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数学-南通中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题


江苏省南通中学 2014-2015 学年度第二学期期中试卷 高一数学试卷
本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟.解答直接做在答卷纸上.

一、 填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分)
1. 不等式 x 2 ? x ? 2 ? 0 的解集为 ▲ . ? ?1, 2?

2. ?ABC 的内

角 A, B, C 对边的长分别是 a, b, c ,若 C ? 3.在等差数列 ?an ? 中, a5 ? a6 ? 35 ,则 S10 ? ▲

?
3

, a ? 1, b ? 2 ,则 c ? ▲ . 3
. 175

4.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S2 ,3S3 ,成等差数列,则 ?an ? 的公比为

__▲


n

?1? 5. 已知数列 ?an ? 中, an ? n ? ? ? ,则该数列 ?an ? 的前 10 项和为 ?2?
6.若不等式 ax ? ?b ? 2? x ? 3 ? 0 的解集为 ? ??, ?1?
2





509 256

?3, ??? ,则 a ? b ?

▲___. 3

7. 在 ?ABC 中,已知 ?B ? 45? , D 是 BC 边上一点, AD ? 5, AC ? 7, DC ? 3 ,则

AB ?



.

5 6 2

8.已知 x, y 为正实数,且 2 x ? y ? 1 ,则

2 1 ? 的最小值是 x y



. 9

9. 在 ?ABC 中,BC ? x, AC ? 2, B ? 45? , 若三角形有两解, 则 x 的取值范围是



.

2? x?2 2
10.若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ?10n ? n ? 1,2,3,
2

? ,则数列 ?nan ? 中数值最小的项是





项. 3

? 11.某公司推出了下表所示的 QQ 在线等级制度,设等级为 n 级需要的天数为 an n ? N ,

?

?

等级 1 2

等级图标

需要天 数 5 12

等级 7 8

等级图标

需要天数 77 96

1

3 4 5 6 则等级为 50 级需要的天数 a50 ? 12 . 已 知 二 次 函 数 f
2

21 32 45 60 ▲
2 a x? 2

12 16 32 48 . 2700

192 320 1152 2496

?x ??

值 域 为 ? 0, ?? ? , 不 等 式 ? x? c ? x 的R ? ▲ . ?1, ?? ?

a c ? 2 ? ? 恒成立,则 ? 的取值范围是 a ?1 c ?1

? a11 ? 13 . 由 9 个互不相等的正数组成的矩阵 ? a21 ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? ? a23 ? 中,每行中的三个数成等差数列,且 a33 ? ?

a11 ? a12 ? a13 , a21 ? a22 ? a23 , a31 ? a32 ? a33 成等比数列,下列四个判断正确的个数
为 _____▲ .4 ②第 1 列 a11 , a21 , a31 不一定成等比数列 ④若 9 个数之和等于 9,则 a22 ? 1 ①第 2 列 a12 , a22 , a32 必成等比数列 ③ a12 ? a32 ? a21 ? a23 14.已知等比数列 ?an ? 的首项为

4 1 1 ,公比为 ? ,其前 n 项和为 Sn ,若 A ? S n ? ?B对 3 3 Sn
▲ .

59 72 二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明 过程 或演算步骤)
n ? N ? 恒成立,则 B ? A 的最小值为
15.(本小题满分 14 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a4 ? 6 , a6 ? 10 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设等比数列 ?bn ? 的各项均为正数,其前 n 项和 Tn ,若 b3 ? a3 , T2 ? 3 ,求 Tn . 15.解:(1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,首项为 a1, ∵ a4 ? 6 , a6 ? 10 ,∴ ?

?a1 ? 3d ? 6 ?a1 ? 0 解得 ? ?d ? 2 ?a1 ? 5d ? 10

∴数列 ?an ? 的通项公式 an=a1+(n- 1)d=2n-2 . (2)设各项均为正数的等比数列 ?bn ? 的公比为 q ? q ? 0? . ∵ an=2n-2 ,∴ a3=4 ,

2

?b1q 2 ? 4 2 ? 解得 q=2或- (舍) , b1= 1 ? 3 b 1 ? q ? 3 ? ? ? 1 ?
∴ Tn=2n- 1.

16. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c ,已知 c ? 2, C ? (1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (2)若 sin C ? sin ? B ? A? ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积. 解:(1) S ?

?
3



1 ab sin C ? 3 ? ab ? 4; 2

2 2 2 又由余弦定理得 c ? a ? b ? ab ? 4

解得 a ? b ? 2 (2)由题意得

sin ? A ? B ? ? sin ? B ? A? ? 2sin 2 A ?sin B cos A ? sin 2 A ? cos A ? 0或2sin A ? sin B
若 cos A ? 0 ,则 A ?

?
2

,B ?

?
6

,S ?

2 3 3 2 3 3

若 2sin A ? sin B ,则 A ?

?
6

,B ?

?
2

,S ?

17. (本题满分 15 分) 如图所示,某学校的教学楼前有一块矩形空地 ABCD ,其长为 32 米,宽为 18 米,现要 在此空地上种植一块矩形草坪,三边留有人行道,人行道宽度为 a 米与 b 米均不小于 2 米,且要求“转角处”(图中矩形 AEFG )的面积为 8 平方米 (1)试用 a 表示草坪的面积 S ? a ? ,并指 出 a 的取值范围 (2)如何设计人行道的宽度 a 、 b ,才能使草坪的面积最大?并求出草坪的最大面积。

3

解: (1)由条件知, ab ? 8 ,∴ b ? ∵b ? 2 ∴

8 a

8 ?2 a

∴2 ? a ? 4

∴ S ? a ? ? ? 32 ? 2a ??18 ? b ? ? ?4 ? 9a ?

? ?

64 ? ? ? 592 a ?

64 64 ? 2 9a ? ? 48 a a 64 8 当 9a ? ,即 a ? 时,上式取=号, a 3 此时 S ? a ? 取得最大值 400 平方米。
(2)∵ 9a ?

18. (本小题满分 15 分) 已知 A, B 分别在射线 CM , CN (不含端点 C )上运动, ?MCN ? 角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ; (1)若 a, b, c 依次成等差数列,且公差为 2 ,求 c 的值; (2)若 c ? 3, ?ABC ? ? ,试用 ? 表示 ?ABC 的周长,并求周长的最大 值.

2? ,在 ?ABC 中, 3

解: (1)∵ a, b, c 依次成等差数列,且公差为 2

4

∴ a ? c ? 4, b ? c ? 2. 又∵ ?MCN ?

2? 1 , cos C ? ? 3 2
2 2

? c ? 4? ? ? c ? 2? ? c2 ? ? 1 a 2 ? b2 ? c2 1 ? ? ,∴ 又余弦定理知:∴ 2 ? c ? 4 ?? c ? 2 ? 2 2ab 2
恒等变形得 c 2 ? 9c ? 14 ? 0 ,解得 c ? 7或c ? 2 又

c ? 4,? c ? 7

? 2 ? 在?ABC中,由正弦定理知:
? AC ? sin ?

AC BC AB ? ? , sin ?ABC sin ?BAC sin ?ACB

BC 3 ?? ? ? ? 2, AC ? 2sin ? , BC ? 2sin ? ? ? ? . 2 ? ? ? ? ?3 ? sin ? ? ? ? sin 3 ?3 ?

