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第一章1.2充分条件与必要条件


1.2

充分条件与必要条件

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分条件与必要条件 [提出问题] 在物理中,我们经常遇到这样的电路图:

问题1:图中A开关闭合时B灯一定亮吗?

提示:一定亮.
问题2:B灯亮时A开关一定闭合吗? 提示:不一定,还可能是C开关闭合. 返回

[导入新知] 充分条件与必要条件 命题真假 推出关系 条件关系 “若p,则q”是真命题 P ? q p是q的 充分 条件 q是p的 必要 条件 P 不是 “若p,则q”是假命题 p q q的充分条件q

不是 p的必要条件

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[化解疑难]

1.p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立, 但是如果没有p,q也可能成立”. 2.q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成 立”,或者说“若q不成立,则p一定不成立”;但即使 有q成立,p未必会成立.

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充要条件

[提出问题]
如图是一物理电路图.
问题1:图中开关A闭合,灯泡B亮;反之灯泡B亮,开 关A一定闭合吗? 提示:一定闭合.

问题2:开关A闭合作为命题的条件p,灯泡B亮作为命题 的结论q,你能判断p,q之间的推出关系吗?
提示:p?q.
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[化解疑难] 根据充要条件的意义,如果原命题“若p,则q” 及其逆命题“若q,则p”都是真命题,那么p,q互为 充要条件.

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充分条件、必要条件、充要条件的判断
[例1] 判断下列各题中p是q的什么条件.

(1)在△ABC中,p:A>B,q:BC>AC; (2)p:x>1,q:x2>1; (3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3; a (4)p:a<b,q:b<1.

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[解]

(1)由三角形中大角对大边可知,若A>B,则

BC>AC;反之,若BC>AC,则A>B.因此,p是q的充要条 件. (2)由x>1可以推出x2>1;由x2>1,得x<-1,或x>1,不 一定有x>1.因此,p是q的充分不必要条件. (3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2,或a=3,不一定 有a=3;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0.因此,p是q的必 要不充分条件.

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a a (4)由于a<b,当b<0时, b >1;当b>0时, b a a <1,故若a<b,不一定有 b <1;当a>0,b>0, b <1 a 时,可以推出a<b;当a<0,b<0, b <1时,可以推 出a>b.因此p是q的既不充分也不必要条件.

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[类题通法] 充要条件的判断方法 判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p,则q”及其 逆命题“若q,则p”是真是假,原命题为真而逆命题为假, p是q的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则p是q 的必要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则p是q的充 要条件;原命题为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不 必要条件,同时要注意反证法的运用.

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[活学活用] 指出下列各组命题中,p是q的什么条件. (1)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形; (2)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.

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解:(1)∵四边形的对角线相等?/

四边形是平行四边形,

四边形是平行四边形?/ 四边形的对角线相等, ∴p是q的既不充分也不必要条件. (2)∵(x-1)2+(y-2)2=0?x=1且y=2?(x-1)· (y-2)=0, 而(x-1)(y-2)=0?/ (x-1)2+(y-2)2=0, ∴p是q的充分不必要条件.

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充要条件的证明
[例2] 试证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和

一负根的充要条件是ac<0.

[证明] (1)必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一正根 c 和一负根,所以Δ=b -4ac>0,x1x2= a <0(x1,x2为方程的
2

两根),所以ac<0.

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c (2)充分性:由ac<0可推得Δ=b -4ac>0及x1x2= a <0(x1,x2
2

为方程的两根).所以方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,且两 根异号, 即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.综上所 述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件 是ac<0.

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[类题通法] 充要条件的证明思路 (1)在证明有关充要条件的问题时,通常从“充分性” 和“必要性”两个方面来证明.在证明时,要注意:若证明 “p的充要条件是q”,那么“充分性”是q?p,“必要性” 是p?q;若证明“p是q的充要条件”,则与之相反.

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(2)证明充要条件问题,其实质就是证明一个命 题的原命题和其逆命题都成立.若不易直接证明, 可根据命题之间的关系进行等价转换,然后加以证 明.

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[活学活用] 1 1 已知x,y都是非零实数,且x>y,求证: x < y 的充要条件是 xy>0.

y-x 1 1 1 1 证明:(1)必要性:由x<y,得x-y<0,即 xy <0, 又由x>y,得y-x<0,所以xy>0. (2)充分性:由xy>0及x>y, x y 1 1 得xy>xy,即x<y. 1 1 综上所述,x<y的充要条件是xy>0.
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充分、必要条件的应用
[例3] 已知关于x的不等式p:|2x-3|<m,q:x(x-3)<0,

若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是什么?

[解] 设|2x-3|<m,x(x-3)<0的解集分别为A,B.由题意 知B={x|0<x<3}. 当m≤0时,A=?,符合题意;
? ? 3-m 3+m ? 当m>0时,A= x <x< ? 2 2 ?



3-m 3+m 因为 =0,即m=3时, =3,A=B, 2 2
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?3-m ? 2 >0, ? 所以要使A? B,应有?3+m ? 2 <3, ? ?m>0,

得0<m<3.

