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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题10


阶段性测试题十(统计与概率)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每 小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(文)某学校进行问卷调查,将全校 4200 名同学分为 100 组, 每组 42 人按 1~42 随机编号,每组的第 34 号同学参与调查,这种抽 样方法是( ) B.分层抽样 D.分组抽样

A.简单随机抽样 C.系统抽样 [答案] C

(理)(2013· 郑州质量预测)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1, σ2), P(ξ≤4)=0.84,则 P(ξ≤-2)=( A.0.16 C.0.68 [答案] A [解析] 因为 ξ 服从正态分布 N(1,σ2),所以 P(ξ≤4)=P(ξ≥- 2)=0.84,故 P(ξ≤-2)=1-P(ξ≥-2)=1-0.84=0.16. 2.(2014· 武汉市调研)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生 在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) ) B.0.32 D.0.84

已知甲组数据的平均数为 17,乙组数据的中位数为 17,则 x,y 的值分别为( A.2,6 C.3,6 [答案] D [ 解析 ] x= 17×5- (9+ 12+ 10+ 27+ 24)= 3,∵ 15<10 + y<18 ) B.2,7 D.3,7

且中位数为 17,∴y=7,故选 D. 3.(文)(2014· 银川九中一模)从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任 取 3 个球,则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是( 1 A.10 3 C.5 [答案] D [解析] 将 3 个红球记作 A、B、C,2 个白球记作 D、E,从中任 取 3 个球,不同的取法有(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A, C,D),(A,C,E),(A,D,E),(B,C,D),(B,C,E),(B,D, E),(C,D,E),共 10 种,其中所取 3 个球全是红球的只有 1 种,∴ 1 9 所求概率 P=1-10=10,故选 D. 3 B.10 9 D.10 )

(理)(2014· 合肥八中联考)将 4 个颜色互不相同的球全部收入编号 为 1 和 2 的两个盒子里, 使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒 子的编号,则不同的放球方法有( A.10 种 C.36 种 [答案] A [解析] 根据 2 号盒子里放球的个数分类:第一类,2 号盒子里
3 放 2 个球,有 C2 4种放法,第二类,2 号盒子里放 3 个球,有 C4种放 3 法,剩下的小球放入 1 号盒中,共有不同放球方法 C2 4+C4=10 种.

) B.20 种 D.52 种

4.(文)(2014· 华安、连城、永安、漳平、泉港一中,龙海二中六 校联考)设函数 f(x)=-x+2,x∈[-5,5].若从区间[-5,5]内随机选 取一个实数 x0,则所选取的实数 x0 满足 f(x0)≤0 的概率为( A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.2 [答案] C [解析] 令 f(x0)≤0 得 x0≥2,∴所求概率 P= 选 C. (理)(2014· 成都七中模拟)已知 f(x)、g(x)都是定义在 R 上的函数, f ?x ? f?1? f?-1? 5 g(x)≠0,f ′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0, =ax, + = ,则关 g ?x ? g?1? g?-1? 2 5 于 x 的方程 abx2 + 2 x + 2 = 0(b ∈ (0,1)) 有两个不同实根的概率为 ( ) 3 2 A.5 B.5 1 1 C.5 D.2 5-2 =0.3,故 5-?-5? )

[答案] B [解析] 令 h(x)= f ′?x?g?x?-f?x?g′?x? f ?x ? =ax,则 h′(x)= <0, g ?x ? [g?x?]2 f?1? f?-1? 5 1 5 1 + =2,∴a+a=2,∴a=2. g?1? g?-1?

