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2012-2013北京市海淀区高三数学一模试题及答案


海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (理) 2013.4

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 D 5 A 6 D 7 B

8 B

二、填空题(本大题共 6

小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. 0

10. 14

11.

24 5

12. 3,

3 15 16

13.

4 ? a ?1 9

14. 2, (2k ? 1,2k ), k ? Z

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2

= 2 ? (3sin2 x ? cos2 x ? 2 3sin x cos x) ? 2 ? (1 ? 2sin2 x ? 3sin2 x)
= 1 ? 2sin2 x ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 3sin 2 x
π = 2sin(2 x ? ) 6
所以 f ( ) ? 2sin(2 ? ??????4 分 ??????2 分

??????6 分

π 4

π π 2π ? ) ? 2sin ? 3 4 6 3

??????7 分

所以 f ( x ) 的周期为 T ?

2π 2π ? =π |? | 2

??????9 分

(II)当 x ? [ ?

π π π 2π π π 5π , ] 时, 2 x ? [ ? , ] , (2 x ? ) ? [ ? , ] 6 3 3 3 6 6 6
??????11 分

所以当 x ? ?

π π 时,函数取得最小值 f ( ? ) ? ?1 6 6

当x?

π π 时,函数取得最大值 f ( ) ? 2 6 6

??????13 分

16.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所 人 ??????1 分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为 以 该 考 场 有

10 ? 0.25 ? 40

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3
(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

??????3 分

1 ? (40 ? 0.2) ? 2 ? (40 ? 0.1) ? 3 ? (40 ? 0.375) ? 4 ? (40 ? 0.25) ? 5 ? (40 ? 0.075) ? 2.9 40

??????7 分 (Ⅲ)设两人成绩之和为 ? ,则 ? 的值可以为 16,17,18,19,20
2 C6 15 P(? ? 16) ? 2 ? , C10 45 1 1 2 C6C2 C2 13 ? 2 ? , 2 C10 C10 45 2 C2 1 ? 2 C10 45 1 1 C6C2 12 P(? ? 17) ? 2 ? C10 45 1 1 C2C2 4 ? 2 C10 45

??????8 分

P(? ? 18) ?

P(? ? 19) ?

P(? ? 20) ?

所以 ? 的分布列为

X P

16

17

18

19

20

15 45

12 45

13 45

4 45

1 45
??????11 分

所以 Eξ ? 16 ?

15 12 13 4 1 86 ? 17 ? ? 18 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 45 45 45 45 45 5





?













86 5
??????13 分 17.证明:(I) 因为 ?ABC 是正三角形, M 是 AC 中点, 所以 BM ? AC ,即 BD ? AC 又因为 PA ? 平面ABCD , BD ? 平面 ABCD , PA ? BD 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 PAC 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC (Ⅱ)在正三角形 ABC 中, BM ? 2 3 在 ?ACD 中,因为 M 为 AC 中点, DM ? AC ,所以 AD ? CD ??????1 分 ??????2 分 ??????3 分 ??????4 分 ??????5 分

?CDA ? 120? ,所以 DM ?

2 3 ,所以 BM : MD ? 3 : 1 3

??????6 分

在等腰直角三角形 PAB 中, PA ? AB ? 4 , PB ? 4 2 , 所以 BN : NP ? 3 :1 , BN : NP ? BM : MD ,所以 MN / / PD 又 MN ? 平面 PDC , PD ? 平面 PDC ,所以 MN / / 平面 PDC (Ⅲ)因为 ?BAD ? ?BAC ? ?CAD ? 90? , 所以 AB ? AD ,分别以 AB, AD, AP 为 x 轴, 立如图的空间直角坐标系,
A M C B x D y

??????8 分 ??????9 分
z P

y 轴, z 轴建
N

所以 B(4,0,0), C (2,2 3,0), D(0, 由(Ⅱ)可知,

4 3 ,0), P(0,0,4) 3

??? ? 4 3 DB ? (4, ? ,0) 为平面 PAC 的法向量 3

??????10 分

??? ? ??? ? PC ? (2,2 3, ?4) , PB ? (4,0, ?4)
设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

?

? ? ??? ?n ? PC ? 0 ?2 x ? 2 3 y ? 4 z ? 0 ? ? 则 ? ? ??? ,即 ? , ? ?4 x ? 4 z ? 0 ?n ? PB ? 0 ? ? ? 令 z ? 3, 则平面 PBC 的一个法向量为 n ? (3, 3,3) ? ? ??? n ? DB 7 ? 设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? , 则 cos ? ? ? ??? ? 7 n ? DB
所以二面角 A ? PC ? B 余弦值为

??????12 分

7 7

??????14 分

18. 解: (I)因为 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? bx, 所以 f ?( x ) ? 因为函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? bx 在 x ? 1 处取得极值

1 ? 2ax ? b x

??????2 分

f ?(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0
当 a ? 1 时, b ? ?3 , f ?( x ) ?