?? ? ??ABC的周长f ?? ? ? AC ? BC ? AB ? 2sin ? ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ?3 ? ?1 ? 3 ?? ? ? 2? sin ? ? cos ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? 3 ? ?2 ? 2 3? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ?? ? 又 ? ? ? 0, ?, ? ?? ? ? ,?当? + = 即? = 时,f ?? ? 取得最大值2+ 3 3 3 3 3 2 6 ? 3?
19. (本小题满分 16 分)
2 在 ?ABC 中,A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c , 不等式 x cos C ? 4 x sin C ? 6 ? 0 对一

切实数 x 恒成立. (1)求 cos C 的取值范围; (2)当角 C 取最大值,且 ?ABC 的周长为 6 时,求 ?ABC 面积的最大值,并指出面积取 最大值时 ?ABC 的形状. 解: (1)当 cos C ? 0 时, sin C ? 1 ,原不等式即为 4 x ? 6 ? 0 对一切实数 x 不恒成立.1 分 当 cos C ? 0 时,应有 ?

?cos C ? 0
2 ?? ? 16sin C ? 24cos C ? 0

∴?

?cos C ? 0 ?2cos C ? 3cos C ? 2 ? 0
2

∴ cos C ?

1 或 cos C ? ?2 ? 舍去? 2

∵ C 是 ?ABC 的内角, (2)∵ 0 ? C ? ? , ∴ ?C 的最大值为



1 ? cos C ? 1 2

1 ? cos C ? 1 2
此时 c ?

? , 3

a 2 ? b2 ? 2ab cos

?
3

? a 2 ? b2 ? ab ,

5

∴ 6 ? a ? b ? c ? a ? b ? a2 ? b2 ? ab ? 2 ab ? 2ab ? ab ? 3 ab , ∴ ab ? 4 (当且仅当 a ? b 时取“ ? ” ) , ∴S
ABC

?

1 ? ab sin ? 3 (当且仅当 a ? b 时取“ ? ” ) , 2 3

此时, ?ABC 面积的最大值为 3 , ?ABC 为等边三角形。 20. (本小题满分 16 分) 若数列 ? An ? 满足 An?1 ? An 2 则称数列 ? An ? 为“平方递推数列” .已知数列 ?an ? 中, ,

a1 ? 2 ,点 ? an , an?1 ? 在 函 数 f ? x ? ? 2x2 ? 2x 的图像上,其中 n 为正整数.
(1)证明:数列 ?2an ? 1? 是“平方递推数列” ,且数列 lg ? 2an ?1? 为等比数列; (2) 设 (1) 中 “平方递推数列” 的前 n 项之积为 Tn , 即 Tn ? ? 2a1 ?1?? 2a2 ?1? 求数列 ?an ? 的通项及 Tn 关于 n 的表达式; (3)记 bn ? log2an ?1 Tn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ,并求使 Sn ? 2015 的 n 的最小值.

?

?

? 2an ?1? ,

解: 2an ?1 ? 2 ? 2an 2 ? 2an ? ? 1 ? ? 2an ? 1? ?1?因为an?1 ? 2an 2 ? 2an, 所以数列?2an ? 1? 是“平方递推数列”. 由以上结论lg ? 2an ?1 ? 1? ? lg ? 2an ? 1? ? 2 lg ? 2an ? 1?,
2

2

所以数列lg ? 2an ?1 ? 1? 为首项是 lg 5公比为2的等比数列.
n ?1 n ?1 2 ? 2 ? lg ? 2an?1 ? 1? ? ? ?lg ? 2a1 ? 1? ? ? ? 2 ? 2 lg 5 ? lg 5
n?1



1 2n?1 5 ?1 2 lg Tn ? lg ? 2a1 ? 1? ? ? lg ? 2an ? 1? ? ? 2n ? 1? lg 5, 2an ?1 ? 1=52 , an ?
n?1

?

?

Tn ? 52 ?1.

n

? 2 ? 1? lg 5 ? 2 ? 1 lg Tn ? ? 3? bn ? lg ? 2an ? 1? 2n ?1 lg 5 2n ?1
n

S n ? 2n ? 2 ? 2n ? 2 ?

1 . 2n ?1

1 ? 2015 2n ?1 1 1 n ? n ? 1008 2 2 nmin ? 1009

6

7


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