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江西省南昌三中2016届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)


2015-2016 学年江西省南昌三中高三 (上) 第二次月考数学试卷 (文 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.cos(﹣300°)的值是( ) A.﹣ B. C.﹣ D.

2.已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|1≤2x<4},则 A∩B 等于(

A.{1} B.{﹣1,1} C.{1,0} D.{﹣1,0,1}

)

3.函数 f(x)= A. (0,2) B. (0,2]

的定义域为( C. (2,+∞)

) D.[2,+∞) )

4.计算:sin43°cos13°﹣sin13°cos43°的值等于( A. B. C. D.

5.下列函数为奇函数的是( A.2x﹣ B.x3sinx

) C.2cosx+1 D.x2+2x

6.“sinα=cosα”是“cos2α=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知函数 f(x)=

且 f(a)=﹣3,则 f(6﹣a)=(

)

A.﹣

B.﹣

C.﹣

D.﹣

8.函数 f(x)=(x﹣ )cosx(﹣π≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为(

)

A.

B.

C.

D.

9.函数 f(x)= ax3﹣x2+5(a>0)在(0, 2)上不单调,则 a 的取值范围是( A.0<a<1 B.0<a< C. <a<1 D.a>1

)

10.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x﹣m|﹣1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.53) ,b=f ) (log25) ,c=f(2m) ,则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a

11.若 A. B. C.

,则 D.

等于(

)

12.函数 f(x)=cos3x+sin2x﹣cosx 上最大值等于( A. B. C. D.

)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.lg +2lg2﹣( )﹣1=__________. 14.函数 f(x)=1﹣3sin2x 的最小正周期为__________. 15.已知函数 f(x)=sinx+5x,x∈(﹣1,1) ,如果 f(1﹣a)+f(1﹣a2)<0,则 a 的取值范 围是__________. 16.下面有四个命题:①函数 y=sin4x﹣cos4x 的最小正周期是 π.②函数 f(x)=3sin(2x﹣ )的图象关于直线 x= π 对称;③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图 )的图象向右平移 得到 y=3sin2x 的图象.其中

象有三个公共点.④把函数 y=3sin(2x+

真命题的序号是__________(写出所有真命题的编号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知 cosα= ,cos(α﹣β)= (1)求 tan2α 的值; (2)求 β.

,且 0<β<α<



18.两会结束后,房价问题仍是国民关注的热点问题,某高校金融学一班的学生对某城市居 民对房价的承受能力(如能买每平方米 6 千元的房子即承受能力为 6 千元)的调查作为社会 实践,进行调查统计,将承受能力数据按区间[2.5,3.5) ,[3.5,4.5) ,[4.5,5.5) ,[5.5,6.5) , [6.5,7.5](千元)进行分组,得到如下统计图: (1)求 a 的值,并估计该城市居民的平均承受能力是多少元; (2)若用分层抽样的方法,从承受能力在[3.5,4.5)与[5.5,6.5)的居民中抽取 5 人,在抽 取的 5 人中随机取 2 人,求 2 人的承受能力不同的概率.

19.已知函数 f(x)=2cosxsin(x+

)﹣

sin2x+sinxcosx.

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 f(x)在[﹣ , ]上的图象.

20.如图,已知 AA1⊥平面 ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2 点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 A1B1BA; (Ⅱ)求证:平面 AEA1⊥平面 BCB1; (Ⅲ)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

,AA1=

,BB1=2



21.已知函数 f(x)=4x3﹣3x2cosθ+

cosθ 其中 x∈R,θ 为参数,且 0≤θ≤2π.

(1)当 cosθ=0 时,判断函数 f(x)是否有极值; (2)要使函数 f(x)的极小值大于零,求参数 θ 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 θ,函数 f(x)在区间(2a﹣1,a) (其中 a <1)内都是增函数,求实数 a 的取值范围. 22.设函数 f(x)=ex﹣ax﹣2. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时, (x﹣k)f′(x)+x+1>0,求 k 的最大值.

2015-2016 学年江西省南昌三中高三(上)第二次月考数 学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.cos(﹣300°)的值是( ) A.﹣ B. C.﹣ D.

