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2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:3.1 数列的概念


第三章

数 列

2014高考导航
考纲解读

1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推
公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列 的前几项. 2.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项 和公式,并能解决简单的实际问题. 3.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项

公式与前n项 和公式,并能解决简单的实际问题.

§3.1 数列的概念

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.数列的概念 按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每一个数叫做这 项 .数列可以看作一个定义域为正整数集 N*( 或它 个数列的 ____

的有限子集{1,2,3,?,n})的函数,当自变量从小到大依次取 函数值 .它的图象是______________ 一群孤立的点. 值时对应的一列________
数列{an}的第n项an与项数n的关系若能用一个公式an=f(n)给 通项公式 . 出,则这个公式叫做这个数列的__________

2.数列的性质 (1)有界性:若存在正数A,使得|an|≤A,则称数列{an}是 有界数列. (2)单调性
*) a > a ( n ∈ N n+ 1 n 递增数列:数列{an}中,恒有__________________ ; *) a < a ( n ∈ N n + 1 n 递减数列:数列{a }中,恒有__________________; n

an>an+1 有时an<an+1(n∈N*); 摆动数列:数列{an}中,有时________, an=an+1(n∈N*) . 常数列:数列{an}中,恒有__________________

(3)周期性:若存在正整数k,使得an+k=an,则{an}是周期数
列,且周期为k.

3.数列的前 n 项和 数列的前 n 项和 Sn= a1+a2+?+an,且下列关系成立
? ? n= 1? ?S1 an=? ? ?Sn- Sn-1 ? n≥2? .

4.递推公式 如果已知数列 {an}的第 1 项(或前几项 ),且任一项 an 与它的前 一项 an-1(或前几项 )间的关系可以用一个公式来表示,那么这

递推 个公式就叫做这个数列的 _________ 公式.

思考探究 1.{an}与an有何关系? 提示:{an}与an是两个不同的概念,{an}表示数列a1,a2,a3, ?,an,?,而an只表示数列{an}中的第n项.

2.一个数列的通项公式是否唯一?
提示:不一定,有的数列通项公式唯一,有的数列有多个通 项公式,有的数列没有通项公式.

课前热身
3 8 15 24 1. (教材改编 )数列 , - , , - , ?的一个通项公式是 ( 2 3 4 5 n2- 1 A. an= n ? n+ 1?2-1 B.an= n+ 1 2 n n+ 1 + 2n C. an= (- 1) n+ 1 2 ? n + 1 ? -1 n D. an= (- 1) n+ 1 答案:C )

n * 2.已知 a0= 1,a1= 3,a2 - a · a = ( - 1) ( n ∈ N ),则 a3 等 - + n n 1 n 1

于( A. 33 C. 17

) B.21 D. 10

答案:A

3.(2011· 高考江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm

=Sn+m,且a1=1,那么a10=(
A.1 C.10 ∴S1=1. 可令m=1,得Sn+1=Sn+1, ∴Sn+1-Sn=1. 即当n≥1时,an+1=1,∴a10=1. B.9 D.55

)

解析:选A.∵Sn+Sm=Sn+m,且a1=1,

4.如果数列{an}的前n项和为Sn=2n2+1,则an=__________.

? ? n=1? ?3 答案:? ?4n- 2 ? n≥ 2? ?

5.在数列{an}中,a1=1,a2 n- an+1-1=0,则此数列的前 2 014 项之和为________.

答案:-1 005

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 由数列的前几项写数列的通项公式 据所给数列的前几项求其通项公式时, 需仔细观察分析,抓 住以下几方面的特征: (1)分式中分子、分母的特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后的特征; (4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.

例1

根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:

(1)0.8,0.88,0.888,?; 1 1 5 13 29 61 (2) , ,- , ,- , ,?; 2 4 8 16 32 64 3 7 9 (3) , 1, , ,?; 2 10 17 (4)0,1,0,1,? .

【思路分析】

1 (1)循环数借助于 1- n来解决. 10
+1

(2)正负号交叉用(-1)n 或 (-1)n 奇偶交错.

来调节,这是因为 n 和 n+ 1

(3)分式形式的数列,分子找通项,分母找通项,要充分借助分 子、分母的关系. (4)对于比较复杂的通项公式,要借助于等差数列、等比数列和 其他方法解决.

