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2010年高考试题汇编--平面向量


第五章 平面向量 一 平面向量的概念及基本运算
【考点阐述】 向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示. 【考试要求】 (1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.

r />
【2010 年湖北卷理 5 文 8】 .已知△ABC 和点 M 满足 MA + MB + MC =0.若存在实数 m 使 湖北卷理 得 AB + AC =m AM 成立,则 m=B A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】由 MA + MB + MC =0 知,点 M 为△ABC 的重心,设点 D 为底边 BC 的中点,则

AM =
选 B.

1 2 1 1 AD = · ( AB + AC )= ( AB + AC ) ,所以有 AB + AC =m AM ,故 m=3, 3 3 2 3

【2010 年全国Ⅱ卷理 8 文 10】△ABC 中, D 在 AB 上, 平分∠ACB. CB =a, =b, 全国Ⅱ . 点 CD 若 CA 全国 | a |=1,| b |=1,则 CD =B A.

1 2 a+ b 3 3

B.

2 1 a+ b 3 3

C.

3 4 a+ b 5 5

D.

4 3 a+ b 5 5

【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理.

AD CA = =2,所以 D 为 AB 的三等分 DB CB 2 2 2 1 2 1 点,且 AD = AB = ( CB ― CA ) ,所以 CD = CA + AD = CB + CA = a + b. 3 3 3 3 3 3
【解析】因为 CD 平分∠ACB,由角平分线定理得

【2010 年陕西卷理 11 文 12】.已知向量 a=(2,―1),b=(―1,m),c=(―1,2), 陕西卷理 若(a+b)∥c,则 m= 【答案】―1 【解析】∵a+b =(1,m―1) =(―1,2) ,c ,∴由(a+b)∥c 得 1×2―(―1)×(m―1)=0,所以 m=―1. .

【2010 年高考上海市理科 13】 .如图所示,直线 x=2 与双曲线 Г:

x2 ―y2=1 的渐近线交于 4

, E1,E2 两点,记 OE1 =e1, OE 2 =e2,任取双曲线上的点 P,若 OP =a e1+b e2(a,b∈R) 则 a、b 满足的一个等式是 .4ab=1

【答案】4ab=1

【2010 年高考上海卷文科 13】 年高考上海卷文科 .在平面直角坐标系中,双曲线的中心在原点,它的一个焦点 坐标为( 5 ,0) 1=(2,1) 2=(2,―1)分别是两条渐近线的方向向量。任取 ,e ,e 双 曲 线 上 的 点 , 若 OP =a e1+b e2 ( a , b∈R ) 则 a 、 b 满 足 的 一 个 等 式 是 , 4ab=1 .

解析: 因为 e1= (2, , 2= 1) e (2, ―1) 是渐进线方向向量, 所以双曲线渐近线方程为 y = ±

1 x, 2

又 c= 5 ,所以 a=2,b=1,双曲线方程为

x2 ? y 2 = 1 ,OP =a e1+b e2=(2a+2b,a― 4

b) ∴ ,

(2a + 2b) 2 ? (a ? b) 2 = 1 ,化简得 4ab=1. 4

二 平面向量的数量积
【考试要求】

掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角 度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.

【2010 年江西卷文 13】 .已知向量 a,b 满足|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 b 在 a 上的投 江西卷文 影是 【答案】1 【解析】考查向量的投影定义,b 在 a 上的投影等于 b 的模乘以两向量夹角的余弦值 .

【湖南卷理 4】 湖南卷理 .在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则 AB · AC 等于 D A.―16 B.―8 C.8 D.16

解 析 一 : 因 为 ∠ C=90 ° , 所 以 AC · CB =0 , AB · AC = · ( AC + CB ) AC = AC 2+ CB · AC =16. 解析二: 解析二: AB 在 AC 上的投影为| AC |,所以 AB · AC =| AC |2=16.

【2010 年北京卷理 6】 北京卷理 .a、b 为非零向量。“a⊥b”是“函数 f(x)=(xa+b)·(xb―a)为一 次函数”的 B A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:f(x)=(xa+b)·(xb―a)=(a·b)x2+(|b|2―|a|2)x― a·b,如 a⊥b,则有 a·b=0, 如果同时有|a|=| b |,则函数恒为 0,不是一次函数,因此不充分,而如果 f(x)为一次函数, 则 a·b=0,因此可得 a⊥b,故该条件必要。

【2010 年北京卷文 4】 若 a, 是非零向量, a⊥b, b 且 |a|≠|b|, 则函数 (x)(xa+b) xb―a) f = ( · 北京卷文 . , 是A A.一次函数且是奇函数 C.二次函数且是偶函数 B.一次函数但不是奇函数 D.二次函数但不是偶函数

解析:f(x)=(xa+b)·(xb―a)=(a·b)x2+(|b|2―|a|2)x― a·b,由 a⊥b,则 a·b=0,f(x) =(|b|2―|a|2)x,故 f(x)是一次函数且是奇函数.