【考点】三角函数的化简求值. 【专题】计算题. 【分析】利用诱导公式可得 cos(﹣300°)=cos(﹣300°+360°)=cos60°. 【解答】解:cos(﹣300°)=cos(﹣300°+360°)=cos60°= , 故选 B. 【点评】本题考查应用诱导公式化简三角函数式,把要求的式子化为 cos(﹣300°+360°) ,是 解题的关键. 2.已知集合 A={﹣1,0,1},B={x|1≤2x<4},则 A∩B 等于( A.{1} B.{﹣1,1} C.{1,0} D.{﹣1,0,1} )

【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】由 1≤2x<4 得 20≤2x<22,求出 x 的范围及求出集合 B,由交集的运算求出 A∩B. 【解答】解:由 1≤2x<4 得 20≤2x<22,所以 0≤x<2,则 B={x|0≤x<2}, 又合 A={﹣1,0,1},则 A∩B={0,1}, 故选:C. 【点评】本题考查了交集及其运算,以及指数函数的性质,属于基础题.

3.函数 f(x)= A. (0,2) B. (0,2]

的定义域为( C. (2,+∞)

) D.[2,+∞)

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】分析可知, ,解出 x 即可.

【解答】解:由题意可得,



解得

,即 x>2.

∴所求定义域为(2,+∞) . 故选:C. 【点评】本题是对基本计算的考查,注意到“真数大于 0”和“开偶数次方根时,被开方数要大 于等于 0”,及“分母不为 0”,即可确定所有条件.高考中对定义域的考查,大多属于容易题. 4.计算:sin43°cos13°﹣sin13°cos43°的值等于( A. B. C. D. )

【考点】两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题. 【分析】利用两角差的正弦公式,把要求的式子化为 sin(43°﹣13°)=sin30°,从而求得结果. 【解答】解:sin43°cos13°﹣sin13°cos43°=sin(43°﹣13°)=sin30°= , 故选 D. 【点评】本题主要考查两角差的正弦公式的应用,属于基础题. 5.下列函数为奇函数的是( A.2x﹣ B.x3sinx ) C.2cosx+1 D.x2+2x

【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的奇偶性的定,对各个选项中的函数进行判断,从而得出结论. 【解答】解:对于函数 f(x)=2x﹣ ,由于 f(﹣x)=2﹣x﹣ = ﹣2x=﹣f(x) ,故此函

数为奇函数. 对于函数 f(x)=x3sinx,由于 f(﹣x)=﹣x3(﹣sinx)=x3sinx=f(x) ,故此函数为偶函数. f x =2cosx+1 f x =2cos x +1=2cosx+1=f x 对于函数 ( ) ,由于 (﹣ ) (﹣ ) ( ) ,故此函数为偶函数. 对于函数 f(x)=x2+2x,由于 f(﹣x)=(﹣x)2+2﹣x=x2+2﹣x≠﹣f(x) ,且 f(﹣x)≠f(x) , 故此函数为非奇非偶函数. 故选:A. 【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法,属于基础题. 6.“sinα=cosα”是“cos2α=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】由 cos2α=cos2α﹣sin2α,即可判断出. 【解答】解:由 cos2α=cos2α﹣sin2α, ∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件. 故选:A.

【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力,属于基础题.

7.已知函数 f(x)=

且 f(a)=﹣3,则 f(6﹣a)=(

)

A.﹣

B.﹣

C.﹣

D.﹣

【考点】分段函数的应用;函数的零点. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由 f(a)=﹣3,结合指数和对数的运算性质,求得 a=7,再由分段函数求得 f(6﹣a) 的值. 【解答】解:函数 f(x)= 且 f(a)=﹣3,

若 a≤1,则 2a﹣1﹣2=﹣3,即有 2a﹣1=﹣1<0,方程无解; 若 a>1,则﹣log2(a+1)=﹣3,解得 a=7, 则 f(6﹣a)=f(﹣1)=2﹣1﹣1﹣2=﹣ . 故选:A. 【点评】本题考查分段函数的运用:求函数值,主要考查指数和对数的运算性质,属于中档 题.

