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吉林省延边州2014届高三下学期质量检测数学(理)试题Word版含答案


延边州 2014 年高考复习质量检测 理科数学
数学(理)试题头说明
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 3 页,第 II 卷 4 至 6 页, 共 150 分。其中第 II 卷第 22—24 题为选考题,其它题为必考题。考生作答时,将答案写在答题卡上, 在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、 准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题 答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题前,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第Ⅰ 卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项
是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。 1.已知集合 A ? ?0,1,2,3?, 集合 B ? x x ? 2a, a ? A , 则 A. A ? B ? A B. A ? B ? A C. A ? B ? B D. A ? B ? A

?

?

2.设 z = 1 – i(i 是虚数单位) ,则复数 A.1 3. ― ? ? B.-1

2 2 +i 的虚部是 z
C.i D.-i

? 3 ‖是― sin ? ? ‖的 2 3

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.a , b , c 表示不同直线, M 表示平面, 给出四个命题: ①若 a ∥M,b ∥M, 则 a ∥ b 或 a, b b ? b b a , b 相交或 异面; ②若 M,a ∥ , 则 a ∥M; ③a⊥c, ⊥c, 则a ∥b ; ④ a ⊥M, b ⊥M,则 a ∥ b 。其中正确命题为 A.①② B.②③ C.③④ D.①④

1

开始 5. 读右侧程序框图,该程序运行后输出的 A 值为

3 4 4 B. 5 5 C. 6 6 D. 7
A.

A=

1 ,i=1 2


fi≤4? 是 A=

1 2? A

输出 A 结束

i=i+1

6.一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系 O ? x yz 中的坐标分别是(0,0,0) , (1,2, 0) , (0,2,2) , (3,0,1) ,则该四面体中以 yOz 平面为投影面的正视图的面积为 A. 3 B.

5 2

C. 2

D.

7 2

7.已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2 ? 20y 的焦点重合,且其渐近线的方程为 3x ? 4y ? 0 , 则该双曲线的标准方程为 A.

y 2 x2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 16 9

C.

y 2 x2 ? ?1 9 16

D.

x2 y 2 ? ?1 9 16

8. 设函数 f (x) ? sin(2x ? A. B. C. D. 9.在 (

? ) ,则下列结论正确的是 3 ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 对称 3 ? f ( x) 的图像关于点 ( ,0) 对称 4 ? 把 f ( x) 的图像向左平移 个单位,得到一个偶函数的图像 12 ? f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, ] 上为增函数 6 1 x ? 3 ) 24 的展开中, x 的幂指数是整数的项共有 x
D.3 项
D A D E C F

A.6 项 B.5 项 C.4 项 10. 如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中, A 点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点 △ AED,△ EBF,△ FCD 分别沿 DE, E EF,FD 折起,使 A,B,C 三点重合 于点 A′,若四面体 A′EFD 的四个顶点 在同一个球面上,则该球的半径为 B F A. 2 B.

6 2

C.

11 2

D.

5 2

11.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, f ( x ? 1) 为奇函数, f (0) ? 0 ,当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? log2x,则在 (8,10) 内满足方程 f ( x) ? 1 ? f (1) 的实数 x 为 A.

19 2

B. 9

C.

17 2

D.

33 4

2

12.若关于 x 的方程 x ?

1 1 ? x ? ? kx ? 1 ? 0 有五个互不相等的实根,则 k 的取值范围是 x x
B.

A. C.

1 1 (? , ) 4 4 1 1 (?? ,? ) ? ( ,?? ) 8 8

1 1 ( ?? ,? ) ? ( ,?? ) 4 4 1 1 D. ( ? ,0) ? (0, ) 8 8

第Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上。
?x ? y ? 5 ? 0 ? 13. 设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 0 , 则 目 标 函 数 z ? 2y ? x 的 最 小 值 ?x ? 3 ? 0 ?
为 。

14.已知直角△ ABC 中, AB=2,AC=1,D 为斜边 BC 的中点,则向量 AD 在 BC 上的投影 为 。 15.已知 ? ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且角 A , B , C 成等差数列, ? ABC

b 2 ? (a ? c ) 2 ,则实数 k 的值为 k 16.给出下列命题:
的面积 S ?



