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专题三 不等式与线性规划 听课手册


不等式与线性规划 a b 1.[2014· 四川卷改编] 若 a>b>0,c<d<0,比较大小 ________ . d c 2.[2015· 江苏卷] 不等式 2x2-x<4 的解集为________. 3.[2015· 天津卷] 已知 a>0,b>0,ab=8,则当 a 的值为________时,log2a·log2(2b) 取得最大

值. x y 4.[2015· 福建卷改编] 若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于 a b ________.

?x+y-2≤0, 5.[2015· 全国卷Ⅰ] 若 x,y 满足约束条件?x-2y+1≤0,则 z=3x+y 的最大值为 ?2x-y+2≥0,
________. 6.[2015· 陕西卷改编] 某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示. 如果生产 1 吨甲、 乙产品可获利润 分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为________. 甲 A(吨) B(吨) 3 1 乙 2 2 原料限额 12 8

考点一

不等关系与不等式的解法 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:不等式的解法与含参不等式

1 1 1 (1)若 < <0,给出下列不等式: a b ① 1 1 < ;②|a|+b>0; a+b ab

1 1 ③a- >b- ;④ln a2>ln b2. a b 其中正确的不等式是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ (2)对任意的实数 x,不等式(a2-1)x2+(a-1)x-1<0 都成立,则实数 a 的取值范围是 ) 3 A.- <a<1 5 3 B.- <a≤1 5 3 C.- ≤a≤1 5

(

3 D.- ≤a<1 5 [听课笔记]

[小结] 对于含参的不等式 ax2+bx+c<0 恒成立问题,往往要分类讨论,若二次项系数 含有参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再考虑二次项系数不为零的情形,求解时 要结合 a 的符号、不等号的方向以及判别式综合分析. 式题 (1)若 b<a<0,则下列不等式中正确的是( 1 1 A. > B.|a|>|b| a b b a C. + >2 D.a+b>ab a b (2)已知函数 f(x)=log2x-2log2(x+c), 其中 c>0.若对于任意的 x∈(0, +∞), 都有 f(x)≤1, 则 c 的取值范围是( 1 A.(0, ] 4 1 B.[ ,+∞) 4 1 C.(0, ] 8 1 D.[ ,+∞) 8 考点二 基本不等式及其应用 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:中等 热点:利用基本不等式求最值 1 2 (1)若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=x0 处取得最小值,则 x0=( x-2 A.1+ 2 B.1+ 3 C.4 D.3 (2)[2015· 重庆卷] 设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的最大值为________. [听课笔记] ) ) )

[小结] 利用基本不等式求最值时,一定要关注定值式,依据定值式进行变换,如题(2) 中定值式 a+b=5,这样要求 a+1+ b+3的最大值,就必须产生( a+1)2+( b+3)2 的结

构才可以使用定值式 , 于是联系相关公式求解.题 (1) 没有明确的定值式 , 其实隐含 (x - 1 2)· =1,这种隐性定值式在条件中是不会给出的,需要解题时自已确定. x-2 1 a 式题 若对任意正数 x,不等式 2 ≤ 恒成立,则实数 a 的最小值为________. x x +1 考点三 简单的线性规划问题 题型:选择、填空 分值:5 分 难度:基础 热点:目标函数的最值 考向一 不等式组表示的平面区域

?x+2y≥0, ? 3 已知 x,y∈R,不等式组?x-y≤0, 所表示的平面区域的面积为 6,则实数 k 的 ? ?0≤y≤k
值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [听课笔记]

[小结] 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判断方法是:直线定界,测试点定域;注 意不等式是否取等号,无等号时画成虚线,有等号时画成实线;当不等式组中含有参数时, 要根据参数的变化趋势确定区域的可能形状.

?x≥1, ? 式题 不等式组?x+y-4≤0,表示面积为 1 的直角三角形区域,则 k 的值为( ? ?kx-y≤0
A.-2 B.-1 C.0 D.1 考向二 简单线性函数的最值问题

)

?x+y-5≤0, 4 [2015· 全国卷Ⅱ] 若 x,y 满足约束条件?2x-y-1≥0,则 z=2x+y 的最大值为 ?x-2y+1≤0,
________. [听课笔记]

[小结] 求目标函数的最大值或最小值时,解题的突破口是必须准确作出可行域,令目 标函数等于 0,将其对应的直线平行移动,借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.