8.函数 f(x)=(x﹣ )cosx(﹣π≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为(

)

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先根据函数的奇偶性排除 AB,再取 x=π,得到 f(π)<0,排除 C. 【解答】解:f(﹣x)=(﹣x+ )cos(﹣x)=﹣(x﹣ )cosx=﹣f(x) , ∴函数 f(x)为奇函数, ∴函数 f(x)的图象关于原点对称,故排除 A,B, 当 x=π 时,f(π)=(π﹣ )cosπ= ﹣π<0,故排除 C,

故选:D. 【点评】本题考查了函数图象的识别,常用函数的奇偶性,函数值,属于基础题. 9.函数 f(x)= ax3﹣x2+5(a>0)在(0,2)上不单调,则 a 的取值范围是(

)

A.0<a<1 B.0<a<

C. <a<1 D.a>1

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】函数 f(x)= ax3﹣x2+5(a>0)在(0,2)上不单调,即函数 f(x)在(0,2)内 有极值点,结合图象可得到 a 的限制条件,从而可求出 a 的范围. 【解答】解:f′(x)=ax2﹣2x,函数 f(x)= ax3﹣x2+5(a>0)在(0,2)上不单调,即函 数 f(x)在(0,2)内有极值点, 因为 a>0,且 f′(0)=0,所以有 f′(2)>0,即 4a﹣4>0,解得 a>1. 故选 D. 【点评】 本题考查应用导数研究函数的单调性问题, 解决本题的关键是对“不单调”的准确理解, 然后进行等价转化. 10.已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x﹣m|﹣1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.53) ,b=f ) (log25) ,c=f(2m) ,则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 【考点】对数函数图象与性质的综合应用;奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数的奇偶性得出 f(x)=2|x|﹣1= ,利用单调性求解即可.

【解答】解:∵定义在 R 上的函数 f(x)=2|x﹣m|﹣1(m 为实数)为偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , m=0, ∵f(x)=2|x|﹣1= ,

∴f(x)在(0,+∞)单调递增, ∵a=f(log0.53)=f(log23) ,b=f(log25) ,c=f(2m)=f(0)=0, 0<log23<log25, ∴c<a<b, 故选:B 【点评】本题考查了对数函数的性质,函数的奇偶性,单调性,计算能力,属于中档题.

11.若 A. B. C.

,则 D.

等于(

)

【考点】两角和与差的余弦函数. 【专题】计算题. 【分析】将 看作整体,将 化作 的三角函数.

【解答】解: =2

= ﹣1=2× ﹣1=

=﹣ .

=﹣

故选 A 【点评】观察已知的角与所求角的练习,做到整体代换. 12.函数 f(x)=cos3x+sin2x﹣cosx 上最大值等于( A. B. C. D. )

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】导数的综合应用. 【分析】利用换元法将函数进行换元,求函数的导数,利用导数和函数最值之间的关系即可 得到结论. 【解答】解:f(x)=cos3x+sin2x﹣cosx=cos3x+1﹣cos2x﹣cosx, 令 t=cosx,则﹣1≤t≤1, 则函数 f(x)等价为 g(t)=t3+1﹣t2﹣t,﹣1≤t≤1 函数的导数 g′(t)=3t2﹣2t﹣1=(t﹣1) (3t+1) ,﹣1≤t≤1, 当 时,g′(t)≤0,函数单调递减,

当﹣1≤t≤﹣ 时,g′(t)≥0,函数单调递增, 则 t=﹣ ,函数 g(t)取得极大值,同时也是最大值 g(﹣ )= ,

故选:D. 【点评】本题主要考查函数的最值,利用换元法,结合函数最值和函数导数之间的关系是解 决本题的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.lg +2lg2﹣( )﹣1=﹣1. 【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项,利用 lg2+lg5=1 化简求值. 【解答】解:原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1; 故答案为:﹣1. 【点评】本题考查了对数的运算以及负指数幂的运算;用到了 lg2+lg5=1. 14.函数 f(x)=1﹣3sin2x 的最小正周期为 π. 【考点】三角函数的周期性及其求法. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性求得函数的最小 正周期.