∴h(x)是减函数,∴0<a<1.又

2 2 由 Δ>0 得 b<5.又 b∈(0,1),由几何概型概率公式得:p=5,选 B. 5.(文)(2014· 华安、连城、永安、漳平、泉港一中,龙海二中六 校联考)如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上,七位评 委为某选手打出的分数的茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低分 后,所剩数据的平均数和方差分别为( )

A.84,4.8 B.84,1.6 C.85,4 D.85,1.6 [答案] D [解析] 去掉最高分 93 分和最低分 79 后, 所剩数据的平均分为: 1 1 - x =80+5(4×3+6+7)=85, 方差为: S2=5[(85-84)2×3+(85-86)2 +(85-87)2]=1.6. (理)(2014· 长安一中质检)用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重 复数字的三位数的个数为( A.243 B.252 C.261 D.279 [答案] B )

[解析] 有两个重复数字时,①含 2 个 0,有 9 种,②含 1 个 0,0
1 1 1 1 不能排在百位,∴有 C1 2C9=18 种;③不含 0,有 C9C3C8=216 种(或 1 1 C2 9C2C3=216 种);

有三个重复数字时,有 C1 9=9 种,∴共有含重复数字的三位数 9 +18+216+9=252 个,故选 B. 6.(2014· 湖南益阳市箴言中学模拟)四名同学根据各自的样本数 据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到 以下四个结论: ①y 与 x 负相关且^ y=2.347x-6.423; ② y 与 x 负相关且^ y=-3.476x+5.648; ③y 与 x 正相关且^ y=5.437x+8.493; ④y 与 x 正相关且^ y=-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( A.①② B.②③ C.③④ D.①④ [答案] D ^x+a ^中, [解析] y 与 x 正(或负)相关时,线性回归直线方程 y=b ^>0(或b ^<0),故①④错. x 的系数b 7.(2014· 北京市海淀区期末)为了估计某水池中鱼的尾数,先从 水池中捕出 2000 尾鱼,并给每尾鱼做上标记(不影响存活),然后放 回水池,经过适当的时间,再从水池中捕出 500 尾鱼,其中有标记的 鱼为 40 尾,根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为( A.10000 B.20000 C.25000 D.30000 ) )

[答案] C [ 解析 ] 2000 设估计该水池中鱼的尾数为 n,根据题意可得 n =

40 500,解得 n=25000.故 C 正确. 8. (文)(2014· 长沙市重点中学月考)已知正方形 ABCD 的边长为 2, H 是边 DA 的中点. 在正方形 ABCD 内部随机取一点 P, 则满足|PH|< 2 的概率为( π A.8 π C.4 [答案] B [解析] ) π 1 B.8+4 π 1 D.4+4

取 AB 的中点 E, ∵正方形边长为 2,H 为 AD 的中点,∴HE= 2,以 H 为圆心, HE 为半径画弧交 CD 于 F,当点 P 落在扇形 HEF 和△AHE、△DHF 内时,|PH|< 2.这是面积型几何概型, ∴所求概率 1 1 2×?2×1×1?+4×π·? 2?2 π+2 P= = 8 ,故选 B. 2×2 (理)(2014· 广东执信中学期中)在区间[-π,π]内随机取两个数分 别记为 a, b, 则使得函数 f(x)=x2+2ax-b2+π2 有零点的概率为( )

π A.1-8 π C.1-2 [答案] B [ 解析 ]

π B.1-4 3π D.1- 4

∵ f(x) 有零点,∴ Δ = (2a)2 - 4( - b2 + π2)≥0 ,∴ a2 +

b2≥π2,∵a,b∈[-π,π], 4π2-π·π2 π ∴所求概率 P= 4π2 =1-4,故选 B. 9.(2014· 云南景洪市一中期末)通过随机询问 110 名性别不同的 大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计
2

女 20 30 50

合计 60 50 110

40 20 60

n?ad-bc?2 由K = ,得 ?a+b??c+d??a+c??b+d? 110×?40×30-20×20?2 K= ≈7.8. 60×50×60×50
2

附表: P(K2≥k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 ) 0.001 10.828

参照附表,得到的正确的结论是(

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动 与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动 与性别无关”