?y≥-2x, 式题 设实数 x,y 满足?y≥x, 则 z=y-4|x|的取值范围是( ?y+x≤4,
A.[-8,-6] B.[-8,4] C.[-8,0] D.[-6,0] 考向三 含参数的线性规划问题

)

?x+y≥0, ? 5 [2015· 福建卷] 变量 x, y 满足约束条件?x-2y+2≥0,若 z=2x-y 的最大值为 2, ? ?mx-y≤0.
则实数 m 等于( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 [听课笔记]

[小结] 含参数的线性规划问题,参数一般有两种形式,一是目标函数中含有参数,这 时可以准确作出可行域,一般可据最值求参;二是在约束条件中含参,可行域是动态的,要 充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理,有时还得进行分类讨论.

?x≥1, 式题 设变量 x,y 满足约束条件?x-y≤0, 若目标函数 z=ax+y 取得最大值时 ?x+y-4≤0,
最优解不唯一,则 a 的值为( A.-1 B.0 C.-1 或 1 D.1 高考易失分题 2 )

约束条件与线性目标函数中均含有参数的问题

?x+y≥a, 范例 [2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设 x,y 满足约束条件? 且 z=x+ay 的最小值 ?x-y≤-1,
为 7,则 a=( A.-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-3 )

失分分析 (1)由于约束条件中含有参数,不能大致或合理地作出可行域;(2)确定不了目 标函数对应直线在坐标系中的大致位置与倾斜方向;(3)求出不同的参数值后,不验证,或 无法确定.

?x+2y-1≥0, ? 高考预测 x,y 满足约束条件?x-y≥0, 若 z=x+ky 的最小值为-2,则 z 的最大 ? ?0≤x≤k.
值为( ) A.12 B.16 C.20 D.24

不等式与线性规划 ■ 核心知识聚焦 1 1 1 1 1.< [解析] 因为 c<d<0,所以 < <0,即- >- >0,与 a>b>0 对应相乘得,- d c d c a b a b >- >0,所以 < . d c d c 2.{x|-1<x<2}(或(-1,2)) [解析] 因为 2x2-x<4=22,所以 x2-x<2,解得-1<x<2, 故不等式的解集为(-1,2). 3.4 8 [解析] log2a·log2(2· )=log2a·(log216-log2a)=4log2a-(log2a)2,当 log2a=2, a 1 1 1 1 a b [解析] 因为 + =1,所以 a+b=(a+b)· ( + )=1+ + +1≥2+2 a b a b b a ab · =4, ba

即 a=4 时取得最大值. 4.4

当且仅当 a=b=2 时等号成立. 5.4 [解析] 作出约束条件表示的可行域如图所示,当目标函数线平移至经过可行域 的顶点 A(1,1)时,目标函数 z 取得最大值,故 zmax=3×1+1=4.

6.18 万元 [解析] 设该企业每天生产甲种产品 x 吨、乙种产品 y 吨,则 x,y 需满足 3x+2y≤12, ? ?x+2y≤8, 约束条件? 可获利润 z=3x+4y.约束条件表示的平面区域是以(0,0),(4,0), x≥0, ? ?y≥0, (2,3),(0,4)为顶点的四边形及其内部,把各顶点坐标代入检验可知,目标函数在点(2, 3)处取得最大值 3×2+4×3=18,即该企业每天可获得最大利润为 18 万元.

■ 考点考向探究 考点一 不等关系与不等式的解法

例1

1 1 (1)C (2)B [解析] (1)由 < <0, 得 b<a<0.不妨取 a=-1, b=-2, 则易知②④错误; a b

1 1 1 1 1 1 1 1 易知 <0, >0,所以①正确;因为 a-b>0, - <0,所以 a-b> - ,即 a- >b- , ab a b a b a b a+b 故③正确. (2)当 a=1 时,对任意的实数 x,-1<0 都成立,满足题意;当 a=-1 时,对任意的实 数 x,-2x-1<0 不成立,不满足题意;当 a<-1 或 a>1 时,对任意的实数 x,不等式(a2- 1)x2+(a-1)x-1<0 不成立,不满足题意;当-1<a<1 时,若对任意的实数 x,不等式(a2- 3 1)x2+(a-1)x-1<0 都成立,则应满足 Δ=(a-1)2+4(a2-1)=(a-1)(5a+3)<0?- <a<1.综 5 3 上,实数 a 的取值范围是- <a≤1. 5 变式题 (1)C (2)D [解析] (1)因为 b<a<0,所以不妨设 b=-2,a=-1,代入验证可 得 A,B,D 均不成立,故选 C. x (2)由题知不等式 ≤2 对任意 x∈(0,+∞)恒成立,即 2x2+(4c-1)x+2c2≥0 (x+c)2 对任意 x∈(0,+∞)恒成立. 4c-1 1 当- ≤0,即 c≥ 时,恒成立; 4 4 4c-1 1 1 1 1 当- >0,即 0<c< 时,只要 Δ=(4c-1)2-16c2≤0 即可,即 c≥ ,此时 ≤c< . 4 4 8 8 4 1 综上,c≥ . 8 考点二 基本不等式及其应用