??????3 分

2 x 2 ? 3x ? 1 , x

f '( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:
x

1 (0, ) 2
?

1 2
0

1 ( ,1) 2
?

1

(, ) 1 +?

f '( x)

0

?

f ( x)

?

极大值

?

极小值

?
??????5 分

( +? 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) , 1, )

1 2

单调递减区间为 ( ,1)

1 2

??????6 分

(II)因为 f ?( x ) ?

2ax 2 ? 2( a ? 1) x ? 1 (2 ax ?1)( x ?1) ? x x

令 f ?( x) ? 0 , x1 ? 1, x2 ?

1 2a 1 ? x1 ? 1 2a

??????7 分

因为 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,所以 x2 ? 当

1 ? 0 时, f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,e] 上单调递减 2a

所以 f ( x ) 在区间 ? 0,e? 上的最大值为 f (1) ,令 f (1) ? 1 ,解得 a ? ?2 ??????9 分 当 a ? 0 , x2 ?

1 ?0 2a



1 1 1 ? 1 时, f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增, ( ,1) 上单调递减, (1,e) 上单调递增 2a 2a 2a 1 或 x ? e 处取得 2a

所以最大值 1 可能在 x ?

而 f(

1 1 1 1 1 1 ) ? ln ? a ( ) 2 ? (2a ? 1) ? ln ? ?1 ? 0 2a 2a 2a 2a 2a 4a

所以 f (e) ? lne+ae2 ? (2a ? 1)e ? 1 ,解得

a?

1 e?2

??????11 分

当1 ?

1 1 1 ? e 时, f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增, (1, ) 上单调递减, ( , e) 上单调递增 2a 2a 2a

所以最大值 1 可能在 x ? 1 或 x ? e 处取得 而 f (1) ? ln1 ? a ? (2a ? 1) ? 0 所以 f (e) ? lne+ae2 ? (2a ? 1)e ? 1 , 解得 a ?

1 1 ? e 矛盾 ,与 1 ? x2 ? e?2 2a

??????12 分

当 x2 ?

1 ? e 时, f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在 (1,e) 单调递减, 2a

所以最大值 1 可能在 x ? 1 处取得,而 f (1) ? ln1 ? a ? (2a ? 1) ? 0 ,矛盾 综上所述, a ?

1 或 e?2

a ? ?2 .
??????13 分 19.(本小题满分 14 分) 解: (I)设椭圆的焦距为 2c , 因为 a ? 2 ,

c 2 ,所以 c ? 1 , 所以 b ? 1 . ? a 2
??????4 分

所以椭圆 C :

x2 ? y2 ? 1 2

(II)设 A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) , 由直线 l 与椭圆 C 交于两点 A , B ,则 ?

? y ? kx
2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0

所以 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? ?

2 1 ? 2k 2

??????6 分

所以 AB ?

(1 ? k 2 )

8 8(1 ? k 2 ) ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2k 1? k2

??????7 分

点 M ( 2 ,0)到直线 l 的距离 d ?

则 GH ? 2 r 2 ?

2k 2 1? k2

??????9 分

显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性可知,直线 y ? kx 就是 y 轴,矛盾, 所以要使 AG ? BH ,只要 AB ? GH
B H

所以

8(1 ? k 2 ) 2k 2 2 ? 4( r ? ) 1 ? 2k 2 1? k2 2k 2 2(1 ? k 2 ) 2(3k 4 ? 3k 2 ? 1) k4 ? ? ? 2(1 ? 4 ) 1 ? k 2 1 ? 2k 2 2k 4 ? 3k 2 ? 1 2k ? 3k 2 ? 1

G A

r2 ?

??????11 分

当 k ? 0 时,

r? 2
??????12 分

1 1 ) ? 2(1 ? ) ? 3 1 3 2 ? 2 ?2 4 k k 1 r 2 ? 2(1 ? )?2 , 1 3 又显然 所以 2 ?r ? 3 ? 2 ?2 4 k k
当 k ? 0 时,

r 2 ? 2(1 ?