C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] C 10.(文)(2014· 宝鸡市质检)定义函数 y=f(x),x∈D,若存在常数 f?x1?+f?x2? c,对任意 x1∈D,存在唯一 x2∈D 的,使得 =c,则称函数 2 f(x)在 D 上的均值为 c,已知 f(x)=lgx,x∈[10,100],则函数 f(x)=lgx 在 x∈[10,100]上的均值为( 3 A.2 7 C.10 [答案] A [解析] 根据定义,函数 y=f(x),x∈D,若存在常数 c,对任意 f?x1?+f?x2? 的 x1∈D,存在唯一的 x2∈D,使得 =c,则称函数 f(x)在 D 2 上的均值为 c,令 x1x2=10×100=1000,当 x1∈[10,100]时,选定 x2 1000 lg?x1x2? 3 = x ∈[10,100]可得:c= 2 =2,故选 A. 1 (理)(2014· 开滦二中期中)二项式(x2+ 是( ) A.第 10 项 C.第 8 项 [答案] B 2 5r 5r [解析] 通项 Tr+1=Cr (x2)10-r· ( )r=2r· Cr 令 20 - 10· 10x20- , 2 2= x 0 得 r=8,∴常数项为第 9 项. B.第 9 项 D.第 7 项 2 10 ) 的展开式中的常数项 x ) 3 B.4 D.10

11.(2014· 安徽示范高中联考)给出下列五个命题: ①将 A、B、C 三种个体按 3:1:2 的比例分层抽样调查,如果抽取 的 A 个体为 9 个,则样本容量为 30; ②一组数据 1,2,3,3,4,5 的平均数、众数、中位数都相同; ③甲组数据的方差为 5,乙组数据为 5,6,9,10,5,那么这两组数据 中比较稳定的是甲; ④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为 y=1- 2x,则 x 每增加 1 个单位,y 平均减少 2 个单位; ⑤ 统 计 的 10 个 样 本 数 据 为

125,120,122,105,130,114,116,95,120,134, 则样本数据落在[114.5,124.5) 内的频率为 0.4. 其中真命题为( )

A.①②④ B.②④⑤ C.②③④ D.③④⑤ [答案] B 3 [解析] ①样本容量为 9÷ 6=18,①是假命题;②数据 1,2,3,3,4,5 1 的平均数为6(1+2+3+3+4+5)=3,中位数为 3,众数为 3,都相 同,②是真命题;③- x 乙= 5+6+9+10+5 1 2 2 = 7 , s 乙= [(5-7) +(6- 5 5

1 7)2 + (9 - 7)2 + (10 - 7)2 + (5 - 7)2] = 5 ×(4 + 1 + 4 + 9 + 4) = 4.4 ,∵
2 s甲 >s 2 ∴乙稳定, ③是假命题; ④是真命题; ⑤数据落在[114.5,124.5) 乙,

4 内的有:120,122,116,120 共 4 个,故所求概率为10=0.4,⑤是真命 题. 12.已知 x,y 的取值如下表:

x y

0 2.2

1 4.3

3 4.8

4 6.7

^,则a ^= 从所得的散点图分析,y 与 x 线性相关,且^ y=0.95x+a ( ) A.2.5 B.2.6 C.2.7 D.2.8 [答案] B [解析] - x =2,- y =4.5, ∵回归直线过样本点中心(2,4.5), ^, ∴4.5=0.95×2+a ^=2.6,故选 B. ∴a 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确 答案填在题中横线上.) 13.(文)(2014· 佛山市质检)一个总体分为甲、乙两层,用分层抽 样方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本.已知乙层中每个个体被 1 抽到的概率都为9,则总体中的个体数为________. [答案] 180 [解析] 因为分层抽样中每个个体被抽到的概率相等,故总体中 1 的个体数为 20÷ 9=180. (理)(2014· 长沙市重点中学月考)从某 500 件产品中随机抽取 50 件进行质检,利用随机数表法抽取样本时,先将这 500 件产品按 001,002,003,?,500 进行编号.如果从随机数表第 7 行第 4 列的数 2 开始,从左往右读数,则依次抽取的第 4 个个体的编号是

________.(下面摘录了随机数表第 6 行至第 8 行各数) 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 72 06 50 25 83 42 16 33 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 [答案] 206 [解析] 按规定的读数方法,依次读取的数是:

217,157,245,217,206,?,由于重复的数字应只保留 1 个,故读取的 第 4 个个体的编号为 206. x+y<4 ?? ? ? 14. (文)(2014· 海南省文昌市检测)在区域 M=(x, y) ?y>x ?? ??x>0 内撒一粒豆子,落在区域 N = {(x , y)|x2 + (y - 2)2≤2} 内的概率为 ________. π [答案] 4 [解析] ∵⊙C:x2+(y-2)2=2 的圆心 C(0,2)与直线 y=x 和 x+ y=4 都相切. ∴区域 M 中落在区域 N 内的部分为半圆.

? ?y=x, 1 由? 得 A(2,2),∴S△OAB=2×4×2=4, ?x+y=4, ?

π 又 S 半圆=π,∴所求概率 P=4. (理)(2014· 浙江省五校联考)若对任意的实数 x,有 x4=a0+a1(x+ 2)+a2(x+2)2+a3(x+2)3+a4(x+2)4,则 a3 的值为________. [答案] -2 [解析] ∵x4=[(x+2)-2]4=(x+2)4-2(x+2)3+4(x+2)2-8(x+ 2)+16,∴a3=-2. 15. (2014· 安徽示范高中联考)在三棱锥 P-ABC 中, 任取两条棱, 则这两条棱异面的概率是________. 1 [答案] 5 [解析] 三棱锥中两条相对的棱所在直线是异面直线, 共有 3 对, 从 6 条棱中任取两条,可知有 15 种取法,∴取到两条棱异面的概率 3 1 P=15=5. 16.(文)(2014· 北京朝阳区期末)某校为了解高一学生寒假期间的 阅读情况,抽查并统计了 100 名学生的某一周阅读时间,绘制了频率 分布直方图(如图所示),那么这 100 名学生中阅读时间在[4,8)小时内 的人数为________.

[答案] 54 [解析] 这 100 名 学 生 中 阅 读 时 间 在 [4,8) 小 时 内 的 人 数 为

100×[(0.12+0.15)×2]=54. (理)(2014· 浙北名校联盟联考)一袋中装有分别标记着 1,2,3 数字 的 3 个小球, 每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同), 现连续取 3 次球,若每次取出一个球后放回袋中,记 3 次取出的球中 标号最小的数字与最大的数字分别为 X,Y,设 ξ=Y-X,则 E(ξ)= ________. 4 [答案] 3 [解析] 由题意知 ξ 的取值为 0,1,2,ξ=0,表示 X=Y,ξ=1 表 示 X=1,Y=2;或 X=2,Y=3;ξ=2 表示 X=1,Y=3. 2×2×3 4 3 1 ∴P(ξ=0)=33=9,P(ξ=1)= 33 =9, 2×3+A3 4 3 P(ξ=2)= = 3 3 9, 1 4 4 4 ∴E(ξ)=0×9+1×9+2×9=3. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)(2014· 海南省文昌市检测)某水泥厂甲、 乙 两个车间包装水泥, 在自动包装传送带上每隔 30 分钟抽取一包产品, 称其重量,分别记录抽查数据如下: 甲:102,101,99,98,103,98,99 乙:110,115,90,85,75,115,110 (1)画出这两组数据的茎叶图; (2)求出这两组数据的平均值和方差(用分数表示);并说明哪个车

间的产品较稳定. (3) 从 甲 中 任 取 一 个 数 据 x(x≥100) , 从 乙 中 任 取 一 个 数 据 y(y<100),求满足条件|x-y|≤20 的概率. [解析] (1)茎叶图如图:

1 (2)- x 甲=7(102+101+99+98+103+98+99)=100; 1 - x 乙=7(110+115+90+85+75+115+110)=100; 1 24 S2 甲= (4+1+1+4+9+4+1)= 7 7; 1 1600 S2 乙= (100+225+100+225+625+225+100)= 7 7 ,
2 ∵S甲 <S2 乙,故甲车间产品比较稳定.