? ? 3 ? 2x , ① 已知线性回归方程 y 当变量 x 增加 2 个单位, 其预报值平均增加 4 个单位;
② 在进制计算中, 100( 2 ) ? 11( 3 ) ; ③ 若 ? ~ N(3, ?2 ) ,且 P(0 ? ? ? 3) ? 0.4 ,则 P(? ? 6) ? 0.1 ; ④― a ?

?0

1

1 ? x 2 dx ‖是―函数 y ? cos 2 (ax) ? sin2 (ax) 的最小正周期为 4‖的充要条件;

⑤ 设函数 f ( x) ?

? 2014x?1 ? 2013 ? ? ??? ? 2014 sin x? x ? ?? , ? ? ? ? 的最大值为 M,最小值为 x 2014 ? 1 ? 2 2?? ?
个。

m,则 M+m=4027,其中正确命题的个数是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分 12 分)

3

已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n ? 2a n ? 2 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 b n ? a n ? log2an+1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn 。

18.(本小题满分 12 分) 如图 1, 在△ ABC 中, BC=3, AC=6, ∠ C=90° , 且 DE∥ BC, 将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使 A1D⊥ CD,如图 2。 (I)求证:BC⊥ 平面 A1DC; (II)若 CD = 2,求 BE 与平面 A1BC 所成角的正弦值。

D

C

D

A

E C

A1

E B
图1

B

图2

19.(本小题满分 12 分) 为迎接 2013 年―两会‖(全国人大 3 月 5 日-3 月 18 日、全国政协 3 月 3 日-3 月 14 日) 的胜利召开,某机构举办猜奖活动,参与者需先后回答两道选择题,问题 A 有四个选项, 问题 B 有五个选项,但都只有一个选项是正确的,正确回答问题 A 可获奖金 m 元,正确回 答问题 B 可获奖金 n 元.活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺序,如果第一个问题 回答错误,则该参与者猜奖活动中止.假设一个参与者在回答问题前,对这两个问题都很 陌生,试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长 2 2 a b

为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切。

4

(I)求椭圆 C 的方程; (II)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 交于两点 A 和 B,设 P 为椭圆上一点,且满足 ,当 PA ? PB ? OA ? OB ? t · OP (O 为坐标原点) 围。

2 5 时,求实数 t 取值范 3

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? ax ?

b ? 2 ln x, f (1) ? 0 x

(I)若函数 f ( x) 在其定义域内为单调函数,求 a 的取值范围; (II)若函数 f ( x) 的图像在 x=1 处的切线斜率为 0,且

g( x ) ?

1 x?1 1 1 ? ? ? f ( x ? 1) , ( x ? 2 , n ? N? ) 2 2x ? 2 2 (1 ? x)n

证明:对任意的正整数 n, 当 x ? 2 时,有 g( x ) ? x ? 1 .

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答 时必须用 2B 铅笔将选作题目对应题号后面的方框图涂满、涂黑,请勿多涂、漏涂。 22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图,PA 为⊙ O 的切线,A 为切点,PBC 是过点 O 的割 A 线,PA=10,PB=5。 求: (I)⊙ O 的半径; C O B P (II)sin∠ BAP 的值。

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4-4:坐标系与参数方程》 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中 x 轴的正半轴重

? x ? 1 ? 2 cos ? 合,且两坐标系有相同的长度单位,圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,点 ? y ? ?1 ? 2 sin ?
Q 的极坐标为 (2 2 , ?) 。 (I)化圆 C 的参数方程为极坐标方程;
5

7 4

(II) 直线 l 过点 Q 且与圆 C 交于 M, N 两点, 求当弦 MN 的长度为最小时, 直线 l 的 直角坐标方程。

24. (本小题满分 10 分) 《选修 4-5:不等式选讲》 已知函数 f (x) ? x ? 3 ? 5 , g(x) ? x ? 2 ? 2 。 (I)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (II)若不等式 f ( x) ? g( x) ? m ? 3 有解,求实数 m 的取值范围。

6

2014 年高三质量检测数学理科试题参考答案及评分标准
一. 选择题 1—12:DABDC 二. 填空题 13. —9; 14. ACCBB CD

?

3 5 ; 10

15.