8 8 8 【解】 (1)将数列变形为 (1- 0.1), (1- 0.01), (1- 0.001), ?, 9 9 9 8 1 ∴ an= (1- n). 9 10 (2)各项的分母分别为 21,22,23,24,?,易看出第 2,3,4 项的分子 2 -3 分别比分母少 3.因此把第 1 项变为- ,至此原数列已化为 2 21-3 22-3 23-3 24-3 - 1 , 2 ,- 3 , 4 ,?, 2 2 2 2 n 2 -3 n ∴ an= (- 1) · n . 2

3 5 7 9 (3)将数列统一为 , , , ,?,对于分子 3,5,7,9,?是序 2 5 10 17 号的 2 倍加 1,可得分子的通项公式为 bn= 2n+ 1, 对于分母 2,5,10,17,?联想到数列 1,4,9,16,?,即数列 {n2}, 可得分母的通项公式为 cn= n2+ 1, 2n+ 1 ∴可得它的一个通项公式为 an= 2 . n +1 ? ?0 ? n为奇数? 1 1 1 1 (4)an=? ,又 0= - , 1= + , 2 2 2 2 ?1 ? n为偶数? ? 1+?-1? n ∴也可为 an= . 2 若考虑到三角函数的特征,此数列的通项公式也可以写为 an= 1+ cos nπ 2? n+ 1? π sin 或 an= (n∈ N*). 2 2

【领悟归纳】

(1)借助 (- 1)n 或(-1)n

+1

来解决项的符号问题.

(2)当项为分式时,可进行恰当的变形,寻找分子、分母各自的 规律以及分子、分母间的关系. (3)对较复杂的数列通项公式的探求,可借助熟知的数列,如 1 {n }, { }, {2n}, {(- 1)n}等以及等差数列、等比数列和其他方 n
2

法来解决.

考点2

由数列递推关系求通项公式

已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大致分两类: 一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式,然后用数学 归纳法证明;另一类是将已知递推关系式,用代数的一些变 形技巧整理变形,然后采用累差法、累乘法、迭代法、换元

法或转化为基本数列(等差或等比数列)等方法求得通项.

例2 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式.
n- 1 (1)a1=1, an= an- 1(n≥ 2); n (2)Sn= 3n- 2.

【思路分析】

(1)转化后利用累乘法求解.

(2)利用an=Sn-Sn-1(n≥2).

n- 1 【解】 (1)∵ an= an- 1(n≥2), n n- 2 1 ∴ an- 1= a - ,? a2= a1.以上(n- 1)个式子相乘得 2 n- 1 n 2 n- 1 a1 1 12 an=a1··· ?· = = . 23 n n n (2)∵ Sn=3n- 2, ∴当 n= 1 时,a1= S1=1; - - 当 n≥ 2 时,an= Sn- Sn- 1=3n-2- (3n 1-2)= 2× 3n 1. 显然 n= 1 时不适合上式.
? ?1 ∴ an=? - ?2×3n 1 ?

? n= 1?, ? n≥ 2,且 n∈ N*? .

【误区警示】

an 与 Sn 的关系式 an = Sn - Sn - 1 的使用条件是

n≥2,求an时切勿漏掉n=1的情况.

跟踪训练
求下列通项公式: (1)a1=1, an= an- 1+ n- 1(n≥ 2); 1 3 n+ 1 (2)Sn= × 3 - . 2 2

解:(1)由 an-an-1= n- 1(n≥2), 可得 a2- a1= 1,a3- a2= 2,a4- a3= 3,? an-an-1= n- 1, 以上 n- 1 个等式相加得 an-a1= 1+ 2+ 3+?+(n-1), n? n- 1? ∴ an= 1+ (n∈ N*). 2 1 3 n+1 (2)∵ Sn= ×3 - , 2 2 1 3 当 n= 1 时, S1=a1= × 9- = 3. 2 2 1 3 1 3 n+ 1 n 当 n≥ 2 时,an= Sn- Sn- 1= × 3 - - ( × 3 - )=3n,适合 2 2 2 2 n= 1. ∴ an= 3n.