【解答】解:∵函数 f(x)=1﹣3sin2x=1﹣3 ∴函数的最小正周期为 =π,

=﹣ + cos2x,

故答案为:π. 【点评】本题主要考查半角公式的应用,余弦函数的周期性,属于基础题. 15.已知函数 f(x)=sinx+5x,x∈(﹣1,1) ,如果 f(1﹣a)+f(1﹣a2)<0,则 a 的取值范 围是 1<a< . 【考点】正弦函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 【专题】计算题. 【分析】判定函数的单调性,奇偶性,然后通过 f (1﹣a)+f (1﹣a2)<0,推出 a 的不等 式,求解即可. 【解答】解:函数 f (x)=sinx+5x,x∈(﹣1,1) ,所以函数是增函数,奇函数,所以 f (1 ﹣a)+f (1﹣a2)<0,可得﹣1<1﹣a2<a﹣1<1, 解得 1<a< , 故答案为:1<a< . 【点评】本题是基础题,考查三角函数的基本性质以及隐函数的基本性质,函数的单调性、 奇偶性,以及不等式的解法,是易错题. 16.下面有四个命题:①函数 y=sin4x﹣cos4x 的最小正周期是 π.②函数 f(x)=3sin(2x﹣ )的图象关于直线 x= π 对称;③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图 )的图象向右平移 得到 y=3sin2x 的图象.其中

象有三个公共点.④把函数 y=3sin(2x+

真命题的序号是①②④. (写出所有真命题的编号) 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】证明题;转化思想;分析法;三角函数的图像与性质. 【分析】根据二倍角的余弦公式,平方差公式,同角三角形函数平方关系,化简解析式,再 由余弦函数的周期性,可以判断①的真假;根据正弦函数的图象和性质,可以判断②③的真 假;根据函数图象的平移变换法则,可以判断④的真假;进而得到答案. 【解答】解:函数 y=sin4x﹣cos4x=(sin2x+cos?x)?(sin2x﹣cos2x)=﹣cos2x 的最小正周期是 π,故①正确; 函数 y=sin(2x﹣ )图象的对称轴方程是 x= ,k∈Z,当 k=1 时,x= ,故②正

确; 在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有一个公共点,故③错误; 把函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 得到 y=3sin[2(x﹣ )+ ]=3sin2x 的图象,故

④正确. 故答案为:①②④. 【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用,余弦型函数的周期性,终边相同的 角,正弦函数的性质,图象的平移变换,及三角函数的单调性,熟练掌握上述基础知识,并 判断出题目中 4 个命题的真假,是解答本题的关键.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 cosα= ,cos(α﹣β)= ,且 0<β<α< ,

(1)求 tan2α 的值; (2)求 β. 【考点】两角和与差的正切函数;同角三角函数基本关系的运用. 【专题】三角函数的求值. 【分析】 (1)由条件利用同角三角函数的基本关系,求得 tanα 的值,再利用二倍角的正切公 tan2 α 的值. 式求得 (2)由条件求得 sin(α﹣β)的值,利用两角差的余弦公式求得 cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]的值, 从而求得 β 的值. 0<β<α< 【解答】 解: (1) 由 cosα= , , 可得 sinα= = tanα= , =4 ,

∴tan2α=

=

=﹣



(2)由 cosα= ,cos(α﹣β)= = = ,

,且 0<β<α<

,可得 sin(α﹣β)

∴cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β) = ∴β= . 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和差的余弦公式、二倍角的正切公式 的应用,属于基础题. 18.两会结束后,房价问题仍是国民关注的热点问题,某高校金融学一班的学生对某城市居 民对房价的承受能力(如能买每平方米 6 千元的房子即承受能力为 6 千元)的调查作为社会 实践,进行调查统计,将承受能力数据按区间[2.5,3.5) ,[3.5,4.5) ,[4.5,5.5) ,[5.5,6.5) , [6.5,7.5](千元)进行分组,得到如下统计图: (1)求 a 的值,并估计该城市居民的平均承受能力是多少元; (2)若用分层抽样的方法,从承受能力在[3.5,4.5)与[5.5,6.5)的居民中抽取 5 人,在抽 取的 5 人中随机取 2 人,求 2 人的承受能力不同的概率. + = ,

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)根据各组的累积频率为 1,构造关于 a 的方程,解方程可得 a 的值,累加每组组 中值与频率的积,可估算出该城市居民的平均承受能力是多少元; (2)先计算出在抽取的 5 人中随机取 2 人的情况种数,再计算出 2 人的承受能力不同的情况 种数,代入古典概型概率计算公式,可得答案. 【解答】解: (1)由各组的累积频率为 1, 可得:0.1+0.1+0.14+0.45+a=1, 所以 a=0.21, 平均承受能力 , 即城市居民的平均承受能力大约为 5070 元; (2)用分层抽样的方法在这两组中抽 5 人, 即[3.5,4.5)组中抽 2 人与[5.5,6.5)抽 3 人, 设[3.5,4.5)组中两人为 A1,A2,[5.5,6.5)组中三人为 B1,B2,B2, 从这 5 人中随机取 2 人,有 A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1, A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3 共 10 中, 符合两人承受能力不同的有 A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3 共 6 中, 所以所求概率为 .