4 3 ; 3

16.

4

三.解答题:解答题的解法不唯一,请阅卷教师参考评分标准酌情给分! 17.解:(Ⅰ ) 当 n ? 1 时, a1 ? 2 , ………………… 1 分

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n?1 ? 2a n ? 2 ? (2a n?1 ? 2) ………………… 3 分 即:
an ? 2 ,? 数列 ?a n ? 为以 2 为公比的等比数列 a n ?1

………………5 分

?an ? 2n
(Ⅱ ) bn ? 2 n ? log2 2 n?1 ? (n ? 1) ? 2 n

………………………6 分 ………………………7 分

2 n ?1 ? ? ( n ? 1) ? 2 n ?Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 …………………… 9 分 ? 2 3 n n?1 ? 2 T ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? ( n ? 1 ) ? 2 n ?

两式相减,得

? Tn ? 4 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? (n ? 1)2 n?1 ? ?n ? 2 n?1 …………………… 11 分 ?Tn ? n ? 2 n?1
…………………………… 12 分

18.解: (Ⅰ )? DE ? AD ,DE//BC,? BC ? AD 又? BC ? CD ,AD ? CD ? D ? BC ? 平面ADC

…………2 分 …………4 分

(Ⅱ )以 D 为原点,分别以 DE, DA 1 , CD 为 x,y,z 轴的正方向, 建立空间直角坐标系 D-xyz …………5 分 说明:建系方法不唯一 ,不管左手系、右手系只要合理即可 在直角梯形 CDEB 中,过 E 作 EF ? BC,EF=2,BF=1,BC=3…………6 分 ? B(3,0,-2)E(2,0,0)C(0,0,-2)A1(0,4,0) …………8 分

??? ? ???? ? ??? ?

???? ???? BE ? (?1,0,2) CA1 ? (0, 4, 2) BA1 ? (?3,4,2)
设平面 A1BC 的法向量为 m ? ( x, y, z)

…………9 分

? ?CA ? m ? 0 ? ? ? BA ? m ? 0

? 4 y ? 2z ? 0 ? ?? 3x ? 4 y ? 2 z ? 0

? z ? ?2 y 令 y=1,? m ? (0,1,?2) …10 分 ? ? x?0

7

设 BE 与平面 A1BC 所成角为 ? ,? sin ? ?

BE ? m BE m
1 4

?

4 5? 5

?

4 …………12 分 5

19.解:(Ⅰ )该参与者随机猜对问题 A 的概率 P 1 ? 随机猜对问题 B 的概率 P2 ?

1 . 5

……………………1 分

回答问题的顺序有两种,分别讨论如下: ① 先回答问题 A,再回答问题 B,参与者获奖金额 ? 的可能取值为 0, m, m ? n ,2 分

3 , 4 1 4 1 P(? ? m) ? P ? ? , 1 (1 ? P 2) ? 4 5 5 1 1 1 P(? ? m ? n) ? P ? ? . ……………………………3 分 1P 2 ? 4 5 20 3 1 1 m n ? ? 数学期望 E? ? 0 ? ? m ? ? (m ? n) ? . ……………5 分 4 5 20 4 20
则 P(? ? 0) ? 1 ? P 1 ? ② 先回答问题 B,再回答问题 A,参与者获奖金额? 的可能取值为 0, n, m ? n ,…6 分

4 , 5 1 3 3 P(? ? n) ? P2 (1 ? P ? ? , 1) ? 5 4 20 1 1 1 P(? ? m ? n) ? P2 P ? ? . ……………………………9 分 1 ? 5 4 20 4 3 1 m n ? ( m ? n) ? ? ? . 数学期望 E? ? 0 ? ? n ? ……………10 分 5 20 20 20 5 m n m n 4m ? 3n E? ? E? ? ( ? ) ? ( ? ) ? . 4 20 20 5 20 m 3 于是,当 ? 时, E? ? E? ,即先回答问题 A,再回答问题 B,参与者获奖金额的 n 4
则 P(? ? 0) ? 1 ? P2 ? 期望值较大; 当

m 3 ? 时, E? ? E? ,无论是先回答问题 A,再回答问题 B,还是先回答问题 B, n 4 m 3 ? 时, E? ? E? ,即先回答问题 B,再回答问题 A,参与者获奖金额的期望值 n 4
……………………………………12 分

再回答问题 A,参与者获奖金额的期望值相等; 当 较大. 20. 解:(Ⅰ ) 由题意知,短半轴长为: b ?