综上,实数m的取值范围是(-∞,3).

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[类题通法] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值 范围时,可以先把p,q等价转化,利用充分条件、必要 条件、充要条件与集合间的包含关系,建立关于参数的 不等式(组)进行求解.

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[活学活用] 已知 P={x|a-4<x<a+4},Q={x|x2-4x+3<0},若 x∈P 是 x∈Q 的必要条件,求实数 a 的取值范围.
解:由题意知,Q={x|1<x<3},Q ? P,
? ?a-4≤1, 所以? ? ?a+4≥3,

解得-1≤a≤5.

故实数 a 的取值范围是[-1,5].

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1. 诠释充要条件的判断 有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重 点,贯穿整个高中数学的始终,与不等式、函数等重要知识 点联系密切,下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方 法.

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1.定义法 定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若 p,则q”与“若q,则p”的判断,根据两个命题是否正确, 来确定p与q之间的充要关系.其基本步骤是:

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[例1]

已知a,b为非零向量,则“函数f(x)=(ax+b)2为 ( )

偶函数”是“a⊥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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[解析]

依题意得f(x)=a2x2+2(a· b)x+b2.由函数f(x)是偶

函数,得a· b=0,又a,b为非零向量,所以a⊥b;反过来,由 a⊥b得,a· b=0,f(x)=a2x2+b2,函数f(x)是偶函数.综上所 述,“函数f(x)=(ax+b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条 件,选C.
[答案] C

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[活学活用] 1 1 “sin α= ”是“cos 2α= ”的 2 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

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1 1 1 2 解析:由cos 2α= 可得sin α= ,即sin α=± ,故sin α 2 4 2 1 1 = 是cos 2α= 的充分不必要条件. 2 2

答案:A

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2.等价转化法 等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条 件之间的充要关系时,根据原命题与其逆否命题的等价性转 化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断.其基本 步骤为:

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[例2]

已知x,y为两个正整数,p:x≠2或y≠3,q:x

+y≠5,则p是q的________条件.

[解析]

綈p:x=2且x=3,綈q:x+y=5.可知綈p?綈

q,而綈q?/

綈p.所以綈q是綈p的必要不充分条件,故p是q

的必要不充分条件.

[答案]

必要不充分

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[活学活用] “m≠3”是“|m|≠3”的________条件.
答案:必要不充分

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3.集合法 集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间 的关系来判断充要关系的方法.主要解决两个相似的条件 难以进行区分或判断的问题.其解决的一般步骤是:

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[例3]

指出下列命题中,p是q的什么条件.

(1)p:(x-1)(x+2)≤0,q:x<2; (2)p:x2-2x-8=0,q:x=-2或x=4.
[解] (1)令A={x|(x-1)(x+2)≤0}={x|-

2≤x≤1},集合B={x|x<2}. 显然,A? B, 所以p?q, 但q?/ p,即p是q的充分不必要条件.

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(2)令A={x|x2-2x-8=0}={x|x=-2或x=4}={- 2,4}, B={x|x=-2或x=4}={-2,4}. ∵A=B, ∴p?q, 即p是q的充要条件.

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[活学活用] 一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根 的充分不必要条件是 A.a<0 C.a<-1 B.a>0 D.a<1 ( )

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解析: 负根.

∵一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一正根和一

? ?Δ>0, ∴? ? ?x1x2<0,

? ?4-4a>0, 即?1 解得a<0. <0, ? ?a

由于{a|a<-1}? {a|a<0},故选C.

答案:C

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[随堂即时演练]
1.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数 条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

解析:直线l与平面内无数直线都垂直,不能得到直线l⊥α, 因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直.若l⊥ α,则直线l垂直于α内的所有直线.

答案:B
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2.已知非零向量a,b,c,则“a· b=a· c”是“b=c”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:∵a⊥b,a⊥c时,a· b=a· c,但b与c不一定相 等,∴a· b=a· c?/ b=c;反之,b=c?a· b=a· c.

)

答案:B

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3.已知M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a ∈N”的________条件.
解析:∵由a∈M?/ a∈N,但a∈N?a∈M, ∴“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件.
答案:必要不充分

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4.在平面直角坐标系xOy中,直线x+(m+1)y=2-m与直线 mx+2y=-8互相垂直的充要条件是m=________.
解析:x+(m+1)y=2-m与mx+2y=-8互相垂直? 2 1· m+(m+1)· 2=0?m=- . 3 2 答案:- 3

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5.已知M={x|(x-a)2<1},N={x|x2-5x-24<0},若N是M的必 要条件,求a的取值范围. 解:由(x-a)2<1,得a-1<x<a+1,

由x2-5x-24<0,得-3<x<8. ∵N是M的必要条件, ∴M?N.
? ?a-1≥-3, 于是? ? ?a+1≤8,

从而可得-2≤a≤7.

故a的取值范围为[-2,7].
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[课时达标检测]

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