综上,

2?r? 3
??????14 分 20. 解: (Ⅰ)因为 ?x + ?y =3(?x, ?y 为非零整数) 故 ?x ? 1, ?y ? 2 或 ?x ? 2, ?x ? 1 ,所以点 P 的相关点有 8 0 个 ??????2 分

又因为 (?x)2 ? (?y )2 ? 5 ,即 ( x1 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 ) ? 5
2 2

所以这些可能值对应的点在以 P 为圆心, 5 为半径的圆 0 上 ??????4 分

(Ⅱ)依题意 Pn (xn ,yn ) 与 P (x0 ,y0 ) 重合 0 则 xn ? ( xn ? xn?1 ) ? ( xn-1 ? xn?2 ) ? ... ? ( x2 ? x1 ) ? ( x1 ? x0 ) ? x0 ? x0 ,

yn ? ( yn? y?n1 )? ( y-n1 ?

? n2

y ? )

?. . ?2 . ( y

? ) ? (1 ?y ) y y y 1 0 ? 0

y 0

即 (xn ? xn?1 )+(xn -1 ? xn?2 )+...+(x2 ? x1 )+(x1 ? x0 )=0 ,

(yn ? yn 1 ) + ( n 1 yn 2 ) + . . .y+ ( y1 ?) 1+ ( y0 y- ? ? ?2 y ?
两式相加得

)=0

[(xn ? xn?1 )+(yn ? yn?1 )]+[(xn?1 ? xn?2 )+(yn-1 ? yn?2 )]+...+[(x1 ? x0 )+(y1 ? y0 )]=0 (*)
因为 xi , yi ? Z, i ? xi ?1 ? yi ? yi ?1 ? 3(i ? 1,2,3,..., n) x 故 (xi ? xi ?1 )+(yi ? yi ?1 )(i =1,2,3,...,n) 为奇数, 于是(*)的左边就是 n 个奇数的和,因为奇数个奇数的和还是奇数, 所以 n 一定为偶 数 ??????8 分 (Ⅲ)令 ?xi ? xi ? xi ?1, ?yi ? yi ? yi ?1, (i ? 1,2,3,..., n) , 依题意 ( yn ? yn?1 ) ? ( yn?1 ? yn?2 ) ? ... ? ( y1 ? y0 ) ? 100 , 因为 T ?

?x
i ?0

n

i

? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn

? 1 ? (1 ? ?x1 ) ? (1 ? ?x1 ? ?x2 ) ? ?? (1 ? ?x1 ? ?x2 ? ?? ?xn ) ? n ? 1 ? n?x1 ? (n ?1)?x2 ? ?? ?xn
??????10 分

因为有 ?xi + ?yi ? 3,且 ?xi , yi 为非零整数, ? 所以当 ?xi ? 2 的个数越多,则 T 的值越大, 而且在 ?x1, ?x2 , ?x3 ,.., ?xn 这个序列中,数字 2 的位置越靠前,则相应的 T 的值越大 而当 ?yi 取值为 1 或 ? 1 的次数最多时, ?xi 取 2 的次数才能最多, T 的值才能最大. 当 n ? 100 时,令所有的 ?yi 都为 1, ?xi 都取 2, 则 T ? 101 ? 2(1 ? 2 ? ? ? 100) ? 10201 . 当 n ? 100 时, 若 n ? 2k (k ? 50, k ?N ) ,
*

此时, ?yi 可取 k ? 50 个 1, k ? 50 个 ?1 ,此时 ?xi 可都取 2, S (n) 达到最大 此时 T = n ? 1 ? 2(n ? (n ?1) ? ? ? 1) ? n ? 2n ? 1 .
2

若 n ? 2k ? 1(k ? 50, k ?N* ) ,令 ?yn ? 2 ,其余的 ?yi 中有 k ? 49 个 ?1 , k ? 49 个 1. 相应的,对于 ?xi ,有 ?xn ? 1 ,其余的都为 2, 则 T ? n ? 1 ? 2(n ? (n ? 1) ? ? ? 1) ? 1 ? n ? 2n
2

当 50 ? n ? 100 时,令 ?yi ? 1, i ? 2n ? 100, ?yi ? 2,2n ? 100 ? i ? n, 则相应的取 ?xi ? 2, i ? 2n ? 100, ?yi ? 1,2n ? 100 ? i ? n, 则 T = n ? 1 + 2 (n ? (n ? 1) ? ?(101 ? n)) ?((100 ? n) ? (99 ? n) ??1)

?

n 2 ? 205n ? 10098 2

? n 2 ? 205n ? 10098 , 50 ? n ? 100, ? 2 ? ? 2 n ? 100且为偶数, 综上, T ? ?( n ? 1) , ? n 2 +2n, n ? 100且为奇数. ? ? ?

??????13 分


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