考点3

数列的性质

数列可看成自变量为 N*(或其有限子集 {1,2,?, n})的函数, 函数的某些性质如单调性、最值等,数列同样适用.
2 2n- 2 2 n- 1 例3 若数列{an}的通项公式为 an=5· ( ) -4· ( ) , 数列的 5 5 最大项为第 x 项,最小项为第 y 项,求 x+y 的值.
2 2n-2 2 n- 1 【思路分析】 观察到( ) 与( ) 是平方关系,故考虑结 5 5 合二次函数的知识解决问题.

2 2n- 2 2 n -1 2 n- 1 2 2 n -1 【解】 ∵ an= 5· ( ) - 4· ( ) =5· [( ) ] - 4· ( ) , 5 5 5 5 2 n- 1 ∴设 t= ( ) , 5 22 4 2 ∵ n-1≥0,∴0<t≤ 1.∴ an= 5t -4t=5(t- ) - , 5 5 2 4 2 ∴当 t= 时,5t - 4t 有最小值- , 5 5 2 n-1 2 此时, t= ( ) = , n=2∈ N*, 5 5 当 t= 1 时, 5t2- 4t 有最大值. 2 n-1 此时, t= ( ) =1, n= 1∈ N*, 5 ∴ x= 1, y= 2, x+ y= 3.

【思维总结】

由于数列可以视为一类特殊的函数,所以在

研究数列问题时,可以借助研究函数的许多方法进行求

解.本题正是利用了换元的思想,将数列的项的最值问题转
化为二次函数的最值问题,但必须注意的是,数列中的项, 即n的值只能取正整数,从而换元后变量t的取值范围也相应地 被限制.

方法感悟
方法技巧
1.已知递推关系求通项 这类问题要求不高,主要掌握由 a1 和递推关系先求出前几项, 再归纳、猜想 an 的方法,以及“化归法”、“累加法”等. 常见的解题规律有: (1)an-an- 1= f(n)满足一定规律时,可有 an=(an- an-1)+ (an- 1- an-2)+?+ (a2- a1)+ a1.

an (2) = g(n)满足一定条件时,可有. an-1 an an-1 a2 an= · · ?· · a. a1 1 an-1 an-2 (3){an}为周期数列,则周期为 T(T 为正整数 )时, an= an+ T,可 将 an 转化为 a1,a2,?,aT 处理. 2.数列是特殊的函数,研究数列性质时,可借用函数的性质.

失误防范
1.数列中项的有序性是数列定义的灵魂,要注意辨析数列的 项和数集中元素的异同.数列可看作是一个定义域为正整数 集或它的有限子集{1,2,…,n}的函数,因此在研究数列问题 时,既要注意函数方法的普遍性,又要注意数列方法的特殊

性.切记,两者不能混为一谈.
2.数列由Sn求an时,要注意检验n=1的情况是否适合 an=Sn-Sn-1;a1由S1来求,不能由an=Sn-Sn-1来求.

考向瞭望把脉高考
命题预测
数列的概念在高考试题中很少独立命题,但是,数列的递推 关系、归纳、猜想的数学推理思想会渗透在数列的试题之中,

如猜想通项公式、单调性、周期性,进一步求数列中的某些
项或和,近几年的高考中,涉及到数学史中的一些数列(数阵) 等,多数都用到Sn与an的递推关系.

2012年的高考中,上海卷是由递推关系结合周期性求特
定项的和. 预测2014年的高考中,以递推归纳为主,出现新的递推模型, 考查数列的性质及计算.

典例透析
2 ?n? ? ? 例 (2011· ? 高考浙江卷)若数列 n? n+4? 3 ? 中的最大项是第 ? ?
? ?

k 项,则 k=________.

【解析】

由题意知

2 ?k 2 ?k- 1 ? ? ?k?k+4??3 ? ≥?k-1??k+3??3? ,

? 2? 2? ? ? ?k?k+4??3 ? ≥?k+1??k+5??3?
k

k+ 1



解得 10≤k≤1+ 10.∵ k∈ N*,∴ k= 4.

【答案】

4

【名师点评】

? ?ak≥ak- 1 本题只要理解数列的最大项满足? , ? ?ak≥ak+ 1

列出不等式组求解即可,该题给出了数列特殊项的求法, 难度较大.

知能演练轻松闯关

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