【2010 年江西卷理 13】 江西卷理 .已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2, a 与 b 的夹角为 60°,则 |a―b|= . 3 B

【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式, 以及向量三角形法则、余弦定理等知识,如图 a= OA ,b = OB ,a―b= OA ― OB = BA , C 由余弦定理得:|a―b|= 3 .

O

A

【2010 年重庆卷理 2】 重庆卷理 .已知向量 a,b 满足 a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a―b|= B A.0 B. 2 2
2

C. 4

D.8

解析:|2a―b|= ( 2 a ? b) =

4a 2 ? 4a ? b + b 2 = 8 = 2 2 .

【2010 年浙江卷文 13】 已知平面向量 a, |a|=1, . b, |b|=2, (a―2b) 则|2a+b|的值是 a⊥ , 浙江卷文 解析: 10 , 由题意可知 a· (a―2b) 结合|a|=1, =0, |b|=2, 解得 a·b= + b 2=8+2=10,开方可知答案为 10 , 【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,属中档题。



1 , 所以|2 a+b |2=4a2+4a·b 2

【2010 年浙江卷理 16】 .已知两平面向量 a,b 均为非零向量,且 a≠b,| b |=1,a 与 b―a 浙江卷理 的夹角为 120°,则| a |的取值范围是_______. (0,

2 3 ] 3

【命题意图】 本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义, 突出考察了对问题的转化 能力和数形结合的能力,属中档题. 【解析】如图所示,在△ABC 中,∠ABC=60°,AC=1,设∠ACB=θ,由正弦定理得:

AB AC = , sin ? sin 60°
2 3 2 3 sinφ≤ ,故| a |∈(0, ]. | a |=|AB|= 3 3 3 2
A

C b

ф
a

b― a 60° 120° B

【2010 年湖南卷文 6】 (2a+b) =0,则 a 与 b 的夹角为 C ·b 湖南卷文 .若非零向量 a,b 满足|a|=|b|, , A.30° B. 60° C.120° D. 150°

【解析】 (2a+b)·b =2a·b+b·b=0,所以 a·b=―

1 2 1 |b| ,cos﹤a,b﹥=― ,﹤a,b﹥=120°. 2 2

【2010 年辽宁卷理 8 文 8】 辽宁卷理 .平面上 O,A,B 三点不共线,设 OA =a, OB =b,则△OAB 的面积等于 C A.

r2 r2 r r a b ? ( a ? b) 2
1 2 r2 r2 r r a b ? ( a ? b) 2

B.

r2 r2 r r a b + ( a ? b) 2
1 2 r2 r2 r r a b + ( a ? b) 2

C.

D.

S?OAB
解析:

r r r r r r 1 r r 1 r r 1 r r ( a ? b) 2 2 = | a || b | sin < a, b >= | a || b | 1 ? cos < a, b > = | a || b | 1 ? r 2 r 2 2 2 2 |a| |b|

=

1 2

r2 r2 r r a b ? (a ? b) 2

【2010 年四川卷理 5 文 6】 四川卷理 .设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC 2=16, | AB + AC |=| AB ― AC |,则| AM |=C A.8 B.4 C. 2 D.1

解析: BC 2=16, 由 得|BC|=4 , AB + AC |=| AB ― AC |=| BC |=4, AB + AC |=2| AM |, | 而| 故| AM |=2.

【2010 年天津卷文 9 理 填空) . 15】 如图, 在△ABC 中, AD⊥AB,BC = 3 BD , AD |=1, | 天津卷文 (填空) A 则 AC · AD =D

A. 2 3

B.

3 2

C.

3 3

D. 3

B

C D

【解析】 AC · AD =| AC |·| AD |cos∠DAC=| AC |cos∠DAC=| AC |sin∠BAC=| BC |sin∠B = 3 | BD |sin∠B= 3 . 【命题意图】本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识,考查化归与转化的数学思想,有 点难度.

