………………………………8 分 ……………………………………10 分 ……………………………………12 分 …………………… …………14 分

? A ? B ? B,? A ? B ,
? a ? 1 ,则 a 的取值范围是 (??,1).

17. 解:(1)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,∵ f ( x ) 为 R 上的奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) ? ? f (? x) ? ?[?(? x) ? 4(? x) ? 3] ? x ? 4x ? 3
2 2

即 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4x ? 3
2

……………………………5 分 ……………………………6 分

当 x ? 0 时,由 f (? x) ? ? f ( x) 得: f (0) ? 0

5

?? x 2 ? 4 x ? 3, x ? 0 ? 所以 f ( x) ? ? 0, ?? x ? 0 . ? x 2 ? 4 x ? 3,?? x ? 0 ?

…………………………7 分

(2)作出 f ( x ) 的图象(如图所示)

…………………12 分 (注: f (0) ? 0 的点或两空心点不标注扣 1 分,不要重复扣分) 减区间: (??,?2) 和 (2,??) . 18. 解: (Ⅰ)由题意知,当 0 ? x ? 30 时, v( x) ? 60 ; 当 30 ? x ? 210 时,设 …………………14 分

v( x) ? ax ? b,

……………………2 分

1 ? ?30a ? b ? 60 ?a ? ? 由已知可得 ? , 解得 ? 3. ?210a ? b ? 0 ? ?b ? 70 ?60,0 ? x ? 30 ? 所以函数 v( x) ? ? 1 . ? x ? 70,30 ? x ? 210 ? ? 3 ?60x,0 ? x ? 30 ? (2)由(1)可知 f ( x) ? ? 1 2 ? x ? 70x,30 ? x ? 210 ? ? 3
当 0 ? x ? 30 时, f ( x) ? 60x x 为增函数,∴当 x ? 30 时,其最大值为 1800.…10 分

………………6 分

6

当 30 ? x ? 210 时, f ( x) ? ?

1 2 1 x ? 70 x ? ? ( x ? 105 ) 2 ? 3675 3 3
……………………………14 分 ………16

当 x ? 105 时,其最大值为 3675.

综上,当车流密度为 105 辆/千米时,车流量最大,最大值为 3675 辆. 分

19.解: (1)因为 f ( x ) 是定义在 (??, ??) 上的奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x). 令 x ? 0 ,得 f (0) ? 1 ?

4 ? 0, 所以 a ? 2. 2 ? a0 ? a

……………………………3 分

(2)记 y ? f ( x), 即 y ? 由 2 x ? 0, 所以

2x ?1 1? y , 所以 2 x ? , x 2 ?1 1? y

1? y ? 0, ?1 ? y ? 1. 1? y
……………………………9 分

所以 f ( x ) 的值域为 (?1,1). (3)原不等式 tf ( x) ? 2 ? 2 即为
x
x

t 2x ? t ? 2 x ? 2, 即 (2x )2 ? (t ? 1)2x ? t ? 2 ? 0. ……10 分 x 2 ?1

设 2 ? u ,因为 x ? (0,1], 所以 u ? (1, 2]. 即当 u ? (1, 2]. u ? (t ? 1)u ? t ? 2 ? 0 恒成立.
2

所以 ? 20.

?12 ? (t ? 1) ?1 ? t ? 2 ? 0, ? 解之得 t ? 0 . 2 ? ?2 ? (t ? 1) ? 2 ? t ? 2 ? 0,

……………………………16 分

(1) f ( x ) ?

2x 2 ? 2? ,设 x1 , x2 是 (0, ??) 上的任意两个数,且 x1 ? x2 ,……2 分 x ?1 x ?1

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2 ?

2( x1 ? x2 ) 2 2 2 2 ……4 分 ) ? (2 ? )?? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2( x1 ? x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
…………………………6 分

因为 x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 ,∴

所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数, (2) f ( x ) ?

2x 2 ? 2? , x ?1 x ?1 2 ? 2, x ?1

因为 x ? 0 ,所以 x ? 1 ? 1 ,所以 0 ?

7

即 0 ? f ( x) ? 2 又因为 x ? 0 时, f ( x ) 单调递增, y ? log2 t 单调递增, 所以 y ? log2 f ( x) 单调递增,所以 g ( x) 值域为 (??,1)

………………………………8 分

…………………………10 分

(3)由(2)可知 y ? g ( x) 大致图象如右图所示,

x) 设 g ( x) ? t , 则 g(
2

2

? mg x () 2 m ? 3 ?0 ?

有三个不同的实数

y

解,即为 t ? mt ? 2m ? 3 ? 0 有两个根,且一个在 (0,1) 上,一个 在 [1, ??) 上,设 h(t ) ? t 2 ? mt ? 2m ? 3 ①当有一个根为 1 时, ………12 分 1

1 4 h(1) ? 1 ? m ? 2m ? 3 ? 0 , m ? ? ,此时另一根为 适合题 3 3
2

O

1

x

意; ………………13 分 ②当没有根为 1 时, ? ∴ m 的取值范围为 ( ?

?2m ? 3 ? 0 ?h(0) ? 0 3 4 ,得 ? 2 ,∴ ? ? m ? ? 2 3 ?h(1) ? 0 ?1 ? m ? 2m ? 3 ? 0
3 4 ,? ] 2 3
…………………………16 分

8


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