0?0? 2 12 ? 12

? 1 , …………1 分

8

c2 a 2 ? b2 1 c 2 2 ? , ∵e ? ? ,∴e ? 2 ? a a2 2 a 2
即 a ? 2b ,∴a ? 2 ,
2 2
2

……… …………………2 分

故椭圆 C 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1. 2

………………3 分

(Ⅱ )由题意知,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB : y ? k ? x ? 2? ,……4 分 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , P ? x, y ? ,

? y ? k ? x ? 2? ? 2 2 2 2 由 ? x2 得, ?1 ? 2k ? x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 1 .…………5 分 2 ? y ?1 ? ? 2
? ? 64k 2 ? 4 ?1 ? 2k 2 ?? 8k 2 ? 2 ? ? 0 ,解得 k 2 ?
1 . 2
…………6 分

8k 2 8k 2 ? 2 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
??? ? ??? ? ??? ? x1 ? x2 8k 2 ? ∵ OA ? OB ? tOP , ∴ ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? t ? x, y ? , 解 得 x ? , t t ?1 ? 2k 2 ?

y?

y1 ? y2 1 ?4k . ? ? k ? x1 ? x2 ? ? 4k ? ? ? ? t t t ?1 ? 2k 2 ?

………………7 分

(8k 2 )2 (?4k )2 ?2 2 ?2, ∵ 点 P 在椭圆上,∴ 2 t (1 ? 2k 2 )2 t (1 ? 2k 2 )2
∴16k ? t (1 ? 2k ) .
2 2 2

………………………8 分

∵ PA ? PB ?

??? ? ??? ?

2 5 2 5 ,∴ 1 ? k 2 x1 ? x2 ? , 3 3

? 64k 4 20 2 2 ? ? ? ∴?1 ? k ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ,∴ 1 ? k ? ? 9 ? 1 ? 2k 2 ?
2

?

?

?

?

2

? 8k 2 ? 2 ? 20 ? 4? ? , 1 ? 2k 2 ? 9 ?

∴(4k ?1)(14k ? 13) ? 0 ,∴k 2 ?
2 2
2 ∴ ?k ?

1 4

…………………10 分

1 4

16k 2 8 1 2 2 2 2 ? 8? ,∵16k ? t (1 ? 2k ) ,∴t ? , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

9

∴?2 ? t ? ?

2 6 2 6 或 ?t ? 2, 3 3 2 6 2 6 )?( ,2) . 3 3
………………12 分

∴ 实数 t 取值范围为 (?2,?

21. 解:(Ⅰ ) 函数 f ( x) 的定义域是 ? 0, ??? 因为 f (1) ? 0 所以有 a ? b 所以 f ( x) ? ax ?

a ? 2 ln x x

………………1分

f / ( x) ? a ?

a 2 ax 2 ? 2 x ? a ? ? x2 x x2

………………2分

/ 1.当 a ? 0 时, f ( x ) ? ?

2 ? 0 恒成立,所以函数 f ( x) 在 ? 0, ??? 上单调递减; …3分 x

2.当 a ? 0 时,若函数 f ( x) 在其定义域内单调递增, 则有 f / ( x) ? 0 恒成立即 a ?

2x ? x ?1
2

2 x? 1 x
………………4分

因为 x ? 0 所以 a ? 1

且 a =1 时 f / ( x) 不恒为 0.

/ 若函数 f ( x) 在其定义域内单调递减,则有 f ( x) ? 0 恒成立即 a ?

2x x ?1
2

因为 x ? 0 所以 a ? 0 综上,函数 f ( x) 在定义域内单调时 a 的取值范围是 a ? 0或a ? 1 ………5分

/ (Ⅱ )因为函数 f ( x) 的图像在 x=1 处的切线斜率为 0,所以 f (1) ? 0

即 2a ? 2 ? 0 所以 a ? 1 所以 f ( x) ? x ?

1 ? 2 ln x x

………………………………6分

g ? x? ?