【2010 年全国Ⅰ卷理 11 文 11】 全国Ⅰ .已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 全国 为两切点,那么 PA · PB 的最小值为 D A. ?4 + 2 B. ?3 + 2 C. ?4 + 2 2 D. ?3 + 2 2

【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法 ——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】如图所示:设 PA=PB=x ( x > 0) ,∠APO=α,则∠APB=2α,PO= 1 + x ,
2

sin α =

1 1+ x
2

, O

A

P

B

uuu uuu uuu uuu v v v v uuu uuu v v x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 PA ? PB =| PA | ? | PB | cos 2α = x 2 (1 ? 2sin 2 α ) = = 2 ,令 PA ? PB = y , 2 x +1 x +1
则y=

x4 ? x2 ,即 x 4 ? (1 + y ) x 2 ? y = 0 ,由 x2 是实数,所以 x2 + 1

? = [?(1 + y )]2 ? 4 × 1× (? y ) ≥ 0 , y 2 + 6 y + 1 ≥ 0 ,解得 y ≤ ?3 ? 2 2 或 y ≥ ?3 + 2 2 .
故 ( PA ? PB ) min = ?3 + 2 2 .此时 x =

uuu uuu v v

2 ?1 .
2

uuu uuu v v θ 【解析 2】法一: 设 ∠APB = θ , 0 < θ < π , PA ? PB = ( PA )( PB ) cos θ = ?1/ tan ? cos θ ? ? ? 2?

θ ?? θ? ? 1 ? sin 2 ? ?1 ? 2sin 2 ? θ? ? 2 ?? 2? ? ? 2 ? 1 ? 2sin 2 = ?= θ ? θ 2? ? sin 2 sin 2 2 2
cos 2

θ

法二:换元: x = sin

2

θ
2

uuu uuu (1 ? x )(1 ? 2 x ) v v 1 PA ? PB = = 2x + ? 3 ≥ 2 2 ? 3 , 0 < x ≤ 1, x x

或建系:园的方程为 x 2 + y 2 = 1 ,设 A( x1 , y1 ), B ( x1 , ? y1 ), P ( x0 , 0) ,

uuu uuu v v 2 PA ? PB = ( x1 ? x0 , y1 ) ? ( x1 ? x0 , ? y1 ) = x12 ? 2 x1 x0 + x0 ? y12

AO ⊥ PA ? ( x1 , y1 ) ? ( x1 ? x0 , y1 ) = 0 ? x12 ? x1 x0 + y12 = 0 ? x1 x0 = 1
uuu uuu v v 2 2 2 PA ? PB = x12 ? 2 x1 x0 + x0 ? y12 = x12 ? 2 + x0 ? (1 ? x12 ) = 2 x12 + x0 ? 3 ≥ 2 2 ? 3

【2010 年山东卷理 12 文 12】 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下, . 对任意的 a= (m, , n) b=(p,q) ,令 a⊙b=mq―np,下面说法错误的是 B A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的 λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D. (a⊙b)2+(a·b)2=|a|2·|b|2 【解析】若 a 与 b 共线,则有 a⊙b=mq―np,故 A 正确;因为 b⊙a =pn―qm,而 a⊙b=mq―np,所以有 a⊙b≠b⊙a,故选项 B 错误,故选 B。 【命题意图】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识 以及分析问题、解决问题的能力。

【2010 年重庆卷文 3】 重庆卷文 .若向量 a=(3,m),b=(2,―1), a·b=0,则实数 m 的值为 D A. ?

3 2

B.

3 2

C. 2

D. 6

【解析】a·b=6―m=0,所以 m =6.

【2010 年安徽卷理 3 文 3】 .设向量 a=(1,0) ,b=( 安徽卷理

1 1 , ) ,则下列结论中正确的是 C 2 2
D.a∥b

A.|a|=| b | 解析:a―b=(

B.a·b=

2 2

C.a―b 与 b 垂直

1 1 ,― )(a―b) , ·b=0,所以 a―b 与 b 垂直. 2 2

【2010 年福建卷文 8】 (x∈R) ,则“x = 4”是“| a |=5”的 A 福建卷文 .若向量 a=(x,3) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】由 x=4 得 a=(4,3) ,所以| a |=5;反之,由| a |=5 可得 x = ±4 。 【命题意图】本题考查平面向量、常用逻辑用语等基础知识。

【2010 年广东卷文 5】 ,b=(2,5) ,c=(3,x)满足条件 (8a-b)·c =30, 广东卷文 .若向量 a=(1,1) 则 x= A.6 B.5 C.4 D.3 解析:8a-b =(6,3) ,(8a-b)·c =6×3+3x=30,故 x=4.

【2010 年全国Ⅰ新课标卷文 2】 ,b 为平面向量,已知 a=(4,3) 全国Ⅰ 课标卷文 .a, ,2a+b=(3,18) ,则 a, 全国 , b 夹角的余弦值等于 C A.

8 65

B. ?

8 65

C.