例2

(1)D (2)3 2

1 1 [解析] (1)因为 x>2,所以 f(x)=x+ =x-2+ +2≥2+2 x-2 x-2

1 =4,当且仅当 x-2= ,即 x=3 时,等号成立,所以选 D. x-2 ( a+1)2+( b+3)2 (2)( a+1+ b+3)2=a+b+4+2 a+1· b+3≤9+2× =9 2

7 3 +a+b+4=18, 当且仅当 a+1=b+3 且 a+b=5, 即 a= , b= 时等号成立, 所以 a+1+ 2 2 b+3≤3 2. 变式题 1 2 1 a 1 [解析] 方法一:因为 x>0,不等式 2 ≤ 恒成立,等价于 a≥ 恒成 1 x +1 x x+ x

1 1 1 立.因为 x+ ≥2,当且仅当 x=1 时等号成立,所以 a≥ ,所以 a 的最小值为 . x 2 2 方法二:因为 x>0 , 不等式 1 a ≤ 恒成立 , 即 ax2 - x + a≥0(x>0) 恒成立 , 所以有 x2+1 x

?a>0, ? 1 1 ? 解得 a≥ ,所以 a 的最小值为 . 2 2 2 2 Δ =(- 1 ) - 4a ≤ 0 , ? ?

考点三 简单的线性规划问题

例3 B

[解析] 作出不等式组对应的平面区域.

?x+2y=0, ?x=-2k, ?x-y=0, ?x=k, 由? 解得? 即 A(-2k,k);由? 解得? 即 B(k,k). ?y=k, ?y=k, ?y=k, ?y=k,
1 ∵平面区域的面积是 6,∴ ×(3k)×k=6, 2 即 k2=4,解得 k=2 或 k=-2(舍去).

变式题 D

[解析] 当 kx-y=0 与直线 x=1 垂直时,k=0,不等式组所表示的平面区

1 9 域如图①所示,直角三角形的面积 S= ×3×3= ,不满足题意. 2 2 当 kx-y=0 与直线 x+y-4=0 垂直时, k=1, 不等式组所表示的平面区域如图②所示, 1 直角三角形的面积 S= ×(2-1)×(3-1)=1,满足题意.综上可知,k 的值为 1. 2

例 4 8 [解析] 根据约束条件作出可行域如图所示, 平移目标函数线, 当它经过点 A(3, 2)时,目标函数取得最大值,zmax=2×3+2=8.

变式题 B [解析] 满足不等式组的可行域如图所示,由题意可知 A(2,2),B(-4,8), O(0,0),直线 x+y=4 与 y 轴交点的坐标为(0,4).当 x≥0 时,z=y-4x,显然当直线 z =y-4x 经过点(0,4)时,z 取得最大值 4,经过点 A(2,2)时,z 取得最小值-6;当 x<0 时,z=y+4x,显然当直线 z=y+4x 经过点(0,4)时,z 取得最大值 4,经过点 B 时,z 取 得最小值-8.所以 z=y-4|x|的取值范围是[-8,4].

例 5 C [解析] 由约束条件可知,
?x=0, ? ①若 m∈[2,+∞),则当? 时, zmax=0(舍去); ? ?y=0

?x-2y+2=0, 1 ②若 m∈( ,2),则当? 2 ?mx-y=0,

?x=2m-1, 即? 时, z 2m y= ? 2m-1
所以 m=1;

2

max=2×

2 2m - =2, 2m-1 2m-1

1 ③若 m∈(-∞, ],则 z 无最大值(舍去). 2 变式题 D [解析] 可行域如图所示: 由于取得最大值时最优解不唯一,所以平移直线 ax+y=0,当其与直线 BC 重合时,目 标函数值最大,此时 a=1.

高考易失分题 2 范例 B [解析] 当 a<0 时,作出相应的可行域,可知目标函数 z=x+ay 不存在最小 值.