【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,频率分布直方图,是统计和概率的综 合应用,难度不大,属于基础题. sin2x+sinxcosx.

19.已知函数 f(x)=2cosxsin(x+

)﹣

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)在给出的直角坐标系中,画出函数 f(x)在[﹣ , ]上的图象.

【考点】正弦函数的图象;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】综合题;数形结合;综合法;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行化简整理求得函数的解析式, 进而根据正弦函数的单调性求得单调增区间; (2)利用左加右减,上加下减的原则,将函数 y=sinx 纵坐标不变,横坐标缩小到 倍得到 y=sin2x,再向左平移 y=2sin(2x+ 个单位得到函数 y=sin(2x+ ) ,横坐标不变,纵坐标扩大 2 倍得到

) ,即可得出结论. )﹣ sin2x+sinxcosx

【解答】解: (1)f(x)=2cosxsin(x+ =2cosx(sinxcos =2sin(2x+ 当 2kπ﹣ ) , ≤2x+ ≤2kπ+ 时,即 kπ﹣ ,kπ+ +cosxsin )﹣

sin2x+ sin2x

≤x≤kπ+ ](k∈Z) .

,函数单调增,

∴函数的单调增区间为:[kπ﹣

(2)由函数 y=sinx 纵坐标不变,横坐标缩小到 倍得到 y=sin2x,再向左平移 函数 y=sin(2x+ ) ,横坐标不变,纵坐标扩大 2 倍得到 y=2sin(2x+ ) ,

个单位得到

【点评】本题主要考查了三角函数的基本性质和三角函数的图象变换.考查了学生对基础知 识点综合运用.

20.如图,已知 AA1⊥平面 ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2 点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 A1B1BA; (Ⅱ)求证:平面 AEA1⊥平面 BCB1; (Ⅲ)求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小.

,AA1=

,BB1=2



【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】 (Ⅰ)连接 A1B,易证 EF∥A1B,由线面平行的判定定理可得; (Ⅱ)易证 AE⊥BC,BB1⊥AE,可证 AE⊥平面 BCB1,进而可得面面垂直; (Ⅲ)取 BB1 中点 M 和 B1C 中点 N,连接 A1M,A1N,NE,易证∠A1B1N 即为直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角,解三角形可得. 【解答】 (Ⅰ)证明:连接 A1B,在△ A1BC 中, ∵E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点,∴EF∥A1B, 又∵A1B?平面 A1B1BA,EF?平面 A1B1BA, ∴EF∥平面 A1B1BA; (Ⅱ)证明:∵AB=AC,E 为 BC 中点,∴AE⊥BC, ∵AA1⊥平面 ABC,BB1∥AA1,∴BB1⊥平面 ABC, ∴BB1⊥AE,又∵BC∩BB1=B,∴AE⊥平面 BCB1, 又∵AE?平面 AEA1,∴平面 AEA1⊥平面 BCB1; (Ⅲ)取 BB1 中点 M 和 B1C 中点 N,连接 A1M,A1N,NE, ∵N 和 E 分别为 B1C 和 BC 的中点,∴NE 平行且等于 B1B, ∴NE 平行且等于 A1A,∴四边形 A1AEN 是平行四边形, ∴A1N 平行且等于 AE, 又∵AE⊥平面 BCB1,∴A1N⊥平面 BCB1, ∴∠A1B1N 即为直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角, 在△ ABC 中,可得 AE=2,∴A1N=AE=2, ∵BM∥AA1,BM=AA1,∴A1M∥AB 且 A1M=AB, 又由 AB⊥BB1,∴A1M⊥BB1, 在 RT△ A1MB1 中,A1B1= =4,

在 RT△ A1NB1 中,sin∠A1B1N=

= ,

∴∠A1B1N=30°,即直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小为 30°

【点评】本题考查线面垂直与平行关系的证明,涉及直线与平面所成的角,属中档题. 21.已知函数 f(x)=4x3﹣3x2cosθ+

cosθ 其中 x∈R,θ 为参数,且 0≤θ≤2π.