(3)所有可能的情况有:(102,90),(102,85),(102,75),(101,90), (101,85),(101,75),(103,90),(103,85),(103,75),不满足条件的有: 3 2 (102,75),(101,75),(103,75),所以 P(|x-y|≤20)=1-9=3. 18.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 广东执信中学期中)某校高三文 科分为五个班.高三数学测试后,随机地在各班抽取部分学生进行成 绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽 取了 18 人.抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条 形图如图所示, 其中 120~130(包括 120 分但不包括 130 分)的频率为

0.05,此分数段的人数为 5 人.

(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)在抽取的所有学生中,任取一名学生,求分数不小于 90 分的 概率. [解析] 人. ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为 d, 由 5×18+10d=100,解得 d=1. ∴各班被抽取的学生人数分别是 18 人,19 人,20 人,21 人, 22 人. (2)在抽取的学生中,任取一名学生,则分数不小于 90 分的频率 为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. 用频率作为概率的估计值知所求概率约为 0.75. (理)(2014· 抚顺二中期中)在某校高三学生的数学校本课程选课过 程中,规定每位同学只能选一个科目.已知某班第一小组与第二小组 各有六位同学选择科目甲或科目乙,选课情况如下表: 科目甲 第一小组 第二小组 1 2 科目乙 5 4 总计 6 6 5 (1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为 0.05=100

总计

3

9

12

现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况. (1)求选出的 4 人均选科目乙的概率; (2)设 ξ 为选出的 4 个人中选科目甲的人数, 求 ξ 的分布列和数学 期望. [解析] (1)设“从第一小组选出的 2 人选科目乙”为事件 A, “从第二小组选出的 2 人选科目乙”为事件 B.由于事件 A、B 相 互独立, C2 2 C2 2 5 4 且 P(A)=C2=3,P(B)=C2=5, 6 6 所以选出的 4 人均选科目乙的概率为 2 2 4 P(A· B)=P(A)· P(B)=3×5=15. (2)由条件知 ξ 可能的取值为 0,1,2,3.
1 1 1 2 4 C2 C5 C4 22 C1 5 C2C4 5 1 P(ξ=0)=15,P(ξ=1)=C2·C2 +C2· , P ( ξ = 3) = · 2= 2= 45 C2 6 6 6 C6 6 C6

1 2 , P ( ξ = 2) = 1 - P ( ξ = 0) - P ( ξ = 1) - P ( ξ = 3) = 45 9, ξ 的分布列为: ξ P 0 4 15 1 22 45 2 2 9 3 1 45

4 22 2 1 ∴ξ 的数学期望 E(ξ)=0×15+1×45+2×9+3×45=1. 19.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 抚顺市六校联合体期中)用分层 抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组, 有 关数据见下表:(单位:人)

(1)求 x,y; (2)若从高二、高三年级抽取的人中选 2 人,求这二人都来自高 二年级的概率. x y 2 [解析] (1)由题意可得99=27=18,所以 x=11,y=3. (2)记从高二年级抽取的 3 人为 b1,b2,b3,从高三年级抽取的 2 人为 c1,c2, 则从这两个年级中抽取的 5 人中选 2 人的基本事件有:(b1,b2), (b1,b3),(b1,c1),(b1,c2),(b2,b3),(b2,c1),(b2,c2),(b3,c1), (b3,c2),(c1,c2)共 10 种, 设选中的 2 人都来自高二的事件为 A, 则 A 包含的基本事件有:(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共 3 种. 3 因此 P(A)=10=0.3. 故选中的 2 人都来自高二的概率为 0.3. (理)(2014· 泸州市一诊)在一次数学统考后, 某班随机抽取 10 名同 学的成绩进行样本分析,获得成绩数据的茎叶图如下.