16 65

D. ?

16 65
r r a b
5 × 13 65

r r 解析:由已知得 b=(2a+b)―2a=(―5,12) ,所以 cos < a, b >= a ? b = 4 × (?5) + 3 × 12 = 16 . 解析 r r

【2010 年高考福建卷理科 7】 .若点 O 和点 F(―2,0)分别是双曲线

x2 ―y2=1(a>0) a2

的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 OP · FP 的取值范围为 B A. [3-2 3, +∞) B. [3 + 2 3, +∞ ) C. [- , +∞ )

7 4

D. [ , +∞ )

7 4

【解析】因为 F(―2,0)是已知双曲线的左焦点,所以 a2+1=4,即 a2=3,所以双曲线方 程为

x2 x2 x2 2 2 ―y2=1, 设点 P 0, 0) 则有 0 ? y0 = 1( x0 ≥ 3) , (x y , 解得 y0 = 0 ? 1( x0 ≥ 3) , 3 3 3




uuu r FP = ( x0 + 2, y0 )



uuu r OP = ( x0 , y0 )







uuu uuu r r x0 2 4 x0 2 2 OP ? FP = x0 ( x0 + 2) + y0 = x0 ( x0 + 2) + ?1 = + 2 x0 ? 1 ,此二次函数对应的抛物 3 3
线 的 对 称 轴 为 x0 = ?

3 , 因 为 x0 ≥ 3 , 所 以 当 x0 = 3 时 , OP · FP 取 得 最 小 值 4

4 × 3 + 2 3 ? 1 = 3 + 2 3 ,故 OP · FP 的取值范围是 [3 + 2 3, +∞) ,选 B。 3
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次 函数的单调性与最值等, 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、 运 算能力。

2 2 【2010 年高考福建卷文科 11】 .若点 O 和点 F 分别为椭圆 x + y = 1 的中心和左焦点,点 P 4 3

为椭圆上的任意一点,则 OP · FP 的最大值为 C A.2 B.3 C.6 D.8

【解析】由题意,F(-1,0) ,设点 P(x0,y0) ,则有

x0 2 y0 2 x2 + = 1 ,解得 y0 2 = 3(1 ? 0 ) , 4 3 4

因为 FP = ( x0 + 1, y0 ) , OP = ( x0 , y0 ) ,所以 OP · FP = OP ? FP = x0 ( x0 + 1) + y0

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

2

uuu uuu r r x0 2 x0 2 )= + x0 + 3 ,此二次函数对应的抛物线的对称轴为 = OP ? FP = x0 ( x0 + 1) + 3(1 ? 4 4
x0 = ?2 ,因为 ?2 ≤ x0 ≤ 2 ,所以当 x0=2 时, OP · FP 取得最大值
22 + 2 + 3 = 6 ,选 C。 4

【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的 单调性与最值等, 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、 运算能力。

【2010 年江苏卷 15】 .在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(―1,―2),B(2,3),C(―2,―1) . 江苏卷 (Ⅰ)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (Ⅱ)设实数 t 满足( AB ―t OC )· OC =0,求 t 的值. [解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力.

(1) 方法一)由题设知 AB = (3, 5), AC = ( ?1,1) ,则 (方法一)

uuu r

uuur

uuu uuur r uuu uuur r uuu uuur r uuu uuur r AB + AC = (2, 6), AB ? AC = (4, 4). 所以 | AB + AC |= 2 10,| AB ? AC |= 4 2.
故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 。 (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则:E 为 B、C 的中 方法二) 点,E(0,1)又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4)

故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、AD= 2 10 ; (2)由题设知: OC =(-2,-1), AB ? tOC = (3 + 2t ,5 + t ) 。 由( AB ―t OC )· OC =0,得: (3 + 2t ,5 + t ) ? ( ?2, ?1) = 0 ,

uuu r

uuur

11 。 5 uuu uuur r uuu uuur r uuur 2 uuu r AB ? OC 或者: AB·OC = tOC , AB = (3,5), t = uuur = ? 11 2
从而 5t = ?11, 所以 t = ?
| OC | 5

【2010 年上海市春季高考 22 . 2010 22】

【2010 年高考福建卷文科 18】 设平顶向量 am = ( m , 1), bn = ( 2 , n ),其中 m, n 2010 18 . {1,2,3,4}. (I)请列出有序数组( m,n )的所有可能结果; (II)记“使得 am ( am - bn )成立的( m,n ) ”为事件 A,求事件 A 发生的概率。

【2010 年高考湖北卷文科 20 .已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上没一点到点 F(1,0)的 2010 年高考湖北 湖北卷文科 20】 距离减去它到 y 轴距离的差都是 1。 (Ⅰ)求曲线 C 的方程 (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线, 都有 FA  <0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

uuu uuu r r


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