(1)当 cosθ=0 时,判断函数 f(x)是否有极值; (2)要使函数 f(x)的极小值大于零,求参数 θ 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 θ,函数 f(x)在区间(2a﹣1,a) (其中 a <1)内都是增函数,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;导数的综合应用. 【分析】 (1)当 cosθ=0 时,求出 f(x) ,求出导数,即可判断单调性和极值; (2)求出导数,求出单调区间,判断极小值,解大于 0 的不等式,即可得到; (3)由(2)知 f(x)在区间 内都是增函数,由区间的包含

关系得到 a 的不等式,解出即可. 【解答】解: (1)当 cosθ=0 时,f(x)=4x3,f′(x)=12x2≥0,则 f(x)在(﹣∞,+∞)内 是增函数,故无极值. (2)f′(x)=12x2﹣6xcosθ, f x) 当 cosθ>0 时容易判断 ( 在 上是减函数, 故 f(x)在 由 ,即 , >0,可得 . . 上是增函数, 在



. cosθ>0,即 cosθ>0,与 cosθ

同理,可知当 cosθ<0 时,f(x)在 x=0 处取极小值 f(0)=

<0 矛盾, 所以当 cosθ<0 时,f(x)的极小值不会大于零. 综上,要使函数 f(x)在 R 上的极小值大于零,参数 θ 的取值范围为

(3)由(2)知函数 f(x)在区间 函数在(2a﹣1,a)内是增函数,则 a 需满足不等式 (其中 θ∈ 时,

内都是增函数,由题设:

)从而可以解得 .

【点评】本题考查导数的综合应用:求单调区间和求极值,考查三角不等式的运算求解能力, 属于中档题. 22.设函数 f(x)=ex﹣ax﹣2. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时, (x﹣k)f′(x)+x+1>0,求 k 的最大值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】综合题;压轴题;分类讨论;转化思想. 【分析】 (Ⅰ)求函数的单调区间,可先求出函数的导数,由于函数中含有字母 a,故应按 a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性,给出单调区间; +x+1>0 在 x>0 时成立转化为 k< ? x) (II) 由题设条件结合 (I) , 将不等式, (x﹣k)f (

(x>0)成立,由此问题转化为求 g(x)=

在 x>0 上的最小值问题,求导,确定出

函数的最小值,即可得出 k 的最大值; 【解答】解: (I)函数 f(x)=ex﹣ax﹣2 的定义域是 R,f′(x)=ex﹣a, 若 a≤0,则 f′(x)=ex﹣a≥0,所以函数 f(x)=ex﹣ax﹣2 在(﹣∞,+∞)上单调递增. 若 a>0,则当 x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)=ex﹣a<0; 当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex﹣a>0; 所以,f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增. (II)由于 a=1,所以, (x﹣k) f? (x)+x+1=(x﹣k) (ex﹣1)+x+1 故当 x>0 时, (x﹣k) f? (x)+x+1>0 等价于 k< (x>0)①

令 g(x)=

,则 g′(x)=

由(I)知,当 a=1 时,函数 h(x)=ex﹣x﹣2 在(0,+∞)上单调递增, 而 h(1)<0,h(2)>0, 所以 h(x)=ex﹣x﹣2 在(0,+∞)上存在唯一的零点, 故 g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为 α,则有 α∈(1,2) 当 x∈(0,α)时,g′(x)<0;当 x∈(α,+∞)时,g′(x)>0; 所以 g(x)在(0,+∞)上的最小值为 g(α) . α g =0 e = +2 g = +1 ′ α α α α 又由 ( ) ,可得 所以 ( ) ∈(2,3) 由于①式等价于 k<g(α) ,故整数 k 的最大值为 2. 【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性,解题的关键是第一 小题应用分类的讨论的方法,第二小题将问题转化为求函数的最小值问题,本题考查了转化 的思想,分类讨论的思想,考查计算能力及推理判断的能力,综合性强,是高考的重点题型, 难度大,计算量也大,极易出错.


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