(1)计算样本的平均成绩及方差; (2)现从 10 个样本中随机抽出 2 名学生的成绩,设选出学生的分 数为 90 分以上的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和均值. [解析] (1)样本的平均成绩 92+98×2+85×2+74×3+60×2 - x= =80, 10 1 方 差 s2 = 10 [(92 - 80)2 + (98 - 80)2×2 + (85 - 80)2×2 + (74 - 80)2×3+(60-80)2×2]=175. (2)由题意知选出学生的分数为 90 分以上的人数为 ξ,得到随机 变量 ξ=0,1,2.
1 1 2 C2 7 C3 C7 7 C3 1 7 P(ξ=0)=C2 =15,P(ξ=1)= C2 =15,P(ξ=2)=C2 =15, 10 10 10

分布列为: ξ P 0 7 15 1 7 15 2 1 15

7 7 1 3 E(ξ)=0×15+1×15+2×15=5. 20.(本小题满分 12 分)(文)(2013· 沈阳联考)某电脑公司有 6 名产 品推销员,其工作年限与年推销金额的数据如下表:

推销员编号 工作年限 x/年 推销金额 y/万元

1 3 2

2 5 3

3 6 3

4 7 4

5 9 5

(1)以工作年限为自变量,推销金额为因变量 y,作出散点图; (2)求年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程; (3)若第 6 名推销员的工作年限为 11 年, 试估计他的年推销金额. [解析] (1)依题意,画出散点图如图所示,

(2)从散点图可以看出,这些点大致在一条直线附近,设所求的 ^ x +a ^. 线性回归方程为^ y=b x ??yi-- y? ? ?xi-- ^= 则b
i= 1 5

x ?2 ? ?xi--
i=1

5

10 ^=- ^- =20=0.5,a y -b x =0.4,

∴年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程为^ y=0.5x+0.4. (3)由(2)可知,当 x=11 时, ^ y=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元). ∴可以估计第 6 名推销员的年销售金额为 5.9 万元. (理)(2014· 河南淇县一中模拟)设 ξ 为随机变量,从棱长为 1 的正 方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行

时,ξ 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1. (1)求概率 P(ξ=0); (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ). [解析] (1)若两条棱相交, 则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个, 过任意 1 个顶点恰有 3 条棱,所以共有 8C2 3对相交棱,因此 P(ξ=0) 8C2 24 4 3 = C2 =66=11. 12 (2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2,其中距离为 2的共 6 1 有 6 对,故 P(ξ= 2)=C2 =11, 12 于是 P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ= 2) 4 1 6 =1-11-11=11, 所以随机变量 ξ 的分布列是 ξ P 0 4 11 1 6 11 2 1 11

6 1 6+ 2 因此 E(ξ)=1×11+ 2×11= 11 . 21.(本小题满分 12 分)(文)(2014· 绵阳市南山中学检测)某校从参 加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整 数)分成六组[90,100),[100,110),?,[140,150]后得到如下部分频率 分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:

(1)求分数在[120,130)内的频率; (2)若在同一组数据中, 将该组区间的中点值(如: 组区间[100,110) 100+110 的中点值为 =105.)作为这组数据的平均分,据此,估计本次 2 考试的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数段为 [110,130)的学生中抽取一个容 量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取 2 个,求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率. [解析] (1)分数在[120,130)内的频率为:1-(0.1+0.15+0.15+

0.25+0.05)=1-0.7=0.3. (2)估计平均分为- x =95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3 +135×0.25+145×0.05=121. (3)由题意, [110,120)分数段的人数为 60×0.15=9(人), [120,130) 分数段的人数为 60×0.3=18(人). ∵用分层抽样的方法在分数段为 [110,130) 的学生中抽取一个容 量为 6 的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取 2 人,并分别记为 m,n; 在[120,130)分数段内抽取 4 人并分别记为 a,b,c,d; 设“从样本中任取 2 人, 至多有 1 人在分数段[120,130)内”为事 件 A,则基本事件有:(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n, a),(n,b),(n,c),(n,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d), (c,d)共 15 种. 事件 A 包含的基本事件有:(m,n),(m,a),(m,b),(m,c), (m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n,d)共 9 种. 9 3 ∴P(A)=15=5.