1 当 a≥0 时,作出可行域如图,易知当- >-1,即 a>1 时,目标函数在 A 点取得最 a 小值.由 A? a-1 a2+a a-1 a+1? ,知 zmin= + =7,解得 a=3 或-5(舍去). , 2 2 2 ? ? 2

高考预测

C

[ 解析 ] 由题易知 k>1. 作出不等式组对应的平面区域如图所示 , 联立

?x=k, 1-k 解得 B(k, ). ? 2 ?x+2y-1=0,
1-k 1 z 当直线 y=- x+ 过点 B(k, )时, k k 2 z 在 y 轴上的截距最小,即 最小, k 1-k 所以 k+k· =-2,解得 k=4(-1 舍去). 2 1 z 当直线 y=- x+ 过点 C(4,4)时,z=x+4y 取得最大值 20. k k

■ 教师备用例题 [备选理由] 例 1 给出了一个一元二次不等式与基本不等式结合的问题,综合考查不等 式的求解, 基本不等式求最值及不等式恒成立问题; 例 2 考查新定义下的运算及基本不等式 的应用,培养创新思维能力;例 3 是考查不等式与不等式组表示的平面区域问题,要求严格 作图;例 4 是非线性规划问题,需要利用目标函数的几何意义解题,是对线性规划问题的有 益补充;例 5 是约束条件与目标函数均含参的线性规划问题,难度较大.

例 1(配听课例 1、例 2 使用)在 R 上定义运算

:x

y=x(1-y).若对任意 x>2,不

等式(x-a)

x≤a+2 都成立,则实数 a 的取值范围是(

)

A.(-∞,-3) B.(-∞,7] C.(-∞,1] D.(-∞,1]∪[7,+∞)

[解析] B 由题知(x-a)

x=(x-a)×(1-x),所以不等式(x-a)

x≤a+2,即 x2

x2-x+2 4 -(a+1)x+2a+2≥0, 此不等式对任意 x>2 恒成立, 所以有 a≤ =(x-2)+ +3, x-2 x-2 而[(x-2)+ 4 +3]min=2 4+3=7,所以 a≤7. x-2 x2-y2 y= (x,y∈R,xy≠ xy

例 2(配听课例 2 使用)[2015· 山东卷] 定义运算“

” :x

0).当 x>0,y>0 时,x [答案] 2

y+(2y)

x 的最小值为________.

[ 解析 ] 由题意得 x

y + (2y)

x=

x2-y2 4y2-x2 2y2+x2 y x + = = + ≥2 xy 2xy 2xy x 2y

y x · = x 2y

2,当且仅当 x= 2y 时,等号成立.

?x+y-2≤0, ? 例 3(配听课例 3 使用)已知实数 x, y 满足约束条件?x-2y-2≤0,若 y-mx≤2 恒成立, ? ?2x-y+2≥0.

则实数 m 的取值范围为________. [答案] -1≤m≤2 [解析] 由题意作出不等式组表示的平面区域,

y-mx=2 恒过点(0, 2), 且 m 是 y-mx=2 的斜率, 则由图可知, 若 y-mx≤2 恒成立, 则-1≤m≤2.

?2x+y≤4, 例 4(配听课例 4 使用)设实数 x,y 满足?x-2y≤2,O 为坐标原点,则 x +y 的最小值 ?x-y≥1,
2 2

是(

) 1 A. 4 C. 2 2 1 B. 2 D. 2

[解析] B 画出不等式组表示的平面区域,如图所示. ∵ x2+y2的几何意义是可行域内的点 P(x,y)与原点的距离, 而原点与可行域内的点的距离的最小值就是原点与直线 x-y-1=0 的距离,即所求距 |0-0-1| 1 1 离 d= 2 ,∴x2+y2 的最小值为 . 2= 2 2 1 +(-1)

例 5(配听课例 5 使用)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(b>a), 若?x∈R, f(x)≥0 恒成立, a+b+c 则 的最小值为( b-a A.1 B.2 C.3 D.4 b 4c b c x2 [解析] C 由题知 a>0, 且 Δ=b2-4ac≤0, 即( )2≤ , 令 =x, =y, 则有 x>1 且 y≥ , a a a a 4 a+b+c 1+x+y y+2 而 = =1+ ,则需求点 P(x,y)与 A(1,-2)的连线的斜率的最小值,由 b-a x-1 x-1 )

x2 线性规划知,当直线 PA 与抛物线 y= (x>1)相切且 P 为切点时,PA 的斜率最小,易求得 PA 4 a+b+c 斜率的最小值为 2,所以 的最小值为 3. b-a


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