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正弦定理和余弦定理应用论文


正弦定理和余弦定理的应用 【中图分类号】g623.5 【文献标识码】b【文章编号】 2095-3089(2012)09-0276-01 正弦定理和余弦定理的承载背景是三角形。正弦定理和余弦定理 架起了沟通三角形的边和角的桥梁。下面结合具体的例题谈谈正弦 定理和余弦定理在三角形中的应用。 1 利用正弦、余弦定理解斜三角形 例 1.在△abc 中,已知 a=2,b=3,a=45°,求

b、c 及 c。 思路:已知 a, b, a,由正弦定理可求 b,从而可求 c, c。 点评归纳:(1)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形 的其他边角的问题时,首先必须判明是否有解,例如在△abc 中,已 知 a=1,b=2,a=60°,则 sinb=basina=3>1, 问题就无解。如果有解, 是一解,还是二解。 (2)正、余弦定理可将三角形边角关系互相转化。 (3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”来确定。 2 面积问题 例 2.△abc 中角 a、b、c 的对边分别为 a, b, c,且 b2+c2-a2+bc=0 (1)求角 a 的大小; (2)若 a=3,求 sδ abc 的最大值; (3)求 asin(30°-c)b-c 的值。 思路:(1)由 b2+c2-a2+bc=0 的结构形式,可联想余弦定理,求出 cosa,从而求出 a 的值。 (2)由 a=3 及 b2+c2-a2+bc=0,可求出关于 b, c 的关系式,利用不等 式,即可求出 bc 的最大值,进而求出 sδ abc 的最大值。 (3)由正弦定理可实现将边化为角的功能。从而达到化简求值的目 的。 解析:(1)因为 cosa=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12,所以 a=120° (2)由 a=3,得 b2+c2=3-bc,又因为 b2+c2 ? 2bc(当且仅当 c=b 时取 等号),所以 3-bc ? 2bc,当且仅当 c=b=1 时,bc 取得最大值为 1, 所以 sδ abc=12bcsina ? 34,所以 sδ abc 的最大值为 34 点评归纳:(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解题时要根据 具体题目合理运用,有时还需要交替使用。 (2)条件中出现平方 (3)在 关系多考虑余弦定理,出现一次式,一般要考虑正弦定理。 求三角形面积时,通过正、余弦定理求一个角,两边乘积,是一种常 见思路。 3 判断三角形形状 例 3.在△abc 中,a, b, c 分别表示三个内角 a、b、c 的对边,如果 (a2+b2)sin(a-b)=(a2-b2)·sin(a+b),该判断三角形的形状。 思路:利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或 角角关系。 解析:已知即 a2[sin(a-b)-sin(a+b)]=b2[-sin(a+b)-sin(a-b)] 所以 2a2cosasinb=2b2cosbsina,由正弦定理,即 sin2acosasinb=sin2bcosbsina 所以 sinasinb(sinacosa-sinbcosb)=0,所以 sin2a=sin2b, 由,0<2a<2π ,0<2b<2π ,得 2a=2b 或 2a=π -2b 即△abc 是等腰三角形或直角三角形。 点评归纳:三角形形状的判定方法 (1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角(如 a=2rsina,a2+b2-c2=2abcosc 等),利用三角变换得出三角形内角之 间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关 系,如 sina=sinb ? a=b;

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