1

?1 ? x ?

n

? ln ? x ? 1? 1 ? ln ? x ? 1? ? x

令 h ? x? ? g ? x? ? x ?

?1 ? x ?
n ?1

n

说明:此处可有多种构造函数的方法,通

所以 h / ? x ? ? n

1

?1 ? x ?

?

1 ? 1 ……7分 常均需要讨论n是奇数还是偶数 x ?1
可参照答案所示 每种情况酌情赋2-3分

当 n 是偶数时,因为 x ? 2 所以 x ? 1 ? 1

10

所以 n

1

?1 ? x ?

n ?1

? 0,0 ?

1 ?1 x ?1

所以 h/ ( x) ? 0 即函数 h( x) 在 ?2, ??? 单调递减 所以 h( x) ? h ? 2? ? ?1,即 g ( x) ? x ? 1 当 n 是奇数时,令 T ( x) ? ln( x ? 1) ? x 则 T ( x) ?
/

………………………9分

1 ?1 ? 0 x ?1

所以函数 T ( x) 在 ?2, ??? 单调递减,所以 T ( x) ? T ? 2? ? ?2 ……10分 又因为 x ? 2 时 1 ? x ? 0 所以

1

?1 ? x ?

n

?0
………………11分

所以 h/ ( x) ? 0 即函数 h( x) 在 ?2, ??? 单调递减 所以 h( x) ? h ? 2? ? ?1,即 g ( x) ? x ? 1

综上,对任意的正整数 n,当 x ? 2 时,有 g ( x) ? x ? 1 .………………12分 22. (Ⅰ )因为 PA 为⊙ O 的切线,所以 PA ? PB ? PC ,
2

A C P O B

又由 PA=10,PB=5,所以 PC=20,BC=20-5=15 ………2 分. 因为 BC 为⊙ O 的直径,所以⊙ O 的半径为 7.5. ………4 分 ( Ⅱ ) ∵ PA 为 ⊙ O 的 切 线 , ∴ ∠ ACB=∠ PAB, ………………5 分 又由∠ P=∠ P, ∴ △ PAB∽ △ PCA,∴

AB PB 5 1 ? ? ? AC PA 10 2

………7 分

设 AB=k,AC=2k, ∵ BC 为⊙ O 的直径, ∴ AB⊥ AC∴BC ?

k 2 ? ( 2 k ) 2 ? 5k

………………8 分 ………………10 分

∴ sin∠ BAP=sin∠ ACB= 23. 解:(Ⅰ )

AB k 5 ? ? BC 5 5k
2 2 2

圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4 ? x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ,…2 分
2

又 x ? y ? ? ,x ? ?c o? s, y ? ?s i n ?
2 2 2 2

……………4 分

∴ 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2? cos? ? 2? sin ? ? 2 ? 0 ……………… 5 分 (Ⅱ )因为点 Q 的极坐标为 (2 2 , ? ) ,所以点 Q 的直角坐标为(2,-2)……7 分

7 4

11

则点 Q 在圆 C 内,所以当直线 l ⊥ CQ 时,MN 的长度最小 又圆心 C(1,-1) ,∴k CQ ? 直线 l 的斜率 k ? 1 ∴ 直线 l 的方程为 y ? 2 ? x ? 2 ,即 x ? y ? 4 ? 0

? 2 ? (?1) ? ?1 , 2 ?1
……………………… 9 分 ……………………10 分

24. 解:(Ⅰ )由题意得 f ( x) ? 2 ,得 x ? 3 ? 7 ∴ ? 7 ? x ? 3 ? 7 ? ?4 ? x ? 10 所以 x 的取值范围是 [ ?4,10] 。 (Ⅱ ) 因为 f ( x) ? g ( x) ? m ? 3 有解 所以 x ? 3 ? x ? 2 ? m 有解

……………………… 2 分 ………………………4 分 ……………………… 5 分 ………………………7 分 ………………………9 分

? x ? 3 ? x ? 2 ? ( x ? 3) ? ( x ? 2) ? 5
∴? 5 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 5 所以 m ? 5 ,即 m 的取值范围是 (??,5] 。

……………………… 10 分

12



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吉林省延边州2014届高三下学期质量检测(数学文)(解析版)

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