(理)(2014· 保定市八校联考)某班同学利用寒假在三个小区进行了 一次生活习惯是否符合低碳观念的调查, 若生活习惯符合低碳观念的 称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,这两族人数占各自小区总 人数的比例如下: A 小区 比例 低碳族 1 2 非低碳族 1 2

B 小区 比例

低碳族 4 5

非低碳族 1 5

C 小区 比例

低碳族 2 3

非低碳族 1 3

(1)从 A,B,C 三个社区中各选一人,求恰好有 2 人是低碳族的 概率; (2)在 B 小区中随机选择 20 户,从中抽取的 3 户中“非低碳族” 数量为 X,求 X 的分布列和期望 E(X). [解析] (1)记这 3 人中恰好有 2 人是低碳族为事件 A, 1 4 1 1 1 2 1 4 2 7 P(A)=2×5×3+2×5×3+2×5×3=15, (2)在 B 小区中随机选择 20 户中,“非低碳族”有 4 户,
k 3-k C4 C16 P(X=k)= C3 ,(k=0,1,2,3), 20

X P

0 28 57

1 8 19

2 8 95

3 1 285

28 8 8 1 E(X)=0×57+1×19+2×95+3×285=0.6. 22.(本小题满分 14 分)(文)某中学对高二甲、乙两个同类班级进 行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作 用”的试验,其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练),乙班为对 比班(常规教学,无额外训练),在试验前的测试中,甲、乙两班学生 在数学应用题上的得分率基本一致,试验结束后,统计几次数学应用 题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示: 60 分 以下 甲班(人 数) 乙班(人 数) 3 61~ 70 分 6 71~ 80 分 11 81~ 90 分 18 91~ 100 分 12

4

8

13

15

10

现规定平均成绩在 80 分以上(不含 80 分)的为优秀. (1)试分析估计两个班级的优秀率; (2)由以上统计数据填写下面 2×2 列联表,并问是否有 75%的把 握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分 率”有帮助. 优秀人数 甲班 乙班 合计 参考数据: P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 非优秀人数 合计

k0 P(K2≥k0) k0

0.455 0.05 3.841

0.708 0.025 5.024

1.323 0.010 6.635

2.072 0.005 7.879

2.706 0.001 10.828

[解析] (1)由题意知,甲、乙两班均有学生 50 人, 30 甲班优秀人数为 30 人,优秀率为50=60%, 25 乙班优秀人数为 25 人,优秀率为50=50%, 所以甲、乙两班的优秀率分别为 60%和 50%. (2) 优秀人数 甲班 乙班 合计
2

非优秀人数 20 25 45

合计 50 50 100

30 25 55

100×?30×25-20×25?2 100 因为 K = = 99 ≈1.010, 50×50×55×45 所以由参考数据知,没有 75%的把握认为“加强‘语文阅读理 解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助. (理)(2014· 浙江省五校联考)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒 乓球比赛:第一局由甲、乙参加而丙轮空,以后每一局由前一局的获 胜者与轮空者进行比赛,而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一 直进行到其中一人连胜两局或打满 6 局时停止. 设在每局中参赛者胜 1 负的概率均为2,且各局胜负相互独立.求: (1)打满 4 局比赛还未停止的概率; (2)比赛停止时已打局数 ξ 的分布列与期望 E(ξ). [解析] 令 Ak,Bk,Ck 分别表示甲、乙、丙在第 k 局中获胜.

(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式 1 知, 打满 4 局比赛还未停止的概率为 P(A1C2B3A4)+P(B1C2A3B4)=24+ 1 1 24=8. (2)ξ 的所有可能值为 2,3,4,5,6,且 1 1 1 P(ξ=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=22+22=2, 1 1 1 P(ξ=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)=23+23=4. 1 1 1 P(ξ=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4)=24+24=8. 1 1 1 P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)=25+25=16. 1 1 1 P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5)=25+25=16. 故分布列为 ξ P 2 1 2 3 1 4 4 1 8 5 1 16 6 1 16

1 1 1 1 1 47 ∴E(ξ)=2×2+3×4+4×8+5×16+6×16=16.


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